111 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所乙組《動力學》

核心觀念

本題考查極座標運動學與牛頓第二定律：

$$\mathbf a=a_r\mathbf e_r+a_\theta\mathbf e_\theta$$

其中

$$a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\qquad a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta$$

因管內壁光滑，管壁作用力垂直於球的瞬時切線方向，因此求 $F$ 時應沿曲線切線方向列力方程。

由圖可知吹風力 $F$ 垂直向上。

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解題方法

已知

$$r=0.3\sin 2\theta,\qquad \theta=\frac{\pi}{4}t^2$$

當 $t=0.4\ \text{s}$ 時：

$$\theta=\frac{\pi}{4}(0.4)^2=0.04\pi=0.12566\ \text{rad}$$ $$\dot\theta=\frac{\pi}{2}t=0.62832\ \text{rad/s}$$ $$\ddot\theta=\frac{\pi}{2}=1.57080\ \text{rad/s}^2$$

對 $r$ 微分：

$$\frac{dr}{d\theta}=0.6\cos 2\theta,\qquad \frac{d^2r}{d\theta^2}=-1.2\sin 2\theta$$

因此

$$r=0.3\sin(0.08\pi)=0.07461\ \text{m}$$ $$\dot r=\frac{dr}{d\theta}\dot\theta =(0.6\cos 2\theta)\dot\theta =0.36515\ \text{m/s}$$ $$\ddot r=\frac{d^2r}{d\theta^2}\dot\theta^2 +\frac{dr}{d\theta}\ddot\theta =0.79506\ \text{m/s}^2$$

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徑向與橫向加速度

徑向加速度：

$$a_r=\ddot r-r\dot\theta^2$$ $$a_r=0.79506-(0.07461)(0.62832)^2$$ $$\boxed{a_r=0.766\ \text{m/s}^2}$$

方向為徑向向外。

橫向加速度：

$$a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta$$ $$a_\theta=(0.07461)(1.57080) +2(0.36515)(0.62832)$$ $$\boxed{a_\theta=0.576\ \text{m/s}^2}$$

方向為 $\theta$ 增加的方向。

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力的方向與徑向方向夾角

徑向方向與水平線夾角為 $\theta$，而 $F$ 垂直向上，因此

本題考查功、能、功率以及效率的概念，結合運動學方程來求解。

1. 計算加速度：
   已知初速 $v_0 = 0$ m/s，末速 $v = 3$ m/s，位移 $\Delta s = 3$ m。
   由於是等加速度運動，我們可以使用運動學方程：$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta s$。
   $3^2 = 0^2 + 2a(3)$
   $9 = 6a$
   $a = \frac{9}{6} = 1.5$ m/s²。

2. 計算繩索的張力 $T$：
   對貨箱 C 進行受力分析，受重力 $W$ 和繩索張力 $T$。
   $W = mg = (20 \text{ kg})(9.81 \text{ m/s}^2) = 196.2$ N。
   根據牛頓第二運動定律，沿著豎直方向：
   $T - W = ma$
   $T - 196.2 = (20 \text{ kg})(1.5 \text{ m/s}^2)$
   $T - 196.2 = 30$
   $T = 196.2 + 30 = 226.2$ N。

3. 計算繩索的速度 $v$：
   在貨箱上升 3 m 的瞬間，繩索的速度就是貨箱的速度。
   $v = 3$ m/s。

核心觀念

本題考查剛體平面運動與滑塊約束：

• 輪上固定點 $B$ 的速度、加速度：

$$\mathbf v_B=\boldsymbol\omega_A\times\mathbf r_{B/A}$$ $$\mathbf a_B=\boldsymbol\alpha_A\times\mathbf r_{B/A} +\boldsymbol\omega_A\times \left(\boldsymbol\omega_A\times\mathbf r_{B/A}\right)$$

• 連桿 $BC$ 的相對運動：

$$\mathbf v_C=\mathbf v_B+\boldsymbol\omega_{BC}\times\mathbf r_{C/B}$$ $$\mathbf a_C=\mathbf a_B+\boldsymbol\alpha_{BC}\times\mathbf r_{C/B} -\omega_{BC}^{\,2}\mathbf r_{C/B}$$

• 活塞 $C$ 只能沿著傾角 $30^\circ$ 的導槽運動，因此其速度與加速度方向皆為 $30^\circ$：

$$\frac{v_{Cy}}{v_{Cx}}=\frac{a_{Cy}}{a_{Cx}}=\tan30^\circ$$

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，並依圖示令輪 $A$ 順時針轉動為負號。

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解題方法

由圖得：

$$r_{B/A}=0.3\text{ m},\qquad r_{C/B}=0.8\text{ m}$$

其中 $AB$ 垂直向上，$BC$ 在瞬間為水平。

1. 求連桿 $BC$ 的角速度

輪 $A$ 的角速度為順時針：

$$\boldsymbol\omega_A=-4\mathbf k$$

因此

$$\mathbf v_B =\boldsymbol\omega_A\times\mathbf r_{B/A} =(-4\mathbf k)\times(0.3\mathbf j) =1.2\mathbf i\ \text{m/s}$$

設連桿角速度為 $\omega_{BC}\mathbf k$，則

$$\mathbf v_C =\mathbf v_B+\omega_{BC}\mathbf k\times(0.8\mathbf i)$$ $$\mathbf v_C=1.2\mathbf i+0.8\omega_{BC}\mathbf j$$

