113 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《電子學》

核心觀念

理想運算放大器且負回授正常工作時：

• 輸入端電流為零：$i_+=i_-=0$
• 虛短路：$v_-=v_+=0$
• 因為非反相端接地，所以反相端電壓為虛接地：

$$v_-=0\text{ V}$$

利用歐姆定律與各節點 KCL（克希荷夫電流定律）即可求解。

(a) 求 $I_1$、$I_2$、$I_3$、$I_L$ 與 $V_x$

1. 求 $I_1$

反相端電壓為 $0$ V，因此輸入電阻兩端電壓為 $1$ V：

$$I_1=\frac{1-0}{10\,\text{k}\Omega} =0.1\,\text{mA}$$

由於理想運算放大器反相端不吸收電流，流入反相節點的電流全部流向上方的 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻，因此

$$I_2=I_1=0.1\,\text{mA}$$

2. 求 $V_x$

$I_2$ 的方向由反相節點流向 $V_x$，故

$$I_2=\frac{0-V_x}{10\,\text{k}\Omega}$$

代入 $I_2=0.1\,\text{mA}$：

$$0.1\,\text{mA} =\frac{-V_x}{10\,\text{k}\Omega}$$ $$V_x=-1\text{ V}$$

3. 求 $I_3$

圖中 $100\,\Omega$ 電阻的電流方向由接地端向上流至 $V_x$，因此

$$I_3=\frac{0-V_x}{100\,\Omega} =\frac{1}{100} =10\,\text{mA}$$

4. 求 $I_L$

在 $V_x$ 節點套用 KCL，流入節點的 $I_2$ 與 $I_3$ 皆流向負載電阻：

$$I_L=I_2+I_3$$ $$I_L=0.1+10=10.1\,\text{mA}$$

另外，$R_L$ 左端為 $V_x=-1$ V，右端為 $V_o$，所以

$$I_L=\frac{V_x-V_o}{R_L}$$

整理得

$$V_o=V_x-I_LR_L$$ $$V_o=-1-0.0101R_L$$

其中 $R_L$ 以 $\Omega$ 為單位。

(b) $R_L$ 的最大允許值

題目要求輸出電壓不得低於 $-13$ V：

$$V_o\geq -13\text{ V}$$

代入

核心觀念

本題考二極體並聯穩壓器的直流偏壓設計，以及用小訊號模型估算負載變動造成的輸出電壓變化。二極體在已知參考工作點附近可用

$$V_D-0.7=nV_T\ln\left(\frac{I_D}{1\,\mathrm{mA}}\right), \qquad r_d=\frac{nV_T}{I_D}$$

描述。兩顆串聯二極體流過相同電流，總小訊號電阻則為兩顆 $r_d$ 相加。

解題方法

圖 2 中，$+5\,\mathrm{V}$ 電源經電阻 $R$ 接到輸出節點；輸出節點並聯一支向地導通的兩顆串聯二極體，以及接地的負載 $R_L$。題目未提供二極體理想因子與熱電壓，以下採用 $n=2$、$V_T=25\,\mathrm{mV}$。

設計電阻 $R$

目標輸出為 $V_o=1.5\,\mathrm{V}$，兩顆相同二極體各分得 $0.75\,\mathrm{V}$。依二極體的指數關係：

$$I_D=1\,\mathrm{mA}\cdot \exp\left(\frac{0.75-0.70}{2(25\,\mathrm{mV})}\right) =e\,\mathrm{mA} \approx 2.718\,\mathrm{mA}$$

