111 年國立成功大學機械工程學系碩士班戊組《自動控制》考古題與詳解

Question 1

Consider the closed-loop system in Figure 1. Determine values of the parameters $k$ and $a$ so that the following specifications are satisfied:
(1) The steady-state error to a unit step input is zero.
(2) The closed-loop system has a percent overshoot less than 5%.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Figure 1. Closed-loop system with parameters $k$ and $a$ .

Accepted Answer

核心觀念 圖一為負回授系統： $$ G(s)=\frac{1}{s+2k},\qquad H(s)=\frac{1}{s+a} $$ 由於題目要求單位階輸入的穩態追蹤誤差為零，以下定義誤差為輸入與輸出之差： $$ e(t)=r(t)-y(t) $$ 閉迴路傳遞函數為 $$ T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{s+a}{(s+2k)(s+a)+1} $$ 因此 $$ T(s)=\frac{s+a}{s^2+(a+2k)s+(2ka+1)} $$ --- 解題方法 1. 由零穩態誤差求出 $k$、$a$ 的關係 對單位階輸入，穩態輸出為 $$ y(\infty)=\lim{s	o 0}T(s) =\frac{a}{2ka+1} $$ 要求 $e{\mathrm{ss}}=1-y(\infty)=0$，所以 $$ \frac{a}{2ka+1}=1 $$ 整理得 $$ a=2ka+1 $$ 因此 $$ \boxed{k=\frac{a-1}{2a}} $$ 或寫成 $$ \boxed{a=\frac{1}{1-2k}} $$ 若要求 $k0$、$a0$，則必須有 $$ a1,\qquad 0<k<\frac12 $$ --- 2. 套用超越量限制 代入 $k=(a-1)/(2a)$ 後，閉迴路傳遞函數變成 $$ T(s)= \frac{s+a} {s^2+\left(a+1-\frac1aight)s+a} $$ 令 $$ \alpha=\frac12\left(a+1-\frac1aight) $$ 則特徵方程可寫成 $$ (s+\alpha)^2+\beta^2 $$ 其中 $$ \beta=\sqrt{a-\alpha^2} $$ 單位階響應為 $$ y(t)=1+e^{-\alpha t} \left[ -\cos(\beta t)+ \frac{1-\alpha}{\beta}\sin(\beta t) ight] $$

Question 2

For the system shown in Figure 2, do the following:
(1) Sketch the root locus.
(2) Find the imaginary crossing and the corresponding gain, $K$ , at the crossing.
(3) Find the real-axis breakaway to two-decimal-place accuracy.
(4) Find the closed-loop zeros.
(5) Find the gain, $K$ , for a closed-loop step response with 30% overshoot.
(6) Discuss the validity of your second-order approximation.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Figure 2. Closed-loop system in Problem 2.

