112 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所乙組《動力學》

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第 1 題

(1) At the instant shown in Fig. 1, cars A and B are traveling at the speeds shown. If B is accelerating at 1600 km/h² while A maintains a constant speed, determine the velocity vA/Bv_{A/B} [5%] and acceleration aA/Ba_{A/B} [5%] of A with respect to B. Both vA/Bv_{A/B} and aA/Ba_{A/B} are the magnitude of the resultant.

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核心觀念

相對運動取同一慣性座標系，有

v⃗A/B=v⃗A−v⃗B\vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B a⃗A/B=a⃗A−a⃗B\vec a_{A/B}=\vec a_A-\vec a_B

車輛 AA 等速行駛於半徑 r=100 m=0.1 kmr=100\ \text{m}=0.1\ \text{km} 的圓弧上，因此具有法向加速度

aA=vA2ra_A=\frac{v_A^2}{r}

方向指向圓心。由圖可知，AA 的速度方向為左上 45∘45^\circ，其圓心方向為右上 45∘45^\circ；BB 向右行駛並沿行進方向加速。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上。

1. 相對速度

車 AA 的速度分量為

v⃗A=16(−cos⁡45∘ i+sin⁡45∘ j)\vec v_A =16\left(-\cos45^\circ\,\mathbf i+\sin45^\circ\,\mathbf j\right) v⃗A=(−11.314 i+11.314 j) km/h\vec v_A=(-11.314\,\mathbf i+11.314\,\mathbf j)\ \text{km/h}

車 BB 的速度為

v⃗B=65 i km/h\vec v_B=65\,\mathbf i\ \text{km/h}

因此

v⃗A/B=v⃗A−v⃗B\vec v_{A/B} =\vec v_A-\vec v_B v⃗A/B=(−76.314 i+11.314 j) km/h\vec v_{A/B} =(-76.314\,\mathbf i+11.314\,\mathbf j)\ \text{km/h}

其大小為

vA/B=(−76.314)2+(11.314)2v_{A/B} =\sqrt{(-76.314)^2+(11.314)^2} vA/B=77.15 km/h\boxed{v_{A/B}=77.15\ \text{km/h}}

2. 相對加速度

因為 AA 等速圓周運動，其法向加速度為

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第 2 題

(2) See Fig. 2, the man at A wishes to throw two darts at the target at B so that they arrive at the same time. If each dart is thrown with a speed of 10 m/s, determine the angles θC\theta_C [5%] and θD\theta_D [5%] at which they should be thrown and the time Δt\Delta t [5%] between each throw. Note that the first dart must be thrown at θC\theta_C (>θD>\theta_D) then the second dart is thrown at θD\theta_D. The distance between A and B is L = 4.35.

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核心觀念

兩支飛鏢皆以初速 v0=10 m/sv_0=10\ \text{m/s}，由 AA 投向同高度的目標 BB，水平距離為

L=4.35 m.L=4.35\ \text{m}.

此題使用斜拋運動公式。由於兩支飛鏢初速大小相同且落點高度相同，因此會有兩個互補發射角：

θC+θD=90∘.\theta_C+\theta_D=90^\circ.

飛行時間為

T=2v0sin⁡θg.T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

因為 θC>θD\theta_C>\theta_D，所以以較大角度 θC\theta_C 發射的飛鏢飛行時間較長，必須先發射。

解題方法

水平方向無加速度，因此射程公式為

L=v02sin⁡2θg.L=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}.

代入題目數據：

4.35=102sin⁡2θ9.81,4.35=\frac{10^2\sin 2\theta}{9.81},

因此

sin⁡2θ=9.81(4.35)100=0.426735.\sin 2\theta=\frac{9.81(4.35)}{100}=0.426735.

取低角度解：

2θD=sin⁡−1(0.426735)≈25.27∘,2\theta_D=\sin^{-1}(0.426735)\approx25.27^\circ,

所以

θD≈12.63∘.\boxed{\theta_D\approx12.63^\circ}.
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第 3 題

(3) At the instant shown in Fig. 3, the wheel rotates with an angular velocity of ω=14.5 rad/s\omega = 14.5 \, \text{rad/s} and an angular acceleration of α=7.5 rad/s2\alpha = 7.5 \, \text{rad/s}^2. Determine the magnitudes of the resultants as follows: the velocity vBv_B of pin B [5%], angular velocity ωBC\omega_{BC} of rod BC [5%], acceleration aBa_B of pin B [5%], acceleration aCa_C of pin C [5%], and angular acceleration αBC\alpha_{BC} of link BC [5%].

