108 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程丙組《分析化學（B）》

t 檢定（t-test）是一種統計學上的假設檢定方法，用於判斷兩組獨立樣本的平均數之間是否存在顯著差異。它特別適用於樣本數較小（通常 $n<30$）的情況，或是母體標準差未知時。

t 檢定的核心概念是計算一個 t 統計量，該統計量衡量了兩組樣本平均數的差異相對於樣本變異性的比例。如果計算出的 t 值足夠大（無論正負），則可以拒絕虛無假設（null hypothesis），認為兩組樣本的平均數存在顯著差異。

t 檢定的步驟通常包括：

1. 建立假設：
   • 虛無假設 ($H_0$)：兩組樣本的平均數沒有顯著差異（例如，$\mu_1 = \mu_2$）。
   • 對立假設 ($H_a$)：兩組樣本的平均數有顯著差異（例如，$\mu_1 \neq \mu_2$，或 $\mu_1 > \mu_2$，或 $\mu_1 < \mu_2$）。
2. 選擇顯著水準 ($\alpha$)：通常設定為 0.05 或 0.01。
3. 計算 t 統計量：計算公式取決於樣本是否獨立、變異數是否相等。
   • 獨立樣本 t 檢定（假設變異數相等）：
     $t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

離子強度（Ionic Strength, $\mu$ 或 $I$）是溶液中離子總濃度的量度，它反映了溶液中離子分佈的平均靜電勢。離子強度越高，表示溶液中帶電離子的總濃度越高，離子之間的靜電相互作用也越強。

離子強度由 G.N. Lewis 和 M. Randall 於 1921 年提出，其計算公式為：
$\mu = \frac{1}{2} \sum_{i} c_i z_i^2$
其中：

• $c_i$ 是第 $i$ 種離子的莫耳濃度（molarity）。
• $z_i$ 是第 $i$ 種離子的價數（charge number）。
• $\sum_{i}$ 表示對溶液中所有離子求和。

重要性與應用：
離子強度在溶液化學、電化學、分析化學以及生物化學等領域非常重要，主要體現在：

1. 活度係數 (Activity Coefficient)：在非理想溶液中，離子的有效濃度（活度）與其名目濃度（莫耳濃度）不同。離子強度是影響離子活度係數的主要因素。活度係數 ($\gamma$) 通常透過 DEBYE-HÜCKEL 方程式或其修正形式來估計，這些方程式都包含離子強度項。
   $\log \gamma_i = - A z_i^2 \sqrt{\mu}$
   其中 A 是常數，取決於溶劑和溫度。
2. 電化學：在電化學測量中，特別是涉及離子反應的電池電勢計算（如 NERNST 方程式），離子強度會影響電極電勢。
3. 溶解度：溶液的離子強度會影響難溶鹽的溶解度。

此題要求繪製一元弱二質子酸（例如 H$_2$A）以強鹼（例如 NaOH）滴定的滴定曲線，並詳細描述整個過程。

核心觀念：
弱二質子酸的滴定涉及兩個逐步解離的質子，因此會出現兩個滴定終點（equivalence points）。滴定曲線的形狀取決於兩級解離常數 ($K_{a1}$ 和 $K_{a2}$) 的相對大小，以及酸的初始濃度。

滴定曲線的繪製與過程描述：

假設我們滴定一個初始濃度為 $C_0$ 的弱二質子酸 H$_2$A，使用濃度為 $C_b$ 的強鹼 NaOH。

1. 初始點 (Before titration, V=0)：

• 溶液中主要存在 H$_2$A 分子，以及少量來自 H$_2$A 解離的 H$^+$ 和 HA$^-$。
• pH 較低，主要由 H$_2$A 的第一級解離決定：$H_2A \rightleftharpoons H^+ + HA^-$ ($K_{a1}$)
• pH 計算：可近似視為單質子弱酸，利用 $K_{a1}$ 計算 [H$^+$]。

