112 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丙組《造船原理》

LINES (線圖)，又稱船體線型圖，是描述船體外型的一組曲線，通常包含三種主要的平面視圖，用來精確定義船體幾何形狀。

這三種平面圖分別是：

1. 平面圖 (Plan View)：從正上方往下看船體的視圖，顯示船的長度、寬度、艏部和艉部的形狀，以及甲板線、水線等。
2. 立體圖 (Elevation View)：

辛普森法則（Simpson's Rule）是一種數值積分方法，用於近似計算曲線下的面積或體積。在船舶計算中，我們常利用辛普森法則來計算船體的排水體積、重心位置等。

當使用辛普森法則計算船體相關數據時，在船體艏部、艉部以及船底等區域，其水線面形狀變化通常比較劇烈，曲率較大。若在此處取較大的間隔，會導致積分的誤差增加，影響計算結果的準確性。

這個問題涉及自由液面效應（Free Surface Effect）的減輕。自由液面效應是指在液體貨艙或壓載艙內，當液面並非完全充滿時，液體會在艙內自由晃動，這種晃動會產生一個額外的傾斜力矩，降低船舶的總穩性。

作法是否合理？

在艙長 L 和艙寬 B 的 1/2L 和 1/2B 處各加一個水密隔艙，實際上是將原來的單一液體艙分割成多個較小的艙室。這種分割的目的是減少自由液面的有效面積，進而減輕自由液面效應。

• 理由： 自由液面效應的大小與液體貨艙的自由液面慣性矩（Moment of Inertia of the free surface）成正比。對於一個長方形的液體表面，其自由液面慣性矩 $I_{fs}$ 與寬度的三次方成正比，即 $I_{fs} \propto B^3 L$（若以長度方向為軸）。當我們將一個大艙分割成多個小艙時，雖然總液體體積不變，但每個小艙的有效寬度（或長度，取決於分割方向）會變小。
• 分割策略： 通常，將液體艙沿長度方向（L）分割比沿寬度方向（B）分割更能有效減輕自由液面效應，因為慣性矩與寬度的三次方成正比。然而，題目中提到在 1/2L 和 1/2B 處各加隔艙，這意味著將一個大艙分割成四個小艙。這種分割方式，如果分割是沿長度方向進行的，例如將 L 分成 L/2 和 L/2，然後再將每個 L/2 沿寬度方向分割，或者反之，都會減小每個小艙的自由液面尺寸。

結論： 這種分割作法是合理的，因為它透過減少每個小艙的自由液面尺寸，來降低整體的自由液面慣性矩，從而減輕自由液面效應。

完成後可減少多少比例的自由液面效應？

假設原來的液體艙是一個長度為 $L$、寬度為 $B$ 的長方形。

• 原來的自由液面慣性矩（假設液面沿寬度方向晃動，繞長度方向的軸）： $I_{original} \propto B^3 L$
• 分割後，我們有四個小艙。最常見的分割方式是沿長度方向將 $L$ 分成 $L/2$ 和 $L/2$，然後再將每個 $L/2$ 沿寬度方向分割成 $B/2$ 和 $B/2$。這樣就產生了四個 $L/2 \times B/2$ 的小艙。
• 每個小艙的自由液面慣性矩（假設液面沿寬度 $B/2$ 方向晃動，繞長度 $L/2$ 方向的軸）： $I_{small} \propto (B/2)^3 (L/2) = \frac{1}{8} B^3 \frac{1}{2} L = \frac{1}{16} B^3 L$
• 由於有四個這樣的小艙，總的自由液面慣性矩是四個小艙慣性矩之和（若晃動方向相同）：

此題要求檢討圖.1中由七片橫向水密隔艙劃分的六個艙區是否符合「浸水長度曲線 (Floodable Length Curve, FLC)」的要求。浸水長度曲線表示在某個船長位置，允許船體進水而不喪失穩性的最大允許浸水長度。若某個艙室的長度超過了其對應位置的浸水長度曲線值，則該艙室的進水可能導致船隻喪失穩性。

檢討的原則：

1. 艙室長度限制： 每個艙室的長度（或其中心位置的浸水長度）必須小於或等於該浸水長度曲線在該位置的值。
2. 隔艙設置： 題目提到由七片橫向水密隔艙分成六個艙區。標準的艙區劃分要求是，每個艙區的長度不能超過浸水長度曲線允許的最大值。

