108 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所乙組《造船原理》

此題考驗對船型係數的認知。船型係數是描述船體水下部分形狀的重要參數，用來評估船體的肥瘦程度。

核心觀念：船型係數的定義與意義。

解題過程：
船型係數有多種，其中描述水下船體肥瘦程度（或稱滿載程度）的常見係數包括：

• 方型係數 (Coefficient of Block, $C_B$): 描述船體水下總容積與相同長、寬、吃水之長方體容積的比值。$C_B = \frac{V}{\text{LWL} \times B \times T}$，其中 $V$ 為水下排水體積，LWL 為水線長，B 為船寬，T 為吃水。$C_B$ 值愈大，表示船體愈肥胖，排水體積愈大。
• 菱形係數 (Coefficient of Prismatic, $C_P$): 描述船體水下部分橫剖面積之積分（即排水體積）與相同吃水下最大橫剖面積與水線長之乘積的比值。$C_P = \frac{V}{A_M \times T}$，其中 $A_M$ 為水線面面積。$C_P$ 值愈大，表示船體愈飽滿，尤其是在中後段。
• 水線面係數 (Coefficient of Waterplane Area, $C_W$): 描述船體水線面面積與相同長、寬之長方形面積的比值。$C_W = \frac{A_W}{\text{LWL} \times B}$，其中 $A_W$ 為水線面面積。$C_W$ 值愈大，表示水線面愈寬廣，對船舶的初期穩性有較大影響。

題目問的是「描述水下船體肥瘦程度」的係數，方型係數 ($C_B$) 和菱形係數 ($C_P$) 都與此有關。然而，一般而言，方型係數 ($C_B$) 是最直接用來衡量整體水下船體肥瘦程度的指標。

至於「數值最大」的情況，這取決於船的類型。

• 對於貨船、油輪、散裝船等需要大載貨量的船舶，為了追求較大的排水體積和載貨空間，船體設計會較為肥胖，其 $C_B$ 值通常較大，可能接近 0.8 或更高。

此題考驗對船舶主要長度定義的理解，以及如何透過圖示和文字說明其差異。

核心觀念：LOA, LWL, LBP 的定義與應用。

解題過程：
船舶的長度有幾種不同的定義，最常見的三種是：

1. LOA (Length Overall)：總長。這是船舶最長的尺寸，從船艏最突出點到船艉最突出點（不含船艏球、船艉的附屬結構如舵、推進器等）。LOA 通常用於表示船舶的整體尺寸，例如停泊時所需的碼頭長度、通過船閘的尺寸限制等。
2. LWL (Length on Waterline)：水線長。這是船舶在設計吃水（或實際吃水）時，船體與水面線的交線長度。LWL 是影響船舶航行阻力、艏艉吃水差（trim）和水線面慣性矩的重要參數。通常 LWL 會小於 LOA。
3. LBP (Length between Perpendiculars)：垂線間長。這是定義為船艏垂直線 (Forward Perpendicular, FP) 和船艉垂直線 (After Perpendicular, AP) 之間的距離。
   • 船艏垂直線 (FP) 通常是船艏與水線的交點。
   • 船艉垂直線 (AP) 通常是船艉最前端與吃水線的垂直線，或者對於有斜艉的船，則是指船艉最前端與其吃水線的垂線。對於有球鼻艏的船，FP 通常是指船艏最前端與水線的交點，而非球鼻艏的最前端。
     LBP 是計算船舶許多性能指標（如 $C_B$, $C_P$）的標準長度，也是計算船舶尺度比（如 L/B, L/T）時常用的長度。通常 LBP 會小於 LWL。

此題考驗對船舶橫剖面圖 (Body Plan) 的理解，以及如何根據特定船型的設計特徵（艉俯）推斷其他剖面的形狀。

核心觀念：Body Plan 的構成、Section 的意義、Trim by Stern 的影響。

解題過程：
Body Plan 是船舶設計圖中，顯示船體橫剖面形狀的圖。通常，Body Plan 會顯示一系列沿著船長方向（從船艏到船艉）的橫剖面圖，這些剖面圖稱為 Section。Section 的編號通常是從船艏到船艉遞增，或者以船長百分比表示。題目中提到「第五 section」，並指出這是「原始設計就有艉俯 (trim by stern) 船舶」。

