此題考驗傾斜試驗的基本原理與計算。傾斜試驗的目的是測量船隻的重心位置，進而計算其穩心高度。

核心觀念：
傾斜試驗藉由移動船上的重物，使船體產生傾斜，透過測量鉛錘線的偏移量，可以計算出船隻的重心橫向位移，進而推算出重心高度。穩心高度 $GM$ 與船體排水量 $W$、重物質量 $m$、重物移動距離 $d$、傾斜試驗尺的長度 $l$ 以及鉛錘線偏移量 $x$ 有關。

解題步驟：

1. 計算傾斜力矩 (Moment to incline):
   移動重物產生的力矩是使船體傾斜的原因。
   力矩 $M_i = m \times d$
   其中：
   $m$ = 移動重物的質量 = $25$ 公噸
   $d$ = 重物移動的水平距離 = $15$ 公尺
   $M_i = 25 \text{ 公噸} \times 15 \text{ 公尺} = 375 \text{ 公噸-公尺}$

2. 計算橫移力矩 (Moment due to shift):
   在傾斜試驗中，我們會將重物從一側移動到另一側，這個移動的重物所產生的力矩，會導致船體產生傾斜。
   重物移動的水平距離 $d = 15$ 公尺。
   由於題目敘述「將甲板上 25 公噸重物橫移 15 公尺」，這裡的「橫移」指的是從船的中心線移動到某個位置，或是從一側移動到另一側。通常傾斜試驗是將重物從一舷移動到另一舷，其移動距離為船寬。但題目給的 $15$ 公尺，並未明確指出是總移動距離還是單側移動距離。一般情況下，題目會指明「從一舷移至另一舷」，則移動距離為船寬。若題目只說「橫移 $15$ 公尺」，則 $15$ 公尺就是重物移動的水平距離 $d$。
   若題目意指重物從一舷移動到另一舷，且移動距離為 $15$ 公尺，則 $d=15$ 公尺。
   若題目意指重物從船中線移動到某側 $15$ 公尺，則移動距離 $d=15$ 公尺。
   我們假設 $d = 15$ 公尺。

   更精確的說法是，傾斜試驗的力矩是 $m \times d_{shift}$，其中 $d_{shift}$ 是重物質心的水平移動距離。題目給的 $15$ 公尺，我們假設就是這個 $d_{shift}$。

   修正： 題目敘述「將甲板上 25 公噸重物橫移 15 公尺」。這裡的 $15$ 公尺應該是指重物從一側移動到另一側的總水平移動距離。因此，重物移動的力臂是 $15$ 公尺。
   $M_i = m \times d = 25 \text{ 公噸} \times 15 \text{ 公尺} = 375 \text{ 公噸-公尺}$

3. 計算橫移力矩 (Moment due to shift):
   題目敘述「船舶上長 4 公尺之傾斜試驗鉛錘線產生 20 公分之橫移」。
   此處的「船舶上長 4 公尺」是指傾斜試驗尺的長度 $l = 4$ 公尺。
   鉛錘線的橫移量 $x = 20$ 公分 $= 0.2$ 公尺。

此題要求定義幾個船舶設計中常用的幾何係數和位置參數。這些係數用於描述船體的形狀，並與船舶的性能（如總體阻力、穩性、載重能力等）密切相關。

核心觀念：
這些係數都是船舶設計中用於量化船體形狀的指標，通常是實際體積或面積與一個基準長方體（或矩形）的比例。

定義：

1. 水線面積係數 ($C_w$, Waterplane Area Coefficient):
   定義為船體水線面面積 $A_w$ 與一個等效長方形面積（長度為船長 $L$，寬度為船寬 $B$）之比。
   $C_w = \frac{A_w}{L \times B}$
   其中：
   $A_w$：船體在特定吃水下的水線面（甲板與水面交線所圍成的面積）。
   $L$：船長 (Length overall 或 Length between perpendiculars)。
   $B$：船寬 (Breadth)。
   $C_w$ 反映了水線面的寬窄程度。較大的 $C_w$ 表示水線面較寬，有利於提高船舶的初穩性（尤其是在中等傾角時），但可能增加濕表面積，進而影響摩擦阻力。

