115 年 國立成功大學機械工程學系碩士班乙組《動力學》

核心觀念

剛體平面運動中，任意兩點 $A$、$B$ 的速度關係為剛體速度定理：

$$\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_A+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B/A}$$

其中：

• $\mathbf{v}_A,\mathbf{v}_B$ 分別為 $A$、$B$ 點的速度；
• $\boldsymbol{\omega}$ 為剛體角速度；
• $\mathbf{r}_{B/A}$ 為由 $A$ 指向 $B$ 的位置向量。

題目指出 $A$、$B$ 兩點的速度大小與方向都相同，因此代表兩點的速度向量完全相同：

$$\mathbf{v}_A=\mathbf{v}_B$$

代入剛體速度定理：

$$\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B/A}=0$$

由於 $A$、$B$ 為剛體上兩個不同的點，$\mathbf{r}_{B/A}\neq 0$。在平面運動中，若 $\boldsymbol{\omega}\neq 0$，則 $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B/A}$ 必為垂直於 $AB$ 的非零向量。因此只能有：

$$\boldsymbol{\omega}=0$$

角速度為零表示剛體沒有轉動，所有點的速度向量均相同，故剛體進行純平移。

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解題方法

直接比較兩點速度向量。

剛體平面運動可視為「平移加轉動」，兩點速度差為：

$$\mathbf{v}_B-\mathbf{v}_A = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B/A}$$

題目給定兩點速度大小相同且方向相同，故：

$$\mathbf{v}_B-\mathbf{v}_A=0$$

因此：

$$\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B/A}=0$$

兩點位置不同時，$\mathbf{r}_{B/A}$ 不為零；而在平面運動中，角速度向量垂直於運動平面，不可能與非零的面內位置向量平行，所以必須滿足：

$$\boldsymbol{\omega}=0$$

因此剛體只剩平移運動，正確選項為 (A)。

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選項分析

(A) The rigid body is undergoing pure translation

正確。

純平移的定義是剛體角速度為零：

$$\boldsymbol{\omega}=0$$

此時剛體上任意兩點的速度相同：

$$\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_A$$

本題考查平面剛體繞固定點 O 的純旋轉運動的速度與加速度特性。

題目說明剛體繞固定點 O 在平面內旋轉。我們需要判斷哪個敘述總是為真。

對於繞固定點 O 的純旋轉運動，剛體上任意點 P 的速度 $v_P$ 和加速度 $a_P$ 可以表示為：
速度：$v_P = \omega \times r_{PO}$
加速度：$a_P = \alpha \times r_{PO} + \omega \times (\omega \times r_{PO})$
其中 $\omega$ 是角速度向量，$\alpha$ 是角加速度向量，$\alpha$ 和 $\omega$ 都垂直於運動平面。$r_{PO}$ 是從點 O 指向點 P 的向量。

讓我們逐一分析選項：

(A) All points on the body have the same linear velocity.
對於純旋轉運動，速度 $v_P$ 的大小為 $|\omega| |r_{PO}| \sin(90^\circ) = \omega r_{PO}$，方向垂直於 $r_{PO}$。
速度的大小與點 P 到旋轉中心 O 的距離 $r_{PO}$ 成正比。除非剛體上所有點都與 O 點重合（這不是一個剛體），否則不同距離的點會有不同的速度大小。因此，此選項是錯誤的。

(B) The linear velocity of any point on the body is perpendicular to the line connecting that point to O.
速度向量 $v_P = \omega \times r_{PO}$。根據向量叉乘的性質，$\omega$ 垂直於運動平面，而 $r_{PO}$ 在運動平面內。因此，$v_P$ 必定垂直於 $r_{PO}$。此選項是正確的。

(C) The linear acceleration of any point is always directed radially toward O.
加速度 $a_P$ 有兩個分量：
切向加速度 $a_t = \alpha \times r_{PO}$，其大小為 $|\alpha| |r_{PO}|$，方向沿切線方向（與速度方向相同或相反，取決於 $\alpha$ 的方向）。
徑向（或法向）加速度 $a_n = \omega \times (\omega \times r_{PO})$，其大小為 $\omega^2 |r_{PO}|$，方向沿 $r_{PO}$ 指向 O（因為 $\omega \times r_{PO}$ 的方向垂直於 $r_{PO}$，再與 $\omega$ 叉乘，其結果是沿 $-r_{PO}$ 方向）。