Trim by Stern 的意思是，在船舶正常航行時，船艉的吃水 T_aft 比船艏的吃水 T_fore 要深。這會導致船體水線呈現一個向後傾斜的狀態。

Body Plan 中的橫剖面圖 (Section) 顯示的是在特定船長位置的船體輪廓。

• 第五 section 位於船體的中部偏後。
• 第四 section 位於第五 section 的前方（更靠近船艏）。
• 第六 section 位於第五 section 的後方（更靠近船艉）。

由於船舶的設計是「有艉俯 (trim by stern)」，這意味著船體從船艏到船艉，其吃水是逐漸加深的，或者說，在相同的水線高度下，船艉的船體橫剖面會比船艏的船體橫剖面更寬或更高（或兩者皆有）。

繪製示意圖的原則：

1. 船艏到船艉的趨勢： 由於 Trim by Stern，船體從船艏到船艉會逐漸變得「飽滿」或「寬大」。
2. 第五 section 是基準： 題目已給定第五 section 的圖形。

此題考驗對船舶結構設計和載貨佈置的理解，特別是關於肩艙 (Shoulder Tank) 的功能與優點。

核心觀念：肩艙的功能、佈置與優點。

解題過程：
肩艙 (Shoulder Tank) 通常是指位於貨艙兩側、靠近船殼板處，且位於貨艙上方（通常在甲板下方，主貨艙頂部上方）的獨立艙室。這種設計在油輪、化學品船以及部分散裝貨船上較為常見。

這種設計的主要理由和優點包括：

1. 保護貨艙及船殼 (Corrosion Prevention & Protection)：

   • 對於運載腐蝕性貨物（如酸、鹼、鹽水）的船舶，肩艙可以作為一個「隔離層」，防止貨物直接接觸到主貨艙的內壁和船體結構。這能大大減少船殼鋼材的腐蝕，延長船體壽命。
   • 即使貨艙內發生洩漏，肩艙也能提供一層額外的緩衝，防止貨物直接洩漏到海中，符合環保法規。

2. 平衡與穩性調整 (Ballasting & Stability)：

   • 肩艙可以獨立進行壓載 (Ballasting)。在空載或半載狀態下，可以將壓載水注入肩艙，以提高船舶的穩性 (Stability) 和減小搖晃。
   • 在裝載貨物時，如果貨物密度較低，可能導致船舶乾舷過高，穩性過大，此時可以調整肩艙的壓載水，來優化船舶的穩性。
   • 在某些情況下，肩艙也可以用於裝載少量貨物，或者作為壓載水艙，提供靈活性。

此題考驗對船舶穩性分析中，靜穩度和動穩度的應用時機的理解。

核心觀念：靜穩度 (Static Stability) 與動穩度 (Dynamic Stability) 的定義與應用場景。

解題過程：
船舶的穩性是抵抗外力作用使其傾斜的能力。當船舶受到外力（如風、浪、載貨不均等）作用而產生傾斜時，我們可以通過靜穩度或動穩度來評估其抵抗能力和最終的傾斜角度。

