114 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《自動控制》

核心觀念

題目要求對所有未知參數 $q\in[1,\bar q]$，確保矩陣 $A$ 為 Hurwitz 矩陣。其核心是：

• $A$ 為 Hurwitz 矩陣 $\Longleftrightarrow$ $A$ 的所有特徵值實部皆小於 $0$。
• 對三階特徵多項式，可使用 Routh–Hurwitz 判據。
• 由於 $q$ 是不確定參數，條件必須對整個區間 $[1,\bar q]$ 成立。

因題目已給定 $k_1,k_2,k_3$ 為正數，主要需判斷三者之間的額外關係。

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解題方法：建立特徵多項式

矩陣 $A$ 為伴隨形式，因此

$$\lambda I-A= \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 0\\ 0 & \lambda & -1\\ qk_1&qk_2&\lambda+qk_3 \end{pmatrix}.$$

其特徵多項式為

$$\begin{aligned} p(\lambda) &=\det(\lambda I-A)\\ &=\lambda\det \begin{pmatrix} \lambda&-1\\ qk_2&\lambda+qk_3 \end{pmatrix} +\det \begin{pmatrix} 0&-1\\ qk_1&\lambda+qk_3 \end{pmatrix}\\ &=\lambda\left[\lambda(\lambda+qk_3)+qk_2\right]+qk_1\\ &=\lambda^3+qk_3\lambda^2+qk_2\lambda+qk_1. \end{aligned}$$

因此可寫為

$$p(\lambda)=\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3,$$

其中

$$a_1=qk_3,\qquad a_2=qk_2,\qquad a_3=qk_1.$$

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Routh–Hurwitz 判據

對三階多項式

$$\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3,$$

其所有根皆位於左半平面的充要條件為

$$a_1>0,\qquad a_2>0,\qquad a_3>0,\qquad a_1a_2>a_3.$$

本題的 Routh 表為

$$\begin{array}{c|cc} \lambda^3 & 1 & qk_2\\ \lambda^2 & qk_3 & qk_1\\ \lambda^1 & \dfrac{q^2k_3k_2-qk_1}{qk_3} & 0\\ \lambda^0 & qk_1 & - \end{array}$$

第一欄全部為正是 Hurwitz 穩定的充要條件。因此需要

$$1>0, \qquad qk_3>0, \qquad \frac{q^2k_3k_2-qk_1}{qk_3}>0, \qquad qk_1>0.$$

因為 $q\ge 1$，故 $q>0$。再配合 $k_1,k_2,k_3>0$，前述條件中只有第三項產生額外限制：

$$\begin{aligned} \frac{q^2k_3k_2-qk_1}{qk_3}>0 &\Longleftrightarrow q^2k_3k_2-qk_1>0\\ &\Longleftrightarrow q(qk_2k_3-k_1)>0\\ &\Longleftrightarrow qk_2k_3>k_1. \end{aligned}$$

所以對某一固定的 $q$，矩陣 $A$ Hurwitz 的條件為

$$qk_2k_3>k_1.$$

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對所有 $q\in[1,\bar q]$ 的穩定條件

題目要求不論 $q$ 在允許範圍內取何值，$A$ 都必須為 Hurwitz。由

$$qk_2k_3>k_1$$

可知左側隨 $q$ 單調增加。其最小值出現在 $q=1$，因此只需檢查最不利情況 $q=1$：

本題要求分析一個控制器在頻域下的工作功能。這通常意味著要求出控制器的傳遞函數（transfer function）。

從圖中可以看出，控制器的輸入是系統輸出 $y$，輸出是控制信號 $u$。控制器內部包含兩個並聯的通路，一個是增益為 $\beta_1$ 的通路，另一個是經過積分器 $1/s$ 後再乘以增益 $\beta_2$ 的通路。這兩個通路並聯後，再經過一個加法器，其另一個輸入是 $-y$。

讓我們逐一分析圖中的信號和元件：

1. 輸入信號：$y$ (系統輸出)。
2. 第一個通路：直接乘以增益 $\beta_1$。此通路輸出的信號為 $\beta_1 y$。
3. 第二個通路：
   a. 輸入：$y$。
   b. 經過積分器：輸出的信號為 $\int y(t) dt$。在頻域下，這對應於乘以 $1/s$。所以，積分器的輸出是 $Y(s)/s$。
   c. 乘以增益 $\beta_2$：此通路輸出的信號為 $\beta_2 \frac{Y(s)}{s}$。
4. 兩個通路並聯：兩個通路輸出的信號相加。所以，並聯後的輸出是 $\beta_1 Y(s) + \beta_2 \frac{Y(s)}{s}$。
5. 加法器：並聯輸出的信號與 $-y$ 相加。所以，控制器的輸出 $U(s)$ 為：
   $U(s) = (\beta_1 Y(s) + \beta_2 \frac{Y(s)}{s}) - Y(s)$
   $U(s) = (\beta_1 - 1) Y(s) + \beta_2 \frac{Y(s)}{s}$

控制器傳遞函數 $G_c(s)$ 定義為輸出與輸入之比，即 $G_c(s) = U(s)/Y(s)$。

$$G_c(s) = \frac{U(s)}{Y(s)} = \beta_1 - 1 + \frac{\beta_2}{s}$$ $$G_c(s) = \frac{(\beta_1 - 1)s + \beta_2}{s}$$