2. 第一緩衝區 (Before first equivalence point)：

• 隨著 NaOH 加入，OH$^-$ 與 H$_2$A 反應生成 HA$^-$ 和 H$_2$O：
  $H_2A + OH^- \rightarrow HA^- + H_2O$
• 溶液中同時存在 H$_2$A 和 HA$^-$，形成第一個緩衝體系。pH 變化相對平緩。
• pH 可利用 HENDERSON-HASSELBALCH 方程式計算：$pH = pK_{a1} + \log \frac{[HA^-]}{[H_2A]}$。
• 當加入的 NaOH 量為 H$_2$A 的一半時（V = V$_{eq1}$/2），$[HA^-] = [H_2A]$，此時 $pH = pK_{a1}$。

3. 第一個滴定終點 (First equivalence point, V=V$_{eq1}$)：

• 加入的 NaOH 量恰好能將所有的 H$_2$A 轉化為 HA$^-$。
• 溶液中主要存在 HA$^-$，它是兩性離子，既可作為酸解離 HA$^-$ $\rightleftharpoons$ H$^+$ + A$^{2-}$ ($K_{a2}$)，也可作為鹼水解 HA$^-$ + H$_2$O $\rightleftharpoons$ H$_2$A + OH$^-$ ($K_b = K_w/K_{a1}$)。
• HA$^-$ 的 pH 計算：
  $pH \approx \frac{pK_{a1} + pK_{a2}}{2}$
  （此近似成立條件為 $K_{a1} \gg K_{a2}$，且 HA$^-$ 的濃度遠大於來自水解和解離產生的離子濃度）。
• pH 接近中性或略偏鹼性，取決於 $pK_{a1}$ 和 $pK_{a2}$ 的相對值。

4. 第二緩衝區 (Between first and second equivalence points)：

• 繼續加入 NaOH，OH$^-$ 與 HA$^-$ 反應生成 A$^{2-}$ 和 H$_2$O：
  $HA^- + OH^- \rightarrow A^{2-} + H_2O$

循環伏安法（Cyclic Voltammetry, CV）是一種電化學分析技術，用於研究氧化還原反應的動力學和熱力學性質。它通過以一個掃描速率，在一個電極（工作電極）上，以線性電位掃描的方式，從一個起始電位掃描到一個終止電位，然後再反向掃描回起始電位，來測量工作電極上的電流響應。

核心原理：

1. 線性電位掃描：工作電極的電位隨時間線性變化。
2. 反向掃描：在達到預設的終止電位後，電位掃描方向反轉，回到起始電位。
3. 電流響應：在電位掃描過程中，記錄工作電極上的電流。電流的大小與電極表面發生的氧化還原反應速率以及物質擴散到電極表面的速率有關。
4. 循環性：電位掃描的往復循環使得可以觀察到氧化和還原過程。

實驗設置：
典型的循環伏安法實驗使用三電極系統：

• 工作電極 (Working Electrode, WE)：發生氧化還原反應的電極，通常是惰性材料，如玻碳、鉑、金等。
• 對電極 (Counter Electrode, CE)：與工作電極形成電路，提供或接受電子，以維持工作電極的電流。
• 參比電極 (Reference Electrode, RE)：提供一個穩定的電位參考點，如飽和甘汞電極 (SCE) 或銀/氯化銀電極 (Ag/AgCl)。
• 電解質溶液：包含待測物質和支持電解質，支持電解質（如四丁基銨鹽）用於提高溶液導電性，減少歐姆降。

循環伏安圖 (Cyclic Voltammogram)：
循環伏安圖是將工作電極上的電流（y 軸）對施加的工作電極電位（x 軸）繪製而成。它通常呈現出兩個峰：

• 陽極峰 (Anodic Peak)：在電位正向掃描過程中，物質被氧化時產生的電流峰。
• 陰極峰 (Cathodic Peak)：在電位反向掃描過程中，被氧化產物被還原時產生的電流峰。