1. 靜穩度 (Static Stability)：

   • 定義： 靜穩度是指在船舶處於靜止平衡狀態下，由外力引起的微小傾斜後，恢復力矩 (Righting Moment) 與傾斜角度之間的關係。它主要由 GZ 曲線（恢復力臂曲線）來表示。
   • 應用時機： 靜穩度主要用於評估船舶在**穩態（或緩慢變化）**的外力作用下的行為。例如：
     • 緩慢的載重變化： 如裝卸貨物、加注或排放壓載水，這些過程是相對緩慢的。
     • 持續的穩態外力： 如持續的強風吹襲、穩定的側向力（例如船舶靠港時受到的碼頭推力）。
     • 計算靜態傾斜角度： 當外力引起的恢復力矩與外力矩達到平衡時，船舶會處於一個新的傾斜角度，這個角度可以通過將外力矩除以相應傾斜角度下的靜穩度斜率來估計，或者直接通過平衡外力矩與恢復力矩相等來求解。
     • 設計規範的初步評估： 船舶穩性規範（如 SOLAS）通常會要求在一定的傾斜角度下，必須滿足一定的恢復力臂和穩性面積要求，這都是基於靜穩度的概念。
   • 預估橫傾角： 當外力矩 $M_{ext}$ 作用在船舶上，使其產生傾斜角 $\phi$ 時，船舶會達到一個新的平衡點，此時恢復力矩 $M_R = W \times GZ(\phi)$ 等於外力矩 $M_{ext}$。若外力矩是恆定的，則可以通過求解 $W \times GZ(\phi) = M_{ext}$ 來得到最終的傾斜角 $\phi$。

2. 動穩度 (Dynamic Stability)：

   • 定義： 動穩度是指船舶在受到突然的、非穩態的外力作用（通常是衝擊性或動態的力）時，抵抗傾斜的能力。

此題考驗對船舶損管 (Damage Control) 和損管後吃水變化計算方法的理解，特別是重量增加法中「增加重量」的來源。

核心觀念：重量增加法 (Weight Increase Method) 計算損管後吃水變化，以及增加重量的來源。

解題過程：
重量增加法是計算船舶損管後吃水和傾斜變化的常用方法。其基本原理是，當船體某部分受損（例如進水）時，可以將這部分損壞區域的水體視為額外增加的「重量」，然後計算這個額外重量對船舶吃水和傾斜的影響。

增加重量部分如何取得？

「增加重量」主要指的是因損管而進入船體內部（或導致船體內額外積聚）的水的重量。具體來說，這部分重量的取得方法如下：

1. 確定損壞範圍和進水體積：

   • 首先需要準確判斷哪些艙室或隔間發生了破損，以及這些艙室或隔間的幾何形狀。
   • 根據船舶的吃水、傾斜情況，計算出這些損壞艙室中，實際進水所佔據的體積。這可能需要考慮水線位置、隔艙的形狀、破損位置等。
   • 例如，如果一個長方形貨艙從底部破損，並進水到一定高度，則進水的體積就是該艙底面積乘以進水高度。如果有多個艙室破損，則需要將所有進水的體積加總。

2. 計算進水的重量：

   • 一旦確定了進水的體積 ($V_{water\_ingress}$)，就可以利用水的密度 ($\rho_{water}$) 來計算其重量。
   • 增加的重量 (Weight Increase, $\Delta W$) = $V_{water\_ingress} \times \rho_{water}$
   • 這裡的 $\rho_{water}$ 是海水密度（或淡水密度，取決於船舶所處的水域）。

此題考驗對船舶乾舷 (Freeboard) 設計原理的理解，以及影響乾舷大小的關鍵因素。

核心觀念：乾舷的定義、功能，以及影響其大小的參數。

解題過程：
乾舷 (Freeboard) 是指船舶水線 (Waterline) 到最上層連續甲板 (Main Watertight Deck) 或甲板邊緣 (Deck Edge) 的垂直距離。它在船舶安全（防止海浪湧入、提供適當的乾舷高度以確保穩性）和結構完整性方面起著至關重要的作用。

船舶長度是決定船舶乾舷的重要參數，其原因如下：

1. 穩性需求 (Stability Requirements)：

   • 船舶在海上航行時會受到風浪的影響，產生傾斜和搖晃。較長的船舶，由於其較大的排水體積和相對較長的水線，通常需要更高的乾舷來提供足夠的穩性儲備，以抵抗風浪的衝擊，防止海浪越過甲板。
   • 對於較短的船舶，雖然其本身受風浪影響的幅度可能較小，但其穩性儲備相對較低，也需要足夠的乾舷來提供安全裕度。

2. 結構強度與剛性 (Structural Strength and Rigidity)：

   • 船舶的長度是影響其結構強度的重要因素。較長的船體更容易產生彎曲和扭轉。乾舷的高度（即上層建築的高度）與主甲板的強度共同作用，有助於增強船體的整體結構剛性和強度，抵抗波浪載荷。