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核心觀念

本題考查平面剛體運動與相對速度、相對加速度：

  • 圓周運動：
    vB=ωrv_B=\omega r
aB=α×rB/O−ω2rB/O\mathbf a_B=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{B/O} -\omega^2\mathbf r_{B/O}
  • 剛體 BCBC 的相對速度：
    vC=vB+ωBC×rC/B\mathbf v_C=\mathbf v_B+\boldsymbol\omega_{BC}\times\mathbf r_{C/B}
  • 剛體 BCBC 的相對加速度：
aC=aB+αBC×rC/B−ωBC2rC/B\mathbf a_C=\mathbf a_B+\boldsymbol\alpha_{BC}\times\mathbf r_{C/B} -\omega_{BC}^2\mathbf r_{C/B}
  • 桿 DCDC 長度為 0.3 m0.3\ \text{m}，且與水平夾角 45∘45^\circ；DD 為固定鉸點。

取 xx 軸向右、yy 軸向上，圖示輪子以逆時針方向轉動。

解題方法

1. 銷 BB 的速度

由圖中輪半徑

rB/O=0.3 mr_{B/O}=0.3\ \text{m}

因此

vB=ωrB/O=(14.5)(0.3)=4.35 m/sv_B=\omega r_{B/O} =(14.5)(0.3) =4.35\ \text{m/s}

此時 BB 位於輪子最右側，所以速度方向鉛直向上。

vB=4.35 m/s\boxed{v_B=4.35\ \text{m/s}}

2. 桿 BCBC 的角速度

桿 BCBC 瞬間水平，且

rC/B=1.2 i\mathbf r_{C/B}=1.2\,\mathbf i

由相對速度式：

vC=vB+ωBC×rC/B\mathbf v_C =\mathbf v_B+\boldsymbol\omega_{BC}\times\mathbf r_{C/B}

代入：

vC=4.35 j+ωBCk×(1.2 i)\mathbf v_C =4.35\,\mathbf j +\omega_{BC}\mathbf k\times(1.2\,\mathbf i) vC=(4.35+1.2ωBC)j\mathbf v_C =(4.35+1.2\omega_{BC})\mathbf j

另一方面，桿 DCDC 當下與水平夾角 45∘45^\circ，其速度方向必垂直於 DCDC。由於 BB 的速度沒有水平分量，而桿 BCBC 為水平，CC 的速度也沒有水平分量；因此 CC 當下速度為零，桿 DCDC 瞬間為零角速度。

故

4.35+1.2ωBC=04.35+1.2\omega_{BC}=0 ωBC=−3.625 rad/s\omega_{BC}=-3.625\ \text{rad/s}

負號表示桿 BCBC 以順時針方向轉動，所求大小為

ωBC=3.625 rad/s\boxed{\omega_{BC}=3.625\ \text{rad/s}}

3. 銷 BB 的加速度

法向加速度：

aBn=ω2r=(14.5)2(0.3)=63.075 m/s2a_{Bn}=\omega^2r =(14.5)^2(0.3) =63.075\ \text{m/s}^2

方向指向輪心，即向左。

切向加速度：

aBt=αr=(7.5)(0.3)=2.25 m/s2a_{Bt}=\alpha r =(7.5)(0.3) =2.25\ \text{m/s}^2

方向向上。

因此

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第 4 題

(4) As shown in Fig. 4, the 2-Mg car is traveling along the curved road described by r=(52.5e0.2θ) mr = (52.5e^{0.2\theta}) \, \text{m}, where θ\theta is in radians. If a camera is located at A and it rotates with an angular velocity of θ˙=0.05 rad/s\dot{\theta} = 0.05 \, \text{rad/s} and an angular acceleration of θ¨=0.01 rad/s2\ddot{\theta} = 0.01 \, \text{rad/s}^2 at the instant θ=π/6 rad\theta = \pi/6 \, \text{rad}, determine the acceleration in rr coordinate: ara_r [5%] and aθa_\theta [5%], and the resultant friction force FF [10%] developed between the tires and the road at this instant. Note: m=2000 kgm = 2000 \, \text{kg}, g=9.81 m/s2g = 9.81 \, \text{m/s}^2.

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核心觀念

本題考查極座標中的加速度分量。對於位置 r=r(θ)r=r(\theta) 的曲線，極座標加速度為

ar=r¨−rθ˙2a_r=\ddot r-r\dot\theta^2 aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta

其中

r˙=drdθθ˙\dot r=\frac{dr}{d\theta}\dot\theta r¨=d2rdθ2θ˙2+drdθθ¨\ddot r=\frac{d^2r}{d\theta^2}\dot\theta^2+\frac{dr}{d\theta}\ddot\theta

若道路為水平面，輪胎與道路間的合摩擦力即為提供車輛加速度的合力，因此

F=m∣a∣=mar2+aθ2F=m|\mathbf a| =m\sqrt{a_r^2+a_\theta^2}

解題方法

已知

r=52.5e0.2θr=52.5e^{0.2\theta}

在

θ=π6,θ˙=0.05 rad/s,θ¨=0.01 rad/s2\theta=\frac{\pi}{6},\qquad \dot\theta=0.05\ \text{rad/s},\qquad \ddot\theta=0.01\ \text{rad/s}^2

