112 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《自動控制》

核心觀念

題目要求將轉移函數轉換為兩種標準狀態空間表示：

$$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$$

其中：

• 控制器標準型（controller canonical form）將分母多項式係數放在 $A$ 矩陣的最後一列。
• 觀測器標準型（observer canonical form）為控制器標準型的對偶形式，通常滿足

$$A_{\mathrm{obs}}=A_{\mathrm{con}}^{T},\qquad B_{\mathrm{obs}}=C_{\mathrm{con}}^{T},\qquad C_{\mathrm{obs}}=B_{\mathrm{con}}^{T}$$

本題為嚴格真有理轉移函數，因此 $D=0$。

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題目係數整理

原轉移函數為

$$G(s)=\frac{s^2+7s+2}{s^3+9s^2+26s+24}$$

分母寫成標準形式：

$$s^3+a_2s^2+a_1s+a_0$$

可得

$$a_2=9,\qquad a_1=26,\qquad a_0=24$$

分子寫成：

$$b_2s^2+b_1s+b_0$$

可得

$$b_2=1,\qquad b_1=7,\qquad b_0=2$$

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i) 控制器標準型

解題方法

三階系統的控制器標準型可直接寫成：

$$A_{\mathrm{con}}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -a_0&-a_1&-a_2 \end{bmatrix}, \qquad B_{\mathrm{con}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$

輸出矩陣為：

$$C_{\mathrm{con}}= \begin{bmatrix} b_0&b_1&b_2 \end{bmatrix}$$

由本題係數代入：

$$A_{\mathrm{con}}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -24&-26&-9 \end{bmatrix}$$ $$B_{\mathrm{con}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$ $$C_{\mathrm{con}}= \begin{bmatrix} 2&7&1 \end{bmatrix}, \qquad D=0$$

因此狀態方程為：

$$\dot{x}_1=x_2$$ $$\dot{x}_2=x_3$$ $$\dot{x}_3=-24x_1-26x_2-9x_3+u$$

輸出方程為：

$$y=2x_1+7x_2+x_3$$

驗算

由前三個狀態方程可知：

$$x_2=sx_1,\qquad x_3=s^2x_1$$

第三個狀態方程在拉氏域中為：

$$s^3x_1=-24x_1-26sx_1-9s^2x_1+u$$

整理得：

$$\left(s^3+9s^2+26s+24\right)x_1=u$$

而輸出為：

$$y=(2+7s+s^2)x_1$$

因此：

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s^2+7s+2}{s^3+9s^2+26s+24}$$

與題目完全相同。

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ii) 觀測器標準型

解題方法

觀測器標準型取控制器標準型的對偶系統：

$$A_{\mathrm{obs}}=A_{\mathrm{con}}^T$$ $$B_{\mathrm{obs}}=C_{\mathrm{con}}^T$$

本題考查非線性系統的線性化（Linearization）方法，目的是在給定的工作點附近，用一個線性系統來近似原非線性系統。

線性化的基本原理是利用泰勒級數展開（Taylor Series Expansion）。對於一個向量函數 $F(x, u)$，在點 $(x_0, u_0)$ 附近的展開式為：
$F(x, u) \approx F(x_0, u_0) + \frac{\partial F}{\partial x}\bigg|_{(x_0, u_0)} (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial u}\bigg|_{(x_0, u_0)} (u - u_0)$

其中，$\frac{\partial F}{\partial x}$ 是 $F$ 對 $x$ 的雅可比矩陣（Jacobian Matrix），其維度為 $n \times n$。
$\frac{\partial F}{\partial u}$ 是 $F$ 對 $u$ 的雅可比矩陣，其維度為 $n \times p$。

原非線性系統的微分方程為：
$\dot{x}(t) = F(x(t), u(t))$

在名義工作點 $(x_0, u_0)$ 處，系統的狀態導數為 $\dot{x}_0 = F(x_0, u_0)$。
令狀態變數的偏差為 $\Delta x = x - x_0$ 且輸入變數的偏差為 $\Delta u = u - u_0$。
則 $x = x_0 + \Delta x$ 且 $u = u_0 + \Delta u$。

將這些代入非線性系統方程：
$\frac{d}{dt}(x_0 + \Delta x) = F(x_0 + \Delta x, u_0 + \Delta u)$
$\dot{x}_0 + \Delta \dot{x} = F(x_0 + \Delta x, u_0 + \Delta u)$

本題考查使用運算放大器（OPA）和被動元件（電阻 R、電容 C）實現 PID 控制器的電路設計。

PID 控制器是一種廣泛應用於自動控制系統中的控制器，其輸出 $u(t)$ 是由比例（P）、積分（I）和微分（D）三個部分的加權和構成：
$u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$
其中，$e(t)$ 是誤差信號，$K_p, K_i, K_d$ 分別是比例、積分和微分增益。

