109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班乙組《材料力學》

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第 1 題15 分

  1. 解釋或定義下列詞語
    (a) Stress
    (b) Stress concentration
    (c) How to determine the stress at a point on a body experimentally?

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這一題的完整詳解

本題主要在考驗學生對材料力學基本名詞的理解與實驗測量應力的基本概念。

(a) Stress (應力)：
應力是材料力學中的基本概念，定義為作用在單位面積上的內力。當外力作用於物體時，物體內部會產生抵抗變形的力量，這些內力在單位面積上的分佈即為應力。數學上，平均應力 σ\sigma 可表示為 σ=FA\sigma = \frac{F}{A}，其中 FF 是作用力，AA 是受力面積。在實際情況中，應力通常是分佈的，並非均勻，因此需要考慮應力的張量形式來描述其在不同方向上的分佈。

(b) Stress concentration (應力集中)：
應力集中是指在構件幾何形狀突然改變處（例如孔洞、缺口、角隅、或外力施加點）附近，應力分佈變得不均勻，導致局部應力顯著增高，遠超過平均應力。這種現象會顯著降低構件的承載能力，尤其是在疲勞載荷下，應力集中區域是裂紋萌生和擴展的主要位置。應力集中的程度通常用應力集中因子 KtK_t 來表示，定義為最大局部應力 σmax\sigma_{max} 與名義應力 σnom\sigma_{nom} 的比值，即 Kt=σmaxσnomK_t = \frac{\sigma_{max}}{\sigma_{nom}}。

(c) How to determine the stress at a point on a body experimentally? (如何實驗性地測定物體某一點的應力？)
實驗性測定物體某一點的應力有多種方法，其中最常見且廣泛應用的是：

  1. 應變量測技術 (Strain Measurement Techniques)：
    • 應變規 (Strain Gauges)：這是最普遍的實驗方法。應變規是一種電阻式感測器，其電阻值會隨著其附著材料的形變而改變。
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第 2 題15 分

  1. The 45° strain rosette is mounted near the tooth of the wrench. The following readings are obtained for each gauge: ϵa=80(10−6)\epsilon_a = 80(10^{-6}), ϵb=52(10−6)\epsilon_b = 52(10^{-6}), and ϵc=−45(10−6)\epsilon_c = -45(10^{-6}). Determine (a) the in-plane principal strains and their orientation, (b) the maximum in-plane shear strain.
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這一題的完整詳解

本題是典型的應變分析問題，利用 45° 應變花 (strain rosette) 的量測數據，計算平面主應變、主應變方向以及最大剪應變。

核心觀念： 應變轉換 (Strain Transformation) 公式，以及主應變與最大剪應變的計算。

已知 45° 應變花量測數據：
ϵa=80×10−6\epsilon_a = 80 \times 10^{-6}
ϵb=52×10−6\epsilon_b = 52 \times 10^{-6}
ϵc=−45×10−6\epsilon_c = -45 \times 10^{-6}

應變規的角度關係：假設 ϵa\epsilon_a 在 θ=0∘\theta = 0^\circ 方向，ϵb\epsilon_b 在 θ=45∘\theta = 45^\circ 方向，ϵc\epsilon_c 在 θ=90∘\theta = 90^\circ 方向。

(a) In-plane principal strains and their orientation (平面主應變及其方向)

平面主應變 ϵ1\epsilon_1 和 ϵ2\epsilon_2 的計算公式為：
ϵ1,2=ϵa+ϵb+ϵc3±(ϵa−ϵb2)2+(ϵb−ϵc2)2\epsilon_{1,2} = \frac{\epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{\epsilon_a - \epsilon_b}{2}\right)^2 + \left(\frac{\epsilon_b - \epsilon_c}{2}\right)^2}
這個公式是基於應變轉換的結果，其中 ϵa+ϵb+ϵc3\frac{\epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c}{3} 是平均應變，而後半部分是應變的半徑。