圖.1 檢討與繪製：

首先，我們需要觀察圖.1。圖中的曲線代表浸水長度曲線。圖下方標示了 '#1' 到 '#6'，代表六個艙區。虛線代表預定的七片隔艙位置。

檢討步驟：

1. 識別艙區： 根據虛線隔艙的位置，識別出六個艙區。
2. 讀取曲線值： 對於每個艙區，找到其大致的中心位置（或者查看曲線的定義，有時是艙區的兩端點）。
3. 比較長度： 比較每個艙區的實際長度（由虛線隔艙定義）與浸水長度曲線在該位置允許的長度。

根據圖.1的視覺判斷：

圖.1 的浸水長度曲線呈現一個中間高、兩端低的趨勢，這在船體設計中是常見的。圖中的虛線隔艙（代表七個隔艙，形成六個艙區）的間距看起來似乎不完全匹配曲線的形狀。

• 艙區 #1 和 #6 (艏部和艉部)： 這兩個艙區位於船體兩端，浸水長度曲線的值相對較低。如果這兩個艙區的長度（由虛線隔艙決定）超過了曲線值，則是不合適的。從圖上看，虛線隔艙在兩端劃分的艙區 #1 和 #6 的長度，似乎比曲線在中低值區域所允許的長度要大。
• 艙區 #2, #3, #4, #5 (中部)： 在船體中部，浸水長度曲線的值較高。虛線隔艙在這些區域的劃分，可能比較接近曲線的形狀，但仍需仔細比對。

結論：
從圖.1 的視覺判斷，虛線隔艙所劃分的艙區 並不完全符合 浸水長度曲線的要求。特別是位於船體兩端的艙區（#1 和 #6），其長度可能超過了浸水長度曲線允許的最大值，這意味著一旦這兩個艙區進水，船隻的穩性可能會受到嚴重威脅。

繪製符合要求的隔艙位置：

要繪製符合要求的七片橫向水密隔艙位置，我們需要讓每個艙區的長度都小於或等於對應位置的浸水長度曲線值。這意味著：

此題主要在於計算和比較兩艘箱型船的橫穩性指標 GMT (GZ_max 的前提條件)，並根據 GMT 的大小判斷其穩性。計算步驟包括：

1. 計算排水體積 (Displacement Volume)。
2. 計算水線面面積 (Waterplane Area, $A_w$)。
3. 計算橫向浮心垂距 (BM_T)。
4. 計算橫向穩心高度 (GM_T)。
5. 根據 GM_T 的值判斷穩性。

已知條件：

• 船 A：長度 $L_A = 77$ m，寬度 $B_A = 10$ m
• 船 B：長度 $L_B = 70$ m，寬度 $B_B = 11$ m
• 兩船吃水 $t = 5$ m
• 兩船重心高度 $KG = 4.2$ m

計算步驟：

1. 計算排水體積 (Displacement Volume, $V$)
箱型船的排水體積近似為：$V = L \times B \times t$

• $V_A = 77 \text{ m} \times 10 \text{ m} \times 5 \text{ m} = 3850 \text{ m}^3$
• $V_B = 70 \text{ m} \times 11 \text{ m} \times 5 \text{ m} = 3850 \text{ m}^3$
  兩艘船的排水體積相同。

2. 計算水線面面積 ($A_w$)
箱型船的水線面面積近似為：$A_w = L \times B$

• $A_{wA} = 77 \text{ m} \times 10 \text{ m} = 770 \text{ m}^2$
• $A_{wB} = 70 \text{ m} \times 11 \text{ m} = 770 \text{ m}^2$
  兩艘船的水線面面積也相同。

3. 計算橫向浮心垂距 (BM_T)
$BM_T$ 的計算公式為：$BM_T = \frac{I_w}{V}$
其中 $I_w$ 是水線面面積對於縱向中心線的慣性矩。
對於長方形水線面，其慣性矩為：$I_w = \frac{L \times B^3}{12}$