2. 船體橫截面係數 ($C_M$, Midship Section Coefficient):
   定義為船體最大橫截面（通常位於船體中部）的實際面積 $A_m$ 與一個等效長方形面積（寬度為船寬 $B$，高度為吃水 $T$）之比。
   $C_M = \frac{A_m}{B \times T}$
   其中：
   $A_m$：船體最大橫截面（通常位於船的中部）的實際面積。
   $B$：船寬。
   $T$：吃水 (Draft)。
   $C_M$ 反映了船體中部橫截面的飽滿程度。較大的 $C_M$ 表示船體中部較為飽滿，通常與較大的排水體積和載重能力相關，但也可能增加興波阻力。

3. 方塊係數 ($C_B$, Block Coefficient):
   定義為船體的總排水體積 $V$ 與一個基準長方體（長度為船長 $L$，寬度為船寬 $B$，高度為吃水 $T$）之比。
   $C_B = \frac{V}{L \times B \times T}$
   其中：
   $V$：船體在特定吃水下的排水體積。
   $L$：船長。
   $B$：船寬。
   $T$：吃水。
   $C_B$ 是最常用的綜合性係數，它反映了船體整體飽滿程度。大型貨船、油輪等通常有較大的 $C_B$ (0.7-0.9)，表示船體較為方正，載貨空間大。高速船舶、軍艦等則有較小的 $C_B$ (0.4-0.6)，表示船體較為瘦長，以減少阻力。

4. 矜塊係數 ($C_P$, Prismatic Coefficient):

此題考驗數值積分的基本方法，即辛普森法則，用於計算由離散數據點定義的曲線下的面積。題目要求分別使用辛普森第一法則和辛普森第二法則來計算圖中曲線下的面積。

核心觀念：
辛普森法則是一類利用多項式逼近曲線來進行積分的方法。辛普森第一法則使用二次多項式（拋物線），辛普森第二法則使用三次多項式來逼近曲線。

圖示分析：
從圖中可以看出，曲線被分割成若干個等寬的條帶。
橫軸為 $x$，縱軸為 $y$。
圖中標示了幾個縱坐標值：$y_0, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6$。
這些縱坐標值對應於橫軸上等距的點，點之間的距離為 $h$。
總共有 $6$ 個區間，因此有 $7$ 個數據點。
這意味著我們可以使用辛普森法則，因為辛普森法則要求區間數量必須是偶數（對應奇數個數據點）。

辛普森第一法則 (Simpson's 1/3 Rule):
辛普森第一法則使用二次多項式逼近曲線。它將偶數個區間（奇數個點）分成若干組，每組包含兩個區間，並用一個二次多項式（拋物線）來擬合這三個點。
公式為：
$A \approx \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + 2y_4 + \dots + 4y_{n-1} + y_n]$
其中 $n$ 是區間的數量（必須是偶數），$h$ 是每個區間的寬度。

根據圖示，我們有 $n=6$ 個區間，$h$ 是每個區間的寬度。
數據點的 $y$ 值為：$y_0, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6$。

應用辛普森第一法則：
$A_1 = \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + 2y_4 + 4y_5 + y_6]$

辛普森第二法則 (Simpson's 3/8 Rule):
辛普森第二法則使用三次多項式逼近曲線。它將區間數量 $n$ 必須是 3 的倍數（即數據點數量為 $3k+1$）。它將曲線分成若干組，每組包含三個區間，並用一個三次多項式來擬合這四個點。
公式為：
$A \approx \frac{3h}{8} [y_0 + 3y_1 + 3y_2 + 2y_3 + 3y_4 + 3y_5 + 2y_6 + \dots]$

此題要求討論幾個重要的船舶幾何參數以及船艉形狀對船舶總阻力的影響。船舶阻力是影響船舶航行效率和能耗的關鍵因素，因此理解這些參數的作用至關重要。

核心觀念：
船舶總阻力主要由摩擦阻力、興波阻力、黏性壓差阻力（或稱形狀阻力）和空氣阻力組成。這些幾何參數和船艉形狀會通過影響船體的濕表面積、水線面形狀、船體飽滿度、船體流體動力學特性等，進而影響各分項阻力。

各參數對船舶阻力的影響：

1. 水線面積係數 ($C_w$)

