109 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丙組《造船原理》

這一題考驗對船舶基本幾何參數與概念的理解。

1. 影響船體乾舷 (freeboard) 最主要的船型係數是方形係數 (Block Coefficient, $C_B$)。方形係數定義為船體浸水部分的體積與相同尺寸的長方體體積之比。$C_B = \frac{V}{L \times B \times d}$，其中 $V$ 為船體浸水體積，$L$ 為船長，$B$ 為船寬，$d$ 為吃水。方形係數越大，表示船體水線面形狀越趨近於長方形，船體越飽滿，相同吃水下的甲板面積（即乾舷）就越小。反之，方形係數越小，船體越瘦削，相同吃水下的乾舷就越大。

2. 船舶的線圖 (Lines Plan) 上顯示的是設計吃水 (design draft) 下的船體水線、肋骨線、船底線等截面的形狀，這些截面尺寸是設計階段的理想化模型。而實船的船深 (depth) 和船寬 (beam) 是指船體結構的實際尺寸。在設計時，線圖上的模深 (moulded depth) 通常是指從龍骨線 (keel line) 到主甲板 (main deck) 或乾舷甲板 (freeboard deck) 的垂直距離，不包含船板的厚度。模寬 (moulded beam) 則是指肋骨之間的距離，不包含船殼板的厚度。實船的船深和船寬會因為船殼板的厚度、構件的突出等因素而略大於線圖上的模深和模寬。此外，線圖上的吃水是設計吃水，實船的實際吃水會因載貨、船舶的狀態（如油水、壓載水等）而有所不同。因此，線圖上的尺寸是理論設計值，實船的尺寸則會因結構、載重等因素而有差異。

3. 題意描述重心過高 (high center of gravity, G) 導致船舶穩定性不足，僅能在小角度 ($\pm \phi$) 範圍內維持穩定平衡。當船舶受到外力（如波浪）作用時，會產生橫搖。若重心過高，則復原力臂 GZ 會隨角度迅速減小，甚至在小角度就變成負值，導致船舶無法穩定地回到正浮狀態，而是在一個較小的角度範圍內來回擺動（類似於不穩定的擺）。
   示意圖應呈現：

   • 縱軸為橫傾角 (Heeling Angle, $\theta$)，標示正負。
   • 橫軸為時間 (Time, $t$)。
   • 曲線應從 $t=0$ 時的零度開始，隨著時間的增加，橫傾角在一個小的正負範圍內（例如 $\pm \phi$）來回震盪，且震盪幅度可能逐漸增大或減小（取決於阻尼情況，但題目未說明阻尼，一般示意圖可畫成穩定震盪或略微衰減）。
   • 圖形應呈現週期性的擺動。

核心觀念

1. 橫向定傾中心高度（$KM_T$）基本定義：
   定傾中心高度由船底至浮心高度（$KB$）與橫向定傾中心半徑（$BM_T$）相加而成：
   $KM_T = KB + BM_T = KB + \frac{I_T}{\nabla}$
   其中：

   • $I_T$：水線面橫向面積二次矩（Transverse Moment of Inertia of Waterplane Area）。
   • $\nabla$：船體浸水排水容積（Volume of Displacement），與重量排水量關係為 $\Delta = \rho \nabla$。
   • 橫向初穩度高（Transverse Metacentric Height）定義為 $GM_T = KM_T - KG$。

2. 箱型船（Box Barge）靜水力幾何特性：

   • 水線面面積：$A_{WP} = L \times B$
   • 排水容積：$\nabla = L \times B \times d$
   • 橫向面積二次矩：$I_T = \frac{1}{12} L B^3 \implies BM_T = \frac{I_T}{\nabla} = \frac{B^2}{12d}$
   • 縱向面積二次矩：$I_L = \frac{1}{12} B L^3 \implies BM_L = \frac{I_L}{\nabla} = \frac{L^2}{12d}$
   • 浮面中心（LCF，記為 $F$）：因船體前後對稱，位於船舯（距艉端 $\frac{L}{2}$ 處）。