高效液相色譜法（High-Performance Liquid Chromatography, HPLC）是一種現代化的液相色譜技術，廣泛應用於分離、鑑定和定量分析混合物中的組分。它是在傳統液相色譜的基礎上，通過採用高壓泵、高效填充的色譜柱以及靈敏的檢測器，實現了快速、高效、高分辨率的分離。

核心特點與原理：

1. 高壓輸液系統：使用高壓泵（通常壓力可達數百至上千 bar）將流動相（溶劑）以恆定的流速精確地輸送到色譜柱中。這使得流動相能夠快速通過填充有細小顆粒的色譜柱。
2. 高效色譜柱：色譜柱通常填充有粒徑非常小的固定相顆粒（通常為 1.5-10 μm），這些顆粒具有極高的比表面積和優良的表面性質。細小的顆粒和均一的填充可以顯著降低傳質阻力，從而提高分離效率和分辨率。
3. 流動相與固定相的相互作用：樣品組分在流動相（移動相）和固定相之間不斷進行分配（吸附/解吸、分配、離子交換、尺寸排阻等）。不同組分與固定相和流動相的親和力不同，導致它們在色譜柱中移動的速度不同，從而實現分離。
4. 多種分離模式：HPLC 根據固定相和流動相的性質，可以採用多種分離模式，常見的有：
   • 反相色譜 (Reversed-Phase Chromatography, RPC)：最常用。固定相為非極性（如 C18 鏈），流動相為極性溶劑（如水/甲醇或水/乙腈混合物）。極性越小的組分保留越長。
   • 正相色譜 (Normal-Phase Chromatography, NPC)：固定相為極性（如矽膠、氰基），流動相為非極性溶劑（如己烷/乙酸乙酯混合物）。極性越大的組分保留越長。
   • 離子交換色譜 (Ion-Exchange Chromatography, IEC)：固定相帶有離子交換基團，用於分離帶電的離子或分子。
   • 尺寸排阻色譜 (Size-Exclusion Chromatography, SEC)：固定相為多孔材料，根據分子大小進行分離，大分子先流出，小分子後流出。

氣相色譜/質譜聯用儀（Gas Chromatography-Mass Spectrometry, GC-MS）是一種強大的分析技術，它將氣相色譜法 (GC) 的分離能力與質譜法 (MS) 的鑑定能力結合起來，用於分離、鑑定和定量分析複雜混合物中的揮發性或半揮發性有機化合物。

核心原理：
GC-MS 的工作流程可以分為三個主要部分：

1. 氣相色譜 (GC) 分離：

   • 樣品被注入 GC 的進樣口，並被加熱汽化。
   • 載氣（通常是氦氣或氮氣）將樣品帶入一個裝有固定相的長毛細管色譜柱。
   • 樣品中的不同組分由於與固定相和載氣之間相互作用力的差異，在色譜柱中以不同的速度移動，從而實現分離。
   • 分離後的組分依序從色譜柱的出口（通常溫度較高）流出。

2. 介面 (Interface)：

   • 從 GC 色譜柱流出的組分（通常是氣態）需要被轉移到 MS 的離子源中。
   • GC-MS 的介面是至關重要的，它需要能夠有效地將色譜柱的出口連接到 MS 的真空系統，並盡可能減少組分的損失和分解。
   • 常見的介面是直接連接（直接將色譜柱末端插入離子源），或使用一個輕微加熱的傳輸線。

3. 質譜 (MS) 分析：

   • 離子化 (Ionization)：從 GC 流出的組分進入 MS 的離子源，在這裡被轉化為離子。最常用的離子化方法是電子轟擊 (Electron Ionization, EI)。在 EI 中，高能電子束轟擊氣態的樣品分子，導致分子失去一個電子形成一個帶正電荷的分子離子 ([M]$^+$)。同時，分子離子可能發生碎片化，產生一系列的碎片離子。

毛細管電泳（Capillary Electrophoresis, CE）是一種基於帶電粒子在電場中遷移速率差異的電化學分離技術。與傳統的膠體電泳不同，CE 在直徑非常小的毛細管（通常為 20-100 μm）內部進行，並利用高電壓驅動。