Accepted Answer

核心觀念 圖 2 的前向傳遞函數與回授函數分別為 $$ G(s)=\frac{K}{(s+2)(s+3)}, \qquad H(s)=\frac{s^2-4s+8}{s^2+2s+5}. $$ 因為是負回授系統，根軌跡的特徵方程為 $$ 1+G(s)H(s)=0. $$ 因此 $$ 1+ \frac{K(s^2-4s+8)} {(s+2)(s+3)(s^2+2s+5)} =0. $$ 整理得 $$ (s+2)(s+3)(s^2+2s+5)+K(s^2-4s+8)=0. $$ 展開後的閉迴路特徵方程為 $$ s^4+7s^3+(21+K)s^2+(37-4K)s+(30+8K)=0. $$ --- (1) 根軌跡 開迴路極點為 $$ s=-2,\quad s=-3,\quad s=-1\pm j2. $$ 開迴路零點為 $$ s=2\pm j2. $$ 因此共有 4 條根軌跡，其中 2 條終止於有限零點，另外 2 條沿無限遠方向延伸。 實軸根軌跡 實軸上的候選區間為 $$ -3<s<-2. $$ 因為在此區間右側有 1 個實軸極點，符合根軌跡「右側奇數個極點與零點」的判斷規則。 漸近線 漸近線數量為 $$ 4-2=2. $$ 漸近線重心為 $$ \sigmaa= \frac{(-3)+(-2)+(-1+j2)+(-1-j2)-(2+j2)-(2-j2)}{2} =-\frac{7}{2}=-3.5. $$ 漸近線角度為 $$ 	hetaa=\frac{(2q+1)180^\circ}{2}, \qquad q=0,1, $$ 所以 $$ 	hetaa=90^\circ,\quad 270^\circ. $$ 根軌跡的重要特徵為： - 實軸根軌跡位於 $(-3,-2)$。 - $s=-3$ 與 $s=-2$ 的兩條分支在實軸上相遇後離開。 - 複數極點 $-1\pm j2$ 所出的分支朝右半平面零點 $2\pm j2$ 移動。 - 另兩條分支沿著通過 $-3.5$ 的垂直漸近線趨向無限遠。 - 根軌跡穿越虛軸於第 (2) 小題所求位置。 --- (2) 虛軸交點與對應增益 $K$ 令 $$ s=j\omega $$ 代入特徵方程： $$ s^4+7s^3+(21+K)s^2+(37-4K)s+(30+8K)=0. $$ 利用 $$ (j\omega)^2=-\omega^2,\quad (j\omega)^3=-j\omega^3,\quad (j\omega)^4=\omega^4, $$ 可得實部與虛部分別為 $$ \omega^4-(21+K)\omega^2+30+8K=0, $$ $$ -7\omega^3+(37-4K)\omega=0. $$ 因為虛軸交點不在原點，故 $\omega
eq 0$，由虛部得 $$ 7\omega^2=37-4K…

Question 3

A feedback control system and the Bode plots of loop transfer function, $L(s)=G(s)C(s)$ , are shown below, where $K_A$ is the modeling uncertainty. In order to investigate what value of $K_A$ can be tolerated in this feedback system to keep stable, please do the following analysis.
(1) (10%) Please draw the Nyquist plot of $L(s)$ .
(2) (8%) Please draw the Nichols plot of $L(s)$ .
(3) (7%) Now, if $K_A$ is a complex number and of the form, $K_A = e^{-j\theta}$ , and a control-engineer proposes a method called "phase loci" by varying $\theta$ to see how the roots change in the equation, $1+e^{-j\theta}G(s)C(s) = 0$ . Explain what would be the value of $\theta$ that makes the branch intersect the imaginary axis and the corresponding intercept value?

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
The system block diagram and the Bode plot are shown.
The loop transfer function is given as $L(s) = G(s)C(s) = \frac{100}{s(s+2)(s+5)(s+10)}$ for the "Real Plant".
The modeling uncertainty is $K_A$ .
The overall loop transfer function with uncertainty is $L_{uncertain}(s) = K_A \cdot L(s) = K_A \frac{100}{s(s+2)(s+5)(s+10)}$ .
The Bode plot shows magnitude and phase for $L(s)$ .
From the Bode plot:
GM = 7.0837 (-17dB) at Freq. = 2.4243 rad/s.
PM = 63.7 deg at Freq. = 0.5852 rad/s.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查 Nyquist plot、Nichols plot、增益裕度、相位裕度，以及利用相位裕度判斷複數增益 $K_A=e^{-j\theta}$ 對穩定性的影響。

閉迴路特徵方程式為

1+K_A L(s)=0.

其中

L(s)=\frac{100}{s(s+2)(s+5)(s+10)}.

不過，原圖方塊圖中的控制器標示為 $C(s)=0.615$ ，因此實際 Bode 圖所對應的迴路傳遞函數為

L(s)=\frac{61.5}{s(s+2)(s+5)(s+10)}.