3. 載貨能力與艙容 (Cargo Capacity and Volume)：

   • 對於貨船而言，乾舷的高度與甲板的高度、貨艙的深度直接相關。較高的乾舷意味著船體有更高的吃水線，可以容納更多的貨物，或者提供更深的貨艙。

4. 最小乾舷規範 (Minimum Freeboard Regulations)：

   • 國際海事組織 (IMO) 等機構制定了船舶乾舷的最小標準（例如根據《國際載重線公約》Load Line Convention）。這些規範會根據船舶的類型、長度、船寬、船體結構等因素來計算最低允許的乾舷高度。船舶長度是計算這些規範時的一個基礎參數。

除了長度之外，另一個決定乾舷大小的重要參數是：

1. 船舶類型與用途 (Ship Type and Service)：
   • 說明： 這是最關鍵的因素之一。不同類型的船舶，其設計用途和航行環境不同，對乾舷的要求也不同。
   • 舉例：

此題考驗對船舶下水過程中，非水平狀態下的浮力計算方法，特別是當實際吃水線與設計吃水線不平行時。

核心觀念：非水平狀態下的浮力計算，以及浮心 (Center of Buoyancy, B) 的計算。

解題過程：
在船台下水過程中，當船體開始浸水，但尚未完全離岸或達到穩態時，船體會處於一個傾斜的狀態，即實際吃水線與設計吃水線（通常是水平的）不平行。此時，計算浮力及其作用點需要考慮船體的傾斜。

1. 浮力 (Buoyancy Force, $F_B$) 的計算：
浮力的大小始終等於船體浸入水中的部分的重量（根據阿基米德原理）。
$F_B = \rho_{water} \times V_{submerged}$
其中：

• $\rho_{water}$ 是水的密度。
• $V_{submerged}$ 是船體浸入水中的總體積。

在這種非水平狀態下，計算 $V_{submerged}$ 是關鍵。由於船體是傾斜的，水的表面與船體底部不再是簡單的垂直或水平關係。

• 方法一：積分法 (Integration Method)
  如果已知船體在各個橫剖面處的形狀，並且已知傾斜角度（或由傾斜角度定義的水面線），則可以通過對船體進行積分來計算浸入水中的體積。
  $V_{submerged} = \int_{L_{fore}}^{L_{aft}} A(x) dx$
  其中，$A(x)$ 是在縱向位置 $x$ 處，船體浸入水中的橫剖面積。由於船體傾斜，這個 $A(x)$ 的計算會比水平狀態複雜，可能需要將船體模型進行座標轉換，然後確定水面與船體的交線，再計算橫剖面積。

• 方法二：利用已知數據和幾何關係 (Using Geometric Relations)
  如果已知船體在不同部位（例如船艏、船艉、船中）的吃水，並且知道船體的基本幾何形狀（例如，可以近似為某種規則體積），則可以利用這些數據來估算浸入水中的體積。
  例如，如果已知船艏吃水 $T_{fore}$ 和船艉吃水 $T_{aft}$，以及船體在這些位置的橫剖面形狀，就可以估算出整個浸入水中的體積。

• 在題目情境下： 題目提到「艉部浸水到艉驟升(pivoting)之前」。這表示船體可能還部分擱在船台上，或者受力點在船艉。實際吃水線與設計吃水線不平行，意味著船體是傾斜的。

  • 計算 $V_{submerged}$ 的關鍵在於確定「實際水面」與船體邊界的交集體積。 這通常需要知道船體的吃水線方程（或橫剖面曲線）以及傾斜的水面的方程。
  • 如果題目給出了船體在某個縱向位置的橫剖面面積與吃水的關係圖（例如 $A_W$ 曲線），並且知道傾斜後的水面在船體上的實際吃水分佈，就可以通過積分來計算。

2. 浮力作用中心 (Center of Buoyancy, B) 的計算：
浮力作用中心 (B) 是浸入水中的船體部分的形心 (Centroid)。計算 B 的位置 (縱向 $L_B$, 橫向 $B_T$, 垂向 $KB$) 對於確定船舶的穩性至關重要。