先計算平均應變：
ϵavg=ϵa+ϵb+ϵc3=80×10−6+52×10−6−45×10−63=87×10−63=29×10−6\epsilon_{avg} = \frac{\epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c}{3} = \frac{80 \times 10^{-6} + 52 \times 10^{-6} - 45 \times 10^{-6}}{3} = \frac{87 \times 10^{-6}}{3} = 29 \times 10^{-6}

接著計算應變的半徑部分：
R=(ϵa−ϵb2)2+(ϵb−ϵc2)2R = \sqrt{\left(\frac{\epsilon_a - \epsilon_b}{2}\right)^2 + \left(\frac{\epsilon_b - \epsilon_c}{2}\right)^2}
ϵa−ϵb2=80×10−6−52×10−62=28×10−62=14×10−6\frac{\epsilon_a - \epsilon_b}{2} = \frac{80 \times 10^{-6} - 52 \times 10^{-6}}{2} = \frac{28 \times 10^{-6}}{2} = 14 \times 10^{-6}
ϵb−ϵc2=52×10−6−(−45×10−6)2=97×10−62=48.5×10−6\frac{\epsilon_b - \epsilon_c}{2} = \frac{52 \times 10^{-6} - (-45 \times 10^{-6})}{2} = \frac{97 \times 10^{-6}}{2} = 48.5 \times 10^{-6}
R=(14×10−6)2+(48.5×10−6)2=10−6196+2352.25=10−62548.25R = \sqrt{(14 \times 10^{-6})^2 + (48.5 \times 10^{-6})^2} = 10^{-6} \sqrt{196 + 2352.25} = 10^{-6} \sqrt{2548.25}
R≈50.48×10−6R \approx 50.48 \times 10^{-6}

所以，主應變為：
ϵ1=ϵavg+R=(29+50.48)×10−6=79.48×10−6\epsilon_1 = \epsilon_{avg} + R = (29 + 50.48) \times 10^{-6} = 79.48 \times 10^{-6}
ϵ2=ϵavg−R=(29−50.48)×10−6=−21.48×10−6\epsilon_2 = \epsilon_{avg} - R = (29 - 50.48) \times 10^{-6} = -21.48 \times 10^{-6}

主應變的方向 θ1\theta_1（相對於 ϵa\epsilon_a 的方向）的計算公式為：
tan⁡(2θ1)=ϵb−ϵa(ϵa+ϵc)/2−ϵb=2(ϵb−ϵa)(ϵa+ϵc)−2ϵb\tan(2\theta_1) = \frac{\epsilon_b - \epsilon_a}{(\epsilon_a + \epsilon_c)/2 - \epsilon_b} = \frac{2(\epsilon_b - \epsilon_a)}{(\epsilon_a + \epsilon_c) - 2\epsilon_b}
這裡的公式可能需要根據具體的應變花配置進行調整。對於 45° 應變花，若 ϵa\epsilon_a 在 θ=0∘\theta=0^\circ, ϵb\epsilon_b 在 θ=45∘\theta=45^\circ, ϵc\epsilon_c 在 θ=90∘\theta=90^\circ，則應變轉換公式為：
ϵx=ϵa\epsilon_x = \epsilon_a
ϵy=ϵc\epsilon_y = \epsilon_c
γxy=2ϵb−(ϵa+ϵc)\gamma_{xy} = 2\epsilon_b - (\epsilon_a + \epsilon_c)
然而，這是一個 45° 應變花，通常的應變轉換公式是：
ϵx=ϵa+ϵc2+ϵa−ϵc2cos⁡(2θ)+γxy2sin⁡(2θ)\epsilon_x = \frac{\epsilon_a + \epsilon_c}{2} + \frac{\epsilon_a - \epsilon_c}{2} \cos(2\theta) + \frac{\gamma_{xy}}{2} \sin(2\theta)
ϵy=ϵa+ϵc2−ϵa−ϵc2cos⁡(2θ)−γxy2sin⁡(2θ)\epsilon_y = \frac{\epsilon_a + \epsilon_c}{2} - \frac{\epsilon_a - \epsilon_c}{2} \cos(2\theta) - \frac{\gamma_{xy}}{2} \sin(2\theta)
γxy=−2ϵa−ϵc2sin⁡(2θ)+2γxy2cos⁡(2θ)\gamma_{xy} = -2 \frac{\epsilon_a - \epsilon_c}{2} \sin(2\theta) + 2 \frac{\gamma_{xy}}{2} \cos(2\theta)