因活塞沿 $30^\circ$ 導槽運動：

$$\frac{0.8\omega_{BC}}{1.2}=\tan30^\circ$$ $$\omega_{BC} =\frac{1.2\tan30^\circ}{0.8} =0.866\text{ rad/s}$$

方向為逆時針。

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2. 求 pin $B$ 的加速度

輪 $A$ 的角加速度為順時針：

$$\boldsymbol\alpha_A=-3\mathbf k$$

切向加速度：

$$\boldsymbol\alpha_A\times\mathbf r_{B/A} =(-3\mathbf k)\times(0.3\mathbf j) =0.9\mathbf i$$

法向加速度：

核心觀念

繩索剪斷瞬間，繩張力立即消失；桿仍由靜止開始運動，因此瞬間角速度 $\omega=0$。使用：

1. 固定點 $O$ 的轉動方程
   $\sum M_O=I_O\alpha$
2. 平面剛體平移方程
   $\sum \mathbf F=m\mathbf a_G$
3. 平行軸定理
   $I_O=I_G+md^2$

由圖得桿長

$L=0.62+0.30=0.92\ \text{m}$

桿質心距左端為 $L/2=0.46$ m，因此質心位於 $O$ 左側：

$d=0.62-0.46=0.16\ \text{m}$

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解題方法與計算

繩索剪斷後，桿只受重力與鉸支承反力。重力對 $O$ 產生逆時針力矩：

$\sum M_O=mgd$

均勻細長桿對質心的轉動慣量為

$I_G=\frac{1}{12}mL^2$

因此對 $O$ 的轉動慣量：

$$\begin{aligned} I_O &=\frac{1}{12}(15)(0.92)^2+(15)(0.16)^2\\ &=1.442\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 \end{aligned}$$

所以角加速度為

核心觀念

本題考查平面剛體動力學，需使用：

• 質心平移方程：$\sum F_x=ma_G$
• 質心轉動方程：$\sum M_G=I_G\alpha$
• 轉動慣量：
  $I_G=mk_G^2$
• 纜線與內輪接觸處無滑動的運動學條件
• 動摩擦力：$F_k=\mu_k N$

由圖可知：

• 質量：$m=100\ \text{kg}$
• 迴轉半徑：$k_G=0.35\ \text{m}$
• 纜線作用半徑：$r=0.20\ \text{m}$
• 線圈外半徑：$R=0.60\ \text{m}$
• 力矩：$M=450\ \text{N}\cdot\text{m}$
• $\mu_k=0.25$

取逆時針為正，水平向右為正。

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解題方法

1. 計算轉動慣量與摩擦力

因纜線張力為水平力，垂直方向沒有其他分力，因此

$$N=mg=100(9.81)=981\ \text{N}$$

動摩擦力大小為

$$F_k=\mu_kN=0.25(981)=245.25\ \text{N}$$

迴轉慣量：

$$I_G=mk_G^2 =100(0.35)^2 =12.25\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

由圖示運動方向，線圈質心向右加速，接觸地面的最低點有向右滑動趨勢，因此摩擦力向左：

$$f=-245.25\ \text{N}$$

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2. 纜線運動學關係

纜線固定於右側，且與半徑 $r=0.20\ \text{m}$ 的內輪接觸而不滑動。

因此，內輪上方接觸點的水平加速度為零：

$$a_G-r\alpha=0$$

所以

$$a_G=r\alpha=0.20\alpha$$

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3. 水平方向平移方程

水平方向套用牛頓第二定律：

$$T-f_k=ma_G$$

代入 $a_G=0.20\alpha$：

核心觀念

本題考查平面剛體運動與功－能原理：

1. 滑塊 $A$ 僅能沿垂直槽運動，滑塊 $B$ 僅能沿水平槽運動。
2. 槽面無摩擦，因此槽的反作用力不作功。
3. 以桿的重心位移計算重力功。
4. 剛體的動能包含重心平移動能與繞重心轉動動能。

由圖可知桿長為

$$L=0.45+0.45=0.90\ \text{m}$$

桿質量為 $m=15\ \text{kg}$。

解題方法

採用功－能原理：

$$T_1+U_{1\to2}=T_2$$

桿初始靜止，所以 $T_1=0$。

1. 滑塊 $B$ 的位移

角度 $\theta$ 是桿與鉛直方向的夾角。由幾何關係，桿由 $\theta=0^\circ$ 轉至 $\theta=45^\circ$ 時，$B$ 向左移動的距離為

$$s_B=L\sin45^\circ$$ $$s_B=0.90(0.7071)=0.6364\ \text{m}$$

外力 $P=50\ \text{N}$ 方向與 $B$ 的位移相同，因此其作功為

$$U_P=Ps_B$$ $$U_P=50(0.6364)=31.82\ \text{J}$$

2. 重力作功

重心相對於滑塊 $B$ 的高度為

$$y_G=\frac{L}{2}\cos\theta$$

因此重心下降量為

$$\Delta y_G = \frac{L}{2}(1-\cos45^\circ)$$ $$\Delta y_G = 0.45(1-0.7071) = 0.1318\ \text{m}$$

重力作功為

$$U_g=mg\Delta y_G$$ $$U_g = 15(9.81)(0.1318) = 19.40\ \text{J}$$

所以總功為

$$U_{1\to2}=U_P+U_g =31.82+19.40 =51.22\ \text{J}$$

3. 桿的動能

桿兩端的速度與角速度關係如下：

$$v_A=\omega L\sin\theta$$