111 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《電子學》

假設為矽接面、室溫 $T=300\,\text{K}$，取 $V_T=0.0259\,\text{V}$、$\varepsilon_s=11.7\varepsilon_0=1.04\times10^{-12}\,\text{F/cm}$。

(a) 內建電位

$$V_{bi}=V_T\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$$ $$=0.0259\ln\left[\frac{(10^{17})(10^{16})}{(1.5\times10^{10})^2}\right] \approx 0.754\,\text{V}$$

(b) 開路時外加偏壓為零，空乏區總寬度為

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_sV_{bi}}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)} \approx3.27\times10^{-5}\,\text{cm} =0.327\,\mu\text{m}$$

由電荷中性條件 $N_Ax_p=N_Dx_n$：

核心觀念

本題考查理想運算放大器的反相放大器與反相加法器：

• 理想運算放大器負回授下，反相端為虛接地，故 $v_- \approx v_+ = 0$。
• 反相放大器增益為

$$v_o=-\frac{R_f}{R_{in}}v_i$$

• 反相加法器輸出為各輸入電壓經電阻加權後的反相和。

解題方法

先求第一級運算放大器輸出，再將其視為第二級的輸入之一。

令第一級輸出為 $v_x$。第一級為反相放大器，輸入電阻為 $1\,\text{k}\Omega$，回授電阻為 $10\,\text{k}\Omega$，因此

$$v_x=-\frac{10\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega}v_{i1} =-10v_{i1}$$

第二級為反相加法器，兩個輸入分別為 $v_x$ 與 $v_{i2}$，其輸入電阻皆為 $1\,\text{k}\Omega$，回授電阻為 $20\,\text{k}\Omega$。

由反相端節點的 KCL：

$$\frac{v_x}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{v_{i2}}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{v_o}{20\,\text{k}\Omega}=0$$

因此

$$v_o =-\frac{20\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega}(v_x+v_{i2}) =-20(v_x+v_{i2})$$

代入 $v_x=-10v_{i1}$：

$$v_o=-20(-10v_{i1}+v_{i2})$$

所以

$$\boxed{v_o=200v_{i1}-20v_{i2}}$$

代入數值

已知

核心觀念

本題考查理想運算放大器的負回授分析，使用：

• 虛短：$v_- = v_+$
• 非反相端接地，因此反相端為虛地：$v_- = 0$
• 輸入端電流為零：$i_-=0$
• 由電阻網路逐節使用 KCL 求出回授電壓與輸出電壓的關係。

