111 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丙組《造船原理》

核心觀念

本題考查：

• 四分之一圓面積：$A=\dfrac{\pi r^2}{4}$
• 矩形面積：$A=bh$
• 辛普森第一法則（Simpson’s first rule，辛普森 $1/3$ 法則）：

$$A\approx \frac{h}{3} \left[ y_0+y_n+4(y_1+y_3+\cdots+y_{n-1}) +2(y_2+y_4+\cdots+y_{n-2}) \right]$$

依原卷圖形，曲線由左下角升至 $(2,2)$，右側為高度 $2$ 的矩形部分。因此正確面積為「四分之一圓以上的矩形剩餘區域」加上右側矩形。

解題方法

圖中矩形尺寸為 $4\times 2$，總面積：

$$A_{\text{矩形}}=4\times2=8$$

半徑為 $2$ 的四分之一圓面積：

$$A_{\frac14\text{圓}} =\frac{\pi(2)^2}{4} =\pi$$

因此灰色區域的正確面積為：

$$A_{\text{正確}}=8-\pi \approx 4.8584$$

一、橫軸分成四等份

橫軸範圍為 $0\le x\le4$，故：

$$h=\frac{4}{4}=1$$

曲線高度可表示為：

$$y(x)= \begin{cases} 2-\sqrt{4-x^2}, & 0\le x\le2,\\ 2, & 2\le x\le4. \end{cases}$$

各分點高度為：

$$\begin{aligned} y_0&=0,\\ y_1&=2-\sqrt3\approx0.2679,\\ y_2&=2,\\ y_3&=2,\\ y_4&=2. \end{aligned}$$

套用辛普森第一法則：

$$\begin{aligned} A_S &=\frac{1}{3} \left[ y_0+y_4+4(y_1+y_3)+2y_2 \right]\\ &=\frac{1}{3} \left[ 0+2+4(0.2679+2)+2(2) \right]\\ &\approx5.0239 \end{aligned}$$

與正確面積比較，誤差為：

核心觀念

本題考查船舶橫向靜穩度與擱淺反力對扶正力矩的影響。

未觸礁時，船舶的扶正力矩為

$$M_{st}=\Delta \cdot GM\sin\phi$$

其中：

• $\Delta$：船舶排水量，也等於船重
• $GM$：初穩心高
• $\phi$：船舶橫傾角

觸礁後，艉部受到向上的反力 $R$。圖中反力作用於船底龍骨附近的中心線位置，因此會減少由浮力所提供的扶正力矩。

解題方法

觸礁後，浮力不再等於完整船重，而是

$$B=\Delta-R$$

以龍骨 $K$ 為力矩參考點：

• 浮力作用線相對於 $K$ 的力臂近似為 $KM\sin\phi$
• 船重作用線相對於 $K$ 的力臂為 $KG\sin\phi$
• 艉部反力 $R$ 通過 $K$，對 $K$ 不產生力矩

因此，觸礁後的扶正力矩為

$$M'_{st}=(\Delta-R)KM\sin\phi-\Delta KG\sin\phi$$

由於

$$GM=KM-KG$$

可得

$$\begin{aligned} M'_{st} &=(\Delta-R)KM\sin\phi-\Delta KG\sin\phi\\ &=\left(\Delta KM-RKM-\Delta KG\right)\sin\phi\\ &=\left(\Delta GM-RKM\right)\sin\phi \end{aligned}$$

題目給定

$$R=0.1\Delta$$

代入後：

$$\boxed{ M'_{st} =\Delta\left(GM-0.1KM\right)\sin\phi }$$

核心觀念

靜水性能曲線以吃水為橫軸，各曲線的縱向數值若在每一個吃水下都保持固定比例，調整比例尺後便會有相同的曲線形狀，圖上可呈重合或平行。

解題方法

原卷第 1 頁第 3 小題詢問：比例尺設定適當時，哪兩條靜水性能曲線會呈平行；題目沒有附特定曲線圖或數值，因此由各量的定義判斷。

在相同吃水下，水線面積 $A_w$ 決定吃水增加時排水體積的變化。吃水增加 $1\text{ cm}=0.01\text{ m}$ 時，排水量增加量就是每公分吃水噸數（TPC）。若海水密度 $\rho$ 以噸／立方公尺表示，則：

本題考查船舶縱向浮心位置與吃水、排水量之間的關係，特別是在非對稱吃水情況下的差異。

核心觀念：

1. 浮心 (Center of Buoyancy, B): 船舶所受浮力作用的合力點，即水下部分體積的形心。
2. 縱向浮心 (Longitudinal Center of Flotation, LCF): 浮心在縱向上的投影位置。它代表了水線面面積的形心。
3. 靜水性能曲線圖 (Hydrostatic Curves): 顯示了船舶在不同「平均吃水」下的各種水動力學參數，包括排水量、重心、浮心、穩心等。通常這些曲線是基於船舶對稱吃水（艏吃水 = 艉吃水）或以平均吃水為基準繪製的。
4. 縱向慣性矩 (Longitudinal Moment of Inertia of Waterplane Area): 與船舶縱向傾斜時的穩心高度 (KM) 和穩度有關。

題目分析：

• 「某個吃水時」: 這句話比較模糊，但結合後面的「艉吃水大於艏吃水」，可以理解為船舶處於縱傾狀態。
• 「縱向浮心 (LCF) 位於 Midship 偏艉部處」: LCF 是水線面面積的形心。Midship 是船舶的中心線。LCF 在 Midship 偏艉部，表示水線面面積的形心偏向船尾。
• 「艉吃水大於艏吃水」: 這明確表示船舶處於縱傾狀態，船尾吃水較深，船頭吃水較淺。
• 「由靜水性能曲線圖查到的排水量」: 靜水性能曲線圖通常是以「平均吃水」(Mean Draft, $T_{mean} = (T_{fore} + T_{aft}) / 2$) 為橫坐標來查詢的。