更直接且適用於 45° 應變花的方法是：
令 ϵa\epsilon_a 位於 θ=0∘\theta=0^\circ 方向。
ϵx=ϵa\epsilon_x = \epsilon_a
ϵy=ϵc\epsilon_y = \epsilon_c
γxy=2ϵb−(ϵa+ϵc)=2(52×10−6)−(80×10−6+(−45×10−6))=104×10−6−35×10−6=69×10−6\gamma_{xy} = 2\epsilon_b - (\epsilon_a + \epsilon_c) = 2(52 \times 10^{-6}) - (80 \times 10^{-6} + (-45 \times 10^{-6})) = 104 \times 10^{-6} - 35 \times 10^{-6} = 69 \times 10^{-6}

主應變的計算公式：
ϵ1=ϵx+ϵy2+(ϵx−ϵy2)2+(γxy2)2\epsilon_1 = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \sqrt{\left(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}
ϵ2=ϵx+ϵy2−(ϵx−ϵy2)2+(γxy2)2\epsilon_2 = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} - \sqrt{\left(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}

計算 ϵx+ϵy2\frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2}:
ϵx+ϵy2=80×10−6+(−45×10−6)2=35×10−62=17.5×10−6\frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} = \frac{80 \times 10^{-6} + (-45 \times 10^{-6})}{2} = \frac{35 \times 10^{-6}}{2} = 17.5 \times 10^{-6}
注意，這裡 ϵx\epsilon_x 和 ϵy\epsilon_y 是指沿著某兩個相互垂直方向的應變，而不是直接對應 ϵa,ϵb,ϵc\epsilon_a, \epsilon_b, \epsilon_c。
對於 45° 應變花，我們通常將 ϵa\epsilon_a 的方向設為 xx 軸，ϵc\epsilon_c 的方向設為 yy 軸，且 xx 和 yy 軸相差 90 度。但題目圖示中，應變規是呈 45 度角排列的。
標準 45° 應變花，應變規 a,b,ca, b, c 的角度分別為 0∘,45∘,90∘0^\circ, 45^\circ, 90^\circ。
則：
ϵx=ϵa\epsilon_x = \epsilon_a
ϵy=ϵc\epsilon_y = \epsilon_c
γxy=2ϵb−(ϵa+ϵc)\gamma_{xy} = 2\epsilon_b - (\epsilon_a + \epsilon_c)

所以，
ϵx+ϵy2=80×10−6+(−45×10−6)2=17.5×10−6\frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} = \frac{80 \times 10^{-6} + (-45 \times 10^{-6})}{2} = 17.5 \times 10^{-6}
ϵx−ϵy2=80×10−6−(−45×10−6)2=125×10−62=62.5×10−6\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} = \frac{80 \times 10^{-6} - (-45 \times 10^{-6})}{2} = \frac{125 \times 10^{-6}}{2} = 62.5 \times 10^{-6}
γxy2=2ϵb−(ϵa+ϵc)2=2(52×10−6)−(80×10−6−45×10−6)2=104×10−6−35×10−62=69×10−62=34.5×10−6\frac{\gamma_{xy}}{2} = \frac{2\epsilon_b - (\epsilon_a + \epsilon_c)}{2} = \frac{2(52 \times 10^{-6}) - (80 \times 10^{-6} - 45 \times 10^{-6})}{2} = \frac{104 \times 10^{-6} - 35 \times 10^{-6}}{2} = \frac{69 \times 10^{-6}}{2} = 34.5 \times 10^{-6}