我們可以使用運算放大器的電壓加法器、積分器和微分器電路來實現 PID 控制器的功能。

1. 比例部分 (P)
比例部分可以通過一個帶有電阻網絡的運算放大器實現，其輸出與輸入成比例。最簡單的方式是使用一個反相放大器或非反相放大器。如果我們希望輸出 $u_p(t) = K_p e(t)$，則可以使用一個反相放大器，其中 $K_p = R_f / R_{in}$，或者一個非反相放大器，其中 $K_p = 1 + R_f / R_{in}$。然而，為了方便整合，通常會將比例部分與其他部分整合在同一個電路中。

2. 積分部分 (I)
積分部分可以通過一個運算放大器積分器實現。一個標準的壓控電壓源積分器（或稱理想積分器）的傳遞函數是 $G_I(s) = -\frac{1}{sRC}$。
若要實現 $u_i(t) = K_i \int_0^t e(\tau) d\tau$，則需要一個增益 $K_i$。
在電路設計中，我們可以讓誤差信號 $e(t)$ 輸入到一個反相積分器。若輸入電阻為 $R_i$，反饋電容為 $C_i$，則輸出為 $u_i(t) = -\frac{1}{R_i C_i} \int_0^t e(\tau) d\tau$。
為了得到正的積分增益 $K_i$，我們可以在輸入端或輸出端使用一個反相器，或者直接使用一個非反相積分器（較複雜）。更常見的做法是，利用積分器本身的負號，並將其與比例和微分部分的符號統一考慮，或者在最後加上一個反相器。

3. 微分部分 (D)
微分部分可以通過一個運算放大器微分器實現。一個標準的壓控電壓源微分器（或稱理想微分器）的傳遞函數是 $G_D(s) = -sRC$。
若要實現 $u_d(t) = K_d \frac{de(t)}{dt}$，則需要一個增益 $K_d$。
在電路設計中，我們可以讓誤差信號 $e(t)$ 通過一個電容 $C_d$ 輸入到一個反相運算放大器的虛地端，並串聯一個電阻 $R_d$ 到輸入端（為了限制高頻增益和防止振盪）。一個更接近理想微分器的電路是將誤差信號通過電容 $C_d$ 輸入，並在反饋路徑上加入一個電阻 $R_f$。這樣，輸出為 $u_d(t) = -R_f C_d \frac{de(t)}{dt}$。
為了得到正的微分增益 $K_d$，同樣需要考慮反相的問題。

整合 PID 控制器電路

通常，PID 控制器是將比例、積分和微分部分通過運算放大器進行加法運算來實現。最常見的實現方式是使用一個帶有多個輸入端口的運算放大器，或者將各個部分獨立實現後再通過一個加法器整合。

一種常見的實現方式是基於一個反相運算放大器，其輸入端連接不同的電阻-電容網絡來產生比例、積分和微分信號。
假設我們的誤差信號 $e(t)$ 是正的。
PID 控制器的傳遞函數為 $G_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$。
我們可以構造一個反相的 PID 響應，即 $U(s) = -(K_p E(s) + \frac{K_i}{s} E(s) + K_d s E(s))$。
那麼，實際的輸出 $u(t)$ 可以通過再加一個反相器得到，或者調整電路設計。

考慮一個反相積分器和一個反相微分器，它們的輸出分別為 $u_i(t) = -\frac{1}{R_i C_i} \int e(t) dt$ 和 $u_d(t) = -R_d C_d \frac{de(t)}{dt}$。
比例部分可以直接由一個電阻 $R_p$ 與誤差信號串聯後，接到反相器的輸入端，其輸出為 $u_p(t) = -\frac{R_f}{R_p} e(t)$。

將這三部分整合到一個反相運算放大器中，輸入端接入的電阻分別對應不同項：

• 比例項：誤差信號 $e(t)$ 通過電阻 $R_p$ 接到反相輸入端。
• 積分項：誤差信號 $e(t)$ 通過電阻 $R_i$，再與電容 $C_i$ 串聯，接到反相輸入端。
• 微分項：誤差信號 $e(t)$ 通過電容 $C_d$，再與電阻 $R_d$ 串聯，接到反相輸入端。

這是一個較為複雜的結構，更常見的設計是將比例、積分、微分部分分開實現，然後再求和。

標準的 OPAMP PID 電路實現：

一個常見的結構是：

1. 比例部分: $e(t)$ 直接接到一個反相放大器的輸入端（或通過一個電阻）。
2. 積分部分: $e(t)$ 通過一個電阻 $R_i$ 輸入到一個運算放大器積分器（反饋為電容 $C_i$）。
3. 微分部分: $e(t)$ 通過一個電容 $C_d$ 輸入到一個運算放大器微分器（反饋為電阻 $R_f$）。