關鍵問題： 當船舶處於縱傾狀態時，其真實的排水量與僅根據平均吃水從靜水性能曲線圖查到的排水量之間有何差異？

分析步驟：

1. 理解 LCF 的意義： LCF 是水線面面積的形心。當船舶傾斜時，浮力作用點的移動是繞著 LCF 進行的。LCF 的位置影響船舶傾斜時的穩心高度 (KM)。
2. 理解縱傾的影響： 當船舶縱傾時，船尾吃水深，船頭吃水淺。這意味著水下部分的形狀發生了變化。
   • 如果 LCF 位於 Midship，則表示水下體積的縱向分布是對稱的。
   • 如果 LCF 位於 Midship 偏艉部，則表示水下體積的縱向分布偏向船尾。這通常發生在船尾吃水較深，船頭吃水較淺的情況下。
3. 靜水性能曲線圖的基礎： 這些曲線通常是基於船舶在「直立」狀態下，或在「平均吃水」下的參數繪製的。對於規則形船體，當吃水均勻時，LCF 通常位於 Midship。
4. 真實排水量 vs. 曲線查值：
   • 真實排水量： 船舶的總排水量等於其水下部分的總體積乘以水的密度。在任何情況下，這個總體積是固定的。
   • 從曲線查到的排水量： 我們通常使用平均吃水 $T_{mean}$ 來查詢靜水性能曲線圖，得到對應的排水量 $\Delta_{curve}$。

情況分析：

• 當船舶處於縱傾狀態，且 LCF 偏艉部，艉吃水大於艏吃水時。
• 這表示船尾吃水較深，船頭吃水較淺。
• 平均吃水 $T_{mean} = (T_{fore} + T_{aft}) / 2$。
• 從靜水性能曲線圖查到的排水量 $\Delta_{curve}$ 是基於 $T_{mean}$ 的。

問題的核心在於： 相同平均吃水下，縱傾狀態下的實際排水量是否與直立狀態下的排水量相同？

一般情況下，對於給定的平均吃水 $T_{mean}$，船舶的排水量主要由該平均吃水決定。
然而，LCF 的位置偏離 Midship 暗示了水下體積的縱向分布不對稱。

思考：
如果 LCF 偏離 Midship，這是否會影響總的排水量，還是只影響浮心的位置？
通常，LCF 的位置主要影響船舶的縱傾和橫傾時的穩心高度 KM。
排水量是由水下體積決定的。

假設： 靜水性能曲線圖是基於船舶處於直立狀態（艉吃水 = 艏吃水）繪製的。
當船舶發生縱傾（艉吃水 > 艏吃水），其水下體積的形狀會發生變化。
然而，如果總的平均吃水相同，水下總體積（即排水量）應該是相同的。

本題考查重心高度 (KG) 變化對靜穩度曲線 (GZ curve) 的影響。

核心觀念：
靜穩度曲線 GZ = f($\phi$) 表示在不同傾斜角 ($\phi$) 下，船舶的扶正力臂 (GZ)。扶正力臂 GZ 是衡量船舶穩定性的重要指標。
扶正力臂的計算公式為：$GZ = GM \sin \phi$。
其中：

• $GZ$：扶正力臂 (Righting Arm)
• $GM$：計量高 (Metacentric Height)，即穩心 M 與重心 G 之間的垂直距離。
• $\phi$：船舶的傾斜角 (Angle of Heel)。

計量高 $GM$ 可以進一步表示為：$GM = KM - KG$。

• $KM$：穩心高度 (Metacentric Height)，是船舶水線面幾何特性決定的，通常隨吃水變化。
• $KG$：重心高度 (Height of Center of Gravity)，是船舶載貨情況決定的。

題目分析：

1. 初始條件： 當 $KG_1 = 5m$ 時，靜穩度曲線為 $GZ_1 = f(\phi)$。
2. 運航時條件： 實際運航時，重心高度變為 $KG_2 = 5.8m$。
3. 要求： 求此時的靜穩度曲線，即新的 $GZ_2 = f(\phi)$。

解題步驟：

• 理解 KG 的影響： KG 的變化會直接影響 GM。由於 $GM = KM - KG$，如果 KG 增加，則 GM 會減小（假設 KM 不變）。
• 假設 KM 不變： 在此題中，我們沒有給出船舶吃水或載貨情況的變化，因此可以合理假設船舶的穩心高度 $KM$ 保持不變。
• 計算 GM 的變化：
  • 設初始時的計量高為 $GM_1$。則 $GM_1 = KM - KG_1 = KM - 5m$。
  • 運航時的計量高為 $GM_2$。則 $GM_2 = KM - KG_2 = KM - 5.8m$。
  • $GM_2 - GM_1 = (KM - 5.8) - (KM - 5) = -0.8m$。
  • 所以，$GM_2 = GM_1 - 0.8m$。
• 計算新的 GZ 曲線：
  • 初始的靜穩度曲線為 $GZ_1(\phi) = GM_1 \sin \phi$。
  • 新的靜穩度曲線為 $GZ_2(\phi) = GM_2 \sin \phi$。
  • 將 $GM_2 = GM_1 - 0.8m$ 代入：
    $GZ_2(\phi) = (GM_1 - 0.8) \sin \phi$
    $GZ_2(\phi) = GM_1 \sin \phi - 0.8 \sin \phi$
    $GZ_2(\phi) = GZ_1(\phi) - 0.8 \sin \phi$

結論：
新的靜穩度曲線 $GZ_2(\phi)$ 可以表示為原來的靜穩度曲線 $GZ_1(\phi)$ 減去 $0.8 \sin \phi$。

圖形解釋：

• 原來的靜穩度曲線 $GZ_1(\phi)$ 是一個以 $\phi$ 為變量的正弦曲線（或其一部分）。
• 新的靜穩度曲線 $GZ_2(\phi)$ 是將原曲線向下（負方向）平移了 $0.8 \sin \phi$ 的量。
• 由於 $KG$ 增加， $GM$ 減小，因此新的靜穩度曲線的最大值會降低，且在相同傾斜角下的 GZ 值都會減小。

本題考查船舶穩度理論中，為何橫向穩度比縱向穩度更受重視。

核心觀念：
船舶在航行中，除了可能受到風浪引起的橫傾外，還會受到縱傾（艏吃水、艉吃水變化）和垂蕩（上下運動）的影響。穩度是船舶抵抗這些運動並恢復到平衡狀態的能力。

