114 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所甲組《工程數學》

核心觀念

原式為一階微分方程

$$-2xy\,dx+(3x^2+y^2)\,dy=0.$$

整理成 $dy/dx$ 的形式：

$$(3x^2+y^2)\frac{dy}{dx}=2xy,$$

因此

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{3x^2+y^2}.$$

右側的分子、分母皆為二次齊次式，可改寫成只含 $y/x$ 的函數，適合使用齊次微分方程代換：

$$y=vx.$$

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解題方法

令

$$y=vx,$$

則

$$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.$$

代入原微分方程：

$$v+x\frac{dv}{dx} =\frac{2x(vx)}{3x^2+v^2x^2} =\frac{2v}{3+v^2}.$$

所以

$$x\frac{dv}{dx} =\frac{2v}{3+v^2}-v =-\frac{v(1+v^2)}{3+v^2}.$$

分離變數：

$$\frac{3+v^2}{v(1+v^2)}\,dv=-\frac{dx}{x}.$$

將左側作部分分式分解：

$$\frac{v^2+3}{v(v^2+1)} =\frac{3}{v}-\frac{2v}{v^2+1}.$$

因此

$$\int\left(\frac{3}{v}-\frac{2v}{v^2+1}\right)dv =-\int\frac{dx}{x}.$$

積分得

$$3\ln|v|-\ln(v^2+1)=-\ln|x|+C.$$

代回 $v=y/x$：

1. 求解齊次系統之基本解矩陣 $\Phi(t)$

考慮齊次微分方程組 $y' = Ay$，其中 $A = \begin{bmatrix} 0 & -9 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$。

利用拉普拉斯變換求矩陣指數 $\Phi(t) = e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\{(sI - A)^{-1}\}$：

$(sI - A)^{-1} = \begin{bmatrix} s & 9 \\ -1 & s \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{s^2 + 9} \begin{bmatrix} s & -9 \\ 1 & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{s}{s^2 + 9} & \frac{-9}{s^2 + 9} \\ \frac{1}{s^2 + 9} & \frac{s}{s^2 + 9} \end{bmatrix}$

取逆變換得基本解矩陣：

$\Phi(t) = \begin{bmatrix} \cos 3t & -3\sin 3t \\ \frac{1}{3}\sin 3t & \cos 3t \end{bmatrix}$

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2. 應用參數變異法 (Method of Variation of Parameters)

設微分方程 $y' = Ay + g$ 的解為 $y(t) = \Phi(t) u(t)$，其中 $u(t) = \begin{bmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{bmatrix}$。

將 $y(t)$ 代入原式：

$\Phi'(t) u(t) + \Phi(t) u'(t) = A \Phi(t) u(t) + g(t)$

因 $\Phi'(t) = A \Phi(t)$，化簡得：

$\Phi(t) u'(t) = g(t)$

核心觀念

本題考察一維熱方程式的分離變數法。對於

$$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, \qquad 0\le x\le L,\ t\ge0$$

配合齊次邊界條件

$$u(0,t)=u(L,t)=0,$$

其空間特徵函數為

$$\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots$$

相對應的時間衰減因子為

$$e^{-c^2(n\pi/L)^2t}.$$

本題初始條件恰好是單一特徵函數

$$u(x,0)=5\sin\frac{3\pi x}{L},$$

因此不需要展開成無窮級數，只需取第 $3$ 個模態即可。

解題方法：分離變數法

設解為

$$u(x,t)=X(x)T(t).$$

代入偏微分方程式：

$$X(x)T'(t) = c^2X''(x)T(t).$$

兩邊除以 $c^2X(x)T(t)$，得到

$$\frac{T'(t)}{c^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,$$

其中 $\lambda$ 為分離常數。於是分成兩個常微分方程式：

$$X''+\lambda X=0,$$

以及

$$T'+c^2\lambda T=0.$$

空間部分

邊界條件給出

$$u(0,t)=X(0)T(t)=0, \qquad u(L,t)=X(L)T(t)=0.$$

因此

$$X(0)=0,\qquad X(L)=0.$$

對於非零解，$\lambda$ 必須為正，令

$$\lambda=\mu^2.$$

則

$$X(x)=A\cos\mu x+B\sin\mu x.$$

由 $X(0)=0$ 得

$$A=0,$$

所以

$$X(x)=B\sin\mu x.$$

再由 $X(L)=0$：

$$B\sin\mu L=0.$$

取非零解 $B\ne0$，必須滿足

$$\sin\mu L=0,$$

因此

$$\mu L=n\pi, \qquad \mu=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots$$

故特徵值與特徵函數為

$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,$$

觀念重點

曲面積分可化為在 $xy$ 平面投影區域 $R_{xy}$ 上的二重積分。
對曲面 $S: z = g(x,y) = 4 - 2x - 2y$，其向上法向量與面積元素組合為：
$\mathbf{n} \, dA = \left( -\frac{\partial z}{\partial x} \mathbf{i} - \frac{\partial z}{\partial y} \mathbf{j} + \mathbf{k} \right) dx dy = (2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) \, dx dy$

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計算步驟

1. 向量點積計算：
   $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dA = (2x\mathbf{i} - y\mathbf{j}) \cdot (2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) \, dx dy = (4x - 2y) \, dx dy$

2. 確定有效積分區域 $R_{xy}$：
   由於邊界限制 $0 \leq x \leq 2-y$ 且 $x \geq 0$，隱含

核心觀念

本題考查高斯函數的傅立葉轉換。採用工程數學常見定義

$$\mathcal{F}\{f(x)\}(\omega) =F(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx.$$

需使用以下觀念：

1. 高斯積分

   $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}},\qquad a>0.$$

2. 傅立葉轉換的微分與積分技巧，將轉換結果化為一階微分方程。

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解題方法

題目給定

$$f(x)=e^{-3x^2}.$$

其傅立葉轉換為

$$F(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-3x^2}e^{-i\omega x}\,dx.$$

直接對複數指數完成平方亦可求解，但利用微分方程能清楚保留高斯函數的結構。

對 $F(\omega)$ 對 $\omega$ 微分：

$$F'(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}(-ix)e^{-3x^2}e^{-i\omega x}\,dx.$$

令

$$J(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x e^{-3x^2}e^{-i\omega x}\,dx,$$

則

$$F'(\omega)=-iJ(\omega),$$

因此

$$J(\omega)=iF'(\omega).$$

另一方面，因為被積函數在 $x\to\pm\infty$ 時趨近於 $0$，所以

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \left(e^{-3x^2}e^{-i\omega x}\right)\,dx=0.$$

計算微分：

$$\frac{d}{dx} \left(e^{-3x^2}e^{-i\omega x}\right) = (-6x-i\omega)e^{-3x^2}e^{-i\omega x}.$$

故

$$-6J(\omega)-i\omega F(\omega)=0.$$

代入 $J(\omega)=iF'(\omega)$：