108 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程乙組《流體力學（F）》

核心觀念

本題考查流體力學中的四組基本名詞，重點是分清楚各性質依「系統大小」、「壓力來源」、「黏滯係數定義」與「時間、空間變化」所作的分類。

解題方法與名詞比較

I. 廣延性質與強度性質

• 廣延性質（extensive property）：數值隨系統所含物質的量或系統大小而改變。將系統分成兩個部分時，廣延性質具有可加性。例如質量 $m$、體積 $V$、總能量 $E$。
• 強度性質（intensive property）：不隨系統大小改變，且不具有可加性。例如溫度 $T$、壓力 $p$、密度 $\rho$。

廣延性質除以質量，通常可得到比性質；比性質屬於強度性質。例如比容 $v=V/m$、比內能 $u=U/m$。

**辨別重點：**將系統切成兩半，若性質總量也分成相應的兩部分，屬於廣延性質；若切分後各部分仍有相同數值，屬於強度性質。

II. 靜壓與動壓

• 靜壓（static pressure）：流體在某位置的熱力學壓力，反映流體的局部壓縮狀態。在連續介質假設下，靜壓與流動方向無關。
• 動壓（dynamic pressure）：以流體速度表示的動能尺度，定義為 $$q=\frac{1}{2}\rho V^2$$ 其中 $\rho$ 為流體密度，$V$ 為流速。動壓的量綱與壓力相同，單位皆為帕斯卡。

依伯努力方程，在穩定、不可壓縮、無黏且沿流線的流動中，

$$p+\frac{1}{2}\rho V^2+\rho gz=\text{常數}$$

式中的 $p$ 為靜壓，$\frac{1}{2}\rho V^2$ 為動壓，$\rho gz$ 為單位體積的重力位能項。皮托管在適用條件下以停滯壓與靜壓之差測得動壓。

**辨別重點：**靜壓是流體本身的局部壓力；動壓是由流速換算出的動能尺度，不能直接視為另一種獨立施加在流體上的熱力學壓力。

III. 動力黏度與運動黏度

核心觀念

本題使用圓管內部流動的達西–魏斯巴赫壓降公式：

$$\Delta P=f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2}$$

其中：

• $f$：達西摩擦因子
• $L$：管長
• $D$：管徑
• $V$：平均流速
• $\rho$：水的密度

兩管皆完全光滑，且雷諾數相同，因此兩管的摩擦因子相同：

$$f_1=f_2$$

雷諾數定義為：

$$Re=\frac{\rho VD}{\mu}$$

由於兩管流體相同，且 $Re_1=Re_2$，可得：

$$V_1D_1=V_2D_2$$

解題方法

已知：

$$\frac{V_1}{V_2}=2$$

由相同雷諾數條件：

$$\frac{\rho V_1D_1}{\mu} = \frac{\rho V_2D_2}{\mu}$$

約去相同的 $\rho$ 與 $\mu$：

$$V_1D_1=V_2D_2$$

因此：

$$\frac{D_1}{D_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{2}$$

兩管的總壓降相同，故分別套用壓降公式：

$$\Delta P = f_1\frac{L_1}{D_1}\frac{\rho V_1^2}{2}$$ $$\Delta P = f_2\frac{L_2}{D_2}\frac{\rho V_2^2}{2}$$

