113 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所甲組《流體力學》

此題主要考察勢流理論的基本概念，包括如何利用基本勢流解疊加來模擬圓柱繞流，以及 d'Alembert Paradox 的推導與解釋。

核心觀念： 勢流理論將流體視為無黏性、不可壓縮、無旋的理想流體。其解可透過疊加基本勢流解（如均勻流、點源/沉、環量）來建構複雜的流場。

解題過程：

• 構建圓柱模型與基本勢流樣態 (2%)：
  在勢流理論中，模擬圓柱繞流通常是將一個均勻流 (Uniform Flow) 與一個偶極子 (Dipole) 疊加，偶極子代表了圓柱的形狀。更精確地說，可以將圓柱視為一個均勻流與一個點源/沉 (Source/Sink) 偶極子，以及一個環量 (Vorticity/Circulation) 的組合。
  基本勢流樣態包括：

  1. 均勻流 (Uniform Flow): 代表流體在遠離物體時的狀態，例如 $u = U_\infty$, $v = 0$ (若流場沿 x 方向)。
  2. 點源/沉 (Source/Sink): 在一個點產生或消失的流體，對於模擬物體的形狀，需要兩個對稱的點源/沉構成偶極子。
  3. 環量 (Vorticity/Circulation): 代表流體的旋轉運動，對於圓柱繞流，通常是假設一個均勻流與一個偶極子（代表圓柱的形狀）疊加，若要考慮升力，則需疊加環量。

• 推導 d'Alembert Paradox (5%)：
  d'Alembert Paradox 指的是，在勢流理論的假設下，一個光滑、無分離的物體在穩態流場中受到的淨阻力為零。
  推導過程：
  考慮一個物體在均勻流 $U_\infty$ 中運動。利用勢流理論，我們可以找到物體表面的速度場。物體所受的阻力可以透過對物體表面壓力進行積分來計算。
  在勢流理論中，壓力由 Bernoulli 方程式給出：$p + \frac{1}{2}\rho U^2 + \rho g z = \text{constant}$。
  對於水平的、不可壓縮的、無黏性的流體，壓力與速度平方成正比。
  當物體對稱時，作用在物體前方的壓力積分與作用在後方的壓力積分會相互抵消。
  更嚴謹地，可以利用散度定理 (Divergence Theorem) 或其他積分方法，對物體周圍的壓力進行積分。對於一個封閉的物體，其所受的淨作用力為零。
  考慮一個圓柱體，其速度勢函數 $\phi$ 在極座標 $(r, \theta)$ 下，對於均勻流 $U_\infty$ 與偶極子結合，其勢流解為：

此題涵蓋了邊界層理論的核心概念，包括邊界層厚度的定義、相關參數的意義、邊界層分離的條件，以及如何應用邊界層概念來分析物體的阻力。

核心觀念： 邊界層是流體黏性效應在物體表面附近形成的薄層，其中速度梯度很大，並導致能量耗散和阻力。

解題過程：

(a) 邊界層厚度定義 (2%)
一般而言，邊界層厚度 $\delta$ (或稱位移厚度 $\delta$) 是指從物體表面到流體速度達到自由流速度 (如 $U_\infty$) 的 99% 處的距離。
$\delta \approx 0.99 U_\infty$
此定義是基於速度的相對變化，表示黏性影響顯著的區域範圍。

(b) Momentum Thickness 與 Displacement Thickness 的定義與物理意義 (8%)

• 動量厚度 (Momentum Thickness), $\theta$:
  定義為：
  $\theta = \int_0^\infty \frac{\rho U_\infty u(1 - u/U_\infty)}{\rho} dy = \int_0^\infty u(1 - u/U_\infty) dy$
  其中 $u(y)$ 是沿邊界層法線方向 (y 方向) 的速度分量，$U_\infty$ 是自由流速度。
  物理意義： 動量厚度代表了由於邊界層內速度虧損，使得邊界層內動量損失的量，相當於在自由流速度 $U_\infty$ 下，一個厚度為 $\theta$ 的流體層所損失的動量。它與邊界層的動量耗散有關，是計算阻力的重要參數。