本題考查無滑動滾動的瞬時旋轉中心 (Instantaneous Center of Zero Velocity, IC)。

題目描述一個半徑為 R 的輪子，在水平面上無滑動地滾動，其圓心以等速度 v 向右移動。要求找出瞬時旋轉中心的位置。

對於無滑動滾動，瞬時旋轉中心定義為剛體上速度為零的點。
對於一個在平面上滾動的輪子，我們可以將其運動視為繞某一點的瞬時純旋轉。這個點就是瞬時旋轉中心。

在無滑動滾動的條件下，輪子與地面接觸點的速度為零。
這是因為，如果接觸點的速度不為零，則表示輪子在地面上滑動。
輪子的質心速度 $v_C$ 和角速度 $\omega$ 之間的關係為 $v_C = \omega R$ (假設輪子是順時針滾動，質心向右移動)。
接觸點 P 的速度 $v_P$ 可以通過將輪子視為繞某點的瞬時旋轉來計算。
如果我們選擇瞬時旋轉中心為 IC，則點 P 的速度 $v_P = \omega \times r_{PI C}$。
對於無滑動條件，接觸點 P 的速度 $v_P = 0$。
所以，$\omega \times r_{PIC} = 0$。

本題考查均勻薄圓環繞其對稱軸（z 軸）的質量慣量矩。

題目描述一個質量為 m，半徑為 R 的均勻薄圓環，位於 xy 平面且圓心在原點。要求計算其繞 z 軸的質量慣量矩 $I_z$。

質量慣量矩的定義是：$I = \int r^2 dm$，其中 r 是待積分點到旋轉軸的垂直距離。
對於圓環，旋轉軸是 z 軸，而圓環位於 xy 平面。
圓環上任意一點的座標 $(x, y, 0)$ 到 z 軸的垂直距離就是該點在 xy 平面上的距離，即 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。
由於圓環的半徑是 R，所以圓環上任意一點到圓心的距離都是 R。
因此，對於圓環上的任何一個微小質量元素 dm，它到 z 軸的距離 r 都是 R。
所以，$r^2 = R^2$。

核心觀念

在角速度為 $\boldsymbol{\omega}$ 的旋轉參考座標系中，粒子的絕對加速度可分解為

$$\mathbf{a} = \mathbf{a}_O + \dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{r} + \boldsymbol{\omega}\times \left(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\right) + 2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r + \mathbf{a}_r$$

其中：

• $\mathbf{a}_O$：旋轉座標系原點的平移加速度
• $\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{r}$：歐拉加速度
• $\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})$：向心加速度
• $2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r$：科氏加速度
• $\mathbf{a}_r$：粒子相對旋轉座標系所量測的加速度

因此，科氏加速度的定義為

$$\boxed{\mathbf{a}_C=2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r}$$

題目給定 $\boldsymbol{\omega}$ 為常數，只表示 $\dot{\boldsymbol{\omega}}=0$，不會使科氏加速度消失。

解題方法

直接辨認科氏加速度的標準公式即可：

$$\mathbf{a}_C=2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r$$

其中係數 $2$ 來自旋轉座標系中的向量微分關係：

$$\left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_{\!I} = \left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_{\!R} + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{A}$$

對位置向量進行兩次微分時，含有兩個相同的交叉項：

$$\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r = 2\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_r$$

所以科氏加速度必須同時具備：

核心觀念

本題考查平面剛體的相對速度與相對加速度。使用：

$$\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\mathbf r_{B/A}$$ $$\mathbf a_B=\mathbf a_A+\boldsymbol{\alpha}_{AB}\times\mathbf r_{B/A} -\omega_{AB}^{\,2}\mathbf r_{B/A}$$

圖中幾何尺寸為：

$$OA=0.3\text{ m},\qquad AB=0.5\text{ m},\qquad BC=0.4\text{ m}$$

由圖示的 $3$-$4$-$5$ 幾何關係，

$$\mathbf r_{B/A}=0.4\mathbf i-0.3\mathbf j$$

並且

$$\mathbf r_{B/C}=0.4\mathbf j$$

取逆時針為正方向。

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飛輪上 A 點的運動

飛輪的角速度與角加速度為：

$$\omega_{OA}=2\text{ rad/s},\qquad \alpha_{OA}=6\text{ rad/s}^2$$

因為 $A$ 位於 $O$ 的正上方，

$$\mathbf r_{A/O}=0.3\mathbf j$$

A 點速度為：

$$\mathbf v_A=\boldsymbol{\omega}_{OA}\times\mathbf r_{A/O} =2\mathbf k\times0.3\mathbf j =-0.6\mathbf i\ \text{m/s}$$

A 點加速度為：

$$\mathbf a_A =\boldsymbol{\alpha}_{OA}\times\mathbf r_{A/O} -\omega_{OA}^{\,2}\mathbf r_{A/O}$$ $$\mathbf a_A =6\mathbf k\times0.3\mathbf j -2^2(0.3\mathbf j) =-1.8\mathbf i-1.2\mathbf j\ \text{m/s}^2$$