• 橫向位置 ($B_T$)： 在大多數情況下，由於船體是左右對稱的，浮力作用中心的橫向位置 $B_T$ 位於船體中心線上，即 $B_T = 0$。除非船體本身不對稱或有特殊結構。
• 垂向位置 ($KB$)： $KB$ 是浮心到船底 (Keel) 或基準線 (Base Line) 的垂直距離。它的計算與浸入水中的體積的形心高度有關。
  • 方法： $KB = \frac{\int_{V_{submerged}} z dV}{V_{submerged}}$，其中 $z$ 是從基準線到體積微元 $dV$ 的高度。

核心觀念

本題考查下列船體計算觀念：

1. 排水量

$\Delta=\rho \nabla$

其中 $\rho$ 為海水密度，$\nabla$ 為排水體積。

2. 箱型船排水體積

   若船體為垂直舷側、平底且水線面形狀沿吃水方向不變，則：

$\nabla=A_W T$

其中 $A_W$ 為水線面積，$T$ 為吃水。

3. 浮心高度 $KB$

   箱型船的水下體積為等截面柱體，浮心位於吃水深度中央，因此：

$KB=\frac{T}{2}$

4. 縱向浮面心 $LCF$

   $LCF$ 就是水線面的面心位置，利用複合面形心公式：

$x_{LCF}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}$

---

幾何尺寸假設

題目所附圖 3 未列於文字中，因此無法直接確認矩形與三角形的長度。以下依此類題目的標準圖形，採用：

• 艉部半圓半徑為 $B$，直徑為 $2B$；
• 中央矩形長度為 $2B$、寬度為 $2B$；
• 艏部三角形底寬為 $2B$、長度為 $2B$；
• 以半圓圓心為縱向座標原點，向艏為正方向。