   • 定義： $C_w = \frac{A_w}{L \times B}$，其中 $A_w$ 是水線面面積，$L$ 是船長，$B$ 是船寬。
   • 影響：
     • 興波阻力： $C_w$ 較大（水線面較寬）通常意味著船體較為飽滿，在相同船長下，船體的湧浪效應可能更顯著，尤其是在特定航速範圍內（如 $Fn$ 較高時），可能導致興波阻力增加。反之，較小的 $C_w$（船體較瘦長）通常有較低的興波阻力。
     • 摩擦阻力： $C_w$ 的大小與船體的濕表面積（Wetted Surface Area, $S$) 有關。一般來說，較大的 $C_w$ 伴隨著較大的濕表面積，進而導致較大的摩擦阻力。
     • 初穩性： $C_w$ 對初穩性有重要影響。較大的 $C_w$ 通常能提供較大的水線面慣性矩，從而提高初穩性。但穩性與阻力是需要權衡的。

2. 方塊係數 ($C_B$)

   • 定義： $C_B = \frac{V}{L \times B \times T}$，其中 $V$ 是排水體積，$L$ 是船長，$B$ 是船寬，$T$ 是吃水。
   • 影響：
     • 總體阻力： $C_B$ 是衡量船體飽滿度的重要指標。
       • 較大的 $C_B$ (如貨船、油輪)： 船體較為方正，排水體積大。這通常意味著較大的濕表面積，導致較高的摩擦阻力和較高的黏性壓差阻力。同時，由於船體較為飽滿，興波阻力也可能較高，尤其是在高速時。
       • 較小的 $C_B$ (如高速艇、軍艦)： 船體較為瘦長，阻力較小。這主要體現在較低的摩擦阻力和興波阻力。
     • 影響範圍： $C_B$ 對摩擦阻力、興波阻力和黏性壓差阻力都有顯著影響。

3. 船長船寬比 ($L/B$)

   • 定義： 船長與船寬的比值。
   • 影響：
     • 興波阻力： $L/B$ 較大（船體瘦長）通常意味著較低的興波阻力，因為船體能更好地「切開」水波，減少波浪的產生。這也是高速船舶通常具有較高 $L/B$ 比值的原因。
     • 摩擦阻力： 在相同排水量下，較高的 $L/B$ 比值意味著船體較長且較窄，這會增加濕表面積，從而可能增加摩擦阻力。但通常興波阻力的降低效應更為顯著。
     • 操縱性： 高 $L/B$ 比值會降低船的轉向靈活性。

4. 吃水船寬比 ($T/B$)

   • 定義： 吃水與船寬的比值。
   • 影響：

此題考驗對船舶舵操縱性能的理解。舵是船舶最重要的操縱裝置之一，其性能直接影響船舶的轉向能力、穩定性和安全性。

核心觀念：
船舶的操縱性能主要體現在其轉向能力（轉向角度、轉向時間、轉向半徑）和穩定性（抵抗外力干擾的能力）。舵的性能由其幾何參數、工作條件以及與船體的相對位置決定。

影響舵操縱性能的參數：

1. 舵的幾何參數：

   • 舵面積 (Rudder Area, $A_R$)：
     • 定義： 舵葉的總面積。
     • 影響： 舵面積越大，在相同舵角和相同船速下，產生的舵力矩越大，轉向越靈敏，轉向所需時間越短，轉向半徑越小。然而，過大的舵面積會增加舵的結構負荷、操縱力矩需求，並可能增加阻力。
   • 舵高 (Rudder Height, $h_R$) 與舵寬 (Rudder Chord, $c_R$)：
     • 定義： 舵葉的總高度（通常是船體吃水的一部分）和舵葉的弦長（與船體橫截面方向平行）。
     • 影響： 舵高和舵寬的比值（即舵的寬深比，Aspect Ratio, $AR = h_R / c_R$）非常重要。
       • 高寬比 ($AR$)： 高寬比越大（舵葉越高越窄），在相同舵角下，舵產生的升力係數通常越高，舵力矩越大，操縱性能越好。這是因為高寬比大的舵葉能更有效地利用周圍的水流，減少翼尖渦的影響。
       • 弦長 ($c_R$)： 較大的弦長意味著舵的整體尺寸較大，能產生較大的力。
   • 舵的剖面形狀 (Rudder Profile)：
     • 定義： 舵葉的橫截面形狀，通常設計成翼型（Airfoil-like shape），類似於飛機的機翼。
     • 影響： 良好的翼型設計能最大化升力係數，最小化阻力係數，從而提高舵的效率。例如，非對稱翼型（如 NACA系列）比對稱翼型在產生升力方面更有效。