3. 少量載重增加與縱傾計算（Small Weight Addition & Trim）：

   • 平行沉深（Parallel Sinkage）：
     $\delta d = \frac{w}{\rho A_{WP}}$
   • 縱傾力矩（Trimming Moment）：以浮面中心 $F$ 為基準計算力臂：
     $M_{\text{trim}} = w \cdot (x_w - x_F)$
   • 每公尺縱傾力矩（Moment to Change Trim 1 Meter, $MCT_{1\text{m}}$）：
     $MCT_{1\text{m}} = \frac{\Delta \cdot GM_L}{L} \approx \frac{\rho I_L}{L}$
     （在造船工程中，由於縱向定傾中心半徑 $BM_L$ 數值極大，遠大於 $KG - KB$，故標準計算均取 $GM_L \approx BM_L$）
   • 總縱傾量（Trim Change, $t$）與艏艉吃水變化：
     $t = \frac{M_{\text{trim}}}{MCT_{1\text{m}}}$
     $\delta d_f = \delta d + t \cdot \left(\frac{L - x_F}{L}\right)$
     $\delta d_a = \delta d - t \cdot \left(\frac{x_F}{L}\right)$

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解題步驟與推導

a. 列出 $KM_T$ 公式與實際計算所需參數

1. $KM_T$ 算式：
   $KM_T = KB + BM_T = KB + \frac{I_T}{\nabla}$
   若以重量排水量 $\Delta$ 與水密度 $\rho$ 表示，則為：
   $KM_T = KB + \frac{\rho \cdot I_T}{\Delta}$

2. 實際計算所需之額外參數：
   題目已知 $L, B, d_f, d_a, KB, I_T, \rho$。
   若為一般實船（非規則幾何形狀體），無法單純由長寬與平均吃水相乘求得浸水容積，因此尚需排水容積 $\nabla$（或重量排水量 $\Delta$）。若要由線型求出 $\nabla$，則需提供方塊係數 $C_B$（$\nabla = C_B \cdot L \cdot B \cdot d_{\text{avg}}$）或該船之靜水力曲線圖（Hydrostatic Curves）/ 浸水截面積曲線（Bonjean Curves）。

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b. 計算箱型船之 $KM_T$ 與 $GM_T$

1. 計算排水容積 $\nabla$：
   $\nabla = L \cdot B \cdot d = 30 \times 6 \times 2 = 360 \text{ m}^3$

2. 計算水線面橫向二次矩 $I_T$：
   $I_T = \frac{1}{12} L B^3 = \frac{1}{12} \times 30 \times 6^3 = 540 \text{ m}^4$

3. 計算橫向定傾中心半徑 $BM_T$：
   $BM_T = \frac{I_T}{\nabla} = \frac{540}{360} = 1.5 \text{ m} \quad \left(\text{亦可由 } BM_T = \frac{B^2}{12d} = \frac{6^2}{12 \times 2} = 1.5 \text{ m} \text{ 直接求得}\right)$

4. 計算定傾中心高度 $KM_T$：
   $KM_T = KB + BM_T = 1.05 + 1.5 = 2.55 \text{ m}$

核心觀念

本題考查靜水性能曲線的幾何判讀，以及排水量、縱向浮面心與吃水變化的關係。

• $KB$ 是基線至浮心的垂直距離。
• $TPC$ 是平均吃水增加 $1\text{ cm}$ 時，船舶排水量增加的噸數。
• $MTC$ 是使船舶縱傾改變 $1\text{ cm}$ 所需的縱傾力矩。
• $LCF$ 是水線面面積的形心；小角度縱傾時，船體可視為繞 $LCF$ 升降。

