108 年 國立成功大學機械工程學系碩士班乙組《材料力學》

本題主要在考驗對材料力學基本名詞的理解。

(a) Shear Strain (剪應變)：
剪應變是指由於剪應力作用，物體內某一點的兩條互相垂直的線段，在原先垂直的狀態下，其中一條線段相對於另一條線段所發生的角度變化。它通常用符號 $\gamma$ 表示，單位是弧度 (radian)。對於小的應變，剪應變等於剪應力與材料剪彈性模數 (Shear Modulus, $G$) 的比值，即 $\gamma = \tau/G$。

(b) Brittle Materials (脆性材料)：
脆性材料是指在承受拉伸或壓縮應力時，在達到其極限強度之前，幾乎沒有明顯的塑性變形，一旦達到極限強度，就會突然斷裂的材料。

本題考驗對疊加原理 (Principle of Superposition) 的理解及其應用條件。

(a) Principle of Superposition (疊加原理)：
疊加原理指出，對於一個線性系統，若有多個獨立的載荷同時作用，則系統的總響應（例如位移、應力、力矩等）等於每個載荷單獨作用時所產生的響應的代數和。換句話說，我們可以將複雜的載荷情況分解為多個較簡單的載荷情況，分別計算其響應，然後將這些響應加總，即可得到總體響應。

(b) Conditions for Applying the Principle of Superposition (疊加原理的適用條件)：
為了能正確應用疊加原理，系統必須滿足以下兩個主要條件：

核心觀念

本題考查圓軸的複合受力，包括：

• 軸向力造成的正應力
• 橫向力造成的剪力與彎矩
• 齒輪切向力造成的扭矩
• 彎曲、軸向與扭轉應力的疊加

由圖讀得：

• 軸線為 $y$ 軸
• 齒輪受力分量：$F_x=100\ \text{lb}$、$F_y=50\ \text{lb}$、$F_z=200\ \text{lb}$
• 齒輪節圓半徑：$r=5\ \text{in.}$
• 齒輪作用線至截面 $B$ 的距離：$L=10\ \text{in.}$
• 軸直徑：$d=1\ \text{in.}$

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截面 $B$ 的內力與內力矩

以截面 $B$ 左側的軸段為自由體：

軸向力為

$$N_y=F_y=50\ \text{lb}$$

橫向剪力為

$$V_x=F_x=100\ \text{lb}$$ $$V_z=F_z=200\ \text{lb}$$

兩個橫向力對 $B$ 產生彎矩：

$$M_x=F_zL=(200)(10)=2000\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$ $$M_z=F_xL=(100)(10)=1000\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$

合成彎矩為

$$M_b=\sqrt{M_x^2+M_z^2}$$ $$M_b=\sqrt{2000^2+1000^2} =2236\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$

齒輪的切向力 $F_z=200\ \text{lb}$ 作用於半徑 $5\ \text{in.}$ 處，因此軸受到扭矩

$$T_y=F_zr=(200)(5) =1000\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$

因此，截面 $B$ 的主要內部負載為

$$N_y=50\ \text{lb},\qquad V_x=100\ \text{lb},\qquad V_z=200\ \text{lb}$$ $$M_x=2000\ \text{lb}\cdot\text{in.},\qquad M_z=1000\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$ $$T_y=1000\ \text{lb}\cdot\text{in.}$$

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截面幾何性質

截面面積：

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(1)^2}{4} =0.7854\ \text{in.}^2$$

圓截面慣性矩：

$$I_x=I_z=\frac{\pi d^4}{64} =\frac{\pi(1)^4}{64} =0.04909\ \text{in.}^4$$

極慣性矩：

$$J=\frac{\pi d^4}{32} =0.09817\ \text{in.}^4$$

外表面距離軸心：

$$c=\frac d2=0.5\ \text{in.}$$

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正應力

軸向力造成的平均正應力：

$$\sigma_N=\frac{N_y}{A} =\frac{50}{0.7854} =63.7\ \text{psi} =0.0637\ \text{ksi}$$

