109 年 國立臺灣大學環境工程研究所科學與工程甲組《工程數學（H）》

核心觀念

本題考查散度定理（Divergence Theorem）：

$$\iint_S \mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf F\,dV,$$

其中 $S$ 為封閉曲面，且法向量取向外；$V$ 為 $S$ 所包圍的立體區域。

給定

$$\mathbf F(x,y,z)=(x^3,y^3,z^3),$$

其散度為

$$\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial x^3}{\partial x} +\frac{\partial y^3}{\partial y} +\frac{\partial z^3}{\partial z} = 3x^2+3y^2+3z^2.$$

解題方法

由圓錐面

$$x^2+y^2-z^2=0$$

可得

$$x^2+y^2=z^2.$$

題目由平面 $z=1$ 截取上半部圓錐，因此立體區域為

$$0\le z\le 1,\qquad 0\le r\le z,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.$$

使用柱坐標：

$$x^2+y^2=r^2,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.$$

因此

$$\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_V 3(r^2+z^2)\,dV.$$

代入積分範圍：

核心觀念

此題考查「常係數二階齊次線性微分方程」的特徵根法。

對一般形式

$$ay''+by'+cy=0,$$

設解為

$$y=e^{rx},$$

則

$$y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.$$

代回原方程後，可得特徵方程

$$ar^2+br+c=0.$$

若特徵根為共軛複數

$$r=\alpha\pm i\beta,$$

則實數通解為

$$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right).$$

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解題方法

原方程為

$$y''+4y'+5y=0.$$

設

$$y=e^{rx},$$

則

$$y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.$$

代入原方程：

$$r^2e^{rx}+4re^{rx}+5e^{rx}=0.$$

因為 $e^{rx}\neq 0$，可約去 $e^{rx}$，得到特徵方程

$$r^2+4r+5=0.$$

利用公式解二次方程：

$$r=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4(1)(5)}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} =-2\pm i.$$

因此特徵根為

核心觀念

本題考查：

• 乘積微分法則：$(uv)'=u'v+uv'$
• 指數函數微分：$\dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}$
• 對數函數微分：$\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$，定義域為 $x>0$

函數為

$$y=e^{2x}\ln x.$$

因為 $e^{2x}$ 與 $\ln x$ 是兩個函數的乘積，每次微分皆須使用乘積法則。

解題方法

先求一階導數：

$$y'=(e^{2x})'\ln x+e^{2x}(\ln x)'$$ $$y'=2e^{2x}\ln x+e^{2x}\frac{1}{x}$$

整理得

$$y'=e^{2x}\left(2\ln x+\frac{1}{x}\right).$$

再求二階導數。將上一式視為乘積：

$$y''=(e^{2x})'\left(2\ln x+\frac{1}{x}\right) +e^{2x}\left(2\ln x+\frac{1}{x}\right)'.$$

其中

$$\left(2\ln x+\frac{1}{x}\right)' =\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}.$$

因此

$$y''=2e^{2x}\left(2\ln x+\frac{1}{x}\right) +e^{2x}\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right),$$ $$y''=e^{2x}\left(4\ln x+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}\right).$$

最後求三階導數：

1. 設冪級數解與各階導函數

設微分方程之冪級數解為：
$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$

對 $x$ 微分一階與二階：
$y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1}$
$y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n x^{n-2}$

2. 代入微分方程並合併同次項

將 $y(x)$、$y'(x)$、$y''(x)$ 代入方程 $y'' + x^2y' + xy = 0$：
$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n x^{n-2} + \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^{n+1} = 0$

統一各項次方至 $x^k$：

• $y'' = \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) c_{k+2} x^k$
• $x^2 y' = \sum_{k=2}^{\infty} (k-1) c_{k-1} x^k$
• $xy = \sum_{k=1}^{\infty} c_{k-1} x^k$

合併後比較各次方的係數：

• $k=0$ 項：
  $2 c_2 = 0 \implies c_2 = 0$
• $k=1$ 項：
  $6 c_3 + c_0 = 0 \implies c_3 = -\frac{c_0}{6}$
• $k \ge 2$ 項：
  $(k+2)(k+1) c_{k+2} + (k-1) c_{k-1} + c_{k-1} = 0$
  $(k+2)(k+1) c_{k+2} + k c_{k-1} = 0$
  $\implies c_{k+2} = -\frac{k}{(k+2)(k+1)} c_{k-1}$