解題方法

（a）$KB$ 曲線在斜率 $\tan^{-1}2$ 直線的哪一邊？

縱軸為吃水 $T$、橫軸為 $KB$，且兩軸比例尺相同。斜率為 $2$ 的直線可寫成

$$T=2KB$$

此線代表 $KB=T/2$。一般船型的水下橫剖面由龍骨向水面逐漸展寬，水下體積的形心通常高於吃水的一半，因此

$$KB>\frac{T}{2}$$

等價於 $T<2KB$，所以 $KB$ 曲線位於該直線的下方。

（b）MTC 曲線標示「1 unit = 10 tons-m」的意思

曲線每一個縱座標單位代表 $10\text{ 噸－公尺}$ 的縱傾力矩。因此，若某吃水下曲線讀值為 $n$ 個單位，則

$$MTC=10n\text{ 噸－公尺}$$

這表示使船舶縱傾改變 $1\text{ cm}$ 所需的力矩；它不是重量，也不是代表船舶排水量增加 $10$ 噸。

（c）船舶主尺度相同，為何 A 船的 TPC 比 B 船大？

TPC 取決於水線面面積 $A_{WP}$ 與水的密度 $\rho$。在公制單位下，

$$TPC=\frac{\rho A_{WP}}{100}$$

核心觀念

本題考查靜水性能曲線的幾何判讀，以及排水量、縱向浮面心與吃水變化的關係。

• $KB$ 是基線至浮心的垂直距離。
• $TPC$ 是平均吃水增加 $1\text{ cm}$ 時，船舶排水量增加的噸數。
• $MTC$ 是使船舶縱傾改變 $1\text{ cm}$ 所需的縱傾力矩。
• $LCF$ 是水線面面積的形心；小角度縱傾時，船體可視為繞 $LCF$ 升降。

解題方法

（a）$KB$ 曲線在斜率 $\tan^{-1}2$ 直線的哪一邊？

縱軸為吃水 $T$、橫軸為 $KB$，且兩軸比例尺相同。斜率為 $2$ 的直線可寫成

$$T=2KB$$

此線代表 $KB=T/2$。一般船型的水下橫剖面由龍骨向水面逐漸展寬，水下體積的形心通常高於吃水的一半，因此

$$KB>\frac{T}{2}$$

等價於 $T<2KB$，所以 $KB$ 曲線位於該直線的下方。

（b）MTC 曲線標示「1 unit = 10 tons-m」的意思

曲線每一個縱座標單位代表 $10\text{ 噸－公尺}$ 的縱傾力矩。因此，若某吃水下曲線讀值為 $n$ 個單位，則

$$MTC=10n\text{ 噸－公尺}$$

這表示使船舶縱傾改變 $1\text{ cm}$ 所需的力矩；它不是重量，也不是代表船舶排水量增加 $10$ 噸。

（c）船舶主尺度相同，為何 A 船的 TPC 比 B 船大？

TPC 取決於水線面面積 $A_{WP}$ 與水的密度 $\rho$。在公制單位下，

$$TPC=\frac{\rho A_{WP}}{100}$$

核心觀念

本題考查靜水性能曲線的幾何判讀，以及排水量、縱向浮面心與吃水變化的關係。

• $KB$ 是基線至浮心的垂直距離。
• $TPC$ 是平均吃水增加 $1\text{ cm}$ 時，船舶排水量增加的噸數。
• $MTC$ 是使船舶縱傾改變 $1\text{ cm}$ 所需的縱傾力矩。
• $LCF$ 是水線面面積的形心；小角度縱傾時，船體可視為繞 $LCF$ 升降。

解題方法

（a）$KB$ 曲線在斜率 $\tan^{-1}2$ 直線的哪一邊？

縱軸為吃水 $T$、橫軸為 $KB$，且兩軸比例尺相同。斜率為 $2$ 的直線可寫成

$$T=2KB$$

此線代表 $KB=T/2$。一般船型的水下橫剖面由龍骨向水面逐漸展寬，水下體積的形心通常高於吃水的一半，因此

$$KB>\frac{T}{2}$$

等價於 $T<2KB$，所以 $KB$ 曲線位於該直線的下方。

（b）MTC 曲線標示「1 unit = 10 tons-m」的意思

曲線每一個縱座標單位代表 $10\text{ 噸－公尺}$ 的縱傾力矩。因此，若某吃水下曲線讀值為 $n$ 個單位，則

$$MTC=10n\text{ 噸－公尺}$$

這表示使船舶縱傾改變 $1\text{ cm}$ 所需的力矩；它不是重量，也不是代表船舶排水量增加 $10$ 噸。

（c）船舶主尺度相同，為何 A 船的 TPC 比 B 船大？

TPC 取決於水線面面積 $A_{WP}$ 與水的密度 $\rho$。在公制單位下，

$$TPC=\frac{\rho A_{WP}}{100}$$

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 動穩度與能量法：動穩度曲線下的面積，代表船舶由一個傾角轉至另一傾角時，恢復力矩所做的功。
2. 突然施加傾覆力矩：最大動傾角處角速度為零，利用「輸入功＝恢復功」求解。
3. 完整穩度與破損穩度：比較船體未破損與進水後的浮力、吃水、傾角及剩餘穩度。