核心觀念

本題考查水平矩形渠槽中的：

• 連續方程式
• 伯努力方程式與比能量
• 明渠水流通過底床隆升時的水深變化
• 動量方程式求水流對渠底隆升處的作用力

矩形渠槽寬度為 $B=4.0\ \text{m}$，隆升前水深為

$$y_1=2.0\ \text{m}$$

底床隆升高度為

$$\Delta z=0.5\ \text{m}$$

然而，題目未提供流量 $Q$ 或上游流速 $V_1$。因此，水深與作用力均無法得到唯一的數值答案，只能先寫成流量 $Q$ 的函數。

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(I) 隆升處之水深

1. 連續方程式

矩形渠槽面積為

$$A=By$$

因此兩斷面間的流速分別為

$$V_1=\frac{Q}{By_1}=\frac{Q}{8}$$

以及

$$V_2=\frac{Q}{By_2}=\frac{Q}{4y_2}$$

其中 $y_2$ 為隆升處水深。

2. 伯努力方程式

假定兩斷面間能量損失為零，且壓力分布為靜水壓分布，則

$$z_1+y_1+\frac{V_1^2}{2g} = z_2+y_2+\frac{V_2^2}{2g}$$

取隆升前渠底為基準面，即 $z_1=0$、$z_2=0.5\ \text{m}$，代入可得

$$2.0+\frac{(Q/8)^2}{2g} = 0.5+y_2+\frac{(Q/4y_2)^2}{2g}$$

整理為

$$\boxed{ y_2+\frac{Q^2}{32g\,y_2^2} = 1.5+\frac{Q^2}{128g} }$$

這就是隆升處水深 $y_2$ 所滿足的方程式。未給定 $Q$ 時，$y_2$ 沒有唯一數值。

以單位流量 $q=Q/B=Q/4$ 表示，方程式也可寫成

$$\boxed{ y_2+\frac{q^2}{2g y_2^2} = 1.5+\frac{q^2}{8g} }$$

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(II) 渠流對隆升處作用之力

以下求水流對隆升處的水平作用力，並假定兩斷面皆可採用靜水壓分布。

1. 兩斷面的靜水壓力

矩形渠槽斷面上的靜水壓力合力為

$$P=\frac{1}{2}\rho g B y^2$$

上游斷面：

$$P_1 = \frac{1}{2}\rho g(4)(2)^2 = 8\rho g$$

隆升處斷面：

$$P_2 = \frac{1}{2}\rho g(4)y_2^2 = 2\rho g y_2^2$$

2. 動量方程式

取水流方向為正方向，對兩斷面間的水體套用水平動量方程式：

$$P_1-P_2+R = \rho Q(V_2-V_1)$$

其中 $R$ 為隆升渠底對水流的水平作用力。

因此，水流對隆升處的作用力為 $F=-R$，故

$$F = P_1-P_2-\rho Q(V_2-V_1)$$

代入速度與壓力：

$$F = \frac{1}{2}\rho gB(y_1^2-y_2^2) + \rho Q\left(\frac{Q}{By_1}-\frac{Q}{By_2}\right)$$

令 $B=4\ \text{m}$、$y_1=2\ \text{m}$，得到

本題考查黏滯性流體何時可近似為非黏滯流的條件。

核心觀念:
非黏滯流（Inviscid Flow）是指流體在流動過程中，流體內部抵抗剪切應力的能力可以忽略不計。這意味著黏滯力遠小於慣性力或其他作用力。

判斷依據:
判斷流體是否為非黏滯流，通常可以透過比較 雷諾數 (Reynolds Number, Re)。雷諾數是一個無因次參數，定義為：
$Re = \frac{\rho V L}{\mu}$
其中：

• $\rho$ 是流體密度
• $V$ 是特徵流速 (Characteristic Velocity)
• $L$ 是特徵長度 (Characteristic Length)
• $\mu$ 是流體的動黏度 (Dynamic Viscosity)

情況分析:

1. 高雷諾數 (High Reynolds Number):
   當雷諾數 $Re$ 非常大時，慣性力 ($\rho V^2 L$) 相對於黏滯力 ($\mu V$) 變得非常顯著。在這種情況下，黏滯力的效應（如摩擦阻力、速度梯度引起的剪切應力）在流場的大部分區域可以忽略不計。

