111 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丁組《材料力學》

核心觀念

在點 $A$ 的截面，垂直構件軸線為桿件的縱向。外力 $400\ \text{N}$ 對截面造成：

• 橫向剪力 $V=400\ \text{N}$
• 彎矩
• 無軸力，因此無平均正應力
• 圖示力偶與外力造成的彎矩方向相同

點 $A$ 位於矩形截面下緣，因此理想矩形截面邊界上的橫向剪應力為零。故 $A$ 點僅需考慮彎曲正應力。

截面幾何資料

由圖得矩形截面：

$$b=150\ \text{mm},\qquad h=50\ \text{mm}$$

彎曲使應力沿著 $150\ \text{mm}$ 方向變化，因此關於 $z$ 軸的慣性矩為

$$I_z=\frac{50(150)^3}{12} =1.40625\times10^7\ \text{mm}^4$$

點 $A$ 距截面右側 $50\ \text{mm}$，故其距形心的位置為

$$x_A=\frac{150}{2}-50=25\ \text{mm}$$

截面彎矩

截面 $A$ 上方至水平力作用線的垂直距離為 $2\ \text{m}$，因此

$$M_A=400(2)+350 =1150\ \text{N}\cdot\text{m}$$

換算為 $\text{N}\cdot\text{mm}$：

$$M_A=1.15\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

點 $A$ 的正應力

彎曲正應力為

$$\sigma_A=\frac{M_Ax_A}{I_z}$$

代入：

核心觀念

本題考查受拘束薄板的熱應力。A-36 鋼板在升溫後，若熱膨脹量超過四周間隙，鋼板便會與剛性約束接觸，產生壓縮應力。

已知：

$$E=29(10^3)\ \text{kip/in}^2=29000\ \text{ksi}$$ $$\nu=0.32,\qquad \alpha=6.60\times10^{-6}/{}^\circ\text{F}$$ $$\Delta T=100^\circ\text{F}$$

由於 $z$ 方向無應力：

$$\sigma_z=0$$

因此採用平面應力之熱彈性關係式：

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}+\alpha\Delta T$$ $$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}+\alpha\Delta T$$

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解題方法

1. 判斷兩方向是否會接觸剛性約束

鋼板尺寸為 $8\ \text{in}\times6\ \text{in}$。

$x$ 方向自由熱膨脹量：

$$\Delta L_x^{(T)} =\alpha\Delta T(8) =(6.60\times10^{-6})(100)(8) =0.00528\ \text{in}$$

右側間隙為 $0.0025\ \text{in}$，因此：

$$0.00528>0.0025$$

故 $x$ 方向會接觸約束。

$y$ 方向自由熱膨脹量：

$$\Delta L_y^{(T)} =\alpha\Delta T(6) =(6.60\times10^{-6})(100)(6) =0.00396\ \text{in}$$

上側間隙為 $0.0015\ \text{in}$，因此：

$$0.00396>0.0015$$

故 $y$ 方向也會接觸約束。

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2. 求接觸後的總應變

接觸後，鋼板的總變形受到間隙限制：

$$\varepsilon_x=\frac{0.0025}{8}=0.0003125$$ $$\varepsilon_y=\frac{0.0015}{6}=0.0002500$$