主應變為：
ϵ1=17.5×10−6+(62.5×10−6)2+(34.5×10−6)2\epsilon_1 = 17.5 \times 10^{-6} + \sqrt{(62.5 \times 10^{-6})^2 + (34.5 \times 10^{-6})^2}
ϵ1=17.5×10−6+10−63906.25+1190.25\epsilon_1 = 17.5 \times 10^{-6} + 10^{-6} \sqrt{3906.25 + 1190.25}
ϵ1=17.5×10−6+10−65096.5\epsilon_1 = 17.5 \times 10^{-6} + 10^{-6} \sqrt{5096.5}
ϵ1≈17.5×10−6+71.39×10−6=88.89×10−6\epsilon_1 \approx 17.5 \times 10^{-6} + 71.39 \times 10^{-6} = 88.89 \times 10^{-6}

ϵ2=17.5×10−6−(62.5×10−6)2+(34.5×10−6)2\epsilon_2 = 17.5 \times 10^{-6} - \sqrt{(62.5 \times 10^{-6})^2 + (34.5 \times 10^{-6})^2}
ϵ2≈17.5×10−6−71.39×10−6=−53.89×10−6\epsilon_2 \approx 17.5 \times 10^{-6} - 71.39 \times 10^{-6} = -53.89 \times 10^{-6}

主應變方向 θ1\theta_1 相對於 ϵa\epsilon_a (即 xx 軸) 的計算公式：
tan⁡(2θ1)=γxyϵx−ϵy=69×10−680×10−6−(−45×10−6)=69×10−6125×10−6=0.552\tan(2\theta_1) = \frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x - \epsilon_y} = \frac{69 \times 10^{-6}}{80 \times 10^{-6} - (-45 \times 10^{-6})} = \frac{69 \times 10^{-6}}{125 \times 10^{-6}} = 0.552
2θ1=arctan⁡(0.552)≈28.9∘2\theta_1 = \arctan(0.552) \approx 28.9^\circ
θ1≈14.45∘\theta_1 \approx 14.45^\circ
主應變 ϵ1\epsilon_1 的方向與 ϵa\epsilon_a 的方向夾角約為 14.45∘14.45^\circ。
如果 ϵ1\epsilon_1 是較大的主應變，則其方向為 θ1≈14.45∘\theta_1 \approx 14.45^\circ。
如果 ϵ2\epsilon_2 是較大的主應變，則其方向為 θ1+90∘≈104.45∘\theta_1 + 90^\circ \approx 104.45^\circ。
我們通常將 ϵ1\epsilon_1 定義為較大的主應變，所以 ϵ1=88.89×10−6\epsilon_1 = 88.89 \times 10^{-6} 的方向是 14.45∘14.45^\circ。

檢查：
使用原來的公式計算主應變：

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第 3 題20 分

  1. The steel column is supported by two rollers as shown below. If the column has a uniform weight of w (force/length), determine the equal placement d of the supports from the ends so that the absolute maximum bending moment in the column is as small as possible. Also, draw the moment diagram for the column if L=1 m, w=1 KN/m.
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這一題的完整詳解

本題考驗結構力學中樑彎矩分析的能力，特別是如何透過調整支點位置來最小化最大彎矩，以及繪製彎矩圖。

核心觀念： 均佈負荷下的樑彎矩分析、變分法 (或對稱性考量) 求解最佳支點位置、繪製彎矩圖。

題目給定一個長度為 LL 的樑，兩端為自由端，中間由兩個滾支座支撐，滾支座距離兩端各為 dd。樑具有均勻分佈的重量 ww (力/長度)。需要找出 dd 的值，使得樑中的絕對最大彎矩最小。

步驟 1：建立樑的受力圖與支點反力
樑的總長度為 LL。支點位於距離左端 dd 處和距離右端 dd 處。
因此，支點的位置為 x=dx=d 和 x=L−dx=L-d。
樑承受均勻分佈負荷 ww。