核心原理：

1. 電滲流 (Electroosmotic Flow, EOF)：當在充滿電解質溶液的毛細管兩端施加高電壓時，不僅帶電的分析物會向其相對電極遷移，毛細管內壁也會由於表面電荷（通常是負電荷）與電解質溶液中的陽離子層相互作用而產生一個沿毛細管軸向的整體流動，稱為電滲流 (EOF)。EOF 通常比組分的電泳遷移速率更強，因此所有組分（包括陽離子、陰離子和中性分子）都會向陰極移動。
2. 電泳遷移 (Electrophoretic Migration)：帶電的分析物在電場作用下，會根據其電荷和大小向其相反的電極遷移。陽離子向陰極移動，陰離子向陽極移動。
3. 分離機制：CE 的分離是電泳遷移和電滲流共同作用的結果。
   • 陽離子：它們的電泳遷移方向與 EOF 方向相同，因此它們的總遷移速率是兩者之和，較快的陽離子會先流出。
   • 陰離子：它們的電泳遷移方向與 EOF 方向相反，因此它們的總遷移速率是 EOF 減去其電泳遷移速率。如果 EOF 較強，陰離子也會被帶向陰極，但速度會比陽離子慢。
   • 中性分子：它們沒有電泳遷移，僅受 EOF 的影響，因此它們會與 EOF 同步流出。

實驗設置：
CE 系統通常包括：

• 高壓電源：提供數千至數萬伏特的穩定直流電壓。
• 毛細管：通常是熔融石英或聚合物塗層的毛細管。
• 樣品池和緩衝池：裝載待測樣品和電泳緩衝液。

原子發射光譜法（Atomic Emission Spectrometry, AES）是一種通過測量樣品中原子在受激發後發射出的特徵光譜來進行元素分析的技術。當樣品被引入高溫能量源（如火焰、電弧、電感耦合電漿 ICP）時，樣品中的原子會被激發到較高的能階。當這些原子回到基態時，會以光子的形式釋放能量，發射出特定波長的光。這些發射光的波長與元素的種類有關，而發射光的強度則與元素的濃度有關。

核心原理：

1. 原子化 (Atomization)：樣品首先需要被轉化為氣態的基態原子。這通常通過將樣品引入高溫能量源來實現。
   • 火焰原子化 (Flame Atomization)：樣品溶液通過霧化器被噴成細小液滴，然後進入燃燒火焰（如空氣-乙炔、氧化亞氮-乙炔）。火焰的高溫使溶劑蒸發、樣品分解、並最終產生基態原子。
   • 電弧/電槳原子化 (Arc/Plasma Atomization)：使用電弧或電感耦合電漿 (ICP) 等更強的能量源，可以達到更高的溫度，實現更完全的原子化，並激發原子。
2. 激發 (Excitation)：基態原子在吸收了能量源提供的能量後，其外層電子的能階升高，進入激發態。
3. 發射 (Emission)：處於激發態的原子是不穩定的，它們會迅速躍遷回較低的能階，甚至基態。在躍遷過程中，多餘的能量以光子的形式被釋放出來。
4. 光譜分析 (Spectroscopic Analysis)：
   • 波長測量：發射出的光通過光學系統（如棱鏡或光柵）進行分光，得到樣品的發射光譜。不同元素發射出的光具有獨特的波長組合，這就像是元素的「指紋」，可以用來識別元素。
   • 強度測量：通過檢測器（如光電倍增管 PMT）測量特定波長光的強度。

螢光光譜法（Fluorescence Spectrometry）是一種基於分子螢光現象的分析技術，用於定性或定量分析能發射螢光的物質。螢光是分子在吸收了特定波長的光（激發光）後，電子躍遷到較高的激發態，然後在極短的時間內（通常為 $10^{-9}$ 至 $10^{-7}$ 秒）躍遷回較低的能階，並在此過程中發射出光（螢光）的現象。

