112 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所甲組《流體力學》

核心觀念

本題考查：

• 浮力定律：$F_B=\rho g V$
• 浮力作用位置：均勻浸水桿的浮力作用於浸沒段體積中心
• 靜力平衡：繞鉸支點的合力矩為零
• 幾何關係：浸沒長度與水面高度的三角函數關係

設浸沒長度為 $s$，桿與水平面的夾角為 $\theta$。

桿截面積為

$$A=(0.15)(0.15)=0.0225\ \text{m}^2$$

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解題方法

（1）求浸沒長度

浸沒體積為

$$V=As$$

因此浮力為

$$F_B=\rho gAs$$

浮力作用於浸沒段的幾何中心，距離支點 $s/2$；桿重力 $W=680\ \text{N}$ 作用於整根桿的中心，距離支點 $L/2$。

繞支點取力矩。由於浮力與重力皆為鉛直方向，其力臂均含有相同的水平投影因子 $\cos\theta$，可相互消去：

$$F_B\left(\frac{s}{2}\right)=W\left(\frac{L}{2}\right)$$

代入 $F_B=\rho gAs$：

$$\rho gAs\left(\frac{s}{2}\right) = W\left(\frac{L}{2}\right)$$

整理得

$$\rho gAs^2=WL$$

所以

$$s=\sqrt{\frac{WL}{\rho gA}}$$

代入數值：

本題主要考驗對白努利方程式的理解，包括其名稱、物理意義、以及與能量守恆的關聯。

【核心觀念】
白努利方程式 (Bernoulli's Equation) 是流體力學中的基本定律，描述理想流體在穩定流動下的壓力、速度與高度之間的關係。

【解題過程】

(1) 此方程式的中、英文名稱,分別為何?

• 中文名稱: 白努利方程式 (或 柏努利方程式)
• 英文名稱: Bernoulli's Equation

(2) 此方程式是哪個物理量守恆方程式的特例?

此方程式是 能量守恆 (Conservation of Energy) 的一種形式，特別是針對不可壓縮、無黏性、穩態流動的理想流體。它也可以被視為一種廣義的動量守恆，但更直接的關聯是能量守恆。

(3) 該式中第一項的壓力代表上小題物理量的哪種形式?

該式中的第一項 $p$ 代表 壓力能 (Pressure Energy) 或 靜壓力 (Static Pressure)，它代表單位體積的流體所具有的壓力位能。在能量守恆的角度來看，它與動能和位能共同構成總能量。

(4) 但是壓力的單位(或因次)並非該物理量的,請解釋原因。

• 壓力 (Pressure) 的單位: 帕斯卡 (Pa) 或 牛頓/平方公尺 ($N/m^2$)。其因次為 $[ML^{-1}T^{-2}]$。
• 能量 (Energy) 的單位: 焦耳 (J) 或 牛頓-公尺 (Nm)。其因次為 $[ML^2T^{-2}]$。

本題主要考驗對 d'Alembert 悖論的理解，包括其定義、成因及解決方法。

【核心觀念】
d'Alembert 悖論是指在理想流體（無黏性、不可壓縮）中運動的物體所受的阻力為零，這與實際經驗嚴重不符。

【解題過程】

(1) 什麼是 d'Alembert Paradox?

d'Alembert Paradox (達朗貝爾悖論) 是指，根據理想流體力學（假設流體無黏性且流動是穩定的、對稱的）的分析，一個在穩態流動的無黏性、不可壓縮流體中運動的物體，所受到的淨流體力（包括阻力和升力）為零。也就是說，物體不會受到任何阻力。

(2) 為何產生?