題目註記的半圓面心距圓心應為半圓幾何公式：

$\frac{4B}{3\pi}$

若原圖尺寸與上述假設不同，計算方法不變，但數值係數須依原圖尺寸替換。

---

一、排水量

1. 水線面積

艉部半圓

半徑為 $B$，故面積為：

$A_1=\frac{1}{2}\pi B^2$

中央矩形

長度與寬度均為 $2B$：

$A_2=(2B)(2B)=4B^2$

艏部三角形

底邊為 $2B$，高為 $2B$：

$A_3=\frac{1}{2}(2B)(2B)=2B^2$

因此總水線面積為：

$A_W=A_1+A_2+A_3$

$A_W=\left(\frac{\pi}{2}+4+2\right)B^2$

$A_W=\left(6+\frac{\pi}{2}\right)B^2$

2. 排水體積

艏艉吃水均為：

$T=1.2B$

所以排水體積為：

$\nabla=A_WT$

$\nabla=\left(6+\frac{\pi}{2}\right)B^2(1.2B)$

$\nabla=1.2\left(6+\frac{\pi}{2}\right)B^3$

3. 排水量

海水密度為：

$\rho=1.025\ \text{tons/m}^3$

因此：

$\Delta=\rho\nabla$

$\Delta=1.025\times1.2\left(6+\frac{\pi}{2}\right)B^3$

$\boxed{\Delta\approx9.312B^3\ \text{tons}}$

---

二、浮心高度 $KB$

船體為箱型船，水下部分各水平截面相同，因此浮力作用線通過水下體積的幾何中心。

吃水為：

$T=1.2B$

浮心位於水底至水面的中點：

$KB=\frac{T}{2}$

$KB=\frac{1.2B}{2}$

$\boxed{KB=0.6B}$

---

三、縱向浮面心 $LCF$

以半圓圓心為原點，向艏為正。

1. 各部分面心位置

艉部半圓

半圓向艉延伸，面心位於圓心後方：

$x_1=-\frac{4B}{3\pi}$

中央矩形

矩形由 $x=0$ 延伸至 $x=2B$，故其面心位置為：

$x_2=B$

艏部三角形

三角形由 $x=2B$ 延伸至 $x=4B$。三角形面心距底邊的距離為自身高度的 $1/3$：

$x_3=2B+\frac{2B}{3}$

$x_3=\frac{8B}{3}$

2. 複合面形心公式

核心觀念

本題考查靜水性能曲線中各項船舶性能的定義與相互關係：

• 吃水 $T$：通常指船中剖面處的型吃水。
• 浮心高度 $KB$：水下排水體積的幾何中心至基線的垂直距離。
• 每公分吃水差噸數 $TPC$：船舶吃水增加 $1\ \mathrm{cm}$ 時，排水量增加的噸數。
• 浮心縱向位置 $LCB$ 與漂心縱向位置 $LCF$：分別為排水體積與水線面積的縱向幾何中心。

---

a. 縱軸吃水所代表的位置

靜水性能曲線的吃水縱軸，通常採用船中剖面處的型吃水，即：

$$T=d_{\text{midship}}$$

其中 $d_{\text{midship}}$ 為船中處自基線量至設計水線的垂直距離。

因此，圖 4 縱軸所表示的吃水，是船中剖面處的吃水，而不是艏吃水或艉吃水。

---

b. $KB$ 曲線的繪製方法

定義

$KB$ 是水下排水體積的浮心高度。若以基線為 $z=0$，水線高度為 $z=T$，則：

$$KB=\frac{\displaystyle\int_0^T zA(z)\,dz} {\displaystyle\int_0^T A(z)\,dz}$$

其中：

• $A(z)$：高度 $z$ 處的水平剖面面積；
• $\displaystyle\int_0^T A(z)\,dz=\nabla$：排水體積；
• $\displaystyle\int_0^T zA(z)\,dz$：排水體積對基線的一次矩。

因此，$KB$ 是水下排水體積的體積中心高度。

吃水與 $KB$ 的關係

隨著吃水由 $2\ \mathrm{m}$ 增加至 $6.5\ \mathrm{m}$，水下船體逐漸向上增加新的排水體積。新增體積位於原浮心上方，因此整體浮心會上升，故：

$$T \uparrow \quad\Longrightarrow\quad KB \uparrow$$

但 $KB$ 不會等於吃水 $T$，因為浮心位於整個水下體積的幾何中心，必在基線與水線之間：

$$0<KB<T$$

由水線面積曲線求 $KB$

圖 4 若提供水線面面積曲線 $A_w(T)$，因為：

$$\frac{d\nabla}{dT}=A_w(T)$$

可先由 $A_w$ 曲線積分得到排水體積：

$$\nabla(T)=\int_0^T A_w(t)\,dt$$

再計算體積對基線的一次矩：

$$M_K(T)=\int_0^T tA_w(t)\,dt$$

所以：

$$KB(T)=\frac{M_K(T)}{\nabla(T)} =\frac{\displaystyle\int_0^T tA_w(t)\,dt} {\displaystyle\int_0^T A_w(t)\,dt}$$

實際作圖時，於 $T=2.0,\ 2.5,\ 3.0,\ldots,6.5\ \mathrm{m}$ 各取一點，依上式計算或由圖上資料作數值積分，再將所得 $KB$ 值標在相同吃水位置，連成平滑且單調上升的曲線。

作圖特徵

$KB$ 曲線應符合：

1. 隨吃水增加而上升；
2. 每一點均位於 $KB=T$ 直線以下；
3. 曲線連續且平滑；
4. 曲線彎曲程度由船體剖面隨高度的變化決定，不能直接畫成必然的直線。