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先求 AB 與 BC 的角速度

令連桿 $AB$ 的角速度為 $\omega_{AB}$，連桿 $BC$ 的角速度為 $\omega_{BC}$。

由 B 點相對於 A 點：

$$\mathbf v_B =\mathbf v_A+\omega_{AB}\mathbf k\times (0.4\mathbf i-0.3\mathbf j)$$

因此：

$$\mathbf v_B =(-0.6+0.3\omega_{AB})\mathbf i +0.4\omega_{AB}\mathbf j$$

B 點繞固定點 C 運動，且 $BC$ 垂直，所以 $\mathbf v_B$ 必須為水平方向。故：

$$0.4\omega_{AB}=0 \quad\Rightarrow\quad \omega_{AB}=0$$

因此：

核心觀念

本題考查：

• 固定軸轉動剛體的能量守恆。
• 圓盤對銷釘 $A$ 的轉動慣量。
• 質心 $G$ 的法向加速度與牛頓第二定律。

由圖可知，圓盤半徑為

$$r=AG=0.1\ \text{m}$$

圓盤質量為 $m=20\ \text{kg}$，初始角速度為

$$\omega_0=4\ \text{rad/s}$$

圓盤以銷釘 $A$ 為固定轉軸，且轉動方向為順時針。

角速度求解

圓盤繞質心的轉動慣量為

$$I_G=\frac{1}{2}mr^2$$

依平行軸定理，圓盤繞 $A$ 的轉動慣量為

$$I_A=I_G+mr^2 =\frac{3}{2}mr^2$$

代入數值：

$$I_A=\frac{3}{2}(20)(0.1)^2 =0.30\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

當 $\theta=0^\circ$ 時，$G$ 與 $A$ 等高；當 $\theta=90^\circ$ 時，圓盤順時針轉動，質心 $G$ 下降 $0.1\ \text{m}$。

由機械能守恆：

$$\frac{1}{2}I_A\omega_0^2+mg(0.1) = \frac{1}{2}I_A\omega^2$$

因此

$$\omega^2 = \omega_0^2+\frac{2mg(0.1)}{I_A}$$

核心觀念

本題使用：

• 無摩擦約束下的機械能守恆
• 位能差由圖形幾何關係求得
• 平面圓弧的切線方向與傾斜角關係

質量 $m=150\ \text{kg}$ 在能量方程中會約掉。

1. 求 A、B 的高度差

由圖可知，A、B 到 $z$ 軸的水平距離皆為 $55\ \text{m}$，而

$$r_A=60\ \text{m},\qquad r_B=57\ \text{m}$$

因此：

$$z_A=\sqrt{r_A^2-55^2} =\sqrt{60^2-55^2} =\sqrt{575} =23.98\ \text{m}$$ $$z_B=\sqrt{r_B^2-55^2} =\sqrt{57^2-55^2} =\sqrt{224} =14.97\ \text{m}$$

A 到 B 的下降高度為

$$\Delta h=z_A-z_B =23.98-14.97 =9.01\ \text{m}$$

2. 由能量守恆求 $v_B$

忽略摩擦，法向力不作功，因此：

$$\frac12mv_A^2+mgz_A = \frac12mv_B^2+mgz_B$$

整理得：

$$v_B^2=v_A^2+2g(z_A-z_B)$$

初速換算為：

本題考查能量守恆和圓周運動的動力學，應用於過山車在環形軌道上的運動。

題目描述一個質量為 m = 1000 kg 的過山車，從 A 點靜止釋放。需要求出 A 點的最小高度 h，使得過山車能夠順利通過 B 和 C 兩個環形軌道。同時，需要計算在通過 B 點和 C 點時的法向反力。
PB = 10 m (B 點環的直徑)，pc = 7 m (C 點環的直徑)。
忽略摩擦力，輪子質量和車體大小。

首先，我們需要應用能量守恆定律。
由於忽略摩擦力，機械能守恆。
$E_A = E_B = E_C$
$K_A + U_A = K_B + U_B = K_C + U_C$
過山車從 A 點靜止釋放，所以 $K_A = 0$。
我們將 A 點的高度設為參考零點，即 $h_A = 0$。
那麼，在 A 點的能量 $E_A = 0$。

對於環形軌道，要使車輛能夠通過最高點而不離開軌道，必須滿足一定的條件。
對於 B 點的環，直徑 $d_B = 10$ m，半徑 $r_B = d_B/2 = 5$ m。
對於 C 點的環，直徑 $d_C = 7$ m，半徑 $r_C = d_C/2 = 3.5$ m。

設 A 點的高度為 h。
過山車從 A 點下滑到 B 點環的最高點。
我們需要確定 B 點環的最高點的高度。
假設 A 點在最高處。
B 點環的最高點高度 $h_{B,top} = h_B + r_B$。
C 點環的最高點高度 $h_{C,top} = h_C + r_C$。