• 位移厚度 (Displacement Thickness), $\delta^*$:
  定義為：
  $\delta^* = \int_0^\infty \left(1 - \frac{u(y)}{U_\infty}\right) dy$
  物理意義： 位移厚度代表了由於邊界層內流體速度低於自由流速度，使得邊界層「擠占」了相當於自由流速度的流體流動空間。想像一個沒有邊界層的流體，其流道寬度為 $W$。由於邊界層的存在，實際流體必須通過一個寬度為 $W - \delta^*$ 的空間，才能維持與自由流相同的流量。因此，邊界層的位移厚度可以看作是一個「虛擬」的物體，其形狀與原物體相似，但能將自由流「推開」 $\delta^*$ 的距離。它主要與邊界層對外部流場的影響有關，尤其是在計算外部流場的速度變化時。

(c) 邊界層剝離的情形 (5%)
邊界層剝離 (Flow Separation) 是指邊界層內的流體因為受到逆壓梯度 (adverse pressure gradient) 的影響，流速減慢甚至反向流動，導致主流與物體表面分離的現象。
發生情形：

1. 逆壓梯度 (Adverse Pressure Gradient): 當流體沿著物體表面流動，壓力隨之增加時，就會產生逆壓梯度。例如，在圓柱或球體後方，壓力從最低點（最大速度點）開始回升。
2. 低流速或反向流動： 在強烈的逆壓梯度作用下，邊界層內的流體動量不足以克服壓力升高，速度會逐漸減慢。如果逆壓梯度足夠強，邊界層內甚至會出現反向流動。
3. 表面粗糙度： 粗糙的表面會增加流體的動量耗散，使得邊界層內的流體動量較低，更容易受到逆壓梯度的影響而發生分離。
4. 雷諾數： 雷諾數的影響是複雜的。在較低的雷諾數下，邊界層可能較早發生分離。但隨著雷諾數增加，邊界層從層流轉為紊流，紊流邊界層的動量較高，能抵抗較強的逆壓梯度，因此分離點會向後推遲，但一旦分離，其尾跡區的特性也會改變。

總結來說，邊界層剝離的主要原因是 逆壓梯度，而表面粗糙度和雷諾數則會影響邊界層的動量，進而影響分離發生的位置和特性。

此題為典型的因次分析題目，旨在利用 Buckingham Pi 定理來找出影響洋流發電機葉片流場的無因次參數，並解釋其物理意義。

核心觀念： 因次分析是利用物理量之間的因次關係，找出影響系統的獨立無因次參數，進而簡化實驗設計和理論分析。Buckingham Pi 定理指出，若一個物理現象由 $n$ 個變數描述，且這些變數包含 $k$ 個基本因次，則該現象可由 $n-k$ 個無因次參數來描述。

解題過程：

首先，列出所有相關的物理量及其基本因次 (M, L, T)：

• 流速 (U): $L T^{-1}$
• 葉片直徑 (D): $L$
• 水的密度 ($\rho$): $M L^{-3}$
• 水的黏性 ($\mu$): $M L^{-1} T^{-1}$
• 阻力 (D): $M L T^{-2}$
• 轉矩 (Q): $M L^2 T^{-2}$
• 轉速 (n): $T^{-1}$ (頻率的單位是 $s^{-1}$)
• 軸心距離海床的高度 (H): $L$
• 垂直支柱直徑 (d): $L$

我們總共有 $n=9$ 個物理量。

(a) 基本因次數量 (2%)
在這些物理量中，我們需要找出最少數量的基本因次，使得所有物理量都可以用這些基本因次表示。這裡我們使用長度 (L)、質量 (M) 和時間 (T)。