由於對稱性，左側支點（設在 x=dx=d）的反力 R1R_1 與右側支點（設在 x=L−dx=L-d）的反力 R2R_2 相等。
總支撐力為 R1+R2R_1 + R_2。
對整個樑進行垂直力平衡：
R1+R2−wL=0R_1 + R_2 - wL = 0
由於 R1=R2R_1 = R_2，則 2R1=wL  ⟹  R1=R2=wL22R_1 = wL \implies R_1 = R_2 = \frac{wL}{2}。

步驟 2：分析樑在不同區域的彎矩
樑可以分為三個區域：

  1. 左側懸臂樑區域：0≤x<d0 \le x < d
  2. 中間支撐區域：d≤x≤L−dd \le x \le L-d
  3. 右側懸臂樑區域：L−d<x≤LL-d < x \le L

區域 1：0≤x<d0 \le x < d (左懸臂樑)
在此區域，樑的變數 xx 從左端開始計算。
彎矩 M(x)M(x) 的計算：
取斷面於 xx 處，考慮左側的斷面。
M(x)=−wx(x2)=−wx22M(x) = -wx \left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{wx^2}{2}
這個區域的彎矩是負的（產生上彎）。
在 x=0x=0 處，M(0)=0M(0) = 0。
在 x=dx=d 處（左支點），M(d)=−wd22M(d) = -\frac{wd^2}{2}。

區域 3：L−d<x≤LL-d < x \le L (右懸 ક樑)
由於對稱性，此區域的彎矩函數與區域 1 相似，但需注意 xx 的定義。
若從右端開始計算距離 x′x'：x′=L−xx' = L-x。
則 M(x′)=−wx′22M(x') = -\frac{wx'^2}{2}。
若從左端計算 xx，則該區域的彎矩為：
M(x)=−w(L−x)(L−x2)=−w(L−x)22M(x) = -w(L-x) \left(\frac{L-x}{2}\right) = -\frac{w(L-x)^2}{2}
在 x=Lx=L 處，M(L)=0M(L)=0。
在 x=L−dx=L-d 處（右支點），M(L−d)=−w(L−(L−d))22=−wd22M(L-d) = -\frac{w(L-(L-d))^2}{2} = -\frac{wd^2}{2}。

區域 2：d≤x≤L−dd \le x \le L-d (中間支撐區域)
在此區域，樑受到左支點的反力 R1R_1 的影響。
取斷面於 xx 處，考慮左側的斷面。
M(x)=R1(x−d)−wx22M(x) = R_1(x-d) - \frac{wx^2}{2}
將 R1=wL2R_1 = \frac{wL}{2} 代入：
M(x)=wL2(x−d)−wx22M(x) = \frac{wL}{2}(x-d) - \frac{wx^2}{2}
此區域的彎矩是正的（產生下彎）。
在 x=dx=d 處：
M(d)=wL2(d−d)−wd22=−wd22M(d) = \frac{wL}{2}(d-d) - \frac{wd^2}{2} = -\frac{wd^2}{2}。
在 x=L−dx=L-d 處：
M(L−d)=wL2(L−d−d)−w(L−d)22=wL2(L−2d)−w2(L2−2Ld+d2)M(L-d) = \frac{wL}{2}(L-d-d) - \frac{w(L-d)^2}{2} = \frac{wL}{2}(L-2d) - \frac{w}{2}(L^2 - 2Ld + d^2)
M(L−d)=wL22−wLd−wL22+wLd−wd22=−wd22M(L-d) = \frac{wL^2}{2} - wLd - \frac{wL^2}{2} + wLd - \frac{wd^2}{2} = -\frac{wd^2}{2}。
這與懸臂部分的彎矩在支點處一致，是預期的。