彎曲造成的最大正應力：

$$\sigma_{b,\max} =\frac{M_bc}{I} =\frac{(2236)(0.5)}{0.04909} =22\,780\ \text{psi} =22.8\ \text{ksi}$$

核心觀念

本題考查受軸向壓力的梁柱（beam-column）。梁的橫向變形會使軸力 $P$ 產生附加彎矩，因此控制方程同時包含彎曲剛度 $EI$ 與軸力效應。邊界條件則由簡支端的「撓度為零、彎矩為零」決定。

解題方法

(a) 由微段平衡推導控制方程

取梁上一段微小區間。令 $v(x)$ 為橫向撓度、$M(x)$ 為彎矩、$V(x)$ 為剪力，並採用使向下均布載重 $w$ 為正的符號慣例。由彎矩與軸力在變形梁上的平衡關係，

$$V=\frac{dM}{dx}+P\frac{dv}{dx}.$$

微段的垂直力平衡為

$$\frac{dV}{dx}+w=0.$$

Euler–Bernoulli 梁的彎矩與撓度關係為

$$M=EI\frac{d^2v}{dx^2}.$$

將前兩式合併，並代入彎矩關係：

$$\frac{d^2M}{dx^2}+P\frac{d^2v}{dx^2}=-w,$$

因此得到

$$EI\frac{d^4v}{dx^4}+P\frac{d^2v}{dx^2}=-w.$$

(b) 求積分常數

簡支梁兩端的撓度為零，且端點沒有彎矩。令

$$k=\sqrt{\frac{P}{EI}},\qquad \theta=kL.$$

由彎矩關係 $M=EI v''$，四個邊界條件為

$$v(0)=v(L)=0,\qquad v''(0)=v''(L)=0.$$

題目給定的解為

$$v=C_1\cos(kx)+C_2\sin(kx)+C_3x+C_4-\frac{w}{2P}x^2.$$

其二階導數為

$$v''=-k^2C_1\cos(kx)-k^2C_2\sin(kx)-\frac{w}{P}.$$

先用左端彎矩條件 $v''(0)=0$：

$$-k^2C_1-\frac{w}{P}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1=-\frac{w}{Pk^2}=-\frac{wEI}{P^2}.$$

再用右端彎矩條件 $v''(L)=0$：

$$-k^2(C_1\cos\theta+C_2\sin\theta)-\frac{w}{P}=0.$$

因為 $-w/(Pk^2)=C_1$，可得

$$C_2\sin\theta=C_1(1-\cos\theta),$$

故在 $\sin\theta\ne 0$ 時，

核心觀念

本題考查：

• Castigliano 第二定理
• 圓環彎曲應變能
• 無摩擦接觸所代表的支承反力方向
• 以彎矩函數建立應變能，再對外力 $P$ 微分求位移

Castigliano 第二定理為

$$\delta_A=\frac{\partial U}{\partial P},$$

其中 $U$ 為結構因彎曲所儲存的應變能，$\delta_A$ 為載重 $P$ 作用點沿力方向的位移。

本題只給定彎曲剛度 $EI$，因此忽略環的軸向變形，只計算彎曲應變能。

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解題方法

圓環半徑為 $r$，頂端 $A$ 受向下集中力 $P$。由於底部與地面為無摩擦接觸，地面只能提供垂直反力，因此底部反力為

$$R=P.$$

取圓環頂端 $A$ 為 $\theta=0$，沿圓環量測角度 $\theta$。圓環上任一截面的弧長微分為

$$ds=r\,d\theta.$$

對該截面取上方部分自由體，頂端集中力 $P$ 對截面的力矩為

$$M(\theta)=Pr\sin\theta.$$

因此彎曲應變能為

$$U=\oint \frac{M^2}{2EI}\,ds.$$

代入 $M(\theta)=Pr\sin\theta$ 與 $ds=r\,d\theta$：

$$U = \int_0^{2\pi} \frac{(Pr\sin\theta)^2}{2EI} (r\,d\theta).$$

整理得