題目中的「$M_{\rm std}=10000²$」依動穩度曲線的通常表示法，以下採用：

$$M_{\rm std}(\theta)=10000\theta^2$$

其中 $\theta$ 以弧度表示，$M_{\rm std}$ 單位為 ton-m，且適用於 $0\leq\theta\leq0.7$。

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a. 突然施加傾覆力矩後的最大動傾角

解題方法

船舶原本正浮，突然受到固定傾覆力矩

$$M_C=250\ \text{ton-m}$$

作用。最大動傾角 $\theta_{\max}$ 處，船舶瞬間停止轉動，因此角速度為零。

傾覆力矩所做的功為：

$$W_C=M_C\theta_{\max}$$

恢復力矩所做的功為動穩度曲線下面積：

$$W_R=\int_0^{\theta_{\max}}M_{\rm std}(\theta)\,d\theta$$

依能量守恆：

$$M_C\theta_{\max} = \int_0^{\theta_{\max}}10000\theta^2\,d\theta$$

因此：

$$250\theta_{\max} = \frac{10000}{3}\theta_{\max}^3$$

除以非零的 $\theta_{\max}$：

$$250=\frac{10000}{3}\theta_{\max}^2$$ $$\theta_{\max}^2=0.075$$ $$\theta_{\max}=0.2739\ \text{rad}$$

換算為角度：

$$\theta_{\max} = 0.2739\times\frac{180}{\pi} \approx15.7^\circ$$

答案

$$\boxed{\theta_{\max}\approx15.7^\circ}$$

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b. 傾覆力矩持續作用時的停止搖晃角

解題方法

當 $M_C$ 持續作用，船舶最後停止搖晃的位置是靜態平衡位置。此時恢復力矩等於傾覆力矩：

$$M_{\rm std}(\theta_s)=M_C$$

代入題給曲線：

$$10000\theta_s^2=250$$ $$\theta_s^2=0.025$$ $$\theta_s=0.1581\ \text{rad}$$

換算為角度：

$$\theta_s=0.1581\times\frac{180}{\pi} \approx9.06^\circ$$

答案

$$\boxed{\theta_s\approx9.1^\circ}$$

此角度是持續傾覆力矩作用下的靜態橫傾角，小於 a. 小題的最大動傾角，符合動態響應的物理意義。

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c. 船舶由 $-5.73^\circ$ 恢復正浮時突然受力

解題方法

已知：

$$-5.73^\circ\approx-0.1\ \text{rad}$$

船舶由 $-0.1$ rad 恢復至正浮位置 $\theta=0$ 時，原本已具有動能。這部分動能等於由 $-0.1$ rad 至 $0$ 的恢復功：

$$K_0=\int_{-0.1}^{0}M_{\rm std}(\theta)\,d\theta$$

由於穩度曲線對正負傾角對稱，取其大小：

$$K_0=\int_0^{0.1}10000\theta^2\,d\theta$$ $$K_0=\frac{10000}{3}(0.1)^3 =3.333\ \text{ton-m-rad}$$

船舶通過正浮位置時，傾覆力矩突然作用。從正浮位置到最大正向動傾角 $\theta_{\max}$，能量關係為：

$$K_0+M_C\theta_{\max} = \int_0^{\theta_{\max}}10000\theta^2\,d\theta$$

代入數值：

$$3.333+250\theta_{\max} = \frac{10000}{3}\theta_{\max}^3$$

整理得：

$$\frac{10000}{3}\theta_{\max}^3-250\theta_{\max}-3.333=0$$

解得正向最大動傾角：

$$\theta_{\max}\approx0.2803\ \text{rad}$$

換算為角度：

這一題考查對船舶下水過程的力學分析，包括受力、力矩平衡，以及可能發生的異常情況和水位影響。

4. 船舶在斜坡船台下水相關問題

   a. 下水過程的受力與力矩分析
   下水過程是指船舶從船台上滑動入水，直到完全離開船台並自由漂浮的過程。此過程涉及重力、浮力、船台支撐力、滑動摩擦力等。

   **階段劃分：**
   1.  **船艉接觸水面，開始受浮力**：此時船體仍有部分被船台支撐，浮力開始產生並逐漸增大。
   2.  **船體逐漸入水，浮力持續增大**：船體滑動入水的部分越來越多，浮力不斷增加。船台支撐力逐漸減小。
   3.  **船體全部浸入水中，但仍與船台接觸**：浮力可能大於船體的總重量，船體有上浮趨勢，但仍被船台約束。
   4.  **船體完全離開船台，自由漂浮**：此時船體僅受重力、浮力和水的阻力。
   