• 船 A：
  $I_{wA} = \frac{77 \text{ m} \times (10 \text{ m})^3}{12} = \frac{77 \times 1000}{12} = \frac{77000}{12} \approx 6416.67 \text{ m}^4$
  $BM_{TA} = \frac{I_{wA}}{V_A} = \frac{6416.67 \text{ m}^4}{3850 \text{ m}^3} \approx 1.667 \text{ m}$

• 船 B：
  $I_{wB} = \frac{70 \text{ m} \times (11 \text{ m})^3}{12} = \frac{70 \times 1331}{12} = \frac{93170}{12} \approx 7764.17 \text{ m}^4$
  $BM_{TB} = \frac{I_{wB}}{V_B} = \frac{7764.17 \text{ m}^4}{3850 \text{ m}^3} \approx 2.017 \text{ m}$

此題主要測試對船舶靜水力學基本概念的理解，包括 $KB$ (浮心高度)、水線面特性、船舶傾斜與吃水變化等。

圖.2 說明：
圖.2 是船舶的靜水性能曲線圖，顯示了不同吃水下的各種水動力學參數，如 $KB$、$BM_T$、$T$ (每公分排水量)、$A_w$ (水線面面積)、$C_b$ (方塊係數)、$C_w$ (水線面係數) 等。橫軸通常是吃水 (Draft)，縱軸是各種參數的值。

a. 依據圖.2 查出吃水分別為3、4、5、6公尺時的KB值,請說明查到的KB 與實際吃水間的相關,為什麼會有這種關連性?

查表：
從圖.2 的曲線中，我們需要找到對應於吃水 (Draft) 3m, 4m, 5m, 6m 的 $KB$ 值。

• 當吃水 $t = 3$ m 時，從圖中讀取 $KB \approx 1.5$ m。
• 當吃水 $t = 4$ m 時，從圖中讀取 $KB \approx 2.0$ m。
• 當吃水 $t = 5$ m 時，從圖中讀取 $KB \approx 2.5$ m。
• 當吃水 $t = 6$ m 時，從圖中讀取 $KB \approx 3.0$ m。

（請注意：以上數值為根據圖.2 的視覺估計，實際考試時應仔細讀取圖表。）

相關性與關聯性：

• 關聯性： $KB$ 值隨著吃水的增加而增加。
• 原因： $KB$ 是浮心 (Center of Buoyancy, B) 相對於龍骨 (Keel) 的高度。浮心是船體浸水部分所受浮力的合力作用點。當船體吃水增加時，浸水部分的體積會增大，且浸水部分的形狀也會發生變化。對於大多數船型，特別是底部較寬、向上逐漸收窄的船體，吃水增加意味著浸水部分的下部體積增加得更多，或者浸水部分的「重心」向上移動。由於浮心是浸水體積的形心，因此吃水增加通常會導致 $KB$ 值增加。

簡單來說，隨著船體下沉，浸水部分的幾何中心（浮心）會向上移動，所以 $KB$ 值會隨吃水增加而增加。

b. 請說明水線面積 Aw與每公分排水量 T 呈現平行的理由。

平行的定義：
在圖表中，如果兩條曲線是平行的，意味著它們的變化率（斜率）是相同的。

分析：

• 水線面面積 ($A_w$)： 是船體與水面接觸部分的面積。
• 每公分排水量 (T)： 是指船體吃水每增加 1 cm 所增加的排水量。排水量等於浸水體積乘以水的密度。因此，每公分排水量可以看作是吃水變化 1 cm 時，浸水體積的變化量乘以水的密度。
  $\Delta V = A_w \times \Delta t$ (其中 $\Delta t$ 是吃水變化量)
  $\Delta W = \rho \times \Delta V = \rho \times A_w \times \Delta t$
  所以，每公分排水量 $T = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \rho \times A_w \times \frac{\Delta t}{1 \text{ cm}}$ (若 $\Delta t$ 以 cm 為單位)
  或者，若 $\Delta t$ 以公尺為單位，則 $T = \rho \times A_w \times \frac{\Delta t}{0.01 \text{ m}}$。
  更直接的定義是：T 是指吃水增加 1 cm 時的排水量。若 $\Delta t = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$，則 $T = \rho \times A_w \times 0.01 \text{ m}$。