為了找到最大彎矩，我們需要對中間區域的彎矩函數求導，找到極值點。
dMdx=wL2−wx\frac{dM}{dx} = \frac{wL}{2} - wx
令 dMdx=0\frac{dM}{dx} = 0，則 wx=wL2  ⟹  x=L2wx = \frac{wL}{2} \implies x = \frac{L}{2}。
這表示在樑的中心點 x=L2x = \frac{L}{2} 處，彎矩達到最大值（或最小值）。
這個中心點 x=L2x=\frac{L}{2} 必須落在中間支撐區域 d≤x≤L−dd \le x \le L-d 內。
所以，我們要求 d≤L2≤L−dd \le \frac{L}{2} \le L-d。這意味著 d≤L2d \le \frac{L}{2}。

在 x=L2x = \frac{L}{2} 處的最大彎矩為：
Mmax_center=wL2(L2−d)−w2(L2)2M_{max\_center} = \frac{wL}{2}\left(\frac{L}{2}-d\right) - \frac{w}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^2
Mmax_center=wL2(L−2d2)−w2(L24)M_{max\_center} = \frac{wL}{2}\left(\frac{L-2d}{2}\right) - \frac{w}{2}\left(\frac{L^2}{4}\right)
Mmax_center=w(L−2d)L4−wL28M_{max\_center} = \frac{w(L-2d)L}{4} - \frac{wL^2}{8}
Mmax_center=2wL2−4wLd−wL28=wL2−4wLd8=wL(L−4d)8M_{max\_center} = \frac{2wL^2 - 4wLd - wL^2}{8} = \frac{wL^2 - 4wLd}{8} = \frac{wL(L-4d)}{8}

步驟 3：最小化絕對最大彎矩
樑中的彎矩有兩種類型：

  1. 懸臂區域的負彎矩：Mneg=−wd22M_{neg} = -\frac{wd^2}{2} (絕對值為 wd22\frac{wd^2}{2})
  2. 中間區域的最大正彎矩：Mpos=wL(L−4d)8M_{pos} = \frac{wL(L-4d)}{8} (僅當 L−4d>0L-4d > 0，即 d<L/4d < L/4 時為正)

我們需要最小化 ∣M∣max|M|_{max}。
絕對最大彎矩 ∣M∣max|M|_{max} 可能是 wd22\frac{wd^2}{2} (懸臂部分) 或 wL(L−4d)8\frac{wL(L-4d)}{8} (中間部分)。
為了使 ∣M∣max|M|_{max} 最小，我們希望這兩個絕對值相等，即：
∣−wd22∣=∣wL(L−4d)8∣\left|-\frac{wd^2}{2}\right| = \left|\frac{wL(L-4d)}{8}\right|
wd22=wL(L−4d)8\frac{wd^2}{2} = \frac{wL(L-4d)}{8}
（假設 d<L/4d < L/4，所以中間彎矩為正）
4d2=L(L−4d)4d^2 = L(L-4d)
4d2=L2−4Ld4d^2 = L^2 - 4Ld
4d2+4Ld−L2=04d^2 + 4Ld - L^2 = 0
這是一個關於 dd 的二次方程式。使用二次公式求解 dd：
d=−b±b2−4ac2ad = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
其中 a=4a=4, b=4Lb=4L, c=−L2c=-L^2。
d=−4L±(4L)2−4(4)(−L2)2(4)d = \frac{-4L \pm \sqrt{(4L)^2 - 4(4)(-L^2)}}{2(4)}
d=−4L±16L2+16L28d = \frac{-4L \pm \sqrt{16L^2 + 16L^2}}{8}
d=−4L±32L28d = \frac{-4L \pm \sqrt{32L^2}}{8}
d=−4L±42L8d = \frac{-4L \pm 4\sqrt{2}L}{8}
d=−1±22Ld = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} L
由於 dd 必須是正值（距離），我們取正根：
d=2−12Ld = \frac{\sqrt{2}-1}{2} L