   **受力分析 (以階段 1-2 為例，即船艉接觸水面後)：**
   *   **重力 (Weight, $W$)**：作用於船的質心 (Center of Gravity, $G$)，方向豎直向下。
   *   **浮力 (Buoyancy, $B$)**：作用於船體浸水部分的浮心 (Center of Buoyancy, $B'$)，方向豎直向上。浮力的大小等於船體浸水部分的排水量（或體積乘以水密度）。
   *   **船台支撐力 (Support Force, $S$)**：作用於船體與船台接觸點，方向垂直於船台斜面向上。
   *   **摩擦力 (Friction Force, $F_f$)**：在船體與船台接觸面之間，與運動方向相反，沿著船台斜面向後。
   
   **力平衡：**
   在沿船台斜面方向： $W \sin \alpha + F_f = S$ (如果船台斜角為 $\alpha$)。
   在垂直於船台斜面方向： $W \cos \alpha = S_{\perp}$ (船台支撐力的垂直分量)。
   
   **力矩平衡：**
   通常以船體的某一點（例如船艏或船艉的接觸點）為參考點。
   設船體總長度為 $L$，質心 $G$ 距離船艉的距離為 $L_G$，浮心 $B'$ 距離船艉的距離為 $L_{B'}$。
   **以船艉接觸點為參考點，考慮力矩：**
   *   重力 $W$ 產生的力矩：$M_W = W \times (L_G \cos \alpha)$ (如果 $\alpha$ 是船台斜角，則力臂是 $L_G \cos \alpha$)。方向取決於 G 相對於該點的位置。
   *   浮力 $B$ 產生的力矩：$M_B = B \times (L_{B'} \cos \alpha)$。方向取決於 $B'$ 相對於該點的位置。
   *   船台支撐力 $S$ 產生的力矩：$M_S = S \times (\text{力臂})$。
   *   摩擦力 $F_f$ 產生的力矩：$M_{f} = F_f \times (\text{力臂})$。
   
   **更簡化的分析：**
   考慮船體沿斜面下滑的動力學。
   下滑的淨力 $F_{net} = W \sin \alpha - F_f$。
   當船艉接觸水面後，浮力 $B$ 開始產生，並且隨著船體入水深度增加而增大。
   浮力 $B$ 的作用點是浮心 $B'$。
   重力 $W$ 的作用點是質心 $G$。
   **下滑的動力學方程 (沿斜面方向)：**
   $m \frac{dv}{dt} = W \sin \alpha - F_f - B \sin \beta$ (如果 $B$ 的方向與斜面有夾角 $\beta$)。
   **更常見的考慮是：**
   下滑的淨力 $F_{net} = W \sin \alpha - F_f - B_{vertical}$，其中 $B_{vertical}$ 是浮力在斜面方向的分量。
   或者，更直接地考慮：
   沿斜面方向的合力 $F_{slide} = W \sin \alpha - F_f - B_{eff}$，其中 $B_{eff}$ 是浮力與重力在斜面方向的合力。
   
   **繪圖與公式說明：**
   請繪製船舶在船台上，船艉剛接觸水面的示意圖。
   *   畫出船體輪廓，船台斜面。
   *   標示重力 $W$ (作用於 G，向下)。
   *   標示浮力 $B$ (作用於 $B'$，向上)。
   *   標示船台支撐力 $S$ (作用於接觸點，垂直於船台斜面向上)。
   *   標示摩擦力 $F_f$ (作用於接觸點，沿斜面向後)。
   *   標示船台斜角 $\alpha$。
   *   分解 $W$ 為 $W \sin \alpha$ (沿斜面向下) 和 $W \cos \alpha$ (垂直於斜面向下)。
   *   分解 $S$ 為 $S_{slide}$ (沿斜面向上) 和 $S_{\perp}$ (垂直於斜面向下)。
   
   **力平衡方程 (沿斜面方向)：**
   $m a = W \sin \alpha - F_f - B \sin \gamma$ (如果 $B$ 的方向與斜面成 $\gamma$ 角，且 $B$ 是總浮力)
   或者，如果考慮 $B$ 的豎直分量，與 $W$ 的豎直分量平衡：
   $W \cos \alpha = S_{\perp} + B \cos \delta$ (其中 $\delta$ 是 $B$ 與船體軸線的夾角)。
   