核心原理：

1. 吸收 (Absorption)：樣品中的螢光物質分子吸收了特定波長範圍的激發光。吸收的光譜稱為激發光譜。
2. 激發態 (Excited State)：電子躍遷到高能階的單線態激發態（S$_1$）。
3. 非輻射躍遷 (Non-radiative Transition)：在達到 S$_1$ 後，電子可能通過振動弛豫等方式快速失去部分能量，但仍停留在 S$_1$ 能階。
4. 發射 (Emission)：電子從 S$_1$ 能階躍遷回基態（S$_0$），並在此過程中發射出光，即螢光。螢光的波長通常大於激發光的波長（斯托克斯位移），因為在激發態損失了一部分能量。發射光的波長分佈形成螢光光譜。
5. 螢光猝滅 (Quenching)：螢光強度可能因與其他分子（猝滅劑）的碰撞、能量轉移或電子轉移等過程而減弱。

螢光光譜法的優點：

• 高靈敏度：許多螢光物質的螢光量子產率很高，因此該技術對痕量物質的檢測非常靈敏，靈敏度通常比吸收光譜法高幾個數量級。
• 高選擇性：可以通過選擇合適的激發波長和檢測螢光波長來提高選擇性。
• 分析速度快：通常分析時間較短。

儀器結構 (Instrumentation)：
一個典型的螢光光譜儀（螢光計，Fluorometer）主要由以下幾個部分組成：

1. 光源 (Light Source)：提供激發光。常用光源有：
   • 氙燈 (Xenon Lamp)：提供連續的寬光譜，適用於掃描激發或發射光譜。
   • 汞燈 (Mercury Lamp)：發射出特定強度的譜線，適用於固定波長激發。

紅外吸收光譜法（Infrared Absorption Spectroscopy, IR spectroscopy）是一種利用分子對紅外線的吸收來研究物質結構和組成的分析技術。紅外光具有適當的能量，可以引起分子中化學鍵的振動和轉動躍遷。當分子吸收特定波長範圍的紅外光時，其振動或轉動能階會發生改變。這種吸收的特定波長與分子的結構、官能團和化學鍵的性質密切相關，因此紅外吸收光譜可以作為物質結構鑑定的「指紋」。

核心原理：

1. 紅外輻射：紅外光譜儀發射出涵蓋廣泛波長範圍（通常為 4000 cm$^{-1}$ 到 400 cm$^{-1}$，即 2.5 μm 到 25 μm）的紅外輻射。
2. 分子振動：分子由原子通過共價鍵連接而成。這些化學鍵可以像彈簧一樣伸長（伸長振動）或彎曲（彎曲振動）。
3. 吸收條件：為了吸收紅外光，分子的振動必須引起其偶極矩的週期性變化。具有對稱結構的分子（如 O$_2$, N$_2$, CO$_2$ 的對稱伸長）可能不吸收紅外光。
4. 吸收波長：每種化學鍵（如 C-H, C=O, O-H）在特定的紅外波長區域有其特徵的吸收頻率（或波数）。例如，O-H 鍵通常在 3200-3600 cm$^{-1}$ 區域吸收，C=O 鍵通常在 1650-1800 cm$^{-1}$ 區域吸收。
5. 光譜記錄：紅外光譜儀將紅外輻射通過樣品，並測量穿過樣品的紅外光強度。由於樣品吸收了特定波長的光，在該波長處的透射光強度會減弱。結果通常繪製成透射率（Transmittance, T, y 軸，表示有多少光穿過樣品）或吸光度（Absorbance, A, y 軸，與透射率成對數關係）對波数（wavenumber, cm$^{-1}$, x 軸）的圖譜。

儀器結構 (Instrumentation)：
傳統的紅外光譜儀（FTIR - 傅立葉轉換紅外光譜儀）通常包括：

1. 紅外光源 (IR Source)：產生寬帶紅外輻射，如 Globar (SiC) 或 Nernst 燈。
2. 干涉儀 (Interferometer)：FTIR 的核心部件。