然後，將這三個部分的輸出通過一個反相加法器（或一個運算放大器，其輸入端接有三個電阻，分別連接 P, I, D 部分的輸出）進行求和。

簡化電路設計

考慮一個單一運算放大器實現的 PID 控制器，其傳遞函數為 $G_{PID}(s)$。
一個常見的電路是：

• 誤差信號 $e(t)$ 輸入到一個反相運算放大器的輸入節點。
• 這個節點連接一個電阻 $R_1$ 到輸入信號 $e(t)$。
• 這個節點連接一個電容 $C_1$ 與一個電阻 $R_2$ 串聯，然後接到反相輸入端（代表微分和比例）。
• 這個節點連接一個電阻 $R_3$ 與一個電容 $C_2$ 串聯，然後接到反相輸入端（代表積分和比例）。

更標準的設計是：

• 比例控制器: $u(t) = K_p e(t)$。
• 積分控制器: $u(t) = K_i \int e(t) dt$。
• 微分控制器: $u(t) = K_d \frac{de(t)}{dt}$。

實現 PID 的一種常用電路結構：

此電路結構可以實現 $G_{PID}(s) = -R_f \left( \frac{1}{R_p} + \frac{1}{R_i s} + R_d C_d s \right)$。
如果我們希望實現 $G_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$，則需要調整電路元件。

一個常見的實現是，讓誤差信號 $e(t)$ 通過一個電阻 $R_p$ 輸入到反相輸入端，這提供了比例項。
為了實現積分項，誤差信號 $e(t)$ 通過一個電阻 $R_i$ 和一個電容 $C_i$ 串聯後，接到反相輸入端。
為了實現微分項，誤差信號 $e(t)$ 通過一個電容 $C_d$ 和一個電阻 $R_d$ 串聯後，接到反相輸入端。

一個較為清晰的電路圖實現：

我們需要實現的傳遞函數是 $G_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$。
考慮一個反相運算放大器電路。

1. 比例部分: 誤差信號 $e(t)$ 通過電阻 $R_p$ 輸入到反相輸入端。輸出為 $u_p(t) = -\frac{R_f}{R_p} e(t)$。
2. 積分部分: 誤差信號 $e(t)$ 通過電阻 $R_i$ 和電容 $C_i$ 串聯，然後接到反相輸入端。這個部分會產生一個積分響應。
3. 微分部分: 誤差信號 $e(t)$ 通過電容 $C_d$ 和電阻 $R_d$ 串聯，然後接到反相輸入端。這個部分會產生一個微分響應。

更標準的電路圖：
考慮一個反相運算放大器，其反饋路徑為電阻 $R_f$，輸入端連接一個節點。

• 從誤差信號 $e(t)$ 到該節點，有一個電阻 $R_p$。
• 從誤差信號 $e(t)$ 到該節點，有一個電容 $C_i$。
• 從該節點到反相輸入端，有一個電阻 $R_i$。
• 從該節點到反相輸入端，有一個電容 $C_d$。

本題考查狀態空間變換（State Transformation）的概念。給定一個原始的狀態空間表示 $(A, B, C)$，並給出一個新的狀態變量 $x$ 與原狀態變量 $z$ 的關係 $z=Px$，其中 $P$ 是一個可逆矩陣，要求推導出在新狀態變量 $x$ 下的狀態空間表示 $(A', B', C')$，並求出變換矩陣 $P$。

原系統狀態空間方程為：
$\dot{z} = Az + Bu$
$y = Cz$

給定的狀態變換為：
$z = Px$

其中 $P$ 是一個 $n \times n$ 的可逆矩陣。
我們需要找到新的狀態空間表示 $(A', B', C')$，使得：
$\dot{x} = A'x + B'u$
$y = C'x$

首先，對 $z = Px$ 進行時間微分，得到 $\dot{z} = P\dot{x}$。
將此代入原系統的狀態方程：
$P\dot{x} = A(Px) + Bu$

為了得到 $\dot{x}$ 的表達式，我們將方程兩邊同時左乘 $P^{-1}$ (因為 $P$ 可逆)：
$\dot{x} = P^{-1}A(Px) + P^{-1}Bu$