從圖中讀取 B 和 C 點環的中心高度。
假設 A 點的高度為 h。
B 點環的中心高度 $h_B$。
C 點環的中心高度 $h_C$。
從圖中，B 點環的中心高度約為 10 m。C 點環的中心高度約為 7 m。
B 點環的最高點高度 $h_{B,top} = h_B + r_B = 10 + 5 = 15$ m。
C 點環的最高點高度 $h_{C,top} = h_C + r_C = 7 + 3.5 = 10.5$ m。

條件：要使車輛能夠通過最高點而不離開軌道，在最高點的速度必須大於或等於零，並且法向反力必須大於或等於零。
在最高點，受力為重力和軌道的向下法向反力。
$mg + N = m \frac{v^2}{r}$。
為了不離開軌道，必須 $N \ge 0$。
所以，在最高點，必須 $mg \ge m \frac{v^2}{r}$，即 $v^2 \le gr$。
這是錯誤的。為了不離開軌道，法向力必須大於或等於零。
在最高點，重力 $mg$ 是向下的，法向力 $N$ 也是向下的（如果軌道在上方）。
合力提供向心力。
$mg + N = m \frac{v^2}{r}$。
為了 $N \ge 0$，必須 $mg \ge m \frac{v^2}{r}$，即 $v^2 \le gr$。
這是錯誤的。

正確的條件是，在最高點，必須有足夠的速度，使得向心力 $m \frac{v^2}{r}$ 大於或等於重力 $mg$，這樣軌道才能提供向下的支持力（或者說，車輛不會因為重力而脫離軌道）。
所以，在最高點，必須 $m \frac{v^2}{r} \ge mg$，即 $v^2 \ge gr$。
因此，在 B 點環的最高點，必須 $v_B^2 \ge g r_B = 9.81 \times 5 = 49.05$ (m²/s²)。
在 C 點環的最高點，必須 $v_C^2 \ge g r_C = 9.81 \times 3.5 = 34.335$ (m²/s²)。

現在應用能量守恆。
從 A 點 (高度 h, 速度 0) 到 B 點環的最高點 (高度 $h_{B,top} = 15$ m, 速度 $v_B$)。
$0 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgh_{B,top}$。
$gh = \frac{1}{2}v_B^2 + gh_{B,top}$。
$h = \frac{v_B^2}{2g} + h_{B,top}$。
為了使 $v_B^2 \ge g r_B$，我們取最小值 $v_B^2 = g r_B$。
所以，最小高度 $h_{min, B} = \frac{g r_B}{2g} + h_{B,top} = \frac{r_B}{2} + h_{B,top} = \frac{5}{2} + 15 = 2.5 + 15 = 17.5$ m。

從 A 點 (高度 h, 速度 0) 到 C 點環的最高點 (高度 $h_{C,top} = 10.5$ m, 速度 $v_C$)。
$0 + mgh = \frac{1}{2}mv_C^2 + mgh_{C,top}$。
$gh = \frac{1}{2}v_C^2 + gh_{C,top}$。
$h = \frac{v_C^2}{2g} + h_{C,top}$。
為了使 $v_C^2 \ge g r_C$，我們取最小值 $v_C^2 = g r_C$。
所以，最小高度 $h_{min, C} = \frac{g r_C}{2g} + h_{C,top} = \frac{r_C}{2} + h_{C,top} = \frac{3.5}{2} + 10.5 = 1.75 + 10.5 = 12.25$ m。

為了能夠順利通過兩個環，最小高度 h 必須同時滿足兩個條件。
所以，h 必須大於或等於兩個最小值中的較大者。
$h_{min} = \max(h_{min, B}, h_{min, C}) = \max(17.5, 12.25) = 17.5$ m。

所以，最小高度 h = 17.5 m。

核心觀念

此題考察剛體小角度振動，需使用：

• 均勻細桿繞固定端 $A$ 的質量轉動慣量
  $I_A=\frac{1}{3}mL^2$
• 小角度近似：$\sin\theta\approx\theta$
• 重力與彈簧力所造成的等效恢復力矩
• 自由振動方程
  $I_A\ddot{\theta}+K_\theta\theta=0$
  其中自然角頻率為
  $\omega_n=\sqrt{\frac{K_\theta}{I_A}}$

解題方法

設桿由鉛直向下位置產生小角位移 $\theta$。

桿端點 $B$ 的水平位移為

$x_B=L\sin\theta\approx L\theta$

因此彈簧變形量為 $x_B$，彈簧力大小為

$F_s=kx_B\approx kL\theta$

其對 $A$ 的恢復力矩為

$M_s=F_sL\cos\theta\approx kL^2\theta$

桿的重心位於距離 $A$ 為 $L/2$ 處。重力對 $A$ 的力矩為

$M_g=mg\frac{L}{2}\sin\theta\approx mg\frac{L}{2}\theta$

因此小角度下的轉動方程為