橫向穩度 (Transverse Stability)：

• 影響因素： 主要受風力、波浪、貨物移動、人員走動、轉向等影響。這些因素通常會直接或間接導致船舶發生橫傾 (rolling 和 heeling)。
• 潛在危險： 嚴重的橫傾可能導致船舶失去穩定性，進而發生傾覆 (capsizing)。歷史上，許多船舶事故是由於嚴重的橫傾或穩度不足導致的。
• 衡量標準： 通常通過 GZ 曲線（扶正力臂曲線）來評估，包括最大 GZ 值、穩度範圍、以及與外部傾覆力矩的比較。

縱向穩度 (Longitudinal Stability)：

• 影響因素： 主要受船舶的載貨、卸貨、燃油消耗、乘客上下船、以及船舶在波浪中航行引起的縱搖 (pitching) 影響。
• 潛在危險： 嚴重的縱傾可能導致船首或船尾吃水過深，甚至引發船首或船尾沒入水中（"burying the bow/stern"），增加結構應力，影響船舶操控性，甚至導致船舶沉沒。但直接由縱傾引起的「傾覆」情況相對較少見，除非是極端的縱傾導致結構失效或進水。
• 衡量標準： 通常通過縱向計量高 (Longitudinal Metacentric Height, GML) 和 GZ 曲線來評估，但其影響的現象與橫向穩度引起的傾覆有所不同。

為何橫向穩度較受重視：

1. 直接的傾覆風險： 嚴重的橫傾是導致船舶傾覆的最直接和最常見的原因。當船舶橫傾超過一定角度，扶正力矩會消失，甚至變成傾覆力矩，導致船舶無法自行恢復，最終傾覆。
2. 外力影響的普遍性： 風、浪、轉向等外部因素更容易引起船舶發生較大的橫傾角。貨物裝載不均、人員移動等也常導致橫傾。

本題考查自由液面效應 (Free Surface Effect) 的計算。

核心觀念：
自由液面效應是指儲存在船舶艙櫃中的液體，由於其自由液面的存在，在船舶傾斜時會產生一個額外的傾覆力矩，從而降低船舶的總體穩度。
這個效應的大小與液體的自由液面面積、液體的密度、以及船舶的傾斜角有關。

計算公式：
自由液面效應引起的額外傾覆力矩 $M_{fs}$ 可以表示為：
$M_{fs} = \Delta_{liquid} \cdot \frac{I_{ws}}{V_{tank}}$
其中：

• $\Delta_{liquid}$：艙櫃內液體的排水量（重量）。
• $I_{ws}$：液體自由液面的水線面慣性矩 (Moment of Inertia of the free surface area)。
• $V_{tank}$：液體所佔據的艙櫃容積。

另一種更常用的表達方式是通過降低計量高 (GM) 來體現：
$\Delta GM = -\frac{I_{ws}}{V_{tank}}$
或者，如果以液體的密度 $\rho_{liquid}$ 和艙櫃的容積 $V_{tank}$ 表示：
$\Delta GM = -\frac{\rho_{liquid} \cdot I_{ws}}{V_{tank} \cdot \rho_{water}}$
這裡的 $\Delta GM$ 是由於自由液面效應導致的 GM 的減小量。

題目中提到「自由液面效應為 1」，這通常是指 $I_{ws}/V_{tank}$ 的一個相對值，或者是指 $\Delta GM$ 相對於某個基準值。
更常見的理解是： 自由液面效應導致的 GM 減小量 $\Delta GM$ 與液體重量 $\Delta_{liquid}$ 的比值，或者直接與 $I_{ws}/V_{tank}$ 的值有關。

題目假設：

• 原艙櫃寬度為 $B$。
• 原自由液面效應為 $1$。
• 加裝 2 道等間隔縱向隔間後，艙櫃被分割成 3 個小艙，每個小艙的寬度變為 $B/3$。
• 艙櫃的長度 $L$ 和高度 $H$ 保持不變。
• 液體的裝載量（體積或重量）也保持不變。

分析：

1. 自由液面的水線面慣性矩 ($I_{ws}$):
   對於一個長方形的自由液面，其水線面慣性矩（繞縱向中心軸）為 $I_{ws} = L \times w^3 / 12$，其中 $L$ 是液面的長度， $w$ 是液面的寬度。

2. 艙櫃的分割：

   • 原來，艙櫃的寬度是 $B$。假設長度為 $L$。
     $I_{ws\_original} = L \times B^3 / 12$。
   • 加裝隔間後，艙櫃被分成 3 個寬度為 $B/3$ 的小艙。
     每個小艙的寬度是 $w' = B/3$。
     每個小艙的水線面慣性矩為 $I_{ws\_small} = L \times (B/3)^3 / 12 = L \times B^3 / (27 \times 12)$。
   • 由於液體被分割到 3 個獨立的小艙中，每個小艙都有自己的自由液面。
   • 總的自由液面效應是所有小艙自由液面效應的總和。
   • 因此，總的 $I_{ws\_new} = 3 \times I_{ws\_small} = 3 \times (L \times B^3 / (27 \times 12)) = L \times B^3 / (9 \times 12)$。

3. 比較 $I_{ws}$ 的變化：

   • $I_{ws\_original} = L B^3 / 12$
   • $I_{ws\_new} = L B^3 / (9 \times 12)$
   • $\frac{I_{ws\_new}}{I_{ws\_original}} = \frac{L B^3 / (9 \times 12)}{L B^3 / 12} = \frac{1}{9}$。

4. 自由液面效應的變化：
   自由液面效應的大小與 $I_{ws}$ 成正比（假設液體體積 $V_{tank}$ 和密度不變）。
   因此，新的自由液面效應是原來自由液面效應的 $1/9$。

本題考查浸水長度曲線 (Floodable Length Curve) 的概念及其受載重線影響的變化。

核心觀念：
浸水長度曲線 (Floodable Length Curve, FLC) 顯示了船舶在某一特定艙區劃分（即載重線）下，不同位置的艙室在船舶發生某一程度的傾斜或進水時，能夠容納額外水量的最大長度。它與船舶的穩度和完整性有關。
通常，FLC 是根據船舶的靜水性能數據計算得出的，並與船舶的結構強度和損管要求相關。