我們需要檢查這個 dd 值是否滿足 d<L/4d < L/4 的假設。
2−12≈1.414−12=0.4142=0.207\frac{\sqrt{2}-1}{2} \approx \frac{1.414-1}{2} = \frac{0.414}{2} = 0.207
L/4=0.25LL/4 = 0.25 L
所以 d≈0.207L<0.25Ld \approx 0.207 L < 0.25 L。假設成立。
因此，使絕對最大彎矩最小的 dd 值為 d=2−12Ld = \frac{\sqrt{2}-1}{2} L。

步驟 4：計算最小的絕對最大彎矩
將 d=2−12Ld = \frac{\sqrt{2}-1}{2} L 代入懸臂部分的彎矩絕對值：
∣M∣max=wd22=w2(2−12L)2|M|_{max} = \frac{wd^2}{2} = \frac{w}{2} \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2} L\right)^2
∣M∣max=w2(2−1)24L2=w8(2−22+1)L2|M|_{max} = \frac{w}{2} \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{4} L^2 = \frac{w}{8} (2 - 2\sqrt{2} + 1) L^2
∣M∣max=w8(3−22)L2|M|_{max} = \frac{w}{8} (3 - 2\sqrt{2}) L^2
∣M∣max≈w8(3−2×1.414)L2=w8(3−2.828)L2=w8(0.172)L2≈0.0215wL2|M|_{max} \approx \frac{w}{8} (3 - 2 \times 1.414) L^2 = \frac{w}{8} (3 - 2.828) L^2 = \frac{w}{8} (0.172) L^2 \approx 0.0215 wL^2

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第 4 題5 分

  1. (a) Explain the terminology of "shear center" (or called flexural center) of an open thin-walled beam member. (5%)
    (b) As shown in Fig. 4, determine the location e of the shear center O for the tube having a slit along its length. (15%)
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核心觀念

剪力中心（shear center，又稱 flexural center）是指截面上的一個特殊點：外加橫向剪力若通過此點，構件只產生彎曲而不產生扭轉。

對於關於水平軸對稱的薄壁截面，剪力中心必位於水平對稱軸上。本題開口薄壁圓管的狹縫位於左側，因此剪力中心 OO 位於圓心右側，距圓心為 ee。

薄壁截面剪流公式為

q=VQIxtq=\frac{VQ}{I_x t}

其中：

  • VV：作用於截面的垂直剪力
  • QQ：截面一側面積對水平軸的一次矩
  • IxI_x：截面對水平軸的慣性矩
  • tt：薄壁厚度

(a) 剪力中心的定義

剪力中心是橫向剪力的作用線通過時，不會使薄壁構件產生扭轉的截面點。

換言之，若剪力未通過剪力中心，剪力作用線與剪力中心之間的偏心距會產生扭矩：

T=VeT=Ve

對於具有對稱軸的截面，剪力中心一定位於對稱軸上；對於封閉薄壁截面，剪力中心通常與形心重合，但本題為開口薄壁圓管，兩者不重合。

(b) 剪力中心位置 ee

設薄壁圓管的平均半徑為 rr，厚度為 tt。以圓心為原點，令圓周位置由角度 θ\theta 表示，狹縫位於左側，即 θ=π\theta=\pi 處。

考慮垂直剪力 VV。由狹縫處剪流為零，沿圓周由狹縫積分至角度 θ\theta：

Q(θ)=∫πθy dAQ(\theta) = \int_{\pi}^{\theta} y\,dA

其中

y=rsin⁡θ,dA=t ds=tr dθy=r\sin\theta, \qquad dA=t\,ds=tr\,d\theta

因此

Q(θ)=tr2∫πθsin⁡ϕ dϕ=−tr2(1+cos⁡θ)Q(\theta) = tr^2\int_{\pi}^{\theta}\sin\phi\,d\phi = -tr^2(1+\cos\theta)

取剪流大小：

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第 5 題15 分

  1. Determine the reaction at support B of the beam, as shown in Fig. 5. Take E=200E = 200 GPa and I=65×106I = 65 \times 10^6 mm². (15%)
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核心觀念