---

此題考驗對船舶穩性計算的理解，包括扶正力臂、靜穩度、動穩度等基本概念。

a. 某船舶的扶正力臂 GZ 是在重心高度假設為 KG 時所得到的;如果在相同吃水,而真正的重心 Gt 點比 G 點高1公尺,請列出扶正力臂 GZ 的計算公式。

• 核心觀念： 扶正力臂 GZ 的計算與重心位置 (KG) 的關係。
• GZ 的定義： GZ 是扶正力臂，表示將船舶傾斜一個角度 $\phi$ 後，恢復力矩 $M_R$ 除以排水量 $W$ 的值，即 $GZ = M_R / W$。
• GZ 的計算公式： $GZ = KM \sin\phi - KG \sin\phi = (KM - KG) \sin\phi$。
  • $KM$ 是從基準線到浮心橫穩心 (Transverse Metacenter) 的距離。
  • $KG$ 是從基準線到重心 (Center of Gravity) 的高度。
  • $\phi$ 是傾斜角度。
• 題目情境：
  • 原來的重心高度為 $KG_{original}$。
  • 真正的重心 $G_t$ 比原來的重心 $G$ 高 1 公尺。
  • 所以，新的重心高度 $KG_{new} = KG_{original} + 1 \, \text{m}$。
  • KM 和排水量 W 在相同吃水下是不變的。
• 計算新的 GZ：
  • 新的扶正力臂 $GZ_{new} = (KM - KG_{new}) \sin\phi$
  • $GZ_{new} = (KM - (KG_{original} + 1)) \sin\phi$
  • $GZ_{new} = (KM - KG_{original} - 1) \sin\phi$
  • 我們知道原來的 GZ 是 $GZ_{original} = (KM - KG_{original}) \sin\phi$。
  • 所以，$GZ_{new} = GZ_{original} - 1 \times \sin\phi$。
  • 但是，題目要求的是「扶正力臂 GZ 的計算公式」，而不是與原來的 GZ 的關係。
• 公式表達：
  • 設原來的重心高度為 $KG_0$。則新的重心高度為 $KG_{new} = KG_0 + 1$。
  • 扶正力臂 $GZ = (KM - KG) \sin\phi$。
  • 因此，新的扶正力臂公式為：$GZ = (KM - (KG_0 + 1)) \sin\phi$。
  • 或者，如果題目沒有要求寫出 KM 和 KG 的具體表達式，直接用符號表示即可。
• 【答案】 $GZ = (KM - (KG + 1)) \sin\phi$，其中 $KG$ 是原來的重心高度，KM 是從基準線到橫穩心的距離，$\phi$ 是傾斜角度。

b. 靜穩度曲線的橫軸在零度附近的扶正力臂為 GZ=1.5sin(公尺),請計算此船正浮時的GMT。

• 核心觀念： GMT (Germinal Metacentric Height) 是船舶在正浮 (Upright) 位置時的初穩性指標，與 GZ 曲線在零度附近的斜率有關。
• GMT 的定義： GMT 是指在船舶正浮位置（傾斜角 $\phi=0$）附近，扶正力臂 GZ 的變化率，即 GZ 曲線在 $\phi=0$ 處的斜率。
• GMT 的計算： $GMT = \frac{d(GZ)}{d\phi} \Big|_{\phi=0}$。
• 已知條件： 在零度附近，$GZ = 1.5 \sin\phi$ (公尺)。
• 計算 GMT：
  1. 對 $GZ$ 進行微分：$\frac{d(GZ)}{d\phi} = \frac{d(1.5 \sin\phi)}{d\phi} = 1.5 \cos\phi$。
  2. 在 $\phi=0$ 處計算斜率：$\frac{d(GZ)}{d\phi} \Big|_{\phi=0} = 1.5 \cos(0) = 1.5 \times 1 = 1.5$。
• 單位： 題目中 GZ 的單位是公尺 (m)，所以 GMT 的單位也是公尺 (m)。
• 【答案】 GMT = 1.5 m。

c. 圖5為動穩度曲線,Mst與Mc分別為浮正力矩與橫傾力矩,請說明圖上兩條曲線的交差點所對應的橫軸角度,代表甚麼意思?

• 核心觀念： 動穩度曲線的交點意義。
• 圖示分析：
  • 圖5顯示了兩條曲線：$M_{st}$ (Static Righting Moment, 靜態恢復力矩) 和 $M_c$ (External Moment, 外力矩)。
  • 橫軸是傾斜角度 $\phi$。
  • 縱軸通常是力矩。
  • $M_{st}$ 曲線代表船舶自身產生的恢復力矩，它隨傾斜角度變化。