關聯性：
每公分排水量 $T$ 與水線面面積 $A_w$ 是成正比的 ($T \propto A_w$)。
$T = \text{水密度} \times A_w \times (\text{單位吃水變化量})$

為什麼呈現平行？
在圖.2 中，如果 $A_w$ 和 $T$ 的圖線是平行的，這意味著它們的斜率是恆定的。

• $A_w$ 的變化：對於某些船型，在一定的吃水範圍內，水線面面積 $A_w$ 可能變化不大，或者其變化規律與 $T$ 的變化規律高度相關。

• $T$ 的變化：$T = \rho \times A_w \times 0.01$ (假設單位為公尺)。如果 $A_w$ 在某個吃水範圍內近似恆定，那麼 $T$ 也近似恆定。

• 關鍵點： 圖.2 中的橫軸是吃水 (Draft)。如果 $A_w$ 曲線的斜率 ($dA_w/dt$) 與 $T$ 曲線的斜率 ($dT/dt$) 之間存在恆定的關係，那麼它們的圖線可能呈現平行。
  $dT/dt = \rho \times d(A_w)/dt \times 0.01$
  如果 $d(A_w)/dt$ 是恆定的（即 $A_w$ 隨吃水線性增加），那麼 $dT/dt$ 也是恆定的。
  然而，在許多船型中，$A_w$ 隨吃水變化並非嚴格線性。

  更直接的解釋：
  在圖.2 中，$A_w$ 曲線和 $T$ 曲線通常會一起被繪製出來。如果它們是平行的，這通常是因為它們的定義之間存在直接的比例關係，並且這種比例關係在該吃水範圍內保持恆定。
  $T = \rho \times A_w \times \Delta t_{unit}$
  其中 $\Delta t_{unit}$ 是單位吃水變化（例如 1 cm）。
  如果 $\rho$ 和 $\Delta t_{unit}$ 是常數，那麼 $T$ 與 $A_w$ 的關係就是線性比例。
  當它們作為吃水的函數繪製時，如果 $A_w(t)$ 和 $T(t)$ 的斜率 $dA_w/dt$ 和 $dT/dt$ 之間的關係是 $dT/dt = (\rho \times \Delta t_{unit}) \times dA_w/dt$，並且 $\rho \times \Delta t_{unit}$ 是一個常數。
  最常見的情況是，在圖表中，$A_w$ 和 $T$ 的圖線被設計成具有相同的斜率。 這通常發生在圖表製作時，為了簡化或呈現某種特性。
  在實際的船舶設計中，$A_w$ 隨吃水變化，而 $T$ 也隨吃水變化。它們的圖線不一定總是完全平行，但它們的變化趨勢是相似的，因為 $T$ 直接與 $A_w$ 成正比。如果圖表顯示它們平行，這可能表示在該吃水範圍內，$A_w$ 的增加率與 $T$ 的增加率保持恆定比例。

  一個可能的解釋是： 在圖.2 中，如果 $A_w$ 和 $T$ 的曲線是平行線，這意味著它們的斜率（相對於吃水）是相同的。
  $dA_w/dt = \text{常數}$
  $dT/dt = \text{常數}$
  並且 $dA_w/dt = dT/dt$。
  這意味著，每增加單位吃水，水線面面積的增加量等於每增加單位吃水，每公分排水量的增加量。這在物理上不太直觀，除非是圖表刻意設計成這樣。

  更準確的說法： $T$ 是每公分排水量，也就是 $\Delta W / \Delta t$ （其中 $\Delta t = 1$ cm）。
  $\Delta W = \rho \times \Delta V = \rho \times A_w \times \Delta t$
  所以 $T = \rho \times A_w \times (1 \text{ cm}) / (1 \text{ cm}) = \rho \times A_w \times (\text{單位轉換係數})$
  在圖表中，如果 $A_w$ 和 $T$ 的圖線是平行的，這意味著 $A_w(t)$ 和 $T(t)$ 的斜率 $dA_w/dt$ 和 $dT/dt$ 之間存在一個恆定的比例關係。
  $dT/dt = \frac{d}{dt}(\rho \times A_w \times \Delta t_{unit}) = \rho \times \Delta t_{unit} \times \frac{dA_w}{dt}$
  若 $dT/dt = dA_w/dt$，則 $\rho \times \Delta t_{unit} = 1$。
  如果水的密度 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$，那麼 $\Delta t_{unit} = 1/1000 \text{ m} = 1 \text{ mm}$。
  這表示，如果圖表中的 $A_w$ 和 $T$ 曲線是平行的，那麼它們的斜率是相同的。這暗示了在該吃水範圍內，水線面面積的變化率與每公分排水量的變化率是相同的。這可能是圖表刻意設計的，或者在該船型某個吃水範圍內 $A_w$ 的變化率恰好等於 $T$ 的變化率（考慮到單位轉換）。