圖.3 的解讀：
圖.3 顯示了一條浸水長度曲線，標記為 W₁L₁。

• 橫軸代表船長方向的位置 (通常是從船首 0% 到船尾 100%)。
• 縱軸代表浸水長度 (Floodable Length)。
• 曲線 W₁L₁ 表示在某種載重條件 (由 W₁L₁ 代表) 下，船舶不同船長位置的艙室所能容納的額外水量（或浸水長度）。
• 通常，FLC 的形狀近似一個拋物線，在船長中部 (Midship) 附近最大，在船首和船尾附近較小。

題目要求：

• 所有條件完全相同，只改用 W₂L₂ 作相同計算。
• 畫出 W₂L₂ 對應的浸水長度曲線的示意圖。
• 說明理由。

W₁L₁ 和 W₂L₂ 的意義：
W₁L₁ 和 W₂L₂ 通常代表不同的載重情況或不同的載重線。

• W 代表船舶的總排水量 (Weight)。
• L 代表船舶的總長度 (Length)。
• W₁L₁ 和 W₂L₂ 可能代表不同的總排水量，或者相同的總排水量但分佈不同。

假設：

• W₂L₂ 代表的載重情況與 W₁L₁ 不同。
• 最常見的區別是總排水量 (W) 或總長度 (L)。題目說「所有條件完全相同，只改用 W₂L₂」，這暗示 W 和 L 可能有所改變，或者 W₁L₁ 和 W₂L₂ 代表了不同的載重分佈。

如果 W₂L₂ 代表更大的總排水量 (W)，或者更長的船長 (L)，或者載重分佈不同：

• 總排水量 W 增加： 船舶吃水會加深。吃水加深通常會改變水線面面積，進而影響穩度。
• 船長 L 增加： 船長增加會改變船舶的幾何形狀和尺度。
• 載重分佈改變： 即使總排水量相同，載重分佈的改變也會影響船舶的縱傾和橫傾特性，從而影響浸水長度。

浸水長度曲線的形狀和大小取決於：

1. 船舶的靜水性能 (Hydrostatic Properties)，如水線面面積、水線面慣性矩、排水體積、重心、浮心等。
2. 船舶的結構強度和艙壁佈置。
3. 所考慮的「浸水程度」或「允許進水量」。

關鍵推斷：
如果 W₂L₂ 代表的是一個與 W₁L₁ 不同的載重情況，那麼船舶的靜水性能必然會發生變化。

• 如果 W₂L₂ 代表更大的排水量 (吃水加深)：
  • 通常，吃水加深會使水線面面積增大，水線面慣性矩增大。
  • 這可能會影響船舶的穩度。
  • 浸水長度曲線的大小和形狀可能會改變。
• 如果 W₂L₂ 代表更長的船長：
  • 這會改變船舶的幾何比例。

最常見的情況是：
W₁L₁ 和 W₂L₂ 代表不同的載重情況，導致船舶的吃水、穩心高度 (KM)、重心高度 (KG) 或總排水量 (W) 發生變化。
這些變化會影響船舶的穩度特性，進而影響浸水長度曲線。

一般規律：

• 穩度增加： 如果船舶的穩度（例如 GM 值）增加，通常意味著船舶更能抵抗傾斜，這可能會導致浸水長度曲線的整體「高度」有所增加（即能容納更多的浸水長度）。
• 穩度降低： 反之，穩度降低則可能導致浸水長度曲線的「高度」減小。

考慮 W₂L₂ 相對於 W₁L₁ 的變化：
題目沒有明確 W₂L₂ 代表什麼具體變化。
但是，浸水長度曲線的計算是基於船舶在不同位置發生進水時，船舶的傾斜角度以及所需的平衡力矩。

一個可能的解釋是：
W₁L₁ 和 W₂L₂ 代表了不同的載重線。
例如，W₂L₂ 可能代表船舶載重更多，吃水更深。
或者，W₂L₂ 代表了不同的載重分佈，導致重心位置或穩心高度發生變化。

繪製示意圖的原則：

1. 基本形狀： 浸水長度曲線通常近似一個頂部鈍化的拋物線，在船長中部最大，在船首尾逐漸減小。

核心觀念

本題考查：

• 四分之一圓面積：$A=\dfrac{\pi r^2}{4}$
• 矩形面積：$A=bh$
• 辛普森第一法則（Simpson’s first rule，辛普森 $1/3$ 法則）：

$$A\approx \frac{h}{3} \left[ y_0+y_n+4(y_1+y_3+\cdots+y_{n-1}) +2(y_2+y_4+\cdots+y_{n-2}) \right]$$

依原卷圖形，曲線由左下角升至 $(2,2)$，右側為高度 $2$ 的矩形部分。因此正確面積為「四分之一圓以上的矩形剩餘區域」加上右側矩形。

解題方法

圖中矩形尺寸為 $4\times 2$，總面積：

$$A_{\text{矩形}}=4\times2=8$$

半徑為 $2$ 的四分之一圓面積：

$$A_{\frac14\text{圓}} =\frac{\pi(2)^2}{4} =\pi$$

因此灰色區域的正確面積為：

$$A_{\text{正確}}=8-\pi \approx 4.8584$$

一、橫軸分成四等份

橫軸範圍為 $0\le x\le4$，故：

$$h=\frac{4}{4}=1$$

曲線高度可表示為：

$$y(x)= \begin{cases} 2-\sqrt{4-x^2}, & 0\le x\le2,\\ 2, & 2\le x\le4. \end{cases}$$

各分點高度為：

$$\begin{aligned} y_0&=0,\\ y_1&=2-\sqrt3\approx0.2679,\\ y_2&=2,\\ y_3&=2,\\ y_4&=2. \end{aligned}$$

套用辛普森第一法則：

$$\begin{aligned} A_S &=\frac{1}{3} \left[ y_0+y_4+4(y_1+y_3)+2y_2 \right]\\ &=\frac{1}{3} \left[ 0+2+4(0.2679+2)+2(2) \right]\\ &\approx5.0239 \end{aligned}$$

與正確面積比較，誤差為：

核心觀念

船舶觸礁後，船重 $\Delta$ 由水的浮力與礁石反力共同支撐。若反力 $R$ 作用於龍骨 $K$，則浮力為 $\Delta-R$。由於反力作用點在 $K$，以 $K$ 為力矩中心時，反力本身不產生力矩；扶正力矩須由浮力與船重的力矩差求得。

