109 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所乙組《動力學》

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第 1 題20 分

As shown in Fig. 1. The 4-kg collar C has a velocity of vA=2v_A = 2 m/s when it is at A. If the guide rod is smooth, determine the speed of the collar when it is at B. The spring has an unstretched length of l0=0.2l_0 = 0.2 m.
Note 1: The guide rod from A to B is a circular arc.
Note 2: The vertical distance from A to the spring pivot D is 0.16 m.
The gravitational acceleration is g=9.81g = 9.81 m/s².
The spring constant is k=400k = 400 N/m.
The mass of collar C is m=4m = 4 kg.
The distance from A to B along the guide rod is 0.4 m.

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核心觀念

本題考查「功與能原理」。導桿光滑，因此導桿對套環的正向力不作功，可直接使用機械能守恆：

TA+Vg,A+Vs,A=TB+Vg,B+Vs,BT_A+V_{g,A}+V_{s,A} = T_B+V_{g,B}+V_{s,B}

其中：

  • 重力位能差由套環的垂直位移決定。
  • 彈簧位能為
    Vs=12k(l−l0)2V_s=\frac12 k(l-l_0)^2
  • 彈簧長度必須由幾何關係求得。

依原圖，標示的 0.4 m0.4\ \text{m} 為圓弧半徑，ABAB 為四分之一圓弧；因此套環由 AA 到 BB 下降 0.4 m0.4\ \text{m}。

解題方法

取 AA 點為重力位能基準，且彈簧固定端為 DD。

1. 求彈簧在 AA 點的長度

圖中 ADAD 為鉛直距離：

lA=AD=0.16 ml_A=AD=0.16\ \text{m}

因此彈簧在 AA 點的壓縮量為

lA−l0=0.16−0.20=−0.04 ml_A-l_0=0.16-0.20=-0.04\ \text{m}

彈簧位能：

Vs,A=12(400)(−0.04)2=0.32 JV_{s,A} =\frac12(400)(-0.04)^2 =0.32\ \text{J}

2. 求彈簧在 BB 點的長度

由圖形幾何，從 DD 到 BB 的水平距離為 0.4 m0.4\ \text{m}，鉛直距離為

0.4−0.16=0.24 m0.4-0.16=0.24\ \text{m}

故

lB=(0.4)2+(0.24)2=0.2176=0.4665 ml_B =\sqrt{(0.4)^2+(0.24)^2} =\sqrt{0.2176} =0.4665\ \text{m}
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第 2 題20 分

At the instant shown in Fig. 2, point P on the cable has a velocity vP=12v_P = 12 m/s, which is increasing at a rate of aP=6.2a_P = 6.2 m/s². Determine the power (Watt) input to motor M at this instant if it operates with an efficiency ε=0.8\varepsilon = 0.8. The mass of block A is 50 kg.

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本題考驗質點運動學、牛頓第二運動定律與功率的概念。需要計算施加在馬達上的輸入功率。

首先，我們需要分析滑車 A 的運動。滑車 A 由纜繩通過滑輪 P 拉動。
滑車 A 的質量 mA=50m_A = 50 kg。
纜繩上 P 點的速度 vP=12v_P = 12 m/s，加速度 aP=6.2a_P = 6.2 m/s²。
由於滑輪 P 是固定不動的，並且纜繩通過它，所以滑車 A 的速度 vAv_A 和加速度 aAa_A 與 P 點的速度和加速度相等。
vA=vP=12v_A = v_P = 12 m/s。
aA=aP=6.2a_A = a_P = 6.2 m/s²。

現在，我們需要計算作用在滑車 A 上的合力。由於滑車 A 沿垂直方向運動，我們應用牛頓第二運動定律於垂直方向。
滑車 A 受到重力 WA=mAgW_A = m_A g 向下，以及纜繩的拉力 TT 向上。
WA=50 kg×9.81 m/s2=490.5W_A = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 = 490.5 N。
根據牛頓第二運動定律：
∑Fy=mAaA\sum F_y = m_A a_A
T−WA=mAaAT - W_A = m_A a_A

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第 3 題20 分

As shown in Fig. 3. End A of the link has a velocity vA=3.3v_A = 3.3 m/s. Determine the velocity of the peg at B at this instant. The peg is constrained to move along the slot. The length of the link AB is 2 m. The angle of the link AB with the horizontal is 30°. The angle of the slot with the horizontal is 45°.
(Note: Gravity is neglected.)

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核心觀念

剛性桿 ABAB 的兩端相對速度必垂直於桿，因此

vB−vA⊥AB.\mathbf v_B-\mathbf v_A\perp AB.

插銷 BB 受槽限制，速度方向必沿槽。把這兩個速度條件聯立，即可求出 BB 的速度。

解題方法

依原卷圖形，桿 ABAB 與鉛直方向夾角為 45∘45^\circ，槽與水平線夾角為 30∘30^\circ；這與題目文字列出的角度不同，以下依掃描圖作答。

取 xx 軸向右、yy 軸向上。由圖可知

vA=(0,−3.3) m/s.\mathbf v_A=(0,-3.3)\ \text{m/s}.