這個悖論的產生主要源於對 理想流體 的假設，特別是 忽略流體的黏性 (viscosity)。在 d'Alembert 的分析中，他假設流體是無黏性的，因此流體粒子之間沒有摩擦力。同時，他也假設了流場是對稱的，即物體前方和後方的壓力分佈是對稱的。

• 無黏性: 由於沒有黏性，流體可以順暢地流過物體表面，不會在物體表面產生剪應力。
• 對稱壓力分佈: 在無黏性、穩態流動下，物體前方的壓力與後方的壓力在垂直於運動方向上是對稱的。這意味著，物體前方受到的壓力總和與後方受到的壓力總和在運動方向上的分量會相互抵消，因此淨的壓力阻力為零。

然而，在現實世界中，流體都具有黏性。黏性導致了：

• 邊界層 (Boundary Layer) 的形成: 在物體表面附近，流體速度因黏性效應而降低，形成一個薄的邊界層。
• 流水分離 (Flow Separation): 在邊界層內，由於壓力梯度或物體幾何形狀的影響，流體可能從物體表面分離，在物體後方形成低壓區和渦流區。

本題主要考驗對翼尖渦、升力產生機制以及 Kutta-Joukowski 定理的理解。

【核心觀念】
飛機的升力主要來自於機翼上下表面的壓力差，而翼尖渦是機翼上下壓力不平衡在翼尖處形成的三維流動現象，其強度與升力密切相關。Kutta-Joukowski 定理提供了計算理想流體中物體所受升力的一種方法。

【解題過程】

飛機起飛重量與翼尖渦強度成正比的原因

飛機的起飛重量決定了其起飛時所需的最小升力。為了產生足夠的升力來克服重力，機翼需要產生足夠的下洗 (downwash) 或向下動量。

1. 升力產生機制: 機翼的翼型設計使得流過上表面的空氣速度大於下表面，根據白努利原理，上表面的壓力小於下表面，從而產生向上的升力。
2. 壓力不平衡與翼尖渦: 機翼上下表面的壓力差是升力的來源。由於機翼是有限翼展，高壓區（下表面）的空氣傾向於流向低壓區（上表面），這種流動在翼尖處形成一個旋轉的渦流，即翼尖渦。
3. 翼尖渦的強度與下洗: 翼尖渦的強度（渦量）與機翼上下表面壓力差的大小直接相關。壓力差越大，產生的升力越大，同時翼尖渦也越強。翼尖渦會誘導出一個向下的速度場，稱為下洗。這個下洗會使流過機翼的平均空氣方向向下傾斜，進而影響機翼的有效攻角，並產生一個向下的反作用力（即誘導阻力）。
4. 起飛重量與升力需求: 飛機的起飛重量是其起飛時需要克服的最大重力。為了產生足夠的升力來克服這個重量，機翼需要產生一個相當大的總升力。
5. 聯繫: 由於升力與翼尖渦的強度以及下洗有關，而起飛重量決定了所需的升力大小，因此，起飛重量越大，所需的升力越大，這就意味著機翼上下表面的壓力差越大，從而導致更強的翼尖渦。簡而言之，要產生更大的升力來支撐更重的飛機，就需要更強的翼尖渦來誘導更強的下洗。

Kutta-Joukowski Law 的向量形式公式

Kutta-Joukowski 定理用於計算在二維穩態流動中，一個具有圓柱形橫截面（或具有特定翼型）的物體所受的升力。它將升力與流體的密度、流速、物體長度（在二維情況下視為單位長度）以及環量 (circulation) 聯繫起來。

向量形式的 Kutta-Joukowski 定理為：

$\vec{F}_L = \rho \vec{V}_\infty \times \vec{\Gamma}$

其中：

• $\vec{F}_L$ 是單位長度的升力向量 ($N/m$)。
• $\rho$ 是流體的密度 ($kg/m^3$)。
• $\vec{V}_\infty$ 是遠場（自由流）速度向量 ($m/s$)。
• $\vec{\Gamma}$ 是物體周圍的環量向量 ($m^2/s$)。環量定義為沿封閉曲線的線速度積分：$\Gamma = \oint_C \vec{v} \cdot d\vec{l}$。

公式中各符號意義:

• $\vec{F}_L$: 單位長度的升力向量。這個向量的 方向 是垂直於自由流速度 $\vec{V}_\infty$ 和環量 $\vec{\Gamma}$ 所決定的平面。對於一個在垂直於紙面的平面內運動的圓柱體，如果 $\vec{V}_\infty$ 在紙面內，$\vec{\Gamma}$ 垂直於紙面，則 $\vec{F}_L$ 也在紙面內，且垂直於 $\vec{V}_\infty$。
• $\rho$: 流體的密度。
• $\vec{V}_\infty$: 自由流的速度向量，即遠離物體時的流體速度。
• $\vec{\Gamma}$: 環量向量。

本題主要考驗對流體力學相似性原理的應用，特別是在潛艦設計中的應用，以及因次分析在比較不同工況下的阻力影響因素。

【核心觀念】
相似性原理是將實驗室中較小的模型試驗結果，推廣到實際大型物體（原型）上的基礎。因次分析 (Dimensional Analysis) 則是系統性地找出影響物理現象的關鍵無因次參數。

【解題過程】

(1) 新潛艦設計時需要做的船模阻力實驗,需要滿足哪三種相似性? 請分別說明其內容

在進行潛艦船模阻力實驗時，為了確保模型試驗結果能夠準確地反映真實潛艦的阻力特性，需要滿足以下三種主要的相似性：

1. 幾何相似性 (Geometric Similarity):

   • 內容: 模型與原型（真實潛艦）在形狀上必須是完全相似的。這意味著模型與原型之間各對應部分的尺寸比例必須保持一致。例如，模型船體各部分的長度、寬度、高度比例，以及尾舵、帆罩等附屬結構的相對尺寸比例都必須與原型相同。
   • 重要性: 確保流場的形狀與原型相同，這是其他相似性得以成立的基礎。

2. 運動相似性 (Kinematic Similarity):

   • 內容: 模型與原型之間的流場速度向量場，在對應點上必須是相似的。這意味著，在對應點上，速度向量的方向相同，且速度的大小比例（速度比）是一個常數。通常，這意味著模型與原型的流體速度比（或模型測試速度與實際航速的比值）是恆定的。
   • 重要性: 確保流體質點的運動軌跡和流速分佈在模型和原型上相似。

3. 動力相似性 (Dynamic Similarity):

   • 內容: 模型與原型之間的力向量，在對應點上必須是相似的。這意味著，作用在對應點上的力的方向相同，且力的比例（力比）是一個常數。這通常是通過確保關鍵的無因次參數（如雷諾數、馬赫數、弗汝德數等）相等來實現的。
   • 重要性: 確保影響流動行為的主要力（如慣性力、黏性力、重力、表面張力、壓縮性力等）之間的相對大小關係在模型和原型上相同。

在潛艦的阻力實驗中，最關鍵的動力相似性參數通常是 雷諾數 (Reynolds number, Re) 和 弗汝德數 (Froude number, Fr)。

• 雷諾數相似性 (Re Similarity): $\text{Re} = \frac{\rho v L}{\mu}$。確保雷諾數相等，表示慣性力與黏性力的比值相同。對於潛艦，由於其航速可能較高且尺寸較大，雷諾數通常非常大。在模型試驗中，要達到如此大的雷諾數可能需要使用高黏度的流體或非常高的流速，這有時難以實現。
• 弗汝德數相似性 (Fr Similarity): $\text{Fr} = \frac{v}{\sqrt{gL}}$。確保弗汝德數相等，表示慣性力與重力的比值相同。這對於考慮重力效應（如波浪阻力）的船體至關重要。對於潛艦，在水面航行時，弗汝德數相似性非常重要。

潛艦阻力實驗中，通常需要權衡雷諾數和弗汝德數的相似性。

• 對於船體波浪阻力（與弗汝德數有關），需要確保弗汝德數相似。
• 對於船體摩擦阻力（與雷諾數有關），需要確保雷諾數相似。
• 由於模型尺寸遠小於原型，要同時滿足極大的雷諾數和合理的弗汝德數是很困難的。通常採用 分區相似性 的方法：
  • 在水池中進行模型試驗，主要模擬波浪阻力（確保弗汝德數相似）。
  • 對於摩擦阻力，可以通過額外的計算或使用更小的模型在風洞中進行試驗來補償。

