109 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《自動控制》

本題主要考察線性系統的控制與觀測性判別方法，以及估測與控制分離原理的證明。

(i) 線性時變系統（或線性時不變系統）的控制與觀測性判別：

對於一個線性系統
$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$
$y(t) = Cx(t)$
其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 為狀態向量，$u \in \mathbb{R}^m$ 為輸入向量，$y \in \mathbb{R}^p$ 為輸出向量，$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，$B \in \mathbb{R}^{n \times m}$，$C \in \mathbb{R}^{p \times n}$。

可控制性 (Controllability)：
系統是可控制的，如果對於任意的初始狀態 $x(t_0)$ 和任意的目標狀態 $x(t_f)$，都存在一個輸入 $u(t)$，使得系統從 $x(t_0)$ 能夠在時間 $t_f$ 達到 $x(t_f)$。

判別方法（對於線性時不變系統）：
考慮控制力矩矩陣 (Controllability Matrix)
$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}$
若 $\mathcal{C}$ 的秩 (rank) 等於系統的維度 $n$，則系統是可控制的。
$\text{rank}(\mathcal{C}) = n$
對於線性時變系統，判別方法較為複雜，通常涉及積分。

可觀測性 (Observability)：
系統是可觀測的，如果從任意時間點 $t_0$ 開始，通過測量輸出 $y(t)$ 在一段有限的時間區間 $[t_0, t_1]$ 內的行為，能夠唯一確定系統的初始狀態 $x(t_0)$。

判別方法（對於線性時不變系統）：
考慮觀測矩陣 (Observability Matrix)
$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$
若 $\mathcal{O}$ 的秩 (rank) 等於系統的維度 $n$，則系統是可觀測的。
$\text{rank}(\mathcal{O}) = n$
同樣地，對於線性時變系統，判別方法也較為複雜。

關於題目中的系統 $\dot{X} = AX + Bu + Br$ 和 $y = CX$：
這個系統多了一個常數項 $Br$。如果 $r$ 是一個常數向量，那麼 $Br$ 可以被視為一個額外的「等效輸入」，可以合併到 $Bu$ 裡面，或者通過狀態變換來處理。如果 $r$ 是時間變數，則這是一個帶有常數項的線性系統。
若 $r$ 為常數，則令 $u' = u + r$，則原系統可寫為 $\dot{X} = AX + Bu'$，此時控制與觀測性的判別與標準形式相同。
若 $r$ 為時間函數，則控制與觀測性的判別需要考慮 $r$ 的影響。但通常在討論控制與觀測性時，我們關注的是對狀態變量的影響。

(ii) 估測與控制分離原理 (Separation Principle of Estimation and Control)：
分離原理指出，對於一個線性時不變系統，如果我們使用一個狀態估測器 (state estimator) 來估計系統狀態，並且設計一個基於估計狀態的狀態回授控制器 (state feedback controller)，那麼整個閉迴路系統的閉迴路極點 (closed-loop poles) 是由控制器設計的極點和估測器設計的極點組合而成，這兩組極點的設計可以獨立進行。

證明概要：
考慮一個線性時不變系統：
$\dot{x} = Ax + Bu$
$y = Cx$
其中 $x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^p$。

設計一個狀態回授控制器：
$u = -K\hat{x}$
其中 $\hat{x}$ 是狀態估測器估計的狀態，而 $K \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 是控制器增益矩陣。

設計一個 Luenberger 狀態估測器：
$\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})$
$\dot{\hat{x}} = (A - LC)\hat{x} + Bu + Ly$
其中 $L \in \mathbb{R}^{n \times p}$ 是估測器增益矩陣。

將控制器和估測器合併到閉迴路系統中：
我們將 $u = -K\hat{x}$ 代入估測器方程：
$\dot{\hat{x}} = (A - LC)\hat{x} + B(-K\hat{x}) + Ly$
$\dot{\hat{x}} = (A - BK - LC)\hat{x} + Ly$