解題方法

小傾角時，浮力作用線相對龍骨的力臂為 $KM_T\sin\phi$，船重作用線的力臂為 $KG\sin\phi$。因此，觸礁後的扶正力矩為

$$M_{st}=(\Delta-R)KM_T\sin\phi-\Delta KG\sin\phi$$

利用 $GM=KM_T-KG$，整理得

$$M_{st}=(\Delta GM-RKM_T)\sin\phi$$

題給 $R=0.1\Delta$，所以

核心觀念

靜水性能曲線以吃水為橫軸，各曲線的縱向數值若在每一個吃水下都保持固定比例，調整比例尺後便會有相同的曲線形狀，圖上可呈重合或平行。

解題方法

原卷第 1 頁第 3 小題詢問：比例尺設定適當時，哪兩條靜水性能曲線會呈平行；題目沒有附特定曲線圖或數值，因此由各量的定義判斷。

在相同吃水下，水線面積 $A_w$ 決定吃水增加時排水體積的變化。吃水增加 $1\text{ cm}=0.01\text{ m}$ 時，排水量增加量就是每公分吃水噸數（TPC）。若海水密度 $\rho$ 以噸／立方公尺表示，則：

本題考查船舶縱向浮心位置與吃水、排水量之間的關係，特別是在非對稱吃水情況下的差異。

核心觀念：

1. 浮心 (Center of Buoyancy, B): 船舶所受浮力作用的合力點，即水下部分體積的形心。
2. 縱向浮心 (Longitudinal Center of Flotation, LCF): 浮心在縱向上的投影位置。它代表了水線面面積的形心。
3. 靜水性能曲線圖 (Hydrostatic Curves): 顯示了船舶在不同「平均吃水」下的各種水動力學參數，包括排水量、重心、浮心、穩心等。通常這些曲線是基於船舶對稱吃水（艏吃水 = 艉吃水）或以平均吃水為基準繪製的。
4. 縱向慣性矩 (Longitudinal Moment of Inertia of Waterplane Area): 與船舶縱向傾斜時的穩心高度 (KM) 和穩度有關。

題目分析：

• 「某個吃水時」: 這句話比較模糊，但結合後面的「艉吃水大於艏吃水」，可以理解為船舶處於縱傾狀態。
• 「縱向浮心 (LCF) 位於 Midship 偏艉部處」: LCF 是水線面面積的形心。Midship 是船舶的中心線。LCF 在 Midship 偏艉部，表示水線面面積的形心偏向船尾。
• 「艉吃水大於艏吃水」: 這明確表示船舶處於縱傾狀態，船尾吃水較深，船頭吃水較淺。
• 「由靜水性能曲線圖查到的排水量」: 靜水性能曲線圖通常是以「平均吃水」(Mean Draft, $T_{mean} = (T_{fore} + T_{aft}) / 2$) 為橫坐標來查詢的。

關鍵問題： 當船舶處於縱傾狀態時，其真實的排水量與僅根據平均吃水從靜水性能曲線圖查到的排水量之間有何差異？

分析步驟：

1. 理解 LCF 的意義： LCF 是水線面面積的形心。當船舶傾斜時，浮力作用點的移動是繞著 LCF 進行的。LCF 的位置影響船舶傾斜時的穩心高度 (KM)。
2. 理解縱傾的影響： 當船舶縱傾時，船尾吃水深，船頭吃水淺。這意味著水下部分的形狀發生了變化。
   • 如果 LCF 位於 Midship，則表示水下體積的縱向分布是對稱的。
   • 如果 LCF 位於 Midship 偏艉部，則表示水下體積的縱向分布偏向船尾。這通常發生在船尾吃水較深，船頭吃水較淺的情況下。
3. 靜水性能曲線圖的基礎： 這些曲線通常是基於船舶在「直立」狀態下，或在「平均吃水」下的參數繪製的。對於規則形船體，當吃水均勻時，LCF 通常位於 Midship。
4. 真實排水量 vs. 曲線查值：
   • 真實排水量： 船舶的總排水量等於其水下部分的總體積乘以水的密度。在任何情況下，這個總體積是固定的。
   • 從曲線查到的排水量： 我們通常使用平均吃水 $T_{mean}$ 來查詢靜水性能曲線圖，得到對應的排水量 $\Delta_{curve}$。

情況分析：

• 當船舶處於縱傾狀態，且 LCF 偏艉部，艉吃水大於艏吃水時。
• 這表示船尾吃水較深，船頭吃水較淺。
• 平均吃水 $T_{mean} = (T_{fore} + T_{aft}) / 2$。
• 從靜水性能曲線圖查到的排水量 $\Delta_{curve}$ 是基於 $T_{mean}$ 的。

問題的核心在於： 相同平均吃水下，縱傾狀態下的實際排水量是否與直立狀態下的排水量相同？

一般情況下，對於給定的平均吃水 $T_{mean}$，船舶的排水量主要由該平均吃水決定。
然而，LCF 的位置偏離 Midship 暗示了水下體積的縱向分布不對稱。

思考：
如果 LCF 偏離 Midship，這是否會影響總的排水量，還是只影響浮心的位置？
通常，LCF 的位置主要影響船舶的縱傾和橫傾時的穩心高度 KM。
排水量是由水下體積決定的。

假設： 靜水性能曲線圖是基於船舶處於直立狀態（艉吃水 = 艏吃水）繪製的。
當船舶發生縱傾（艉吃水 > 艏吃水），其水下體積的形狀會發生變化。
然而，如果總的平均吃水相同，水下總體積（即排水量）應該是相同的。

本題考查重心高度 (KG) 變化對靜穩度曲線 (GZ curve) 的影響。

核心觀念：
靜穩度曲線 GZ = f($\phi$) 表示在不同傾斜角 ($\phi$) 下，船舶的扶正力臂 (GZ)。扶正力臂 GZ 是衡量船舶穩定性的重要指標。
扶正力臂的計算公式為：$GZ = GM \sin \phi$。
其中：