• U: $L T^{-1}$
• D: $L$
• $\rho$: $M L^{-3}$
• $\mu$: $M L^{-1} T^{-1}$
• D: $M L T^{-2}$
• Q: $M L^2 T^{-2}$
• n: $T^{-1}$
• H: $L$
• d: $L$

這些物理量都包含 M, L, T。我們可以選擇 U, D, $\rho$ 作為重複變數 (repeating variables)，因為它們包含了 M, L, T 三個基本因次，且它們本身不是無因次量。
M 的因次出現在 $\rho, \mu, D, Q$。
L 的因次出現在 U, D, $\rho, \mu, D, H, d$。
T 的因次出現在 U, $\mu, D, Q, n$。

由於我們選擇了 U ($L T^{-1}$), D ($L$), $\rho$ ($M L^{-3}$) 作為重複變數，這三個變數包含了 M, L, T 三個基本因次。因此，基本因次數量 $k=3$。

(b) 無因次量數量 (3%)
根據 Buckingham Pi 定理，無因次參數的數量為 $n-k$。
$n = 9$ (總物理量數量)
$k = 3$ (基本因次數量)
無因次量數量 = $9 - 3 = 6$ 個。
因此，可以推導出 6 個無因次量。

(c) 推導各無因次量並解釋其物理意義 (15%)
我們選擇 U, D, $\rho$ 作為重複變數，來組合其他變數形成無因次量。
設 $\pi_1 = U^a D^b \rho^c \mu$
其因次為：$(L T^{-1})^a (L)^b (M L^{-3})^c (M L^{-1} T^{-1}) = M^0 L^0 T^0$
$M: c + 1 = 0 \implies c = -1$
$T: -a - 1 = 0 \implies a = -1$
$L: a + b - 3c - 1 = 0 \implies -1 + b - 3(-1) - 1 = 0 \implies -1 + b + 3 - 1 = 0 \implies b = -1$
所以，$\pi_1 = U^{-1} D^{-1} \rho^{-1} \mu = \frac{\mu}{U D \rho}$
這個無因次量是 雷諾數 (Reynolds Number, Re)。
物理意義： 雷諾數是慣性力與黏性力之比 ($Re = \frac{\rho U D}{\mu} = \frac{\text{Inertial Force}}{\text{Viscous Force}}$)。它表示流體慣性效應相對於黏性效應的相對大小。在相似的流動問題中，雷諾數相同意味著流場的幾何相似性和動態相似性。

設 $\pi_2 = U^a D^b \rho^c D$ (阻力)
其因次為：$(L T^{-1})^a (L)^b (M L^{-3})^c (M L T^{-2}) = M^0 L^0 T^0$
$M: c + 1 = 0 \implies c = -1$
$T: -a - 2 = 0 \implies a = -2$
$L: a + b - 3c + 1 = 0 \implies -2 + b - 3(-1) + 1 = 0 \implies -2 + b + 3 + 1 = 0 \implies b = -2$
所以，$\pi_2 = U^{-2} D^{-2} \rho^{-1} D = \frac{D}{\rho U^2 D^2}$
我們可以重新組合這個無因次量，使其更常用。

此題要求計算葉片尖端 stagnation point 的壓力，並解釋所用原理。這涉及到伯努利方程的應用。

核心觀念： Stagnation point 是流體速度為零的點。在不可壓縮、無黏性、穩態流動中，伯努利方程描述了沿流線的壓力、速度和高度之間的關係。

解題過程：

(a) Stagnation point 處的最大壓力計算 (5%)
Stagnation point 是流體動能完全轉化為壓力能的點。在葉片中心半球型尖端，最前端的點就是 stagnation point。
我們可以使用伯努利方程來計算。假設有兩個點：

• 點 1: 遠處的自由流，速度為 $U = 1.6 \text{ m/s}$，壓力為 $p_\infty$ (靜止壓力)，高度為 $z_1$。
• 點 2: Stagnation point，速度為 $U_2 = 0 \text{ m/s}$，壓力為 $p_{stag}$ (最大壓力)，高度為 $z_2$。