設反相端右側兩個節點電壓分別為 $v_1$、$v_2$。

解題方法

因為非反相端接地，故

$$v_-=v_+=0$$

輸入電阻為 $R$，所以流入反相端的電流為

$$i_i=\frac{v_i-0}{R}=\frac{v_i}{R}$$

1. 分析第一個節點

第一個節點 $v_1$ 透過三個電阻 $R$ 分別連接至：

• 虛地 $v_-=0$
• 第二個節點 $v_2$
• 地端 $0$

套用 KCL：

$$\frac{v_1-0}{R}+\frac{v_1-v_2}{R}+\frac{v_1-0}{R}=0$$

整理得

$$3v_1-v_2=0$$

因此

$$v_2=3v_1$$

2. 分析第二個節點

第二個節點 $v_2$ 透過三個電阻 $R$ 連接至：

核心觀念

本題考查互補式 MOS 電路的直流偏壓、MOS 飽和區平方律，以及電流隨 $W/L$ 比例縮放的關係。

假設圖中 $Q_1,Q_3$ 為 NMOS、$Q_2,Q_4$ 為 PMOS，且互補元件的製程參數相同：

$$\mu_n C_{ox}=\mu_p C_{ox}=400\ \mu\text{A/V}^2$$

MOS 飽和區電流為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}V_{OV}^2$$

其中 $V_{OV}$ 為過驅電壓。

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一、求偏壓節點電壓

令 $Q_1$ 與 $Q_2$ 的共用閘極電壓為 $V_B$。由於 $Q_1$、$Q_2$ 皆為二極體接法，且串聯支路中的電流相同：

對 $Q_1$：

$$V_{GS1}=V_B$$ $$V_{OV1}=V_B-V_T=V_B-0.5$$

對 $Q_2$：

$$V_{SG2}=2-V_B$$ $$V_{OV2}=V_{SG2}-|V_{TP}|=2-V_B-0.5$$

原本四個元件皆有

$$\frac{W}{L}=\frac{0.5}{0.5}=1$$

由於 $Q_1$、$Q_2$ 的參數相同，令兩者電流相等：

$$V_B-0.5=2-V_B-0.5$$

因此

$$V_B=1\text{ V}$$

此時兩側元件的過驅電壓皆為

$$V_{OV}=1-0.5=0.5\text{ V}$$

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二、原本尺寸下的 $V_2$ 與 $I_2$

對左側輸出支路，$Q_3$ 為 NMOS、$Q_4$ 為 PMOS，兩者閘極均接至 $V_B=1\text{ V}$。

若 $V_2=1\text{ V}$，則

對 $Q_3$：

$$V_{GS3}=1\text{ V},\qquad V_{DS3}=V_2=1\text{ V}$$

其飽和條件為

$$V_{DS3}\ge V_{GS3}-V_T=0.5\text{ V}$$

成立。

對 $Q_4$：

$$V_{SG4}=2-1=1\text{ V}$$

核心觀念

本題考查兩級 RC 耦合 BJT 放大器：

1. 由分壓偏壓求兩顆電晶體的 $I_C$。
2. 由工作點求小訊號參數：

$$g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_{\pi}=\frac{\beta}{g_m},\qquad r_o=\frac{V_A}{I_C}$$

取室溫熱電壓 $V_T \approx 25\text{ mV}$。因為 $V_A=\infty$，所以

$$r_o=\infty$$

3. 中頻時耦合電容與旁路電容視為短路，電源端視為交流接地。
4. 第二級的輸入電阻會負載第一級，因此整體增益不一定等於各級「空載增益」的乘積。

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解題方法

一、直流工作點與小訊號參數

直流分析時，$C_{C1}$、$C_{C2}$、$C_{C3}$、$C_{E1}$、$C_{E2}$ 均視為開路。

第一級 $Q_1$

基極分壓的戴維寧等效為

$$V_{TH1}=10\frac{20}{80+20}=2\text{ V}$$ $$R_{TH1}=80\text{ k}\Omega\parallel20\text{ k}\Omega=16\text{ k}\Omega$$

因此

$$I_{B1} =\frac{V_{TH1}-0.7}{R_{TH1}+(\beta+1)R_{E1}} =\frac{2-0.7}{16\text{ k}\Omega+101(1\text{ k}\Omega)}$$ $$I_{B1}\approx 11.11\ \mu\text{A}$$ $$I_{C1}=\beta I_{B1}\approx 1.111\text{ mA}$$

所以

$$g_{m1}=\frac{1.111\text{ mA}}{25\text{ mV}} \approx 44.4\text{ mS}$$ $$r_{\pi1}=\frac{100}{44.4\text{ mS}} \approx 2.25\text{ k}\Omega$$ $$r_{o1}=\infty$$

第二級 $Q_2$

基極分壓的戴維寧等效為

$$V_{TH2}=10\frac{15}{85+15}=1.5\text{ V}$$ $$R_{TH2}=85\text{ k}\Omega\parallel15\text{ k}\Omega =12.75\text{ k}\Omega$$

因此

$$I_{B2} =\frac{1.5-0.7}{12.75\text{ k}\Omega+101(0.5\text{ k}\Omega)}$$ $$I_{B2}\approx 12.65\ \mu\text{A}$$ $$I_{C2}=100I_{B2}\approx 1.265\text{ mA}$$