現在，我們考慮真實狀態 $x$ 和估計狀態 $\hat{x}$ 之間的誤差向量 $e = x - \hat{x}$。
對誤差向量求導：
$\dot{e} = \dot{x} - \dot{\hat{x}}$
$\dot{e} = (Ax + Bu) - [(A - BK - LC)\hat{x} + Ly]$
將 $u = -K\hat{x}$ 代入：
$\dot{e} = Ax + B(-K\hat{x}) - (A - BK - LC)\hat{x} - Ly$
$\dot{e} = Ax - BK\hat{x} - A\hat{x} + BK\hat{x} + LC\hat{x} - Ly$
$\dot{e} = (A - LC)\hat{x} - A\hat{x} + LC\hat{x} - Ly$

核心觀念

本題考查兩項重要觀念：

1. 由狀態空間模型求輸入—輸出轉移函數，並判斷單位階梯輸入下的穩態誤差。
2. 利用狀態回授
   $u=-Kx$
   改變閉迴路極點，使系統穩定。

令

$$A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 3&-2&-1 \end{bmatrix},\quad B= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix},\quad C= \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}.$$

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(i) 單位階梯輸入的穩態誤差

由狀態方程可得

$$\dot{x}_1=x_2,\qquad \dot{x}_2=x_3,$$ $$\dot{x}_3=3x_1-2x_2-x_3+u.$$

在零初始條件下取拉普拉斯轉換：

$$sX_1=X_2,\qquad sX_2=X_3,$$

因此

$$X_2=sX_1,\qquad X_3=s^2X_1.$$

第三式為

$$sX_3=3X_1-2X_2-X_3+U.$$

代入 $X_2=sX_1$ 與 $X_3=s^2X_1$：

$$s^3X_1 =3X_1-2sX_1-s^2X_1+U.$$

整理得

$$\left(s^3+s^2+2s-3\right)X_1=U.$$

因為 $y=x_1$，所以轉移函數為

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{1}{s^3+s^2+2s-3}.$$

系統特徵方程為

$$s^3+s^2+2s-3=0.$$

由於

$$p(0)=-3,\qquad p(1)=1,$$

根據介值定理，特徵方程至少有一個正實根，因此系統本身不穩定。

單位階梯輸入為

$$U(s)=\frac{1}{s}.$$

若將輸入視為期望輸出 $r(t)$，誤差為

$$E(s)=R(s)-Y(s) =\frac{1}{s}\left[1-G(s)\right].$$

然而，系統含有右半平面極點，無法使用最終值定理求有限穩態值：

$$e_{\mathrm{ss}} =\lim_{t\to\infty}e(t) \neq \lim_{s\to 0}sE(s).$$

由於單位階梯輸入會激發系統的正實極點，輸出將發散；因此誤差沒有有限穩態值。若以正實極點的主導發散項表示，則 $y(t)\to+\infty$，所以

$$e(t)=1-y(t)\to-\infty.$$

因此，本題在未加入回授控制器前：

$$\boxed{e_{\mathrm{ss}}\text{ 不存在，且誤差發散至 }-\infty}$$

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(ii) 使用狀態回授使系統穩定

令

$$K= \begin{bmatrix} k_1&k_2&k_3 \end{bmatrix}.$$

採用狀態回授

$$u=-Kx$$

後，閉迴路狀態方程為

核心觀念

本題考查非線性狀態方程的局部線性化，以及由線性化後狀態空間模型求輸入至輸出的轉移函數。

對非線性系統

$$\dot{x}=f(x,r),\qquad y=h(x,r)$$

在操作點 $(x_0,r_0)$ 附近，令

$$\tilde{x}=x-x_0,\qquad \tilde{r}=r-r_0,\qquad \tilde{y}=y-y_0$$

則一階線性化模型為

$$\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}+B\tilde{r}$$

其中

$$A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,r_0)},\qquad B=\left.\frac{\partial f}{\partial r}\right|_{(x_0,r_0)}$$

輸出方程則為

$$\tilde{y}=C\tilde{x}+D\tilde{r}$$

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(i) 非線性系統線性化

已知

$$f(x,r)= \begin{bmatrix} x_1x_2x_3\\ x_1x_2r\\ x_2r^2 \end{bmatrix}, \qquad y=x_1$$