熱應變為：

$$\varepsilon_T=\alpha\Delta T =(6.60\times10^{-6})(100) =0.000660$$

因此機械應變為：

核心觀念

本題考查薄壁封閉圓管的扭轉強度。對相同材料與允許剪應力而言，管壁最薄處最容易先達到剪降伏，因此扭轉承載能力與最小壁厚 $t_{\min}$ 成正比。

同心圓管的壁厚為

$$t_0=a-b$$

其中 $a$ 為外半徑、$b$ 為內半徑。

解題方法

內圓偏心距為 $e$ 時，內圓在最靠近外圓的一側，其邊界距外圓心為 $b+e$，故最小壁厚為

$$t_{\min}=a-(b+e)=a-b-e$$

題目給定

$$e=\frac{1}{4}(a-b)$$

代入得

$$t_{\min} =(a-b)-\frac{1}{4}(a-b) =\frac{3}{4}(a-b)$$

核心觀念

此題為「一端簡支、另一端固定」的撐桿梁，屬於一次超靜定結構。除使用靜力平衡方程式外，還需使用支承 $A$ 的變形相容條件：

$$\delta_A=0$$

圖中 $M_0$ 取逆時針為正，梁長為 $L$，集中力 $P$ 作用於中央 $C$。

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解題方法：力法

取 $A_y$ 為支承 $A$ 的垂直反力，將 $A_y$ 視為冗餘力。先將 $B$ 視為固定端，形成長度 $L$ 的懸臂梁。

在自由端 $A$：

• 由端點反力 $A_y$ 造成的位移：

$$\delta_{A,A_y}=\frac{A_yL^3}{3EI}$$

• 由中央集中力 $P$ 造成的位移：

$$\delta_{A,P} =-\frac{P(L/2)^2[3L-(L/2)]}{6EI} =-\frac{5PL^3}{48EI}$$

• 由端點力矩 $M_0$ 造成的位移：

$$\delta_{A,M_0} =-\frac{M_0L^2}{2EI}$$

由於 $A$ 為支承，垂直位移必須為零：

$$\frac{A_yL^3}{3EI} -\frac{5PL^3}{48EI} -\frac{M_0L^2}{2EI}=0$$

因此

$$\boxed{A_y=\frac{5P}{16}+\frac{3M_0}{2L}}$$

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支承反力

由垂直力平衡：

$$A_y+B_y-P=0$$

所以

$$\boxed{B_y=\frac{11P}{16}-\frac{3M_0}{2L}}$$

水平方向沒有外力，因此

$$\boxed{B_x=0}$$

以 $B$ 點取力矩，逆時針為正：

$$M_0+\frac{PL}{2}-A_yL+M_B=0$$

故固定端反力矩為

$$M_B=A_yL-\frac{PL}{2}-M_0$$

代入 $A_y$：

$$\boxed{M_B=\frac{M_0}{2}-\frac{3PL}{16}}$$

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剪力圖

令 $x$ 自 $A$ 向右量，$C$ 位於 $x=L/2$。

在 $A$ 至 $C$：

$$V(x)=A_y =\frac{5P}{16}+\frac{3M_0}{2L} \qquad \left(0<x<\frac L2\right)$$

在 $C$ 至 $B$：

$$V(x)=A_y-P =-\frac{11P}{16}+\frac{3M_0}{2L} \qquad \left(\frac L2<x<L\right)$$

因此剪力圖為：

核心觀念

本題為薄壁箱型梁的複合應力分析：

1. 彎矩 $M_x$ 造成梁軸向正應力
   $\sigma_z=-\frac{M_x y}{I_x}$
2. 剪力 $V_y$ 造成薄壁上的剪應力
   $\tau_{zy}=\frac{V_y Q}{I_x t}$

依圖採薄壁中線模型，箱型截面尺寸為：

• 外尺寸：$80\text{ mm}\times100\text{ mm}$
• 壁厚：$t=10\text{ mm}$
• 中線尺寸：$60\text{ mm}\times80\text{ mm}$
• $A$ 位於左側腹板中線，$B$ 位於上側翼板中線。

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截面慣性矩

取 $x$ 軸為水平軸，截面慣性矩為

$$I_x=\frac{80(100)^3-60(80)^3}{12}$$ $$I_x=4.107\times10^6\ \text{mm}^4$$

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A 點應力

彎曲正應力

$A$ 位於中性軸上，因此 $y_A=0$：

$$\sigma_{z,A}=-\frac{(12\times10^6)(0)}{4.107\times10^6}=0$$

剪應力

在 $A$ 處，取中性軸以上的薄壁面積計算一次面積矩：

$$Q_A=(60)(10)(40) +2(10)(40)(20)$$ $$Q_A=4.00\times10^4\ \text{mm}^3$$

因此

$$\tau_A= \frac{(8000)(4.00\times10^4)} {(4.107\times10^6)(10)}$$ $$\tau_A=7.79\ \text{MPa}$$

所以 $A$ 點為純剪應力狀態：

核心觀念

本題是一次超靜定梁，利用支承 $A$ 的垂直反力作為冗餘力，再以 Castigliano 定理求出相容條件。

梁長設為 $L$，$C$ 位於跨距中點，因此 $BC=CA=L/2$。取圖示外加力偶 $M_0$ 為逆時針，集中力 $P$ 向下；支承 $A$、$B$ 的垂直反力分別為 $R_A$、$R_B$。

Castigliano 定理為

$$\frac{\partial U}{\partial R_A}=\delta_A$$

由於 $A$ 為支承點，垂直位移必須為零：

$$\delta_A=0$$

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解題方法：以 $R_A$ 為冗餘力

先將支承 $A$ 移除，把梁視為右端 $B$ 固定、左端 $A$ 自由的懸臂梁。

在自由端 $A$：

1. $R_A$ 造成向上位移
2. $P$ 造成向下位移
3. $M_0$ 造成向上位移

各項自由端位移如下：

$$\delta_A^{(R_A)}=\frac{R_A L^3}{3EI}$$

集中力 $P$ 作用於距固定端 $B$ 為 $L/2$ 的位置，造成自由端位移

$$\delta_A^{(P)} =-\frac{P a^2(3L-a)}{6EI}, \qquad a=\frac{L}{2}$$

因此

$$\delta_A^{(P)} =-\frac{P\left(\frac{L}{2}\right)^2 \left(3L-\frac{L}{2}\right)}{6EI} =-\frac{5PL^3}{48EI}$$

自由端力偶 $M_0$ 造成的位移為

$$\delta_A^{(M_0)}=\frac{M_0L^2}{2EI}$$

套用相容條件 $\delta_A=0$：

$$\frac{R_A L^3}{3EI} -\frac{5PL^3}{48EI} +\frac{M_0L^2}{2EI}=0$$

乘上 $EI/L^3$，得

$$\frac{R_A}{3}-\frac{5P}{48} +\frac{M_0}{2L}=0$$