• $GZ$：扶正力臂 (Righting Arm)
• $GM$：計量高 (Metacentric Height)，即穩心 M 與重心 G 之間的垂直距離。
• $\phi$：船舶的傾斜角 (Angle of Heel)。

計量高 $GM$ 可以進一步表示為：$GM = KM - KG$。

• $KM$：穩心高度 (Metacentric Height)，是船舶水線面幾何特性決定的，通常隨吃水變化。
• $KG$：重心高度 (Height of Center of Gravity)，是船舶載貨情況決定的。

題目分析：

1. 初始條件： 當 $KG_1 = 5m$ 時，靜穩度曲線為 $GZ_1 = f(\phi)$。
2. 運航時條件： 實際運航時，重心高度變為 $KG_2 = 5.8m$。
3. 要求： 求此時的靜穩度曲線，即新的 $GZ_2 = f(\phi)$。

解題步驟：

• 理解 KG 的影響： KG 的變化會直接影響 GM。由於 $GM = KM - KG$，如果 KG 增加，則 GM 會減小（假設 KM 不變）。
• 假設 KM 不變： 在此題中，我們沒有給出船舶吃水或載貨情況的變化，因此可以合理假設船舶的穩心高度 $KM$ 保持不變。
• 計算 GM 的變化：
  • 設初始時的計量高為 $GM_1$。則 $GM_1 = KM - KG_1 = KM - 5m$。
  • 運航時的計量高為 $GM_2$。則 $GM_2 = KM - KG_2 = KM - 5.8m$。
  • $GM_2 - GM_1 = (KM - 5.8) - (KM - 5) = -0.8m$。
  • 所以，$GM_2 = GM_1 - 0.8m$。
• 計算新的 GZ 曲線：
  • 初始的靜穩度曲線為 $GZ_1(\phi) = GM_1 \sin \phi$。
  • 新的靜穩度曲線為 $GZ_2(\phi) = GM_2 \sin \phi$。
  • 將 $GM_2 = GM_1 - 0.8m$ 代入：
    $GZ_2(\phi) = (GM_1 - 0.8) \sin \phi$
    $GZ_2(\phi) = GM_1 \sin \phi - 0.8 \sin \phi$
    $GZ_2(\phi) = GZ_1(\phi) - 0.8 \sin \phi$

結論：
新的靜穩度曲線 $GZ_2(\phi)$ 可以表示為原來的靜穩度曲線 $GZ_1(\phi)$ 減去 $0.8 \sin \phi$。

圖形解釋：

• 原來的靜穩度曲線 $GZ_1(\phi)$ 是一個以 $\phi$ 為變量的正弦曲線（或其一部分）。
• 新的靜穩度曲線 $GZ_2(\phi)$ 是將原曲線向下（負方向）平移了 $0.8 \sin \phi$ 的量。
• 由於 $KG$ 增加， $GM$ 減小，因此新的靜穩度曲線的最大值會降低，且在相同傾斜角下的 GZ 值都會減小。

本題考查船舶穩度理論中，為何橫向穩度比縱向穩度更受重視。

核心觀念：
船舶在航行中，除了可能受到風浪引起的橫傾外，還會受到縱傾（艏吃水、艉吃水變化）和垂蕩（上下運動）的影響。穩度是船舶抵抗這些運動並恢復到平衡狀態的能力。

橫向穩度 (Transverse Stability)：

• 影響因素： 主要受風力、波浪、貨物移動、人員走動、轉向等影響。這些因素通常會直接或間接導致船舶發生橫傾 (rolling 和 heeling)。
• 潛在危險： 嚴重的橫傾可能導致船舶失去穩定性，進而發生傾覆 (capsizing)。歷史上，許多船舶事故是由於嚴重的橫傾或穩度不足導致的。
• 衡量標準： 通常通過 GZ 曲線（扶正力臂曲線）來評估，包括最大 GZ 值、穩度範圍、以及與外部傾覆力矩的比較。

縱向穩度 (Longitudinal Stability)：

• 影響因素： 主要受船舶的載貨、卸貨、燃油消耗、乘客上下船、以及船舶在波浪中航行引起的縱搖 (pitching) 影響。
• 潛在危險： 嚴重的縱傾可能導致船首或船尾吃水過深，甚至引發船首或船尾沒入水中（"burying the bow/stern"），增加結構應力，影響船舶操控性，甚至導致船舶沉沒。但直接由縱傾引起的「傾覆」情況相對較少見，除非是極端的縱傾導致結構失效或進水。
• 衡量標準： 通常通過縱向計量高 (Longitudinal Metacentric Height, GML) 和 GZ 曲線來評估，但其影響的現象與橫向穩度引起的傾覆有所不同。

為何橫向穩度較受重視：

1. 直接的傾覆風險： 嚴重的橫傾是導致船舶傾覆的最直接和最常見的原因。當船舶橫傾超過一定角度，扶正力矩會消失，甚至變成傾覆力矩，導致船舶無法自行恢復，最終傾覆。
2. 外力影響的普遍性： 風、浪、轉向等外部因素更容易引起船舶發生較大的橫傾角。貨物裝載不均、人員移動等也常導致橫傾。

本題考查自由液面效應 (Free Surface Effect) 的計算。

核心觀念：
自由液面效應是指儲存在船舶艙櫃中的液體，由於其自由液面的存在，在船舶傾斜時會產生一個額外的傾覆力矩，從而降低船舶的總體穩度。
這個效應的大小與液體的自由液面面積、液體的密度、以及船舶的傾斜角有關。

計算公式：
自由液面效應引起的額外傾覆力矩 $M_{fs}$ 可以表示為：
$M_{fs} = \Delta_{liquid} \cdot \frac{I_{ws}}{V_{tank}}$
其中：

• $\Delta_{liquid}$：艙櫃內液體的排水量（重量）。
• $I_{ws}$：液體自由液面的水線面慣性矩 (Moment of Inertia of the free surface area)。
• $V_{tank}$：液體所佔據的艙櫃容積。

另一種更常用的表達方式是通過降低計量高 (GM) 來體現：
$\Delta GM = -\frac{I_{ws}}{V_{tank}}$
或者，如果以液體的密度 $\rho_{liquid}$ 和艙櫃的容積 $V_{tank}$ 表示：
$\Delta GM = -\frac{\rho_{liquid} \cdot I_{ws}}{V_{tank} \cdot \rho_{water}}$
這裡的 $\Delta GM$ 是由於自由液面效應導致的 GM 的減小量。