先求當下位置：

r=52.5e0.2(π/6)=52.5eπ/30≈58.30 mr=52.5e^{0.2(\pi/6)} =52.5e^{\pi/30} \approx 58.30\ \text{m}

由於

drdθ=0.2r\frac{dr}{d\theta}=0.2r d2rdθ2=0.04r\frac{d^2r}{d\theta^2}=0.04r

因此

r˙=(0.2r)θ˙=0.2(58.30)(0.05)≈0.583 m/s\dot r=(0.2r)\dot\theta =0.2(58.30)(0.05) \approx 0.583\ \text{m/s} r¨=(0.04r)θ˙2+(0.2r)θ¨=0.04(58.30)(0.05)2+0.2(58.30)(0.01)≈0.1224 m/s2\begin{aligned} \ddot r &=(0.04r)\dot\theta^2+(0.2r)\ddot\theta\\ &=0.04(58.30)(0.05)^2 +0.2(58.30)(0.01)\\ &\approx 0.1224\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

徑向加速度 ara_r

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第 5 題

(5) The motor exerts a force of F=(23t2) NF = (23 t^2) \, \text{N} on the cable (see Fig. 5), where tt is in seconds. Determine the speed vv [15%] of the 23-kg crate A when t=4 st = 4 \, \text{s}. The coefficients of static and kinetic friction between the crate and the plane are μs=0.3\mu_s = 0.3 and μk=0.25\mu_k = 0.25, respectively.

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核心觀念

木箱在水平面上運動，水平方向使用牛頓第二定律：

∑Fx=ma\sum F_x=ma

垂直方向無加速度，因此

N=mgN=mg

靜摩擦力的最大值為

fs,max⁡=μsNf_{s,\max}=\mu_s N

木箱開始滑動後，摩擦力改為動摩擦力：

fk=μkN=μkmgf_k=\mu_k N=\mu_k mg

解題方法

已知

m=23 kg,F=23t2 Nm=23\ \text{kg},\qquad F=23t^2\ \text{N}

取 g=9.81 m/s2g=9.81\ \text{m/s}^2。

木箱開始滑動的條件為馬達力量達到最大靜摩擦力：

23t02=μsmg23t_0^2=\mu_s mg 23t02=0.3(23)(9.81)23t_0^2=0.3(23)(9.81)

因此

t0=0.3(9.81)=1.715 st_0=\sqrt{0.3(9.81)} =1.715\ \text{s}

在 0≤t≤t00\le t\le t_0 期間，木箱尚未滑動，故速度為零。

當 t>t0t>t_0 時，木箱開始運動，動摩擦力為

fk=μkmg=0.25(23)(9.81)f_k=\mu_k mg =0.25(23)(9.81)

水平方向運動方程式：

23t2−fk=ma23t^2-f_k=ma
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第 6 題

(6) At the instant shown in Fig. 6, the uniform 35 kg slender rod has a counterclockwise angular velocity of ω=7 rad/s\omega = 7 \, \text{rad/s}. Determine the tangential component OtO_t [5%] and normal component OnO_n [5%] of reaction of pin O on the rod and the angular acceleration α\alpha [5%] of the rod at this instant.

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核心觀念

本題考查平面剛體繞固定銷 OO 的轉動，使用：

  1. 剛體繞固定點的轉動方程
    ∑MO=IOα\sum M_O=I_O\alpha
  2. 平行軸定理
    IO=IG+md2I_O=I_G+md^2
  3. 質心加速度的切向、法向分量
    at=αr,an=ω2ra_t=\alpha r,\qquad a_n=\omega^2r
  4. 質心的平移運動方程
    ∑Ft=mat,∑Fn=man\sum F_t=ma_t,\qquad \sum F_n=ma_n

由圖可知，桿長

L=0.4+0.7=1.1 mL=0.4+0.7=1.1\ \text{m}

質心位於桿中點，因此質心 GG 在 OO 右側

rOG=1.12−0.4=0.15 mr_{OG}=\frac{1.1}{2}-0.4=0.15\ \text{m}

取逆時針為正方向，且切向正方向向上、法向正方向指向 OO。

解題方法

桿的重量為

W=mg=35(9.81)=343.35 NW=mg=35(9.81)=343.35\ \text{N}

質心慣性矩為

IG=112mL2=112(35)(1.1)2=3.529 kg⋅m2I_G=\frac{1}{12}mL^2 =\frac{1}{12}(35)(1.1)^2 =3.529\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

利用平行軸定理：

IO=IG+m(0.15)2I_O=I_G+m(0.15)^2

IO=3.529+35(0.15)2=4.317 kg⋅m2I_O=3.529+35(0.15)^2 =4.317\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

1. 求角加速度 α\alpha

對銷 OO 取力矩。外加力偶 M=65 N⋅mM=65\ \text{N}\cdot\text{m} 為逆時針，重量對 OO 產生順時針力矩：

65−(343.35)(0.15)=IOα65-(343.35)(0.15)=I_O\alpha

65−51.5025=4.317α65-51.5025=4.317\alpha

因此

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