因為圖中給出的 $GM=7.0837$ 、 $PM=63.7^\circ$ 正好與 $61.5$ 的分子相符，以下依照原圖的 Bode 數據作答。

(1) Nyquist plot

將分母展開：

s(s+2)(s+5)(s+10) =s^4+17s^3+80s^2+100s.

令 $s=j\omega$ ，則

(j\omega)(j\omega+2)(j\omega+5)(j\omega+10) = (\omega^4-80\omega^2) +j(100\omega-17\omega^3).

因此

L(j\omega) = \frac{61.5} {(\omega^4-80\omega^2)+j(100\omega-17\omega^3)}.

重要特徵點

當 $\omega\to 0^+$ 時，

L(j\omega)\approx \frac{61.5}{j100\omega} =-j\frac{0.615}{\omega},

所以 Nyquist 曲線由負虛軸無限遠處開始。

與負實軸交點

令虛部為零：

100\omega-17\omega^3=0.

除去 $\omega=0$ ，得

\omega_{pc}=\sqrt{\frac{100}{17}} =2.4243\ {\rm rad/s}.

此時

\operatorname{Re}\{L(j\omega_{pc})\} = \frac{61.5}{\omega_{pc}^4-80\omega_{pc}^2} \approx -0.141.

故曲線通過

L(j\omega_{pc})\approx -0.141+j0.

相對應的增益裕度為

GM=\frac{1}{0.141}\approx 7.0837,

或以 dB 表示：

GM_{\rm dB}=20\log_{10}(7.0837)\approx 17.0\ {\rm dB}.

當 $\omega\to\infty$ 時，

L(j\omega)\to 0,

且相位趨近 $-360^\circ$ ，所以曲線由上半平面靠近原點。

負頻率部分則為正頻率部分對實軸的鏡射。

Nyquist 圖形描述

正頻率方向為：

-j\infty \longrightarrow \text{第三象限} \longrightarrow (-0.141,0) \longrightarrow \text{第二象限} \longrightarrow 0^+.

曲線不包圍 $-1+j0$ ，因此名義系統穩定。對正實數增益 $K_A$ 而言，臨界情形是

K_A=GM=7.0837.

因此保持穩定的範圍為

0<K_A<7.0837.

(2) Nichols plot

Nichols plot 的橫軸為相位，縱軸為增益 dB：

20\log_{10}|L(j\omega)|.

由原圖 Bode plot 可得以下三個關鍵點：

低頻端

當 $\omega\to0^+$ ：

\angle L(j\omega)\to -90^\circ,

且

|L(j\omega)|\to\infty.

因此曲線由

(-90^\circ,+\infty\ {\rm dB})

開始。

0 dB 交越點

由圖得增益交越頻率

\omega_{gc}=0.5852\ {\rm rad/s}.

此時

|L(j\omega_{gc})|=1,

而相位為

\angle L(j\omega_{gc}) =-180^\circ+63.7^\circ =-116.3^\circ.

Question 4

The magnitude plot for a system is shown as,

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
The magnitude plot is shown with several slopes: 20dB/decade, -20dB/decade, -40dB/decade. Key points are marked.
(1) (10%) Assuming the corresponding system is a minimum-phase system, please estimate the transfer function.
(2) (10%) Based on the result of (1), sketch the phase plot.
(3) (5%) Based on the result of (1), determine the gain-margin and phase-margin.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查 Bode magnitude plot 的斜率與系統零、極點的對應關係：

原點零點：斜率增加 $+20\ \mathrm{dB/decade}$ 。
一階極點：斜率減少 $20\ \mathrm{dB/decade}$ 。
一階零點：斜率增加 $20\ \mathrm{dB/decade}$ 。
增益裕度（gain margin, GM）是在相位交越頻率 $\omega_{pc}$ 下，距離 $0\ \mathrm{dB}$ 的增益差。
相位裕度（phase margin, PM）是在增益交越頻率 $\omega_{gc}$ 下，距離 $-180^\circ$ 的相位差。