操作點為

$$x_0= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}, \qquad r_0=2$$

1. 計算矩陣 $A$

先求各狀態方程對 $x_1,x_2,x_3$ 的偏微分：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \begin{bmatrix} x_2x_3 & x_1x_3 & x_1x_2\\ x_2r & x_1r & 0\\ 0 & r^2 & 0 \end{bmatrix}$$

代入 $(x_1,x_2,x_3,r)=(1,1,1,2)$：

$$A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&2&0\\ 0&4&0 \end{bmatrix}$$

2. 計算矩陣 $B$

對輸入 $r$ 求偏微分：

$$\frac{\partial f}{\partial r} = \begin{bmatrix} 0\\ x_1x_2\\ 2x_2r \end{bmatrix}$$

因此

$$B= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}$$

3. 計算輸出矩陣 $C,D$

因為

$$y=x_1$$

所以

$$C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}, \qquad D=0$$

4. 線性化結果

因此增量形式的線性化狀態空間模型為

$$\boxed{ \begin{aligned} \dot{\tilde{x}}_1&=\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3\\ \dot{\tilde{x}}_2&=2\tilde{x}_1+2\tilde{x}_2+\tilde{r}\\ \dot{\tilde{x}}_3&=4\tilde{x}_2+4\tilde{r}\\ \tilde{y}&=\tilde{x}_1 \end{aligned}}$$

矩陣形式為

$$\boxed{ \dot{\tilde{x}}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&2&0\\ 0&4&0 \end{bmatrix}\tilde{x} + \begin{bmatrix} 0\\1\\4 \end{bmatrix}\tilde{r}, \qquad \tilde{y}= \begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\tilde{x} }$$

補充而言，原操作點的向量場為

$$f(x_0,r_0)= \begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}\neq 0$$

核心觀念

本題考查：

• 狀態空間模型：$\dot{x}=Ax+Bu,\ y=Cx$
• 積分器狀態的建立
• 狀態回授與積分誤差回授
• 增廣狀態矩陣
• 由指定極點配置回授增益 $K$ 與積分增益 $K_e$

由圖可得：

$$e=r-y=r-Cx$$

積分器輸出定義為：

$$x_N=\int e\,dt$$

因此：

$$\dot{x}_N=e=r-Cx$$

圖中的控制訊號為：

$$u=K_e x_N-Kx$$

其中 $K$ 為狀態回授增益，$K_e$ 為積分誤差增益。

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（i）狀態空間表示

原系統狀態方程為：

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

代入控制律 $u=K_e x_N-Kx$：

$$\dot{x}=Ax+B(K_e x_N-Kx)$$

整理得：

$$\dot{x}=(A-BK)x+BK_e x_N$$

另一方面，積分器狀態滿足：

$$\dot{x}_N=r-Cx$$

定義增廣狀態：

$$x_a= \begin{bmatrix} x\\ x_N \end{bmatrix}$$

則增廣狀態方程為：

$$\dot{x}_a= \begin{bmatrix} A-BK & BK_e\\ -C & 0 \end{bmatrix} x_a+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}r$$

輸出方程為：

$$y= \begin{bmatrix} C&0 \end{bmatrix}x_a$$

因此完整狀態空間形式為：

$$\boxed{ \dot{x}_a= \begin{bmatrix} A-BK & BK_e\\ -C & 0 \end{bmatrix}x_a+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}r }$$ $$\boxed{ y=\begin{bmatrix}C&0\end{bmatrix}x_a }$$

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（ii）控制器類型

此控制器為「含積分作用的狀態回授控制器」，也可稱為積分型伺服控制器。

原因是誤差信號 $e=r-y$ 先經過積分器：

$$x_N=\int (r-y)\,dt$$

控制輸入包含積分狀態：

$$u=K_e x_N-Kx$$

積分作用可消除對常值輸入或常值負載造成的穩態誤差，使追蹤穩態時滿足：

$$e_{\mathrm{ss}}=0$$

嚴格而言，本圖不是一般只由誤差比例項與積分項組成的傳統 PI 控制器，而是「狀態回授加積分誤差回授」。

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（iii）求 $K$ 與 $K_e$

已知：