  總結的解釋： $T$ 與 $A_w$ 成正比 ($T = \rho \times A_w \times \Delta t_{unit}$)。當它們作為吃水的函數繪製時，如果 $A_w$ 隨吃水線性增加，那麼 $T$ 也會隨吃水線性增加，且斜率成比例。如果圖表中顯示它們平行，則意味著它們的斜率（相對於吃水）是相同的。這通常是圖表設計的結果，用來簡化或強調這種比例關係。

c. 當船舶吃水為6公尺時,將115噸重物放到甲板上,請問:此重物應該放在甚麼位置船才會平行下沉,並依據圖.2推估下沉多少公分?

分析：

• 初始狀態： 船舶吃水為 6 m。
• 添加重物： 115 噸。
• 平行下沉： 表示船舶的吃水在艏部和艉部都均勻增加，總的吃水增加量相同，即船舶的縱傾角為零。
• 求位置： 重物應該放在船的縱向重心 (Longitudinal Center of Gravity, LCG) 與船的浮心縱向位置 (Longitudinal Center of Buoyancy, LCB) 重合的位置，這樣才能實現平行下沉。對於對稱的船體，這通常意味著重物應該放在船的中線上，且其縱向重心與船的中性面 (Neutral Point) 或龍骨的縱向重心 (LCB) 對齊。
• 求下沉量： 船舶的吃水變化量由增加的排水量和水線面面積決定。

步驟：

1. 確定初始狀態的排水量和水線面面積：
   從圖.2，當吃水 $t = 6$ m 時：
   • 每公分排水量 $T_6 \approx 115$ 噸/cm

此題主要考察對船舶穩性曲線的理解，以及在不同情況下穩性曲線變化的原因。圖.3(a)是船舶的艙室佈置圖，圖.3(b)是正常的靜穩度曲線 $GZ$ 曲線，圖.3(c)和圖.3(d)是異常狀態下的穩性曲線。

核心觀念：

• 靜穩度曲線 (GZ Curve)： 橫軸為傾斜角（通常為 $\theta$），縱軸為恢復力臂 (GZ)。GZ 曲線的形狀和大小反映了船舶的初始穩性、最大恢復力臂、以及穩性持續的範圍。
• 自由液面效應 (Free Surface Effect)： 液體在艙內晃動會產生一個額外的傾斜力矩，降低船舶的總穩性。這會導致穩性曲線的 GZ 值降低，尤其是在較大的傾斜角下。
• 重心位置變化： 裝載貨物、壓載水等都會改變船舶的重心 (G) 位置。重心 G 的升高會降低穩性。
• 浮心位置變化： 船體傾斜時，浸水部分的形狀改變，導致浮心 (B) 位置移動，產生恢復力臂 GZ。

a. 在風平浪靜的碼頭邊,將相當重的貨物放到船上後,靜穩度曲線卻變成圖.3(c)的模樣,請說明為甚麼會這樣。

圖.3(b) vs. 圖.3(c)：

• 圖.3(b) 是正常的靜穩度曲線。
• 圖.3(c) 的靜穩度曲線，相較於圖.3(b)，其最大恢復力臂 GZ 值顯著降低，且可能在較小的傾斜角就達到最大值，並可能在較小的傾斜角下就開始下降。這表明船舶的總穩性變差了。

可能原因分析：

1. 重心 G 升高： 將重物放到甲板上，如果這些貨物的位置較高，會顯著提高船舶的重心 G。重心 G 的升高會直接導致 $GM$ 值減小，進而使 GZ 曲線的整體數值下降。