   • 工程上的近似: 通常認為當 $Re > 10^3 \sim 10^5$ (具體數值取決於應用場合和精度要求) 時，流動可以近似視為非黏滯流，尤其是在考慮外部流動（如流過物體表面）時。
   • 邊界層理論: 在高 $Re$ 流動中，雖然整體流場可以近似為非黏滯，但在物體表面附近會形成一個薄的 邊界層 (Boundary Layer)。在邊界層內，黏滯效應是不可忽略的，因為速度梯度很大。然而，在邊界層之外的區域（稱為自由流，Free Stream），黏滯力的影響可以忽略，流動近似為非黏滯。

2. 低黏度或高密度/高速度:
   從 $Re$ 的公式可以看出，以下情況會導致 $Re$ 較大：

核心觀念

本題考查平板邊界層的：

1. 連續方程式：計算邊界層外緣控制面上的質量流率。
2. 動量方程式：由入口、出口及上方控制面的動量通量，求平板所受阻力。
3. 邊界層速度分布：
   $\frac{u}{U}=2\frac{y}{\delta}-\left(\frac{y}{\delta}\right)^2$

取標準狀態空氣密度為

$\rho=1.225\ \mathrm{kg/m^3}$

平板寬度 $b=0.5\ \mathrm{m}$，自由流速 $U=30\ \mathrm{m/s}$，邊界層厚度 $\delta=0.004\ \mathrm{m}$。

解題方法

取圖中 $abcd$ 為控制體：

• $da$：入口，速度均為 $U$。
• $bc$：出口，速度依題目給定的邊界層分布。
• $ab$：上方控制面，速度可視為自由流速 $U$。
• $cd$：固定平板表面，無流體穿越。

先計算出口的質量流率：

$$\dot m_{bc} =\rho b\int_0^\delta u\,dy$$

令

$$\eta=\frac{y}{\delta}$$

則

$$u=U(2\eta-\eta^2),\qquad dy=\delta\,d\eta$$

因此

$$\int_0^\delta u\,dy =U\delta\int_0^1(2\eta-\eta^2)\,d\eta$$ $$=U\delta\left[1-\frac{1}{3}\right] =\frac{2}{3}U\delta$$

入口質量流率為

$$\dot m_{da}=\rho bU\delta$$

由連續方程式，上方 $ab$ 面流出的質量流率為

$$\dot m_{ab} =\dot m_{da}-\dot m_{bc} =\rho bU\delta\left(1-\frac{2}{3}\right)$$ $$\dot m_{ab} =\frac{1}{3}\rho bU\delta$$

代入數值：

$$\dot m_{ab} =\frac{1}{3}(1.225)(0.5)(30)(0.004)$$ $$\boxed{\dot m_{ab}=2.45\times10^{-2}\ \mathrm{kg/s}}$$

方向為由控制體向上方自由流區流出。

平板所需作用力

取 $x$ 軸正方向為自由流方向。出口的 $x$ 方向動量流率為

$$\dot{P}_{x,bc} =\rho b\int_0^\delta u^2\,dy$$

其中

核心觀念

本題使用無黏性流體的伯努力方程式：

$$\frac{p}{\rho g}+z+\frac{V^2}{2g}=\text{常數}$$

因為上方水箱自由液面與下方水箱自由液面處的流速皆可視為 $0$，且 $A$ 點為 stagnation point，所以 $V_A=0$。因此可分別由兩個水箱的自由液面連接至 $A$ 點。

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解題方法

取下方水箱底部為基準面。由圖可知：

• $A$ 點高度：$z_A=20\ \text{m}$
• 下方水箱自由液面高度：$z_L=8\ \text{m}$
• 下方水箱壓力：$p_L=3\ \text{atm}$
• 上方水箱自由液面壓力：$p_{\text{atm}}=1\ \text{atm}$
• 上方水箱自由液面高度：$z_U=20+h$

由下方水箱自由液面至 $A$ 點

$$\frac{p_L}{\rho g}+z_L = \frac{p_A}{\rho g}+z_A$$

整理得：

$$\frac{p_A}{\rho g} = \frac{p_L}{\rho g}+8-20$$

由上方水箱自由液面至 $A$ 點

上方水箱自由液面與大氣相通，故：