2. 舵與船體的相對位置：

   • 舵的位置 (Rudder Position)： 舵通常安裝在船尾，靠近螺旋槳。
     • 影響： 舵的位置與螺旋槳的相對位置非常關鍵。
       • 在螺旋槳後方 (Post-swirl)： 螺旋槳旋轉後的水流（旋渦流）流經舵葉，會產生額外的升力，增加舵的效率。這也是大多數船舶採用此佈局的原因。
       • 在螺旋槳前方 (Pre-swirl)： 舵葉將會受到未經螺旋槳加速的水流影響，效率相對較低。
   • 舵的安裝角度 (Rudder Angle)：
     • 定義： 舵葉與船體中心線或水流方向的夾角。

核心觀念

本題旨在測驗船舶流體力學中船舶總阻力（Total Ship Resistance, $R_T$）的物理組成與機制分類。

在造船原理中，船舶在水面航行所受之總阻力，依據流體物理特性（黏性效應、重力波浪效應）、作用介質（水、空氣）及船體幾何結構（主船體、附屬物），可細分為不同物理成因之阻力分量。考生需清楚掌握各分量之「物理成因」、「作用機制」以及「主要支配參數（相似準則）」。

$$R_T = R_F + R_{PV} + R_W + R_{APP} + R_{AA}$$

其中：

• 黏性效應相關：摩擦阻力 $R_F$、黏性壓差阻力 $R_{PV}$（兩者合稱為黏性阻力 $R_V$）
• 重力自由液面效應相關：興波阻力 $R_W$
• 幾何部件與周圍介質：附屬物阻力 $R_{APP}$、空氣阻力 $R_{AA}$

---

解題方法

回答造船原理的名詞定義題時，若僅用日常口語簡述難以取得高分。標準的「參考書等級」作答結構應針對每一項阻力包含以下三項要素：

1. 物理機制定義：流場現象與力的本質（切應力或壓力積分）。
2. 產生原因：邊界層、自由表面波動、流場分離或幾何形狀干擾。
3. 主導物理參數／無因次參數：如雷諾數（Reynolds number, $Re$）、福祿數（Froude number, $Fr$）、形狀因子（Form factor, $k$）等。

---

各項阻力定義詳解

1. 摩擦阻力（Frictional Resistance, $R_F$）

• 定義：流體（水）具有黏性，當船舶在水中前進時，水分子與船體濕表面（Wetted Surface Area）產生相對運動，使船體表面受到切線方向的切應力（Shear stress, $\tau_w$）。將全船濕表面之表面切應力在船舶航行前進方向進行面積分所得到的總合力，即稱為摩擦阻力。
• 支配參數：主要受流體黏性與船速主導，為雷諾數（$Re = \frac{VL}{\nu}$）及船體表面粗糙度之函數。
• 計算基礎：在二維等效平板理論中，摩擦阻力係數 $C_F$ 常藉由 ITTC-1957 相關公式估算： $$C_F = \frac{0.075}{(\log_{10} Re - 2)^2}$$

2. 興波阻力（Wave-Making Resistance, $R_W$）

• 定義：船舶在自由液面（水面）航行時，因船體周圍流場壓力變化造成水面隆起與下陷，進而激發出一組向外傳播的重力波系統（包含船艏波、船艉波、發散波與橫波）。船舶持續克服重力場將能量傳遞給波浪系統並向遠方擴散，所耗散之能量在船體運動反方向上所體現的阻力，即為興波阻力。
• 支配參數：由重力效應主導，為福祿數（$Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$）與船體水線幾何線型（如進流角、稜面係數 $C_P$）之函數。

3. 黏性壓差阻力（Viscous Pressure Resistance, $R_{PV}$）

• 定義：流體黏性使船體表面形成邊界層（Boundary layer），邊界層自船艏沿船身向後發展並在船艉增厚或產生流場分離（Flow separation/eddy making）。此現象破壞了理想無黏流體中前後對稱的壓力分佈，使得船艉的靜壓無法完全恢復至動壓水平，導致作用於船體表面之法向壓力在前後方向產生不平衡的靜壓差合力，此因黏性效應所引發的壓差阻力稱為黏性壓差阻力（亦常涵蓋形狀阻力與渦流阻力）。
• 支配參數：主要受雷諾數 $Re$、船體肥瘦度（如方形係數 $C_B$、長寬比 $L/B$）與船艉線型平順度影響。現代阻力分解法常利用三維形狀因子（Form factor, $k$）將其與摩擦阻力關聯：