由於 BB 的速度沿槽，先假設其方向沿槽向右下方，令帶正負號的速度為 uu，則

vB=(ucos⁡30∘,−usin⁡30∘).\mathbf v_B=(u\cos30^\circ,-u\sin30^\circ).

從 AA 指向 BB 的桿方向為左下方，單位向量是

eAB=(−cos⁡45∘,−sin⁡45∘).\mathbf e_{AB}=(-\cos45^\circ,-\sin45^\circ).
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第 4 題10 分

At the instant shown in Fig. 4, the 30-kg disk has a counterclockwise angular velocity of ω=10\omega = 10 rad/s. Determine the angular acceleration of the disk [10%] and the normal [5%] and tangential [5%] components of reaction of the pin O on the disk at this instant. The mass of the disk is 30 kg. The force P = 50 N is applied.
(Note: Gravity is neglected. g=9.81g = 9.81 m/s².)

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核心觀念

本題考查固定銷旋轉剛體的：

  • 剛體轉動方程：∑MO=IOα\sum M_O=I_O\alpha
  • 平行軸定理：IO=IG+m(OG)2I_O=I_G+m(OG)^2
  • 質心加速度：
aG=α×rG/O+ω×(ω×rG/O)\mathbf a_G=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{G/O} +\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{G/O})
  • 銷反力的法向與切向分量。

由圖可知圓盤半徑及 OGOG 距離皆為 r=0.34 mr=0.34\ \text{m}，且為均質實心圓盤。

受力與力矩

取 xx 軸向右、yy 軸向上，逆時針為正。力 P=50 NP=50\ \text{N} 依 33-44-55 三角形分解為

Px=50(45)=40 N,Py=50(35)=30 N.P_x=50\left(\frac45\right)=40\ \text{N}, \qquad P_y=50\left(\frac35\right)=30\ \text{N}.

作用點相對於 OO 的位置為

rP/O=0.34 i−0.34 j.\mathbf r_{P/O}=0.34\,\mathbf i-0.34\,\mathbf j.

因此，PP 對 OO 的力矩為

MO=rxPy−ryPx=(0.34)(30)−(−0.34)(40)=23.8 N⋅m.M_O =r_xP_y-r_yP_x =(0.34)(30)-(-0.34)(40) =23.8\ \text{N}\cdot\text{m}.

重力作用於質心 GG，且其作用線通過 OO，故對 OO 的力矩為零。

實心圓盤的質量慣性矩為

IG=12mr2=12(30)(0.34)2=1.734 kg⋅m2.I_G=\frac12mr^2 =\frac12(30)(0.34)^2 =1.734\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

由平行軸定理，

IO=IG+mr2=1.734+30(0.34)2=5.202 kg⋅m2.I_O=I_G+mr^2 =1.734+30(0.34)^2 =5.202\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

故角加速度為

α=∑MOIO=23.85.202=4.58 rad/s2.\alpha=\frac{\sum M_O}{I_O} =\frac{23.8}{5.202} =4.58\ \text{rad/s}^2.

方向為逆時針。

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第 5 題20 分

The 10-kg wheel shown in Fig. 5 has a moment of inertia IG=0.156I_G = 0.156 kg-m². Assuming that the wheel does not slip or rebound, determine the minimum velocity vGv_G it must have to just roll over the obstruction at A. The mass of the wheel is 10 kg.
(Note: Gravity is neglected. g=9.81g = 9.81 m/s².)

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核心觀念

車輪撞上障礙物尖角 AA 時，碰撞會使部分動能損失，因此不能直接把碰撞前的總動能全部用來爬升。解題分成兩段：

  1. 碰撞瞬間，對尖角 AA 使用角動量守恆。
  2. 碰撞後，車輪繞 AA 轉動，使用機械能守恆，求剛好越過障礙物所需的臨界速度。

依原卷掃描圖，題目註明重力方向向下、g=9.81 m/s2g=9.81\ \text{m/s}^2；以下依圖中資訊計算。

解題方法

車輪半徑 R=0.2 mR=0.2\ \text{m}、質量 m=10 kgm=10\ \text{kg}、質心轉動慣量 IG=0.156 kg⋅m2I_G=0.156\ \text{kg}\cdot\text{m}^2，障礙物高度 h=0.035 mh=0.035\ \text{m}。

碰撞前車輪純滾動，故

ω−=vGR\omega^-=\frac{v_G}{R}

碰撞前質心到尖角 AA 的垂直距離為 R−hR-h。以 AA 為取矩點，碰撞瞬間的角動量大小為

HA−=IGvGR+m(R−h)vGH_A^- = I_G\frac{v_G}{R}+m(R-h)v_G

碰撞後車輪不滑動、不反彈，瞬間繞 AA 轉動。由於尖角處的衝量通過 AA，碰撞前後對 AA 的角動量守恆：

HA−=IAω+,IA=IG+mR2H_A^- = I_A\omega^+, \qquad I_A=I_G+mR^2

所以碰撞後的轉動動能為

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