由圖可讀得：

低頻斜率為 $+20\ \mathrm{dB/decade}$ ；
$\omega=0.2\ \mathrm{rad/s}$ 後斜率變為 $0$ ；
$\omega=10\ \mathrm{rad/s}$ 後斜率變為 $-20\ \mathrm{dB/decade}$ ；
$\omega=30\ \mathrm{rad/s}$ 後斜率變為 $-40\ \mathrm{dB/decade}$ ；
中頻平臺約為 $16\ \mathrm{dB}$ 。

（1）估計轉移函數

低頻斜率為 $+20\ \mathrm{dB/decade}$ ，表示系統具有一個原點零點 $s$ 。

在 $\omega=0.2$ 處，斜率由 $+20$ 降為 $0$ ，因此在此處有一個極點：

1+\frac{s}{0.2}

在 $\omega=10$ 與 $\omega=30$ 處，斜率各再下降 $20\ \mathrm{dB/decade}$ ，因此分別有兩個極點：

1+\frac{s}{10},\qquad 1+\frac{s}{30}

平臺增益為 $16\ \mathrm{dB}$ ，故

K=10^{16/20}\approx 6.31

因此估計轉移函數為

\boxed{ G(s)\approx \frac{6.31(s/0.2)} {(1+s/0.2)(1+s/10)(1+s/30)} }

亦可寫成

\boxed{ G(s)\approx \frac{31.55s} {(s+0.2)(1+s/10)(1+s/30)} }

這個轉移函數的斜率變化為

+20 \overset{0.2}{\longrightarrow}0 \overset{10}{\longrightarrow}-20 \overset{30}{\longrightarrow}-40

與題圖一致。

（2）相位圖

由轉移函數可得相位：

\angle G(j\omega) = 90^\circ -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{0.2}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{10}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{30}\right)

其中：

原點零點貢獻 $+90^\circ$ ；
$\omega=0.2$ 的極點貢獻 $-\tan^{-1}(\omega/0.2)$ ；

111 年國立成功大學機械工程學系碩士班戊組《自動控制》

第 1 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 由零穩態誤差求出 $k$ 、 $a$ 的關係

2. 套用超越量限制

第 2 題25 分

核心觀念

(1) 根軌跡

實軸根軌跡

漸近線

(2) 虛軸交點與對應增益 $K$

(3) 實軸離開點

(4) 閉迴路零點

第 3 題25 分

核心觀念

(1) Nyquist plot

重要特徵點

與負實軸交點

Nyquist 圖形描述

(2) Nichols plot

低頻端

0 dB 交越點

第 4 題25 分

核心觀念

（1）估計轉移函數

（2）相位圖

其他考古題

111 年成功大學的其他科目

成功大學《自動控制》其他年度

其他學校的機械與機電考古題

111 年 國立成功大學機械工程學系碩士班戊組《自動控制》

第 1 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 由零穩態誤差求出 kkk、aaa 的關係

2. 套用超越量限制

第 2 題25 分

核心觀念

(1) 根軌跡

實軸根軌跡

漸近線

(2) 虛軸交點與對應增益 KKK

(3) 實軸離開點

(4) 閉迴路零點

第 3 題25 分

核心觀念

(1) Nyquist plot

重要特徵點

與負實軸交點

Nyquist 圖形描述

(2) Nichols plot

低頻端

0 dB 交越點

第 4 題25 分

核心觀念

（1）估計轉移函數

（2）相位圖

其他考古題

111 年成功大學的其他科目

成功大學《自動控制》其他年度

其他學校的機械與機電考古題

111 年國立成功大學機械工程學系碩士班戊組《自動控制》

1. 由零穩態誤差求出 $k$ 、 $a$ 的關係

(2) 虛軸交點與對應增益 $K$