115 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《工程數學》

核心觀念

本題為常係數二階非齊次線性微分方程式：

$$y''-8y'+16y=6e^{4x}+12x-5.$$

左側微分算子可因式分解為

$$D^2-8D+16=(D-4)^2.$$

因此先求齊次解，再利用待定係數法求特解。由於右側的 $e^{4x}$ 與齊次解產生共振，特解形式須乘上足夠次方的 $x$。

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解題方法

一、求齊次解

對應的齊次方程式為

$$y''-8y'+16y=0.$$

特徵方程式為

$$r^2-8r+16=0$$

即

$$(r-4)^2=0.$$

因此 $r=4$ 為二重根，齊次解為

$$y_h=(C_1+C_2x)e^{4x}.$$

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二、求非齊次特解

將右側分成兩部分：

$$6e^{4x}+12x-5.$$

分別求其特解。

（1）對 $6e^{4x}$ 求特解

因為 $e^{4x}$ 已經出現在齊次解中，且特徵根 $r=4$ 的重數為 $2$，待定係數形式須乘上 $x^2$：

$$y_{p1}=Ax^2e^{4x}.$$

利用算子形式：

$$(D-4)^2y_{p1}=6e^{4x}.$$

令

$$y_{p1}=e^{4x}v,$$

則有

$$(D-4)^2(e^{4x}v)=e^{4x}v''.$$

由 $v=Ax^2$，可得

$$v''=2A.$$

因此

$$e^{4x}(2A)=6e^{4x},$$

所以

$$2A=6,\qquad A=3.$$

故

$$y_{p1}=3x^2e^{4x}.$$

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（2）對 $12x-5$ 求特解

右側為一次多項式，設

$$y_{p2}=ax+b.$$

則

$$y_{p2}'=a,\qquad y_{p2}''=0.$$

代入左側：

$$y_{p2}''-8y_{p2}'+16y_{p2} =0-8a+16(ax+b).$$

整理得

$$16ax+(16b-8a).$$

`

與 $12x-5$ 比較係數：

核心觀念

本題考查週期為 $2\pi$ 的傅立葉級數。對定義在 $(-\pi,\pi)$ 的函數，傅立葉級數寫成

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$

其中

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$

因為 $f(x)=0$ 於 $-\pi<x<0$，所有積分皆可縮減為 $[0,\pi]$ 上的積分。

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解題方法

題目函數為

$$f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\ x, & 0<x<\pi. \end{cases}$$

1. 計算 $a_0$

$$a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\,dx.$$

因此

$$a_0 =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} =\frac{\pi}{2}.$$

所以常數項為

$$\frac{a_0}{2}=\frac{\pi}{4}.$$

2. 計算 $a_n$

$$a_n =\frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos nx\,dx.$$

利用分部積分，令

$$u=x,\qquad dv=\cos nx\,dx,$$

則

$$du=dx,\qquad v=\frac{\sin nx}{n}.$$

因此

$$\int x\cos nx\,dx =\frac{x\sin nx}{n}-\frac{1}{n}\int\sin nx\,dx =\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}.$$

代入上下限：

$$\int_0^\pi x\cos nx\,dx = \left[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^\pi.$$

由於 $\sin n\pi=0$、$\cos n\pi=(-1)^n$，得到

$$\int_0^\pi x\cos nx\,dx =\frac{(-1)^n-1}{n^2}.$$

故

$$a_n=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}.$$

依 $n$ 的奇偶性可寫成

$$a_n= \begin{cases} 0, & n\text{ 為偶數},\\[4pt] -\dfrac{2}{\pi n^2}, & n\text{ 為奇數}. \end{cases}$$

3. 計算 $b_n$

核心觀念

本題考查：

1. 二次型函數的梯度。
2. 散度與拉普拉斯算子之關係：
   $\nabla\cdot(\nabla\Phi)=\nabla^2\Phi$
3. 梯度場的旋度恒為零：
   $\nabla\times(\nabla\Phi)=\mathbf 0$
   前提是 $\Phi$ 的二階偏導數連續。

令

$$X=\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}, \qquad \Phi(X)=\frac12X^TA^{-1}X.$$

