112 年 國立成功大學機械工程學系碩士班乙組《動力學》

核心觀念

本題分為兩個階段：

1. 碰撞前：利用機械能守恆求出 A 撞擊 B 前的速度。
2. 碰撞瞬間與碰撞後：
   • 碰撞瞬間使用動量守恆與恢復係數。
   • 碰撞後，B 從彈簧的靜平衡位置開始向下振動，利用能量守恆求最大下移量。

題目特別指出彈簧原本已被 B 的重量壓縮，因此圖示位置就是 B 的靜平衡位置。

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解題方法

設向下為正方向，質量為

$$m_A=0.8\ \text{kg},\qquad m_B=1.4\ \text{kg}$$

彈簧常數與恢復係數為

$$k=1000\ \text{N/m},\qquad e=0.8$$

1. A 撞擊 B 前的速度

A 由靜止下降 $H=0.6\ \text{m}$，由機械能守恆：

$$m_A gH=\frac{1}{2}m_A u_A^2$$

因此

$$u_A=\sqrt{2gH}$$

代入 $g=9.81\ \text{m/s}^2$：

$$u_A=\sqrt{2(9.81)(0.6)} =3.431\ \text{m/s}$$

碰撞前 B 靜止，因此

$$u_B=0$$

2. 碰撞後 B 的速度

碰撞期間彈簧與重力的衝量相較於碰撞衝量可忽略，故沿垂直方向使用動量守恆：

$$m_Au_A+m_Bu_B=m_Av_A+m_Bv_B$$

恢復係數定義為：

$$e=\frac{v_B-v_A}{u_A-u_B}$$

由 $u_B=0$，聯立兩式可得：

$$v_B=\frac{(1+e)m_A}{m_A+m_B}u_A$$

代入數值：

此題考驗單自由度系統的振動分析，特別是自然頻率的計算以及阻尼比的判斷。

首先，我們需要建立系統的運動方程式。對於一個繞 O 點轉動的連桿，其運動方程式為：
$I_O \ddot{\theta} + c \dot{\theta} + k \theta = M(\theta)$
其中 $I_O$ 是連桿繞 O 點的轉動慣量，$\ddot{\theta}$ 是角加速度，$\dot{\theta}$ 是角速度，$\theta$ 是角度位移， $c$ 是阻尼係數， $k$ 是彈簧係數， $M(\theta)$ 是恢復力矩。

連桿是一個均勻細桿，長度為 $L$。從圖中可以看出，O 到 A 的距離為 0.4 m，O 到 B 的距離為 0.2 m。
我們假設連桿的總長度為 $L = 0.4 + 0.2 = 0.6$ m。
連桿的質量為 $m = 0.3$ kg。
連桿繞質心（中點）的轉動慣量為 $I_{cm} = \frac{1}{12} m L^2$。
利用平行軸定理，計算繞 O 點的轉動慣量 $I_O$。
桿的中點距離 O 點為 $0.6/2 = 0.3$ m。
$I_O = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{12} m L^2 + m (L/2)^2$
$I_O = \frac{1}{12} (0.3)(0.6)^2 + (0.3)(0.3)^2 = \frac{1}{12} (0.3)(0.36) + (0.3)(0.09)$
$I_O = 0.0108 + 0.027 = 0.0378$ kg$\cdot$m$^2$。

現在分析彈簧力和阻尼力產生的恢復力矩。
彈簧連接在 A 點，距離 O 點為 $r_A = 0.4$ m。彈簧的力為 $F_s = k x_A$，其中 $x_A$ 是彈簧的伸長量。
從圖中看，當連桿與水平線夾角為 $\theta$ 時，彈簧的自然長度似乎是與水平夾角為 0 的時候。
彈簧的伸長量 $x_A = r_A \sin\theta$。
彈簧產生的力矩為 $M_s = -F_s r_A = -(k r_A \sin\theta) r_A = -k r_A^2 \sin\theta$。
對於小角度 $\theta$，$\sin\theta \approx \theta$。
所以，彈簧的恢復力矩為 $M_s \approx -k r_A^2 \theta$。
其中 $k = 0.28$ kN/m = 280 N/m， $r_A = 0.4$ m。
$k r_A^2 = 280 \times (0.4)^2 = 280 \times 0.16 = 44.8$ N$\cdot$m。
所以，彈簧的恢復力矩為 $M_s \approx -44.8 \theta$。

阻尼器連接在 B 點，距離 O 點為 $r_B = 0.2$ m。阻尼器的力為 $F_d = c v_B$，其中 $v_B$ 是 B 點的切線速度。
$v_B = r_B \dot{\theta}$。
阻尼器產生的力矩為 $M_d = -F_d r_B = -(c r_B \dot{\theta}) r_B = -c r_B^2 \dot{\theta}$。
其中 $c = 5$ N-s/m， $r_B = 0.2$ m。
$c r_B^2 = 5 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2$ N$\cdot$m/(rad/s)。
所以，阻尼器的力矩為 $M_d = -0.2 \dot{\theta}$。

假設重力作用在連桿的質心。質心距離 O 點為 $d = 0.3$ m。
重力產生的恢復力矩為 $M_g = -(mg) (d \sin\theta) = -mgd \sin\theta$。
對於小角度 $\theta$，$\sin\theta \approx \theta$。
$M_g \approx -mgd \theta$。
$m = 0.3$ kg, $g = 9.81$ m/s$^2$, $d = 0.3$ m。
$mgd = 0.3 \times 9.81 \times 0.3 = 0.8829$ N$\cdot$m。
所以，重力的恢復力矩為 $M_g \approx -0.8829 \theta$。