此題為「固定端—滾輪支承」的撐住懸臂梁，屬於一次超靜定梁。除了靜力平衡方程式外，還需使用支承處的變形相容條件：

δB=0\delta_B=0

梁長為 L=3 mL=3\ \text{m}。圖中左半段 1.5 m1.5\ \text{m} 受三角形分布載重，載重強度由 00 線性增加至 30  kN/m30\ \text{ kN/m}；右端另有集中力 15 kN15\ \text{kN}。

解題方法

以固定端 AA 為基準，先將梁視為懸臂梁，利用疊加法計算自由端 BB 的撓度，再由支承反力 RBR_B 造成的反向撓度抵消之。

設向上反力 RBR_B 作用於 BB 點。

1. 右端集中力造成的撓度

懸臂梁自由端受集中力 PP 時：

δB,P=PL33EI\delta_{B,P}=\frac{PL^3}{3EI}

代入 P=15 kNP=15\ \text{kN}、L=3 mL=3\ \text{m}：

δB,P=15(3)33EI=135EI\delta_{B,P} =\frac{15(3)^3}{3EI} =\frac{135}{EI}

2. 三角形分布載重造成的撓度

令 xx 自固定端 AA 向右量，三角形載重可表示為：

w(x)=301.5x=20x(0≤x≤1.5)w(x)=\frac{30}{1.5}x=20x \qquad (0\le x\le1.5)

懸臂梁上位置 xx 的微小載重 w(x) dxw(x)\,dx，對自由端撓度的貢獻為：

dδ=w(x) dx  x2(3L−x)6EId\delta =\frac{w(x)\,dx\;x^2(3L-x)}{6EI}

因此三角形載重造成的自由端撓度為：

δB,w=16EI∫01.520x⋅x2(3×3−x) dx\delta_{B,w} = \frac{1}{6EI} \int_0^{1.5} 20x\cdot x^2(3\times3-x)\,dx
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第 6 題15 分

  1. The steel bar AB has a rectangular cross section 20 mm × 30 mm along x and y axes, respectively. If this bar is pin connected at its ends, as shown in Fig. 6, determine the maximum allowable intensity w (N/m) of the distributed load that can be applied to BC without causing AB to buckle or yield. Take Est=200E_{st} = 200 GPa and σy=360\sigma_y = 360 MPa. (15%)
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核心觀念

本題考查：

  • 均布載重下簡支梁的支承反力。
  • 二力構件 ABAB 的軸向壓縮力。
  • 鋼柱的 Euler 彈性挫屈。
  • 軸向受壓降伏強度。
  • 矩形截面的最小慣性矩控制挫屈方向。

解題方法

梁 BCBC 長度為 5 m5\ \text{m}，承受全跨均布載重 ww。由對稱性，BB 點反力為

RB=RC=w(5)2=2.5wR_B=R_C=\frac{w(5)}{2}=2.5w

梁在 BB 點對桿件 ABAB 施加向下的力，因此桿件 ABAB 承受壓力：

PAB=2.5wP_{AB}=2.5w

桿件長度為

L=3 m=3000 mmL=3\ \text{m}=3000\ \text{mm}

兩端皆為鉸接，故有效長度因子 K=1K=1。

截面性質

截面尺寸為 20 mm×30 mm20\ \text{mm}\times 30\ \text{mm}，面積為

A=20(30)=600 mm2A=20(30)=600\ \text{mm}^2

依題目所示尺寸，兩主慣性矩為

Ix=20(30)312=45 000 mm4I_x=\frac{20(30)^3}{12}=45\,000\ \text{mm}^4 Iy=30(20)312=20 000 mm4I_y=\frac{30(20)^3}{12}=20\,000\ \text{mm}^4

挫屈會繞最小慣性矩方向發生，因此

Imin⁡=20 000 mm4I_{\min}=20\,000\ \text{mm}^4

挫屈限制

Euler 臨界挫屈力為

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