令 $m = k+2$（即 $m \ge 4$），得到遞迴關係式：
$c_m = -\frac{m-2}{m(m-1)} c_{m-3} \quad (m \ge 4)$

核心觀念

對複數矩陣 $M$：

1. 共軛轉置記為 $M^*$，先轉置再逐元素取複共軛。
2. 若
   $M^*=M,$
   則 $M$ 為 Hermitian 矩陣。
3. 若
   $MM^*=M^*M,$
   則 $M$ 為 Normal 矩陣。
4. 每一個 Hermitian 矩陣皆為 Normal，因為
   $MM^*=M^2=M^*M.$

判斷 Hermitian 時，對二階矩陣

$$M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},$$

必須同時滿足：

• $a,d$ 為實數；
• $c=\overline b$。

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解題方法

先逐一檢查 $M^*=M$，判斷是否為 Hermitian；再比較 $MM^*$ 與 $M^*M$，判斷是否為 Normal。

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矩陣 $A$

$$A= \begin{bmatrix} 3&2+2i\\ 2-2i&2+3i \end{bmatrix}.$$

其共軛轉置為

$$A^*= \begin{bmatrix} 3&2+2i\\ 2-2i&2-3i \end{bmatrix}.$$

雖然非對角元素符合共軛關係，但右下角元素 $2+3i$ 不是實數，因此

$$A^*\ne A.$$

所以 $A$ 不是 Hermitian。

接著判斷 Normal 性質。計算可得

$$AA^*= \begin{bmatrix} 17&16+4i\\ 16-4i&21 \end{bmatrix},$$

而

$$A^*A= \begin{bmatrix} 17&4+16i\\ 4-16i&21 \end{bmatrix}.$$

兩者的 $(1,2)$ 元素不同，因此

$$AA^*\ne A^*A.$$

所以 $A$ 不是 Normal。

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矩陣 $B$

$$B= \begin{bmatrix} 2i&\sqrt3\\ \sqrt3&-2i \end{bmatrix}.$$

其共軛轉置為

$$B^*= \begin{bmatrix} -2i&\sqrt3\\ \sqrt3&2i \end{bmatrix}.$$

因為對角元素 $2i$、$-2i$ 不是實數，所以

$$B^*\ne B.$$

因此 $B$ 不是 Hermitian。

再計算

$$BB^*= \begin{bmatrix} 7&4\sqrt3\,i\\ -4\sqrt3\,i&7 \end{bmatrix},$$

以及

核心觀念

本題考查三維純量場的：

1. 梯度（gradient）的定義。
2. 梯度的散度（divergence of gradient）。
3. 梯度與散度在污染物濃度場中的物理意義。

令污染物濃度為純量函數

$$f(P)=f(x,y,z).$$

其中 $x,y,z$ 為空間座標，$f$ 表示各位置的污染物濃度。

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解題方法與推導

一、純量場的梯度

對純量函數 $f(x,y,z)$，其梯度定義為

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$$

因此，污染物濃度場的梯度為

$$\boxed{ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) }$$

也可寫成行列式形式：

$$\nabla f = \mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z}.$$

梯度是由純量場產生的向量場。

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二、梯度的物理意義

梯度 $\nabla f$ 具有以下兩項重要意義。

1. 梯度方向

$\nabla f$ 指向濃度增加最快的方向。

若取任意單位方向向量 $\mathbf{u}$，沿該方向的方向導數為

$$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}.$$

由柯西—施瓦茲不等式，

$$\nabla f\cdot\mathbf{u} \leq |\nabla f|.$$

當

$$\mathbf{u}=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$$

時，方向導數最大，因此 $\nabla f$ 的方向就是濃度上升最快的方向。

相反地，$-\nabla f$ 指向濃度下降最快的方向。

2. 梯度大小

梯度的大小

$$|\nabla f| = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^2 }$$

代表濃度沿最陡方向的最大空間變化率。

因此：

• $|\nabla f|$ 很大：表示濃度在空間中變化劇烈。
• $|\nabla f|=0$：表示該點附近濃度沒有一階空間變化。
• $\nabla f=\mathbf{0}$：表示該點可能是濃度局部極大、局部極小，或為局部平坦區域。