這就是新的狀態方程。通過比較 $\dot{x} = A'x + B'u$，我們可以得到：
$A' = P^{-1}AP$
$B' = P^{-1}B$

接下來，我們需要推導輸出方程。
原輸出方程為 $y = Cz$。
將 $z = Px$ 代入：
$y = C(Px)$

這就是新的輸出方程。通過比較 $y = C'x$，我們可以得到：
$C' = CP$

因此，經過狀態變換 $z=Px$ 後，新的狀態空間表示為：
$A' = P^{-1}AP$
$B' = P^{-1}B$
$C' = CP$

關於求 P 的部分：
題目中提到「Assume that the system can be transformed into the variable x and have a transformation with z as z=Px, please derive the transformed state space formulation and find P.」
這裡「find P」的表述可能有些歧義。如果題目並沒有給出關於新狀態變量 $x$ 的具體要求（例如，希望 $x$ 具有某些性質，如對角化、模態標準型等），那麼 P 矩陣本身是無法唯一確定的，因為存在無窮多個可逆矩陣 P 可以進行狀態變換。

然而，在常見的狀態空間分析與設計問題中，如果要求「find P」，通常意味著希望將原系統變換到某種標準形式。例如：

1. 對角化 (Diagonalization): 如果矩陣 $A$ 有 $n$ 個線性獨立的特徵向量，我們可以選擇 $P$ 使得 $A$ 被對角化。即，若 $A = V\Lambda V^{-1}$，其中 $\Lambda$ 是對角矩陣，則我們可以令 $P=V$。此時 $A' = P^{-1}AP = V^{-1}AV = \Lambda$。
2. 模態標準型 (Modal Canonical Form): 類似對角化，將系統變換到模態標準型。

核心觀念

本題考查一階零點、極點對 Bode 圖的影響，以及增益交越頻率、相位交越頻率、相位裕度與增益裕度的定義。

將傳遞函數寫成標準形式：

$$G(s)=\frac{s+100}{(0.5s+1)(s+20)} =5\frac{1+s/100}{(1+s/2)(1+s/20)}$$

因此：

• 直流增益：$K=5$
• 一階極點：$\omega=2,\ 20\ \text{rad/s}$
• 一階零點：$\omega=100\ \text{rad/s}$

各定義為：

• 增益交越頻率 $\omega_g$：$|G(j\omega_g)|=1$，即幅值為 $0$ dB。
• 相位交越頻率 $\omega_p$：$\angle G(j\omega_p)=-180^\circ$。
• 相位裕度：
  $\mathrm{PM}=180^\circ+\angle G(j\omega_g)$
• 增益裕度：
  $\mathrm{GM}=\frac{1}{|G(j\omega_p)|}$

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解題方法

一、繪製 Bode 幅值圖

標準化後：

$$G(s)=5\frac{1+s/100}{(1+s/2)(1+s/20)}$$

低頻時，各一階因子皆近似為 $1$，所以：

$$20\log_{10}5=13.98\ \text{dB}$$

因此幅值曲線由約 $14$ dB 開始。

各轉折頻率造成的斜率變化如下：

頻率範圍	斜率
$\omega<2$	$0$ dB/dec
$2<\omega<20$	$-20$ dB/dec
$20<\omega<100$	$-40$ dB/dec
$\omega>100$	$-20$ dB/dec

原因是：

• $\omega=2$ 的極點使斜率增加 $-20$ dB/dec。
• $\omega=20$ 的極點再增加 $-20$ dB/dec。
• $\omega=100$ 的零點使斜率增加 $+20$ dB/dec。

精確幅值為：

$$|G(j\omega)| = 5\frac{\sqrt{1+(\omega/100)^2}} {\sqrt{1+(\omega/2)^2}\sqrt{1+(\omega/20)^2}}$$

以 dB 表示：

$$20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}5 +10\log_{10}\left(1+\frac{\omega^2}{100^2}\right) -10\log_{10}\left(1+\frac{\omega^2}{2^2}\right) -10\log_{10}\left(1+\frac{\omega^2}{20^2}\right)$$

因此 Bode 幅值圖應具備以下特徵：

• $\omega<2$ 時，約維持在 $14$ dB。
• $\omega=2$ 後開始以 $-20$ dB/dec 下降。
• $\omega=20$ 後以 $-40$ dB/dec 下降。
• $\omega=100$ 後因零點作用，斜率回升為 $-20$ dB/dec。

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二、繪製 Bode 相位圖

相位為：

$$\angle G(j\omega) = \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{100}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{2}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{20}\right)$$

低頻時：

$$\angle G(j\omega)\approx 0^\circ$$

高頻時：

$$\angle G(j\omega) \to 90^\circ-90^\circ-90^\circ =-90^\circ$$

所以相位曲線會先下降，再因為零點 $\omega=100$ 的作用逐漸回升，最後趨近於 $-90^\circ$。這與題目附圖所示的相位曲線一致。

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