由於葉片位於海床上 15m 高處，且是葉片中心，我們可以假設點 1 和點 2 在同一水平面上，即 $z_1 = z_2$。
伯努利方程為：
$p + \frac{1}{2}\rho U^2 + \rho g z = \text{constant}$
應用於點 1 和點 2：
$p_\infty + \frac{1}{2}\rho U^2 + \rho g z_1 = p_{stag} + \frac{1}{2}\rho (0)^2 + \rho g z_2$
由於 $z_1 = z_2$，則：
$p_\infty + \frac{1}{2}\rho U^2 = p_{stag}$
我們需要水的密度 $\rho$ 和自由流壓力 $p_\infty$。
題目給出：

• 海水密度 $\rho = 1050 \text{ kg/m}^3$ (從題目第二頁提供資訊)
• 海水流速 $U = 1.6 \text{ m/s}$
• 重力加速度 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$
• 葉片中心離海床高 $z = 15 \text{ m}$ (此高度在伯努利方程中抵消，但如果比較不同高度的點則需要)
• 洋流發電機設置於 40m 深的海床，這表示水深為 40m，但我們計算的是葉片中心的壓力，自由流壓力 $p_\infty$ 通常指海面大氣壓力加上靜水壓力。然而，題目問的是「最大壓力」，通常是指相對於絕對壓力的最大值，或者是指動壓轉化為靜壓的增量。如果題目是問「動態壓力」或「壓力增量」，則為 $\frac{1}{2}\rho U^2$。如果問的是絕對壓力，則需要知道海面大氣壓力。
  在這裡，"最大壓力" 通常是指 stagnation pressure，即 $p_{stag} = p_\infty + \frac{1}{2}\rho U^2$。
  如果題目沒有提供海面大氣壓力，並且沒有特別說明，則通常可以假設 $p_\infty$ 為零（相對壓力），或者直接計算動壓轉化為靜壓的部分。
  我們計算動壓轉化為靜壓的部分：
  $\Delta p = p_{stag} - p_\infty = \frac{1}{2}\rho U^2$
  $\Delta p = \frac{1}{2} \times 1050 \text{ kg/m}^3 \times (1.6 \text{ m/s})^2$
  $\Delta p = \frac{1}{2} \times 1050 \times 2.56 \text{ Pa}$
  $\Delta p = 1050 \times 1.28 \text{ Pa}$

此題涵蓋了實驗相似性理論、雷諾數的應用，以及邊界層的計算，是流體力學實驗設計與分析的綜合題。

核心觀念： 相似性理論要求無因次參數在模型和實體之間保持一致，以確保實驗結果能準確反映真實情況。雷諾數是動態相似性的關鍵參數。邊界層厚度與雷諾數和物體尺寸有關。

解題過程：

(a) 流場可視化線條的名稱 (2%)
在流場可視化實驗中，將顏料塗在物體表面，觀察流體如何流動，這些形成的線條稱為 流線 (Streamlines)。
如果顏料是跟隨流體運動，並且在瞬間捕捉到的圖形，則稱為 流線。
如果顏料是持續注入，形成隨時間變化的軌跡，則稱為 跡線 (Pathlines)。
對於觀察邊界層內的流動，通常是觀察顏料在物體表面形成的線條，這些線條代表了該點的瞬時速度方向，因此是流線。

(b) 規劃實驗條件的相似準則 (3%)
除了幾何相似 (Geometric Similarity) 和運動相似 (Kinematic Similarity)，在實驗設計中還需要考慮 動力相似 (Dynamic Similarity)。

• 幾何相似： 模型與實體的尺寸比例一致，形狀相同。
• 運動相似： 模型與實體中對應點的速度和加速度方向相同，且速度比率恆定。
• 動力相似： 模型與實體中對應點的力的比率恆定。這意味著支配流動的無因次參數必須相同。