(2) 在深潛時的情形,和考慮使用潛望鏡的航行深度時,影響阻力的因素是否會有不同?請做因次分析,並說明解釋。

當潛艦在深潛（接近其最大工作深度）和僅使用潛望鏡進行航行（相對較淺深度）時，影響阻力的因素確實會有所不同。這主要與 流體的可壓縮性 和 重力效應 的相對重要性有關。我們可以使用因次分析來分析這些因素。

潛艦在水中運動時，其阻力 $R$ 可能依賴於以下幾個物理量：

• 流體密度 $\rho$
• 流體動力黏度 $\mu$
• 流體速度 $v$
• 潛艦的特徵長度 $L$ (例如，船體長度或直徑)
• 重力加速度 $g$
• 流體的可壓縮性（通常用聲速 $c$ 來表示）

我們希望找到一個關係式：$R = f(\rho, \mu, v, L, g, c)$。
根據 π 定理 (Buckingham Pi Theorem)，我們可以將這 7 個變量組合形成 $7 - 4 = 3$ 個無因次參數（基本因次為 M, L, T，共 3 個）。

列出各物理量的因次：

• $R$ (阻力): $[MLT^{-2}]$
• $\rho$ (密度): $[ML^{-3}]$
• $\mu$ (動力黏度): $[ML^{-1}T^{-1}]$
• $v$ (速度): $[LT^{-1}]$
• $L$ (長度): $[L]$
• $g$ (重力加速度): $[LT^{-2}]$
• $c$ (聲速): $[LT^{-1}]$

選擇基本變量：$\rho, v, L$ （它們包含 M, L, T）。

建立 $\pi$ 群：
$\pi_1 = R \cdot \rho^a \cdot v^b \cdot L^c$
$[M^0L^0T^0] = [MLT^{-2}] \cdot [ML^{-3}]^a \cdot [LT^{-1}]^b \cdot [L]^c$
$M: 1 + a = 0 \implies a = -1$
$T: -2 - b = 0 \implies b = -2$
$L: 1 - 3a + b + c = 0 \implies 1 - 3(-1) + (-2) + c = 0 \implies 1 + 3 - 2 + c = 0 \implies c = -2$
$\pi_1 = R \rho^{-1} v^{-2} L^{-2} = \frac{R}{\rho v^2 L^2}$。這是阻力係數 $C_D$ 的形式。

$\pi_2 = \mu \cdot \rho^a \cdot v^b \cdot L^c$
$[M^0L^0T^0] = [ML^{-1}T^{-1}] \cdot [ML^{-3}]^a \cdot [LT^{-1}]^b \cdot [L]^c$
$M: 1 + a = 0 \implies a = -1$
$T: -1 - b = 0 \implies b = -1$

核心觀念

平板邊界層由前緣開始發展，當局部雷諾數達到臨界值

$$Re_{x,c}=\frac{Ux_c}{\nu}=5\times10^5$$

時，流況由層流開始轉變為紊流。其中：

• $U$：平板相對於水的速度
• $x_c$：由前緣量起的轉捩位置
• $\nu$：水的運動黏度
• $Re_{x,c}$：轉捩臨界雷諾數

題目給的 $v=1.01\times10^{-6}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$，數值與單位並不一致；水的典型運動黏度應為

$$\nu=1.01\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$$

以下依此合理物理意義計算。

解題方法

平板全長為

$$L=3.5\ \mathrm{m}$$

若約有 $90\%$ 的邊界層已經是紊流，表示紊流區約占平板長度的 $90\%$，因此層流區約占 $10\%$。轉捩位置為

$$x_c=0.1L$$

代入平板長度：