115 年 國立成功大學機械工程學系碩士班乙組《材料力學》

核心觀念

在截面 $A$ 先求軸力、剪力與彎矩，再以軸向正應力、雙向彎曲正應力及橫向剪應力求出 $A$ 點的平面應力狀態，最後用應力轉換求主應力與最大面內剪應力。

解題方法

依圖讀取：柱底固定，頂端受 $900\ \text{lb}$ 向下（$-z$）、$400\ \text{lb}$ 沿 $+x$、$500\ \text{lb}$ 沿 $-y$；截面為 $6\ \text{in}\times6\ \text{in}$。截面 $A$ 位於頂端下方 $9\ \text{in}$，在 $x=+3\ \text{in}$ 的側面，且距 $y=+3\ \text{in}$ 邊緣 $1\ \text{in}$，所以 $A$ 點座標為 $(x_A,y_A)=(3,2)\ \text{in}$。

以 $A$ 所在截面切開，頂端外力對截面的合力為

$$N=-900\ \text{lb},\qquad V_x=400\ \text{lb},\qquad V_y=-500\ \text{lb}.$$

頂端至截面的距離為 $9\ \text{in}$，故外力對截面的力矩為

$$\mathbf M =(9\mathbf k)\times(400\mathbf i-500\mathbf j-900\mathbf k) =4500\mathbf i+3600\mathbf j\ \text{lb}\cdot\text{in}.$$

因此 $M_x=4500\ \text{lb}\cdot\text{in}$、$M_y=3600\ \text{lb}\cdot\text{in}$，且力的作用線通過截面形心，繞柱軸的扭矩 $T=0$。

截面面積與形心慣性矩為

$$A=6(6)=36\ \text{in}^2,\qquad I_x=I_y=\frac{6(6)^3}{12}=108\ \text{in}^4.$$

截面上的軸向正應力由軸力與雙向彎矩共同造成：

$$\sigma_z =\frac{N}{A}-\frac{M_yx}{I_y}+\frac{M_xy}{I_x}.$$

代入 $A$ 點座標：

$$\sigma_z =\frac{-900}{36} -\frac{3600(3)}{108} +\frac{4500(2)}{108} =-41.67\ \text{psi}.$$

核心觀念

木材與鋼材緊密結合後共同彎曲，兩種材料的曲率相同，但因彈性模數不同，同一高度的正應力也不同。本題以轉換斷面法將鋼材換算成等效木材斷面，求出中性軸與慣性矩，再用彎曲公式計算應力：

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

轉換斷面中的鋼材應力，則為同位置等效木材應力的 $E_{st}/E_w$ 倍。

解題方法

由 Fig. 2 可讀得：鋼槽外寬為 $15\ \text{in}$、總高為 $4\ \text{in}$，鋼板厚度為 $0.5\ \text{in}$；木材核心斷面為 $14\times3.5\ \text{in}$。鋼槽由底板 $15\times0.5\ \text{in}$ 和兩側壁組成；計算側壁時取底板上方的 $0.5\times3.5\ \text{in}$，避免與底板重複計算。外加彎矩為 $1200\ \text{lb·ft}$。

以木材為基準，鋼材的轉換係數為

$$n=\frac{E_{st}}{E_w} =\frac{29{,}000}{1600} =18.125$$

取鋼槽底面為 $y=0$。木材面積與形心位置為

$$A_w=14(3.5)=49\ \text{in}^2, \qquad y_w=0.5+\frac{3.5}{2}=2.25\ \text{in}$$

鋼材分成底板與兩側壁，其面積及形心位置分別為：底板 $A_b=15(0.5)=7.5\ \text{in}^2$、$y_b=0.25\ \text{in}$；每片側壁 $A_s=0.5(3.5)=1.75\ \text{in}^2$、$y_s=2.25\ \text{in}$。轉換斷面總面積為

$$A'=49+18.125\bigl[7.5+2(1.75)\bigr] =248.375\ \text{in}^2$$

轉換斷面的中性軸位置為

$$\bar y = \frac{49(2.25)+18.125\left[7.5(0.25)+2(1.75)(2.25)\right]} {248.375} =1.155\ \text{in}$$

核心觀念

剪力中心是橫向剪力作用時，不會使薄壁構件產生扭轉的作用點。求剪力中心位置，可先用剪流公式求出各壁段的剪力分布，再將剪流對 web 中線產生的扭矩，等同於合剪力作用在偏心距 $e$ 所產生的扭矩。

截面對水平軸對稱，因此剪力中心位於水平對稱軸上。圖中四片向左伸出的翼板造成剪流扭矩，剪力中心則位於 web 右側。

解題方法

圖中 web 位於右側，四片水平翼板向左伸出；以 web 中線為 $x=0$、水平對稱軸為 $z=0$，四片翼板中心線分別位於 $z=\pm L$、$z=\pm L/2$，每片長度為 $d$、厚度為 $t$。圖中的 $O$ 位於 web 右方的水平軸上，$e$ 是 web 到 $O$ 的距離。