   **最簡潔的表達：**
   **沿斜面方向的合力：** $F_{net\_slide} = W \sin \alpha - F_f - B_{effective}$
   其中 $W \sin \alpha$ 是重力沿斜面的分量， $F_f$ 是摩擦力， $B_{effective}$ 是浮力在下滑方向的分量（通常是 $B$ 的豎直分量與 $W$ 的豎直分量之差）。
   **當 $F_{net\_slide} > 0$ 時，船舶開始下滑。**
   
   **力矩平衡：**
   以船體與船台的接觸點（或質心 G）為參考點。
   **以 G 為參考點，考慮力矩：**
   *   重力 $W$ 產生的力矩為 0。
   *   浮力 $B$ 產生的力矩 $M_B = B \times (\text{力臂})$。這個力臂是 $B'$ 到 G 的水平距離乘以 $\cos \alpha$。
   *   船台支撐力 $S$ 產生的力矩 $M_S = S \times (\text{力臂})$。
   *   摩擦力 $F_f$ 產生的力矩 $M_f = F_f \times (\text{力臂})$。
   
   **更常見的考慮是：**
   **以船艉與船台的接觸點為參考點，考慮力矩（以抵抗下滑為目標）：**
   *   重力 $W$ 產生的力矩（傾向於使船下滑）：$M_W = W \times (\text{力臂}_W)$。 力臂是 G 點到接觸點的垂直距離。
   *   浮力 $B$ 產生的力矩（傾向於使船上浮或穩定）：$M_B = B \times (\text{力臂}_B)$。 力臂是 $B'$ 點到接觸點的垂直距離。
   *   船台支撐力 $S$ 產生的力矩：$M_S = S \times (\text{力臂}_S)$。
   *   摩擦力 $F_f$ 產生的力矩（抵抗下滑）：$M_f = F_f \times (\text{力臂}_f)$。
   

核心觀念

本題考查船舶在傾覆力矩作用下的動穩度分析，以及完整穩度、破損穩度的基本概念。

設橫傾角為 $\theta$，且題目所給動穩度曲線為

$$M_{\mathrm{std}}=10000\theta^2$$

其中 $\theta$ 必須以弧度表示，$M_{\mathrm{std}}$ 的單位為 $\text{ton-m-rad}$。

動穩度定義為右ing力矩對傾角的積分，因此靜穩度曲線，即右ing力矩為

$$M_R=\frac{dM_{\mathrm{std}}}{d\theta} =20000\theta$$

傾覆力矩作用所做的功為

$$W_C=M_C\Delta\theta$$

船舶達到最大動傾角時，角速度瞬間為零，因此使用能量平衡：

$$\text{動穩度增加量}=\text{傾覆力矩所做的功}$$

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a. 突然施加傾覆力矩時的最大動傾角

船舶原先正浮，初始角度為 $\theta=0$。突然施加固定傾覆力矩

$$M_C=250\ \text{ton-m}$$

在最大動傾角 $\theta_{\max}$ 處，船舶瞬間停止轉動，故

$$M_{\mathrm{std}}(\theta_{\max})=M_C\theta_{\max}$$

代入題目資料：

$$10000\theta_{\max}^2=250\theta_{\max}$$

除以 $\theta_{\max}$：

$$10000\theta_{\max}=250$$

因此

$$\theta_{\max}=0.025\ \text{rad}$$

換算為角度：

$$\theta_{\max} =0.025\times\frac{180}{\pi} =1.43^\circ$$

解題技巧

突然施加固定力矩時，最大傾角不是以靜力平衡求得，而是以「動穩度＝外力矩做功」求得。若直接令 $M_R=M_C$，得到的是平衡傾角，並非最大動傾角。

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b. 傾覆力矩持續作用時的停止搖晃角

當船舶最後停止搖晃，表示已達到靜力平衡，因此右ing力矩等於傾覆力矩：

$$M_R=M_C$$

由

$$M_R=20000\theta$$

得

$$20000\theta_s=250$$

所以

$$\theta_s=0.0125\ \text{rad}$$

換算為角度：

$$\theta_s =0.0125\times\frac{180}{\pi} =0.716^\circ$$

因此停止搖晃後的橫傾角為

$$\boxed{\theta_s\approx0.72^\circ}$$

與 a. 小題比較

突然施加力矩時：

$$\theta_{\max}=2\theta_s$$

即

$$1.43^\circ\approx2(0.716^\circ)$$

這是因為突然施加力矩會使船舶先產生動能，最大傾角會超過最後的靜態平衡角。

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c. 船舶由 $-5.73^\circ$ 恢復正浮時突然施加傾覆力矩