核心觀念

本題考查船舶縱向強度中的：

• 單位船長重量分佈 $w(x)$ 與浮力分佈 $b(x)$。
• 淨載重分佈
  $q(x)=b(x)-w(x)$
• 剪力與彎矩關係
  $\frac{dV}{dx}=q(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)$
• 艉、艏端為自由端，因此
  $V\left(-\frac L2\right)=M\left(-\frac L2\right)=0$
• 對稱船體的剪力曲線為反對稱，彎矩曲線為對稱；最大剪力出現在 $q(x)=0$ 的位置，最大彎矩出現在 $V(x)=0$ 的位置。

以下取船舯為原點，$x$ 軸由艉向艏，船長範圍為

$-\frac L2\le x\le \frac L2$

並採用「向上浮力為正」的符號 convention。

---

一、重量分佈

兩船排水量皆為 $W$，且單位船長重量分佈為常數，因此

$w(x)=\frac WL$

重量曲線為一條高度固定的水平線，其總面積為

$\int_{-L/2}^{L/2}\frac WL\,dx=W$

---

二、A 船：二次拋物線浮力分佈

由題目所給的剪力最大位置 $L/\sqrt{12}$ 可知，符合本題數據的二次拋物線浮力分佈為船舯較小、兩端較大的形式：

$b_A(x)=\frac{W}{2L}+\frac{6Wx^2}{L^3}$

驗證其總浮力：

$$\begin{aligned} \int_{-L/2}^{L/2}b_A(x)\,dx &=\frac{W}{2L}L+ \frac{6W}{L^3}\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\frac W2+\frac{6W}{L^3}\cdot\frac{L^3}{12}\\ &=W \end{aligned}$$

因此符合排水量條件。

1. 淨載重曲線

$$\begin{aligned} q_A(x) &=b_A(x)-w(x)\\ &=\frac{W}{2L}+\frac{6Wx^2}{L^3}-\frac WL\\ &=\frac WL\left(\frac{6x^2}{L^2}-\frac12\right) \end{aligned}$$

這是一條向上的二次曲線：

• 船舯 $x=0$ 時，$q_A=-W/(2L)$，表示重量大於浮力。
• 兩端附近 $q_A>0$，表示浮力大於重量。
• $q_A=0$ 的位置為剪力極值位置。

2. 剪力曲線

由

$\frac{dV_A}{dx}=q_A(x)$

並利用 $V_A(-L/2)=0$，得

$$\begin{aligned} V_A(x) &=\int_{-L/2}^{x}q_A(\xi)\,d\xi\\ &=\frac WL\left(-\frac x2+\frac{2x^3}{L^2}\right) \end{aligned}$$

令剪力極值位置滿足

$\frac{dV_A}{dx}=q_A(x)=0$

則

$$\frac{6x^2}{L^2}-\frac12=0$$

因此

$x^2=\frac{L^2}{12},\qquad |x|=\frac{L}{\sqrt{12}}$

故自船舯至最大剪力位置為

$\boxed{\frac{L}{\sqrt{12}}}$

代入 $x=-L/\sqrt{12}$：

$$\begin{aligned} |V_{A,\max}| &=\frac WL\left| -\frac{x}{2}+\frac{2x^3}{L^2} \right|\\ &=\boxed{\frac{W}{6\sqrt3}} \end{aligned}$$

3. 彎矩曲線

由

$\frac{dM_A}{dx}=V_A(x)$

並利用 $M_A(-L/2)=0$：

$$\begin{aligned} M_A(x) &=\int_{-L/2}^{x}V_A(\xi)\,d\xi\\ &=\frac WL\left( -\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{2L^2} +\frac{L^2}{32} \right) \end{aligned}$$

最大彎矩出現在

$\frac{dM_A}{dx}=V_A(x)=0$

由

$-\frac x2+\frac{2x^3}{L^2}=0$

可得船內部的解為

$x=0$

所以自船舯至最大彎矩位置為

$\boxed{0}$

在船舯處：

$$M_A(0)=\frac WL\cdot\frac{L^2}{32} =\boxed{\frac{WL}{32}}$$

---

三、B 船：三角形浮力分佈