將所有力矩合併，並代入運動方程式：
$I_O \ddot{\theta} + (c r_B^2) \dot{\theta} + (k r_A^2 + mgd) \theta = 0$
$0.0378 \ddot{\theta} + 0.2 \dot{\theta} + (44.8 + 0.8829) \theta = 0$
$0.0378 \ddot{\theta} + 0.2 \dot{\theta} + 45.6829 \theta = 0$

這是一個標準的二階線性齊次微分方程式，形式為 $m_{eq} \ddot{x} + c_{eq} \dot{x} + k_{eq} x = 0$。
在這裡，$m_{eq}$ 對應 $I_O$，$c_{eq}$ 對應 $c r_B^2$，$k_{eq}$ 對應 $(k r_A^2 + mgd)$。

自然頻率 $\omega_n$ 的定義是當阻尼為零時的振動頻率：
$\omega_n^2 = \frac{k_{eq}}{m_{eq}} = \frac{k r_A^2 + mgd}{I_O}$

核心觀念

本題分成「碰撞瞬間」與「碰撞後爬升」兩階段處理：

• 碰撞瞬間，取障礙物頂角 $B$ 為矩心，角動量守恆。角衝量通過 $B$，對 $B$ 的力矩為零。
• 碰撞後，輪子以 $B$ 為瞬時轉動中心。要剛好越過障礙物，碰撞後的動能恰好轉換為重力位能增加量。

由圖得輪子半徑 $r=150/2=75\text{ mm}=0.075\text{ m}$，障礙物高度 $h=15\text{ mm}=0.015\text{ m}$。輪子對中心的轉動慣量為 $I_O=mk_O^2$。

解題方法

輪子撞上障礙物頂角 $B$ 時，輪心 $O$ 到 $B$ 的垂直距離為 $r-h$。碰撞前輪子向右平移，且無滑動，因此自轉角速度大小為 $V_O/r$，方向為順時針。

以順時針角動量大小表示，碰撞前相對 $B$ 的角動量為

$$H_B^- = mV_O(r-h)+I_O\frac{V_O}{r} = mV_O\left(r-h+\frac{k_O^2}{r}\right).$$

碰撞後輪子繞 $B$ 轉動，其轉動慣量為

$$I_B=I_O+mr^2=m(k_O^2+r^2).$$

由碰撞瞬間對 $B$ 的角動量守恆，碰撞後的轉動動能為

核心觀念

本題考查平面剛體的速度關係。對剛性連桿 $ABD$，任兩點間的速度可用

$$\vec v_D=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{D/A}$$

並利用各滑塊的運動約束：

• $A$ 隨水平柱塞運動，因此 $\vec v_A=10\,\mathbf i\ \text{m/s}$。
• $B$ 在水平導軌內運動，因此 $v_{By}=0$。
• $D$ 在垂直導軌內運動，因此 $v_{Dx}=0$。

由圖可知 $AB=200\ \text{mm}$、$BD=400\ \text{mm}$，且連桿與水平夾角為 $\theta=30^\circ$。

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解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針角速度為正。由於 $ABD$ 為一直線剛桿：

$$\vec r_{B/A} = 0.2(\cos30^\circ\,\mathbf i-\sin30^\circ\,\mathbf j)$$

因此

$$\vec v_B = \vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}$$

其中

$$\vec\omega=\omega\mathbf k$$

所以

$$\vec v_B = 10\mathbf i+ \omega\mathbf k\times 0.2(\cos30^\circ\,\mathbf i-\sin30^\circ\,\mathbf j)$$

整理得

核心觀念

本題考查剛體平面運動的速度關係：

$$\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}$$

另外，滾輪 $B$ 被限制在以 $C$ 為圓心、半徑 $CB=1.25R$ 的圓弧上，因此：

$$\vec v_B\perp \vec r_{B/C}$$

已知：

$$R=1\text{ m},\qquad v_A=10\text{ m/s}$$

且 $A$ 向下運動。

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解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，令逆時針角速度為正。

由圖中 $AB$ 與鉛直線夾角 $30^\circ$：

$$\vec r_{B/A} = R(\sin30^\circ\,\mathbf i-\cos30^\circ\,\mathbf j) = \left(\frac{R}{2},-\frac{\sqrt3R}{2}\right)$$

因此：

$$\vec v_A=-10\mathbf j$$

剛體速度關係為：

$$\vec v_B = -10\mathbf j + \omega_{AB}\mathbf k\times \left( \frac{R}{2}\mathbf i-\frac{\sqrt3R}{2}\mathbf j \right)$$

利用：

$$\mathbf k\times(x\mathbf i+y\mathbf j) =-y\mathbf i+x\mathbf j$$

得到：

$$\vec v_B = \frac{\sqrt3R}{2}\omega_{AB}\mathbf i + \left(-10+\frac{R}{2}\omega_{AB}\right)\mathbf j$$

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由 $CB=1.25R$，且 $B$ 的水平距離為：

$$\frac{R}{2}$$

故 $CB$ 的鉛直分量為：

$$\sqrt{(1.25R)^2-\left(\frac R2\right)^2} = \frac{\sqrt{21}}{4}R$$

所以：