這個控制器可以看作是一個比例-積分（PI）控制器，但是有一個額外的 $-1$ 的比例項。
如果 $\beta_1 = 1$，則控制器變為 $G_c(s) = \frac{\beta_2}{s}$，這是一個純積分控制器。
如果 $\beta_1 > 1$，則控制器具有一個正的比例項 $(\beta_1 - 1)$ 和一個正的積分項 $\beta_2/s$。
如果 $\beta_1 < 1$，則控制器具有一個負的比例項 $(1-\beta_1)$ 和一個正的積分項 $\beta_2/s$。

通常，PI 控制器的形式是 $K_p + K_i/s$。
在這個控制器中，$K_p = \beta_1 - 1$ 且 $K_i = \beta_2$。

核心觀念

本題考查：

• 負回授誤差的建立；
• 積分控制消除常數外擾造成的穩態誤差；
• 非線性系統在平衡點附近的線性化；
• Routh–Hurwitz 穩定判據。

由圖可得系統方程為

$$\ddot y=\sin(x^*-y)+u+d.$$

其中 $d$ 為固定常數外擾。

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解題方法

令追蹤誤差為

$$e(t)=y(t)-x^*.$$

因為 $x^*$ 為常數，所以

$$\dot e=\dot y,\qquad \ddot e=\ddot y.$$

控制器為

$$u=-g_1e-g_2\dot e-g_3\int_0^t e(\tau)\,d\tau.$$

代入系統方程：

$$\ddot e =\sin(-e)-g_1e-g_2\dot e -g_3\int_0^t e(\tau)\,d\tau+d.$$

由於 $\sin(-e)=-\sin e$，因此

$$\ddot e =-\sin e-g_1e-g_2\dot e -g_3\int_0^t e(\tau)\,d\tau+d.$$

令

$$z(t)=\int_0^t e(\tau)\,d\tau-\frac{d}{g_3},$$

則 $\dot z=e$，且閉迴路系統可寫成

$$\ddot e=-\sin e-g_1e-g_2\dot e-g_3z,$$ $$\dot z=e.$$

當 $e=0$、$\dot e=0$ 時，平衡條件為

$$z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \int_0^t e(\tau)\,d\tau=\frac{d}{g_3}.$$

因此積分器最後會產生 $-d$ 的控制作用，抵消固定外擾，並使穩態誤差為零。

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線性化與穩定條件

在目標平衡點 $e=0$ 附近，

$$\sin e\approx e.$$

因此線性化後的誤差系統為

$$\ddot e=-\left(g_1+1\right)e-g_2\dot e-g_3z, \qquad \dot z=e.$$

對第一式微分，並利用 $\dot z=e$：

核心觀念

本題考查：

• 狀態回授控制律 $u=-k\hat{x}$；
• Luenberger 狀態觀測器；
• 誤差系統 $e=x-\hat{x}$；
• 以相似變換將系統矩陣化為區塊上三角矩陣；
• 區塊三角矩陣的特徵值等於其對角區塊特徵值的聯集。

由圖可讀得輸出為

$$y=c^T x,$$

其中 $c^T$ 為輸出矩陣。控制輸入由估測狀態回授：

$$u=-k\hat{x}.$$

解題方法

由上方系統方塊圖，實際狀態 $x$ 滿足

$$\dot{x}=Ax+bu.$$

代入 $u=-k\hat{x}$，得

$$\dot{x}=Ax-bk\hat{x}.$$

下方為狀態觀測器，其校正項為

$$h(y-c^T\hat{x}) =h(c^Tx-c^T\hat{x}) =hc^T(x-\hat{x}).$$

因此估測狀態滿足

$$\dot{\hat{x}} =A\hat{x}+bu+h(y-c^T\hat{x}).$$

代入 $u=-k\hat{x}$ 與 $y=c^Tx$：

$$\dot{\hat{x}} =A\hat{x}-bk\hat{x}+hc^T(x-\hat{x}),$$

整理為

$$\dot{\hat{x}} =hc^Tx+(A-bk-hc^T)\hat{x}.$$

(i) 求取矩陣 $F$

令

$$Z= \begin{bmatrix} x\\ \hat{x} \end{bmatrix}.$$

則

$$\dot{Z} = \begin{bmatrix} \dot{x}\\ \dot{\hat{x}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & -bk\\ hc^T & A-bk-hc^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ \hat{x} \end{bmatrix}.$$

所以

$$\boxed{ F= \begin{bmatrix} A & -bk\\ hc^T & A-bk-hc^T \end{bmatrix} }.$$

(ii) 證明 Hurwitz 條件

定義估測誤差

$$e=x-\hat{x}.$$

首先推導 $x$ 的動態方程：

$$\dot{x}=Ax-bk\hat{x}.$$

因為 $\hat{x}=x-e$，所以

$$\dot{x} =Ax-bk(x-e) =(A-bk)x+bk\,e.$$

接著推導誤差動態：

$$\dot{e}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}.$$

由前述兩個狀態方程，

$$\begin{aligned} \dot{e} &=Ax-bk\hat{x} -\left[A\hat{x}-bk\hat{x}+hc^T(x-\hat{x})\right]\\ &=A(x-\hat{x})-hc^T(x-\hat{x})\\ &=(A-hc^T)e. \end{aligned}$$

因此在新座標