先將初始角度換成弧度：

$$\theta_0=-5.73^\circ\approx-0.1\ \text{rad}$$

船舶在 $-0.1\ \text{rad}$ 處正要恢復正浮，視為由該最大傾角開始回復，初始角速度為零。

從 $\theta_0=-0.1$ 轉動至最大正傾角 $\theta_{\max}$ 時，右ing系統的動穩度增加量為

$$M_{\mathrm{std}}(\theta_{\max}) - M_{\mathrm{std}}(\theta_0)$$

傾覆力矩所做的功為

$$M_C(\theta_{\max}-\theta_0) = 250(\theta_{\max}+0.1)$$

依能量平衡：

$$10000\theta_{\max}^2 - 10000(-0.1)^2 = 250(\theta_{\max}+0.1)$$

整理得

$$10000\theta_{\max}^2-100-250\theta_{\max}-25=0$$ $$10000\theta_{\max}^2-250\theta_{\max}-125=0$$

利用二次方程式：

$$\theta_{\max} = \frac{250+\sqrt{(-250)^2-4(10000)(-125)}}{2(10000)}$$ $$\theta_{\max} = \frac{250+\sqrt{5\,062\,500}}{20\,000} \approx0.1252\ \text{rad}$$

換算為角度：

這一題考查對船舶下水過程的力學分析，包括受力、力矩平衡，以及可能發生的異常情況和水位影響。

4. 船舶在斜坡船台下水相關問題

   a. 下水過程的受力與力矩分析
   下水過程是指船舶從船台上滑動入水，直到完全離開船台並自由漂浮的過程。此過程涉及重力、浮力、船台支撐力、滑動摩擦力等。

   **階段劃分：**
   1.  **船艉接觸水面，開始受浮力**：此時船體仍有部分被船台支撐，浮力開始產生並逐漸增大。
   2.  **船體逐漸入水，浮力持續增大**：船體滑動入水的部分越來越多，浮力不斷增加。船台支撐力逐漸減小。
   3.  **船體全部浸入水中，但仍與船台接觸**：浮力可能大於船體的總重量，船體有上浮趨勢，但仍被船台約束。
   4.  **船體完全離開船台，自由漂浮**：此時船體僅受重力、浮力和水的阻力。
   
   **受力分析 (以階段 1-2 為例，即船艉接觸水面後)：**
   *   **重力 (Weight, $W$)**：作用於船的質心 (Center of Gravity, $G$)，方向豎直向下。
   *   **浮力 (Buoyancy, $B$)**：作用於船體浸水部分的浮心 (Center of Buoyancy, $B'$)，方向豎直向上。浮力的大小等於船體浸水部分的排水量（或體積乘以水密度）。
   *   **船台支撐力 (Support Force, $S$)**：作用於船體與船台接觸點，方向垂直於船台斜面向上。
   *   **摩擦力 (Friction Force, $F_f$)**：在船體與船台接觸面之間，與運動方向相反，沿著船台斜面向後。
   
   **力平衡：**
   在沿船台斜面方向： $W \sin \alpha + F_f = S$ (如果船台斜角為 $\alpha$)。
   在垂直於船台斜面方向： $W \cos \alpha = S_{\perp}$ (船台支撐力的垂直分量)。
   
   **力矩平衡：**
   通常以船體的某一點（例如船艏或船艉的接觸點）為參考點。
   設船體總長度為 $L$，質心 $G$ 距離船艉的距離為 $L_G$，浮心 $B'$ 距離船艉的距離為 $L_{B'}$。
   **以船艉接觸點為參考點，考慮力矩：**
   *   重力 $W$ 產生的力矩：$M_W = W \times (L_G \cos \alpha)$ (如果 $\alpha$ 是船台斜角，則力臂是 $L_G \cos \alpha$)。方向取決於 G 相對於該點的位置。
   *   浮力 $B$ 產生的力矩：$M_B = B \times (L_{B'} \cos \alpha)$。方向取決於 $B'$ 相對於該點的位置。
   *   船台支撐力 $S$ 產生的力矩：$M_S = S \times (\text{力臂})$。
   *   摩擦力 $F_f$ 產生的力矩：$M_{f} = F_f \times (\text{力臂})$。
   