負載電流為

$$I_L=\frac{1.5\,\mathrm{V}}{1.5\,\mathrm{k\Omega}} =1.00\,\mathrm{mA}$$

因此流經 $R$ 的電流是 $I_D+I_L$，由電阻兩端電壓可得

$$R=\frac{5-1.5}{2.718\,\mathrm{mA}+1.00\,\mathrm{mA}} \approx 941\,\Omega$$

(a) 負載接上時的二極體電流

兩顆串聯二極體的電流相同，因此每顆二極體的電流都是

$$I_D\approx 2.718\,\mathrm{mA}$$

(b) 移除負載後的輸出電壓變化

在原工作點，每顆二極體的小訊號電阻為

$$r_d=\frac{2(25\,\mathrm{mV})}{2.718\,\mathrm{mA}} \approx 18.4\,\Omega$$

核心觀念

本題考二極體並聯穩壓器的直流偏壓設計，以及用小訊號模型估算負載變動造成的輸出電壓變化。二極體在已知參考工作點附近可用

$$V_D-0.7=nV_T\ln\left(\frac{I_D}{1\,\mathrm{mA}}\right), \qquad r_d=\frac{nV_T}{I_D}$$

描述。兩顆串聯二極體流過相同電流，總小訊號電阻則為兩顆 $r_d$ 相加。

解題方法

圖 2 中，$+5\,\mathrm{V}$ 電源經電阻 $R$ 接到輸出節點；輸出節點並聯一支向地導通的兩顆串聯二極體，以及接地的負載 $R_L$。題目未提供二極體理想因子與熱電壓，以下採用 $n=2$、$V_T=25\,\mathrm{mV}$。

設計電阻 $R$

目標輸出為 $V_o=1.5\,\mathrm{V}$，兩顆相同二極體各分得 $0.75\,\mathrm{V}$。依二極體的指數關係：

$$I_D=1\,\mathrm{mA}\cdot \exp\left(\frac{0.75-0.70}{2(25\,\mathrm{mV})}\right) =e\,\mathrm{mA} \approx 2.718\,\mathrm{mA}$$

負載電流為

$$I_L=\frac{1.5\,\mathrm{V}}{1.5\,\mathrm{k\Omega}} =1.00\,\mathrm{mA}$$

因此流經 $R$ 的電流是 $I_D+I_L$，由電阻兩端電壓可得

$$R=\frac{5-1.5}{2.718\,\mathrm{mA}+1.00\,\mathrm{mA}} \approx 941\,\Omega$$

(a) 負載接上時的二極體電流

兩顆串聯二極體的電流相同，因此每顆二極體的電流都是

$$I_D\approx 2.718\,\mathrm{mA}$$

(b) 移除負載後的輸出電壓變化

在原工作點，每顆二極體的小訊號電阻為

$$r_d=\frac{2(25\,\mathrm{mV})}{2.718\,\mathrm{mA}} \approx 18.4\,\Omega$$

核心觀念

圖 3 中 NMOS 的源極接地，因此

$$V_{GS}=V_i=1.3\text{ V},\qquad V_{DS}=v_o=0.05\text{ V}$$

過驅電壓為

$$V_{OV}=V_{GS}-V_t=1.3-0.4=0.9\text{ V}$$

因為

$$V_{DS}=0.05\text{ V}<V_{OV}=0.9\text{ V}$$

所以 MOSFET 工作在線性區（triode region）。

在線性區且 $V_{DS}\ll V_{OV}$ 時，MOSFET 可視為導通電阻：

$$r_{DS}\approx \frac{1}{k_n'(W/L)(V_{GS}-V_t)}$$

其中 $k_n'=500\,\mu\text{A}/\text{V}^2$。

求 $W/L$

代入 $r_{DS}=50\,\Omega$：

$$50=\frac{1}{(500\times10^{-6})(W/L)(0.9)}$$

因此

核心觀念

本題考查電阻分壓偏壓的直流工作點、共射極放大器的小訊號輸入電阻與電壓增益，以及兩級串接時前級受後級輸入電阻負載的影響。直流分析時，耦合電容視為開路；中頻小訊號分析時，耦合電容與射極旁路電容視為短路。

解題方法

圖 4 中，兩級皆為相同的共射極放大器：基極由 $R_1$、$R_2$ 分壓偏壓，集極接 $R_C$，射極接 $R_E$ 並由電容旁路；兩級間以耦合電容連接，訊號源有 $R_{\mathrm{sig}}$，末級接負載 $R_L$。題目給定 $V_{CC}=15\,\mathrm V$、$R_1=100\,\mathrm{k\Omega}$、$R_2=47\,\mathrm{k\Omega}$、$R_E=3.9\,\mathrm{k\Omega}$、$R_C=6.8\,\mathrm{k\Omega}$、$\beta=100$。直流時兩級因耦合電容隔開而各自偏壓；小訊號時，第一級集極看到第二級輸入電阻 $R_{\mathrm{in2}}$。