題目中提到「自由液面效應為 1」，這通常是指 $I_{ws}/V_{tank}$ 的一個相對值，或者是指 $\Delta GM$ 相對於某個基準值。
更常見的理解是： 自由液面效應導致的 GM 減小量 $\Delta GM$ 與液體重量 $\Delta_{liquid}$ 的比值，或者直接與 $I_{ws}/V_{tank}$ 的值有關。

題目假設：

• 原艙櫃寬度為 $B$。
• 原自由液面效應為 $1$。
• 加裝 2 道等間隔縱向隔間後，艙櫃被分割成 3 個小艙，每個小艙的寬度變為 $B/3$。
• 艙櫃的長度 $L$ 和高度 $H$ 保持不變。
• 液體的裝載量（體積或重量）也保持不變。

分析：

1. 自由液面的水線面慣性矩 ($I_{ws}$):
   對於一個長方形的自由液面，其水線面慣性矩（繞縱向中心軸）為 $I_{ws} = L \times w^3 / 12$，其中 $L$ 是液面的長度， $w$ 是液面的寬度。

2. 艙櫃的分割：

   • 原來，艙櫃的寬度是 $B$。假設長度為 $L$。
     $I_{ws\_original} = L \times B^3 / 12$。
   • 加裝隔間後，艙櫃被分成 3 個寬度為 $B/3$ 的小艙。
     每個小艙的寬度是 $w' = B/3$。
     每個小艙的水線面慣性矩為 $I_{ws\_small} = L \times (B/3)^3 / 12 = L \times B^3 / (27 \times 12)$。
   • 由於液體被分割到 3 個獨立的小艙中，每個小艙都有自己的自由液面。
   • 總的自由液面效應是所有小艙自由液面效應的總和。
   • 因此，總的 $I_{ws\_new} = 3 \times I_{ws\_small} = 3 \times (L \times B^3 / (27 \times 12)) = L \times B^3 / (9 \times 12)$。

3. 比較 $I_{ws}$ 的變化：

   • $I_{ws\_original} = L B^3 / 12$
   • $I_{ws\_new} = L B^3 / (9 \times 12)$
   • $\frac{I_{ws\_new}}{I_{ws\_original}} = \frac{L B^3 / (9 \times 12)}{L B^3 / 12} = \frac{1}{9}$。

4. 自由液面效應的變化：
   自由液面效應的大小與 $I_{ws}$ 成正比（假設液體體積 $V_{tank}$ 和密度不變）。
   因此，新的自由液面效應是原來自由液面效應的 $1/9$。

核心觀念

浸水長度是指：以某一船長位置為中心，艙室進水後仍不使浸水後水線超過甲板線（圖示限制線）的最大艙長。浸水長度曲線呈現各位置所允許的最大浸水長度。

圖 3 中，$W_2L_2$ 載重線高於 $W_1L_1$，代表船舶吃水較深、乾舷較小。此時到達限制線前可供浸水後水線上升的餘裕較少，因此可容許的浸水體積減少，浸水長度也會縮短。

解題方法

保留船舶與其他條件不變，只比較兩條載重線所提供的剩餘浮力。若以 $\mu$ 表示艙室滲透率，浸水艙的有效進水體積可概念化表示為 $\mu V$；載重線提高後，允許的進水體積減少，因此各位置求得的最大浸水長度都比 $W_1L_1$ 時短。

核心觀念

本題考查固定傾覆力矩作用下，船舶「緩慢傾斜」與「突然作用」的平衡條件：

• 緩慢作用：使用靜穩度曲線 $GZ-\phi$。
• 突然作用：使用動穩度曲線，即靜穩度曲線下的面積
  $D(\phi)=\int_0^\phi GZ\,d\phi$

其中 $\Delta$ 為排水量，$M_{c1}$ 為固定傾覆力矩。

解題方法

當 $M_{c1}$ 突然作用，船舶由直立狀態開始傾斜。最大橫傾角 $\phi_m=15^\circ$ 時，依動力平衡：

$$M_{c1}\phi_m = \Delta\int_0^{\phi_m}GZ\,d\phi$$

在圖 4(b) 上，作直線

$$D=M_{c1}\phi$$

其與動穩度曲線的交點所對應的角度為 $15^\circ$。

若 $M_{c1}$ 改為緩慢作用，船舶在每一瞬間皆近似靜力平衡，因此應在圖 4(a) 上作水平線

$$\Delta GZ=M_{c1}$$

水平線與靜穩度曲線的交點，其橫坐標即為緩慢作用時的橫傾角。

本題為題組題的第二題的第一小題，主要考查靜穩度曲線的切線斜率與計量高 (GM) 的關係。

核心觀念：
船舶的靜穩度曲線 GZ = f($\phi$) 在小傾斜角 ($\phi \approx 0$) 時，可以用線性關係近似表示。
其關係式為：$GZ \approx GM \sin \phi$。
當傾斜角 $\phi$ 很小時，$\sin \phi \approx \phi$ (其中 $\phi$ 的單位是徑度)。
因此，對於小傾斜角，靜穩度曲線可以近似為：$GZ \approx GM \times \phi$。

這意味著，在 GZ- $\phi$ 的圖上，當 $\phi$ 趨近於 0 時，靜穩度曲線的切線斜率就是計量高 GM。
斜率 = $\frac{d(GZ)}{d\phi}$。
當 $\phi \approx 0$， $GZ \approx GM \phi$，所以 $\frac{d(GZ)}{d\phi} \approx GM$。

題目分析：

• 箱型船的靜穩度曲線如圖.5(a)。
• 在橫傾角 $\phi=0$ 時，靜穩度曲線的切線角度（即斜率）為 0.08 徑度。
• 要求計算此時的 GM。

解題步驟：

1. 理解切線角度的意義： 題目中提到的「切線角度為 0.08 徑度」實際上是指靜穩度曲線在 $\phi=0$ 時的斜率。由於 $\phi$ 的單位是徑度，這個斜率的值就是 GM。
2. 應用公式：
   在小傾斜角下，$GZ \approx GM \times \phi$。