   **更簡化的分析：**
   考慮船體沿斜面下滑的動力學。
   下滑的淨力 $F_{net} = W \sin \alpha - F_f$。
   當船艉接觸水面後，浮力 $B$ 開始產生，並且隨著船體入水深度增加而增大。
   浮力 $B$ 的作用點是浮心 $B'$。
   重力 $W$ 的作用點是質心 $G$。
   **下滑的動力學方程 (沿斜面方向)：**
   $m \frac{dv}{dt} = W \sin \alpha - F_f - B \sin \beta$ (如果 $B$ 的方向與斜面有夾角 $\beta$)。
   **更常見的考慮是：**
   下滑的淨力 $F_{net} = W \sin \alpha - F_f - B_{vertical}$，其中 $B_{vertical}$ 是浮力與重力在斜面方向的合力。
   
   **繪圖與公式說明：**
   請繪製船舶在船台上，船艉剛接觸水面的示意圖。
   *   畫出船體輪廓，船台斜面。
   *   標示重力 $W$ (作用於 G，向下)。
   *   標示浮力 $B$ (作用於 $B'$，向上)。
   *   標示船台支撐力 $S$ (作用於接觸點，垂直於船台斜面向上)。
   *   標示摩擦力 $F_f$ (作用於接觸點，沿斜面向後)。
   *   標示船台斜角 $\alpha$。
   *   分解 $W$ 為 $W \sin \alpha$ (沿斜面向下) 和 $W \cos \alpha$ (垂直於斜面向下)。
   *   分解 $S$ 為 $S_{slide}$ (沿斜面向上) 和 $S_{\perp}$ (垂直於斜面向下)。
   
   **力平衡方程 (沿斜面方向)：**
   $m a = W \sin \alpha - F_f - B \sin \gamma$ (如果 $B$ 的方向與斜面成 $\gamma$ 角，且 $B$ 是總浮力)
   或者，如果考慮 $B$ 的豎直分量，與 $W$ 的豎直分量平衡：
   $W \cos \alpha = S_{\perp} + B \cos \delta$ (其中 $\delta$ 是 $B$ 與船體軸線的夾角)。
   
   **最簡潔的表達：**
   **沿斜面方向的合力：** $F_{net\_slide} = W \sin \alpha - F_f - B_{effective}$
   其中 $W \sin \alpha$ 是重力沿斜面的分量， $F_f$ 是摩擦力， $B_{effective}$ 是浮力與重力在斜面方向的合力。
   **當 $F_{net\_slide} > 0$ 時，船舶開始下滑。**
   
   **力矩平衡：**
   以船體與船台的接觸點（或質心 G）為參考點。
   **以 G 為參考點，考慮力矩：**
   *   重力 $W$ 產生的力矩為 0。
   *   浮力 $B$ 產生的力矩 $M_B = B \times (\text{力臂})$。這個力臂是 $B'$ 到 G 的水平距離乘以 $\cos \alpha$。
   *   船台支撐力 $S$ 產生的力矩 $M_S = S \times (\text{力臂})$。
   *   摩擦力 $F_f$ 產生的力矩 $M_f = F_f \times (\text{力臂})$。
   
   **更常見的考慮是：**
   **以船艉與船台的接觸點為參考點，考慮力矩（以抵抗下滑為目標）：**
   *   重力 $W$ 產生的力矩（傾向於使船下滑）：$M_W = W \times (\text{力臂}_W)$。 力臂是 G 點到接觸點的垂直距離。
   *   浮力 $B$ 產生的力矩（傾向於使船上浮或穩定）：$M_B = B \times (\text{力臂}_B)$。 力臂是 $B'$ 點到接觸點的垂直距離。
   *   船台支撐力 $S$ 產生的力矩：$M_S = S \times (\text{力臂}_S)$。
   *   摩擦力 $F_f$ 產生的力矩（抵抗下滑）：$M_f = F_f \times (\text{力臂}_f)$。
   
   **關鍵點：**
   在下水過程中，隨著船體入水越來越多，浮力 $B$ 增大，且浮心 $B'$ 的位置會改變。