(a) 兩級的直流工作點

將分壓網路化為戴維寧等效：

$$V_{\mathrm{TH}} =15\frac{47}{100+47} =4.796\,\mathrm V$$ $$R_{\mathrm{TH}} =100\,\mathrm{k\Omega}\parallel47\,\mathrm{k\Omega} =31.97\,\mathrm{k\Omega}$$

取 $V_{BE}=0.7\,\mathrm V$，基極電流為

$$I_B =\frac{V_{\mathrm{TH}}-V_{BE}} {R_{\mathrm{TH}}+(\beta+1)R_E} =\frac{4.796-0.7} {31.97\,\mathrm{k\Omega}+101(3.9\,\mathrm{k\Omega})} =9.62\,\mathrm{\mu A}$$

因此每級的集極電流與集極電壓為

$$I_C=\beta I_B=0.962\,\mathrm{mA}$$ $$V_C=V_{CC}-I_C R_C =15-(0.962\,\mathrm{mA})(6.8\,\mathrm{k\Omega}) =8.46\,\mathrm V$$

工作點檢查：$V_E\approx I_E R_E=(0.972\,\mathrm{mA})(3.9\,\mathrm{k\Omega})=3.79\,\mathrm V$，故 $V_{CE}\approx8.46-3.79=4.67\,\mathrm V>0$，與電晶體處於放大區相符。兩級直流工作點相同。

(b) 求 $R_{\mathrm{in1}}$ 與 $v_{b1}/v_{\mathrm{sig}}$

取熱電壓 $V_T=25\,\mathrm{mV}$：

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.962\,\mathrm{mA}}{25\,\mathrm{mV}} =38.5\,\mathrm{mS}$$ $$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{38.5\,\mathrm{mS}} =2.60\,\mathrm{k\Omega}$$

射極旁路電容在中頻視為短路，所以基極小訊號輸入電阻為 $r_\pi$，並聯偏壓電阻後：

核心觀念

這題考共源級放大器的源極旁路電容效應。$C_S$ 會在低頻造成一個零點與一個極點；頻率升高時，$C_S$ 近似短路，源極電阻 $R_S$ 被旁路，中頻增益為 $-g_mR_D$。

解題方法

圖 5 中，輸入接 MOSFET 閘極，汲極經 $R_D$ 接 $V_{DD}$ 並取出輸出，源極經 $R_S=4.5\,\mathrm{k\Omega}$ 接 $-V_{SS}$，且以 $C_S$ 旁路至地。題目給定 $g_m=2\,\mathrm{mA/V}$，並忽略 $r_o$。

中頻時 $C_S$ 視為短路，源極為交流接地，因此

$$A_{v,\mathrm{mid}}=-g_mR_D=-20$$

解得

$$R_D=\frac{20}{2\,\mathrm{mA/V}}=10\,\mathrm{k\Omega}$$

電容 $C_S$ 的小訊號增益為

$$A_v(s)=-g_mR_D\frac{1+sR_SC_S}{1+g_mR_S+sR_SC_S}$$

因此零點與極點頻率分別為

$$f_z=\frac{1}{2\pi R_SC_S}, \qquad f_p=\frac{1+g_mR_S}{2\pi R_SC_S}$$

先算

$$g_mR_S=(2\,\mathrm{mA/V})(4.5\,\mathrm{k\Omega})=9$$

題目指定 $f_p=100\,\mathrm{Hz}$，故

$$C_S=\frac{1+g_mR_S}{2\pi R_Sf_p} =\frac{10}{2\pi(4.5\,\mathrm{k\Omega})(100\,\mathrm{Hz})} \approx 3.54\,\mathrm{\mu F}$$

零點頻率為