所以

$$g_{m2}=\frac{1.265\text{ mA}}{25\text{ mV}} \approx 50.6\text{ mS}$$ $$r_{\pi2}=\frac{100}{50.6\text{ mS}} \approx 1.98\text{ k}\Omega$$ $$r_{o2}=\infty$$

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(a) 小訊號參數

$$\boxed{ g_{m1}\approx44.4\text{ mS},\quad r_{\pi1}\approx2.25\text{ k}\Omega,\quad r_{o1}=\infty }$$ $$\boxed{ g_{m2}\approx50.6\text{ mS},\quad r_{\pi2}\approx1.98\text{ k}\Omega,\quad r_{o2}=\infty }$$

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(b) 分別求 $A_{v1}$ 與 $A_{v2}$

第一級空載增益 $A_{v1}$

題目指定 $v_{o1}$ 接開路，因此第一級的集極負載只有 $R_{C1}$。

因為輸入訊號源沒有串聯電阻，$v_s$ 經由 $R_1\parallel R_2$ 與 $r_{\pi1}$ 分壓：

$$R_{B1}=R_1\parallel R_2=16\text{ k}\Omega$$

核心觀念

本題考查 PMOS 共源級放大器的：

• PMOS 偏壓與跨導 $g_m$
• Miller 定理對 $C_{gd}$ 的等效
• 高頻上限截止頻率
• 中頻電壓增益

在中頻時，$C_{S}$、$C_{C1}$、$C_{C2}$ 視為短路；在高頻時，主要考慮 $C_{gs}$ 與 $C_{gd}$。

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一、直流工作點與跨導

由圖中電阻分壓，閘極電壓為

$$V_G=-10+\frac{22}{8+22}(20) =4.667\text{ V}$$

設 $I_D$ 以 mA 為單位，則 PMOS 源極電壓為

$$V_S=10-I_D(0.5\text{ k}\Omega) =10-0.5I_D$$

因此

$$V_{SG}=V_S-V_G =5.333-0.5I_D$$

PMOS 的過驅電壓為

$$V_{OV}=V_{SG}-|V_{TP}| =3.333-0.5I_D$$

採用

$$I_D=\frac{K_p}{2}V_{OV}^2$$

可得

$$I_D=\frac{1}{2}(3.333-0.5I_D)^2$$

解得

$$I_D\approx 2.34\text{ mA}$$

所以

$$V_{OV}=\sqrt{\frac{2I_D}{K_p}} \approx 2.16\text{ V}$$

且

$$g_m=K_pV_{OV} \approx 2.16\text{ mS}$$

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二、(a) Miller 等效電容

中頻時，汲極端的等效負載為

$$R_L'=R_D\parallel R_L =2\text{ k}\Omega\parallel5\text{ k}\Omega =1.429\text{ k}\Omega$$

中頻電壓增益為

$$A_v=-g_mR_L' =-(2.16\text{ mS})(1.429\text{ k}\Omega) \approx -3.09$$

由 Miller 定理，$C_{gd}$ 在輸入端的等效值為

$$C_{gd,i}=C_{gd}(1-A_v)$$

因此

$$C_{gd,i}=3(1-(-3.09)) \approx 12.27\text{ pF}$$

輸入端總等效電容為

$$C_{\text{in}} =C_{gs}+C_{gd,i} =15+12.27 \approx 27.27\text{ pF}$$

輸出端的 Miller 等效電容為

$$C_{gd,o}=C_{gd}\left(1-\frac{1}{A_v}\right)$$

所以

$$C_{gd,o} =3\left(1-\frac{1}{-3.09}\right) \approx 3.97\text{ pF}$$

故：

$$\boxed{C_{\text{in}}\approx27.3\text{ pF}}$$

其中 Miller 造成的輸入端附加電容為

$$\boxed{C_{gd,i}\approx12.3\text{ pF}}$$

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三、(b) 上限 $3$ dB 頻率

輸入端交流電阻為

$$R_{\text{in}} =R_{\text{sig}}\parallel R_1\parallel R_2$$