若濃度在某一等濃度面上保持固定，則沿該等濃度面移動時濃度不變，因此梯度必垂直於等濃度面。

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三、梯度的散度

散度運算子對向量場

$$\mathbf{A}=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k}$$

的定義為

$$\nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.$$

令

$$\mathbf{A}=\nabla f,$$

則

$$\nabla\cdot(\nabla f) = \nabla^2 f.$$

核心概念
此題測驗的是 有理函數的逆拉普拉斯變換，重點在：

1. 當分子次數 $i$ 大於分母次數 $j$ 時，先做 多項式除法，把 $F(s)$ 分解成「多項式」＋「真分式」；
2. 真分式若分母的根皆為 實數且互不重複，可直接利用 部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）寫成 $\displaystyle \sum_{k=1}^{j}\frac{C_k}{s-r_k}$；
3. 每個項 $\displaystyle \frac{C_k}{s-r_k}$ 的逆拉普拉斯就是 指數函數 $C_k e^{r_k t}$（$r_k$ 為根），多項式部分則對應 δ 函數的導數，即 $\displaystyle \mathcal L^{-1}\{s^n\}= \delta^{(n)}(t)$。

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完整解題過程

1. 把 $F(s)$ 轉成「多項式」＋「真分式」

$$F(s)=\frac{p(s)}{q(s)}\qquad p(s)=\sum_{m=0}^{i}A_m s^{m},\;\; q(s)=s^{j}+ \sum_{m=0}^{j-1}B_m s^{m},\;\; i>j$$

使用多項式長除法（或除法演算法）得到

$\frac{p(s)}{q(s)} = Q(s) + \frac{R(s)}{q(s)},$

其中

• $Q(s)$ 為次數為 $i-j$ 的多項式（除得的商），
• $R(s)$ 為次數小於 $j$ 的餘式（$\deg R < \deg q$）。

為什麼要除法？
拉普拉斯變換的表格主要給出 真分式（分子次數 < 分母次數）的逆變換。把高次分子先除掉，才能套用已知的逆變換公式。

2. 因式分解分母並寫出部分分式

根據題意，$q(s)=0$ 有 $j$ 個 實數且不重複 的根，記為

$q(s)=\prod_{k=1}^{j}\bigl(s-r_k\bigr),\qquad r_k\in\mathbb R,\; r_k\neq r_\ell\ (k\neq\ell).$

對於真分式 $\displaystyle \frac{R(s)}{q(s)}$ 作部分分式分解（簡稱 PF），得到唯一表示

$\frac{R(s)}{q(s)}=\sum_{k=1}^{j}\frac{C_k}{s-r_k},$

其中係數 $C_k$ 為 簡單極點的留數，可直接計算：

$\boxed{\,C_k=\frac{R(r_k)}{q'(r_k)}\,}$

為什麼用留數公式？
若 $q(s)=\prod (s-r_k)$ 且根不重複，則

$$> \operatorname*{Res}_{s=r_k}\frac{R(s)}{q(s)}=\frac{R(r_k)}{q'(r_k)}, >$$

這正是部分分式中分子係數的值。

3. 逆拉普拉斯變換

3.1 多項式部分 $Q(s)$

對於 $\displaystyle Q(s)=\sum_{m=0}^{i-j} d_m s^{m}$（$d_m$ 為商的係數），使用拉普拉斯變換表

$\mathcal L\{ \delta^{(m)}(t) \}=s^{m},$

因此

$\boxed{\mathcal L^{-1}\{Q(s)\}= \sum_{m=0}^{i-j} d_m\,\delta^{(m)}(t)}.$

在工程數學題目中，若不要求顯式列出 δ 函數，可直接寫「$Q(s)$ 產生 $i-j+1$ 個 Dirac 脈衝及其導數」。

3.2 真分式部分

對每個項使用已知公式

$\mathcal L^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-r_k}\right\}=e^{\,r_k t},\qquad t\ge 0,$

乘上係數 $C_k$ 後

$\boxed{\mathcal L^{-1}\!\left\{\frac{C_k}{s-r_k}\right\}=C_k\,e^{\,r_k t}}.$

將所有項相加得到