(c) 無因次量與相似性 (10%)
這是最重要的一題，需要連結第 3 題的無因次參數與相似性。
幾何相似：
幾何相似主要由尺寸比例決定。在第 3 題推導出的無因次量中，與尺寸比例直接相關的包括：

• $\frac{H}{D}$ (高度比)
• $\frac{d}{D}$ (支柱直徑比)
• $\frac{D_{model}}{D_{prototype}}$ (模型與實體的尺寸比例，在這個題目中是 1/10)

運動相似：
運動相似是指速度場的相似。這通常由無因次速度或無因次時間來保證。在第 3 題中，與運動速度相關的無因次量是：

• $\frac{n D}{U}$ (葉尖速度比相關參數)：代表了葉片旋轉速度與流體流速的比例。
• $\frac{U}{U_{ref}}$ (若有參考速度的話)。

動力相似：
動力相似要求支配流動的力的比率相同。這由各種無因次力比來保證，最常見的是雷諾數 (慣性力/黏性力) 和馬赫數 (慣性力/彈性力)。
在第 3 題中，與動力相似相關的無因次量包括：

• $\frac{\mu}{\rho U D}$ (雷諾數, Re)：這是最關鍵的動力相似參數，表示慣性力與黏性力的比值。
• $\frac{D}{\rho U^2 D^2}$ (與阻力係數相關)：表示阻力與慣性力的比值。
• $\frac{Q}{\rho U^2 D^3}$ (與轉矩係數相關)：表示轉矩與慣性力矩的比值。

總結：

• 幾何相似： $\frac{H}{D}$, $\frac{d}{D}$ (以及所有尺寸的比值)。
• 運動相似： $\frac{n D}{U}$ (以及其他反映速度場的無因次參數)。
• 動力相似： $\frac{\mu}{\rho U D}$ (雷諾數), $\frac{D}{\rho U^2 D^2}$, $\frac{Q}{\rho U^2 D^3}$。

(d) 雷諾數計算與實驗速度估算 (5%)
實物 (prototype) 的參數：

• 最高流速 $U_{proto} = 2.5 \text{ m/s}$
• 葉片直徑 $D_{proto} = 7.0 \text{ m}$
• 海水密度 $\rho = 1050 \text{ kg/m}^3$
• 海水黏性 $\mu = 1.18 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s} \times 1050 \text{ kg/m}^3 = 1.239 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ (黏度 $\mu = \rho \nu$, 題目給的是運動黏度 $\nu$)
  $\mu = \rho \nu = 1050 \text{ kg/m}^3 \times 1.18 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s} = 1.239 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$

計算實物的雷諾數：
$Re_{proto} = \frac{\rho U_{proto} D_{proto}}{\mu} = \frac{1050 \text{ kg/m}^3 \times 2.5 \text{ m/s} \times 7.0 \text{ m}}{1.239 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}}$
$Re_{proto} = \frac{18375}{1.239 \times 10^{-3}} \approx 1.48 \times 10^7$
題目要求模型與實機的雷諾數達到「完全展開的紊流狀態」。通常紊流的起始雷諾數約為 $2 \times 10^5$。而 $1.48 \times 10^7$ 顯然是紊流狀態。

模型 (model) 的參數：

• 尺寸比例：模型尺寸是實物的 1/10，所以 $D_{model} = D_{proto} / 10 = 7.0 \text{ m} / 10 = 0.7 \text{ m}$。
• 流體：若使用海水，則 $\rho$ 和 $\mu$ 相同。
• 要達到動力相似，模型和實體的雷諾數必須相同：$Re_{model} = Re_{proto} = 1.48 \times 10^7$。

計算模型實驗速度 $U_{model}$：
$Re_{model} = \frac{\rho U_{model} D_{model}}{\mu}$