施加垂直剪力 $V$。先計算截面對水平 centroidal 軸的慣性矩 $I_x$。在高度 $z_i$ 的翼板上，從自由端往 web 量距離 $u$；該段面積對水平軸的一次矩為

$$Q_i(u)=t z_i u$$

依剪流關係，翼板的水平剪流分量為

$$q_i(u)=-\frac{VQ_i(u)}{I_x} =-\frac{Vt z_i u}{I_x}$$

負號表示剪流方向與所選的水平正方向相反。

薄壁近似下，截面的慣性矩由 web 與四片翼板組成：

$$I_x =t\int_{-L}^{L}z^2\,dz +td\sum_i z_i^2$$

四片翼板中心線高度平方和為

$$\sum_i z_i^2 =L^2+L^2+\left(\frac L2\right)^2+\left(\frac L2\right)^2 =\frac{5L^2}{2}$$

因此

核心觀念

此題考查受側向拘束的三維應力狀態，以及最大扭曲能理論（von Mises 降伏準則）。U 形槽的側壁限制焊錫塊在槽寬方向膨脹；沿槽長方向的側面自由，因此該方向正應力為零。光滑接觸表示側壁不傳遞剪應力。

解題方法

令 $z$ 軸沿外力 $P$ 方向，$x$ 軸沿受拘束的槽寬方向，$y$ 軸沿自由方向。取壓應力為負，則

$$\sigma_z=-\frac{P}{A},\qquad \sigma_y=0,\qquad \tau_{ij}=0$$

其中截面積為

$$A=5\times5=25\ \text{mm}^2$$

側壁限制槽寬方向變形，所以 $\varepsilon_x=0$。由廣義虎克定律，

$$\varepsilon_x=\frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\right]=0$$

代入 $\sigma_y=0$，得

$$\sigma_x=\nu\sigma_z$$

最大扭曲能理論要求等效 von Mises 應力達到材料降伏應力：

核心觀念

兩端固定時，$A$、$B$ 間的總變形為零。集中力使 $C$ 點向左移，因此 $AC$ 受壓、$CB$ 受拉。材料達降伏後採理想彈塑性模型：應力維持在降伏應力，超過降伏應變的部分成為塑性應變。

移除外力與支承後，桿件無軸力，彈性應變恢復為零；留下的塑性應變決定永久長度變化。

解題方法

由降伏應力與降伏應變求彈性模數：

$$E=\frac{\sigma_Y}{\varepsilon_Y} =\frac{100\ \text{MPa}}{0.001} =100\,000\ \text{MPa}$$

$CB$ 剛達拉伸降伏，因此其總應變為

$$\varepsilon_{CB}=+0.001$$

兩端固定，故兩段的總變形相加為零：

$$\varepsilon_{AC}(2\ \text{m})+\varepsilon_{CB}(3\ \text{m})=0$$

代入 $\varepsilon_{CB}=0.001$：

$$\varepsilon_{AC} =-\frac{3}{2}(0.001) =-0.0015$$

核心觀念

本題考固定端梁的超靜定分析與 Castigliano 定理。先把兩端彎矩視為冗力，利用固定端轉角為零求出冗力；再於跨中加入虛擬集中力 $Q$，以 $\partial U/\partial Q$ 求最大撓度。梁的彎曲應變能為

$$U=\int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI}\,dx$$

解題方法

讀圖可知：梁長為 $L$、全梁 $EI$ 為常數，$A$、$B$ 兩端皆固定；兩個向下集中力各為 $P$，分別距兩端 $a$，且左右對稱，$a=0.3L$。

先以兩端簡支梁作為基本結構，並令 $M_0$ 為兩端固定所需的對稱負彎矩大小。簡支梁在兩個 $P$ 作用下的彎矩圖為

$$M_P(x)= \begin{cases} Px, & 0\le x\le a,\\ Pa, & a\le x\le L-a,\\ P(L-x), & L-a\le x\le L. \end{cases}$$

加入固定端彎矩後，梁內彎矩為 $M(x)=M_P(x)-M_0$。由 Castigliano 定理，對稱端矩冗力所對應的端部轉角組合須為零；由於結構與荷重對稱，此條件使兩端轉角皆為零。因此

$$\frac{\partial U}{\partial M_0} =-\frac{1}{EI}\int_0^L\left(M_P-M_0\right)\,dx=0.$$

簡支梁彎矩圖的面積為

$$\int_0^L M_P\,dx =\frac{Pa^2}{2}+Pa(L-2a)+\frac{Pa^2}{2} =Pa(L-a).$$

所以

$$M_0=\frac{Pa(L-a)}{L}.$$

代入 $a=0.3L$ 得

$$M_0=0.3(0.7)PL=0.21PL.$$

將 $M_0$ 代回相容條件，確有

$$\int_0^L(M_P-M_0)\,dx =Pa(L-a)-\frac{Pa(L-a)}{L}L=0,$$

故固定端轉角條件成立。

接著在跨中 $C$ 加入向下虛擬力 $Q$。它在簡支基本結構中造成的單位彎矩函數為

$$m(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0\le x\le \dfrac{L}{2},\\[4pt] \dfrac{L-x}{2}, & \dfrac{L}{2}\le x\le L. \end{cases}$$

令 $Q=0$，跨中向下撓度為