特別注意：題目中的 $A$ 並非對稱矩陣，因此不能直接將 $\nabla\Phi$ 寫成 $A^{-1}X$。正確公式為

$$\nabla\left(\frac12X^TBX\right) =\frac12(B+B^T)X,$$

其中 $B=A^{-1}$。

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解題方法

1. 計算 $A^{-1}$

給定

$$A= \begin{bmatrix} 2&1&0\\ 1&1&1\\ 0&2&1 \end{bmatrix}.$$

其行列式為

$$\det A =2 \begin{vmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{vmatrix} =2(1-2)-1=-3\neq 0.$$

因此 $A$ 可逆，且

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac13&\frac13&-\frac13\\[4pt] \frac13&-\frac23&\frac23\\[4pt] -\frac23&\frac43&-\frac13 \end{bmatrix}.$$

令

$$B=A^{-1}.$$

由二次型梯度公式，

$$\nabla\Phi = \frac12(B+B^T)X.$$

計算對稱部分：

$$\frac12(B+B^T) = \begin{bmatrix} \frac13&\frac13&-\frac12\\[4pt] \frac13&-\frac23&1\\[4pt] -\frac12&1&-\frac13 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\nabla\Phi = \begin{bmatrix} \frac13u+\frac13v-\frac12w\\[4pt] \frac13u-\frac23v+w\\[4pt] -\frac12u+v-\frac13w \end{bmatrix}.$$

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2. 計算 $\nabla\cdot(\nabla\Phi)$

散度為

$$\nabla\cdot(\nabla\Phi) = \frac{\partial}{\partial u}(\nabla\Phi)_u + \frac{\partial}{\partial v}(\nabla\Phi)_v + \frac{\partial}{\partial w}(\nabla\Phi)_w.$$

代入各分量：

$$\begin{aligned} \nabla\cdot(\nabla\Phi) &= \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac13u+\frac13v-\frac12w\right)\\ &\quad+ \frac{\partial}{\partial v} \left(\frac13u-\frac23v+w\right)\\ &\quad+ \frac{\partial}{\partial w} \left(-\frac12u+v-\frac13w\right)\\ &=\frac13-\frac23-\frac13\\ &=-\frac23. \end{aligned}$$

核心觀念

左乘轉換定義為

$$L_A(x)=Ax,$$

其中 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，$x\in\mathbb{R}^n$。

題目中的集合

$$M=\{x\in\mathbb{R}^n\mid L_A(x)=b\}$$

是線性方程組 $Ax=b$ 的全部解集合。已知存在一個特定解 $s\in M$，因此

$$L_A(s)=b.$$

而

$$\operatorname{Ker}(L_A)=\{v\in\mathbb{R}^n\mid L_A(v)=0\}$$

表示齊次方程 $Ax=0$ 的解空間。

本題要證明：非齊次方程 $Ax=b$ 的所有解，等於一個特定解 $s$ 加上齊次方程的所有解。這種集合稱為核空間的平移，也就是一個仿射集合。

其中

$$\{s\}+\operatorname{Ker}(L_A) = \{s+v\mid v\in\operatorname{Ker}(L_A)\}.$$

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解題方法

採用集合相等的標準證明方式，分別證明雙包含關係：

1. $M\subseteq \{s\}+\operatorname{Ker}(L_A)$；
2. $\{s\}+\operatorname{Ker}(L_A)\subseteq M$。

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第一部分：證明 $M\subseteq \{s\}+\operatorname{Ker}(L_A)$

任取 $x\in M$。

由 $M$ 的定義可知

$$L_A(x)=b.$$

又因為 $s\in M$，所以

$$L_A(s)=b.$$

考慮 $x-s$，利用線性轉換的線性性質：

$$L_A(x-s)=L_A(x)-L_A(s).$$

代入 $L_A(x)=b$ 與 $L_A(s)=b$：

$$L_A(x-s)=b-b=0.$$

因此

$$x-s\in\operatorname{Ker}(L_A).$$

令

$$v=x-s,$$

則 $v\in\operatorname{Ker}(L_A)$，且

$$x=s+v.$$

所以

$$x\in\{s\}+\operatorname{Ker}(L_A).$$

由 $x$ 是任意取自 $M$，得到

$$M\subseteq \{s\}+\operatorname{Ker}(L_A).$$

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第二部分：證明 $\{s\}+\operatorname{Ker}(L_A)\subseteq M$

任取