本題為題組題的第二題的第二小題，主要考查船舶隔艙破損對靜穩度曲線的影響。

核心觀念：

1. 靜穩度曲線 (GZ Curve): 描述船舶在不同傾斜角 $\phi$ 下的扶正力臂 GZ。
2. 隔艙破損 (Compartment Flooding): 當船舶的隔艙破損並進水時，會引入額外的自由液面效應，並改變船舶的總體穩度。
3. 自由液面效應 (Free Surface Effect): 艙櫃內的液體在船舶傾斜時，其自由液面的移動會產生一個額外的傾覆力矩，從而降低船舶的有效 GM。
4. 總穩度變化： 隔艙破損後，船舶的總穩度會下降。這意味著：
   • 原有的扶正力臂 GZ 會減小。
   • 最大扶正力臂 $GZ_{max}$ 會減小。
   • 船舶的穩度範圍（能保持穩定性的傾斜角範圍）可能會縮小。
   • 計量高 GM 會減小。

題目分析：

• 圖.5(a) 是箱型船的靜穩度曲線 (GZ vs $\phi$)。
• 圖.5(b) 顯示了水密隔艙的配置，有第 1 艙和第 2 艙。
• 要求繪製「第 1 艙單獨破損後」的穩度曲線示意圖，並說明理由。

步驟與推導：

1. 理解隔艙破損的影響：
   當一個隔艙破損並進水後，艙櫃內的液體（例如海水）會形成一個自由液面。
   這個自由液面會產生一個額外的傾覆力矩。
   這個傾覆力矩的大小與自由液面的水線面慣性矩 ($I_{ws}$) 和液體的體積有關。
   自由液面效應導致的 GM 減小量為 $\Delta GM = -I_{ws} / V_{tank}$，其中 $V_{tank}$ 是液體所佔據的艙櫃容積。
   由於 $\Delta GM$ 是負值，所以新的 GM 值會減小。

2. 對 GZ 曲線的影響：
   原來的靜穩度曲線為 $GZ_{original} = GM_{original} \sin \phi$ (對於小角度)。
   破損後的靜穩度曲線為 $GZ_{flooded} = GM_{flooded} \sin \phi$。
   由於 $GM_{flooded} = GM_{original} + \Delta GM = GM_{original} - (\text{自由液面效應值})$。
   所以，$GM_{flooded} < GM_{original}$。
   這意味著：

   • 新的 GZ 曲線 $GZ_{flooded}$ 的值將會比原來的 GZ 曲線 $GZ_{original}$ 的值小。

本題為題組題的第二題的第三小題，與上一小題 (2) 類似，但考查的是第 2 艙破損的影響。主要考查隔艙破損對靜穩度曲線的影響，並需要考慮不同隔艙大小的影響。

核心觀念：

1. 靜穩度曲線 (GZ Curve): 描述船舶在不同傾斜角 $\phi$ 下的扶正力臂 GZ。
2. 隔艙破損與自由液面效應： 隔艙破損進水會引入自由液面效應，降低 GM，進而減小 GZ。
3. 自由液面效應的大小： 自由液面效應的大小與自由液面的水線面慣性矩 ($I_{ws}$) 成正比，並與液體的體積成反比（或與艙櫃容積有關）。$\Delta GM = -I_{ws} / V_{tank}$。
4. 不同隔艙的影響： 不同隔艙的大小和形狀不同，其進水後的自由液面慣性矩 $I_{ws}$ 和液體體積 $V_{tank}$ 也不同，因此對 GM 的減小量 $\Delta GM$ 的影響也不同。

題目分析：

• 圖.5(a) 是箱型船的靜穩度曲線。
• 圖.5(b) 顯示了第 1 艙和第 2 艙的配置。
• 要求繪製「第 2 艙單獨破損後」的穩度曲線示意圖，並說明理由。

與小題 (2) 的區別：
小題 (2) 是第 1 艙破損，本小題是第 2 艙破損。
我们需要比較第 1 艙和第 2 艙對穩度的影響程度。
這取決於哪個艙破損後，產生的自由液面效應更大。

分析自由液面效應的大小：
自由液面效應的大小與 $I_{ws} / V_{tank}$ 成正比。

• $I_{ws}$ (水線面慣性矩)：對於長方形液面， $I_{ws} = L \times w^3 / 12$。
• $V_{tank}$ (液體體積)：通常與艙櫃的長度 $L$、寬度 $w$ 和高度 $h$ 成正比，即 $V_{tank} \approx L \times w \times h$ (假設艙櫃是長方體)。

因此，自由液面效應與 $\frac{L \times w^3 / 12}{L \times w \times h} = \frac{w^2}{12h}$ 成正比。
這意味著：

• 艙櫃越寬 ($w$ 越大)，自由液面效應越大。
• 艙櫃越淺 ($h$ 越小)，自由液面效應越大。

觀察圖.5(b)：

• 第 1 艙和第 2 艙的配置圖。
• 需要根據圖示判斷第 1 艙和第 2 艙的相對尺寸（寬度和高度）。
• 通常，圖示會暗示哪個艙更大或更小。
• 假設圖示中，第 1 艙比第 2 艙更寬（或更高，但寬度對 $I_{ws}$ 的影響更大）。
• 如果第 1 艙比第 2 艙更寬，則第 1 艙破損後的自由液面效應更大，GM 減小更多。
• 如果第 2 艙比第 1 艙更寬，則第 2 艙破損後的自由液面效應更大。

假設圖示的第 1 艙比第 2 艙更寬。
那麼，第 1 艙破損後的 GM 減小量會比第 2 艙破損後的 GM 減小量更大。
即 $| \Delta GM_1 | > | \Delta GM_2 |$。
所以，$GM_{flooded\_by\_1} < GM_{flooded\_by\_2}$。

繪製示意圖 (第 2 艙破損)：

• 相較於第 1 艙破損，第 2 艙破損後的 GM 減小量較小。
• 因此，第 2 艙破損後的靜穩度曲線 $GZ_{flooded\_by\_2}$ 將會比第 1 艙破損後的曲線 $GZ_{flooded\_by\_1}$ 要「高」。
• 同時，它仍然會低於原來的完整狀態的曲線 $GZ_{original}$。