2. 自由液面效應的產生或增強：

   • 如果這些「相當重的貨物」是以液體形式裝載，並且艙室沒有完全裝滿（例如，貨艙中裝載了部分液體），那麼就會產生自由液面效應。
   • 即使是固體貨物，如果它們沒有被固定，在船舶傾斜時也會發生移動，這也會產生類似於自由液面效應的影響，但通常稱為「貨物移動效應」。
   • 題目提到「相當重的貨物」，如果這些貨物是裝在貨艙中，而貨艙原本可能只有少量壓載水，現在裝入重貨後，貨艙的自由液面（如果存在）的影響會相對變小，但如果貨物本身是液體且未滿艙，則自由液面效應會非常顯著。

3. 綜合影響：
   最可能的情況是，將重物（特別是裝載在較高位置的貨物）放到船上，導致船舶重心 G 顯著升高。這直接降低了船舶的初穩性（GM）。同時，如果貨物是液體且未滿艙，或者貨物本身會移動，則會進一步產生或增強自由液面效應（或貨物移動效應），進一步降低恢復力臂 GZ。

圖.3(c) 的特點：
從圖形上看，圖.3(c) 的曲線明顯比圖.3(b) 要「矮」，這意味著 GZ 值普遍較小。這表明總體穩性下降。

結論：
最主要的原因是將重物（特別是裝載在較高位置的貨物）放到船上，導致船舶重心 G 顯著升高，從而降低了初穩性 $GM$。同時，如果貨物是液體且未滿艙，或者貨物本身會移動，則自由液面效應（或貨物移動效應）會進一步降低恢復力臂 GZ。

【答案】
將相當重的貨物放到船上，很可能導致船舶重心 G 顯著升高，從而降低了初穩性。此外，如果這些貨物是液體且未滿艙，則會產生自由液面效應；即使是固體貨物，如果沒有固定好，在傾斜時的移動也會產生類似效應。這兩方面因素共同作用，導致船舶的恢復力臂 GZ 普遍減小，穩性曲線（圖.3(c)）的 GZ 值顯著低於正常狀態（圖.3(b)）。

b. 裝載航行中不會任意移動的貨物,且9個壓艙水艙為空艙的狀況下航行,出現突發狀況使得此船的靜穩度曲線變成圖3(d)的模樣,請判斷並詳細地說明可能是甚麼地方發生了甚麼事。

圖.3(b) vs. 圖.3(d)：

• 圖.3(b) 是正常的靜穩度曲線。
• 圖.3(d) 的靜穩度曲線，相較於圖.3(b)，其形狀發生了劇烈變化。最明顯的特徵是：
  • 恢復力臂 GZ 在某一傾斜角（例如 0 度附近）非常小，甚至接近於零。
  • 在較小的傾斜角下，GZ 值快速下降，甚至變為負值，表明船舶喪失了穩性。
  • 整體 GZ 曲線的形狀與正常情況下的平滑曲線完全不同，呈現出一個「急劇下降」或「不穩定」的形態。

已知條件：

• 貨物不會任意移動（排除貨物移動效應）。
• 9個壓艙水艙為空艙（排除壓載水自由液面效應）。
• 突發狀況。

可能原因分析：
這種劇烈變化的穩性曲線，特別是 GZ 在小傾斜角下變得非常小甚至為負，通常是由於：

1. 重心 G 的不正常升高： 雖然貨物不會任意移動，但可能發生了某種情況導致重心 G 異常升高。
2. 浮心 B 位置的異常變化： 這是最可能的原因。當船舶的某個部分（例如吃水線附近）進水，但這個進水沒有均勻分佈，或者進水導致了船體某部分的浮力突然消失或顯著減小，就會嚴重影響浮心的位置。

結合圖.3(a) 的艙室佈置：
圖.3(a) 顯示船底有 9 個壓艙水艙 (BT)，分佈在左舷 (P)、右舷 (S) 和中央 (C) 以及前、中、後。還有三個貨艙。

突發狀況的推測：

• 船底破裂，發生進水：
  • 如果船底發生破裂，導致海水進入船體。
  • 如果進水發生在船體中部，且是從某個壓艙水艙或貨艙底部進入，並形成一個較大的自由水面，但是這個自由水面的位置導致了船舶的縱向或橫向平衡被破壞。