112 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丁組《材料力學》

此題考驗材料力學中的應力分析，特別是偏心受壓桿件的應力計算。當負載偏心施加時，除了平均壓力外，還會產生彎矩，進而導致應力分布不均。

核心觀念：偏心受壓桿件的應力分析。
總應力 $\sigma_{total}$ 為平均應力 $\sigma_{avg}$ 與彎曲應力 $\sigma_{bending}$ 之和。
$\sigma_{total} = \sigma_{avg} + \sigma_{bending}$

題目假設負載 $P$ 以偏心距 $e$ 施加於中空圓柱（椎骨），要求在不發生壓碎破壞（即最大壓應力 $\sigma_{max}$）之前，能承受的最小力 $P$。椎骨保持彈性。

1. 計算平均應力 ($\sigma_{avg}$):
   負載 $P$ 均勻分佈在圓柱的橫截面積 $A$ 上。
   $A = \pi (r_o^2 - r_i^2)$
   $\sigma_{avg} = \frac{P}{A} = \frac{P}{\pi (r_o^2 - r_i^2)}$
   此為壓應力，若以正值表示大小，則為 $P/A$。

2. 計算彎曲應力 ($\sigma_{bending}$):
   偏心力 $P$ 在圓心處產生一個大小為 $M = P \times e$ 的彎矩。此彎矩會在中性軸（圓柱中心線）兩側產生彎曲應力。
   彎曲應力公式為 $\sigma_{bending} = \frac{My}{I}$，其中 $M$ 是彎矩，$y$ 是距離中性軸的距離，$I$ 是橫截面的面積慣性矩。
   對於中空圓柱，其面積慣性矩 $I$ 為：
   $I = \frac{\pi}{4} (r_o^4 - r_i^4)$
   最大彎曲應力發生在離中性軸最遠的點，即外緣處，此時 $y = r_o$。
   $\sigma_{bending, max} = \frac{(P \times e) r_o}{I} = \frac{P e r_o}{\frac{\pi}{4} (r_o^4 - r_i^4)}$

3. 計算總應力 ($\sigma_{total}$):
   由於是壓應力，我們考慮應力最大（最負）的位置。此位置通常是偏心力作用側的同一側（即應力疊加）。
   最大壓應力發生在外緣處，距離中性軸最遠，且與平均壓應力同號。

此題考驗梁的剪力中心（Shear Center）概念。剪力中心是梁橫截面上的某一點，當剪力通過此點時，梁不會產生扭轉。對於對稱截面，剪力中心通常在對稱軸上。對於非對稱截面，則需要計算。

核心觀念：剪力中心（Shear Center）的計算。

圖 2 顯示的橫截面是一個彎曲的薄板，厚度為 $t$。這個截面並非典型的工字梁或槽鋼，而是由一個半圓弧和兩個直邊組成。我們需要確定這個截面的剪力中心位置。

觀察圖 2，截面具有一條對稱軸，即通過圓心 $O$ 且垂直於紙面的軸。然而，題目要求的是求剪力中心 $O$ 的位置，並且圖中標示的 $O$ 實際上就是圓心。這裡的 $O$ 應該是指剪力中心，而不是圖中的圓心。讓我們假設圖中的 $O$ 指的就是要找的剪力中心。

若我們假設圖中的 $O$ 就是剪力中心，並且它位於圓弧的圓心，那麼我們需要進一步分析。
這個截面可以被視為由一個彎曲的薄壁圓筒的一部分組成。

求解步驟：

1. 識別截面特徵:
   截面由一個厚度為 $t$ 的薄壁組成，外半徑為 $r_o$，內半徑為 $r_i$。它形成了一個約為四分之一圓的彎曲形狀。圖中標示的 $O$ 是這個圓弧的圓心。

2. 理解剪力中心的定義:
   剪力中心是梁橫截面上的某一點，當外力通過此點時，梁的橫截面只發生彎曲而不發生扭轉。

3. 分析截面的對稱性:
   這個截面本身並沒有完全的對稱性，但它有一個對稱軸，即圖中圓心 $O$ 連接到外圓弧頂點的直線。如果剪力作用方向垂直於這條對稱軸，則剪力中心可能在這個對稱軸上。

4. 計算剪力引起的彎矩:
   假設我們有一個垂直向下的剪力 $V$ 作用在某一點。為了使截面不產生扭轉，這個剪力必須作用在剪力中心上。
   我們需要考慮由剪力在不同位置產生的扭矩。

   這個問題的圖示似乎是將一個薄板彎曲成一個類似於四分之一圓柱殼的形狀。
   圖中標示的 $O$ 是圓心，$e$ 是偏心距，但 $e$ 的用途在此題中不明確。
   圖中的 $t$ 是板的厚度，$r$ 是變數半徑，$r_o$ 是外半徑。

   假設題目意圖是尋找這個截面的剪力中心。

   對於薄壁梁，剪力中心的位置可以通過計算剪力在橫截面上引起的彎矩來確定。
   假設剪力 $V$ 作用在剪力中心 $(x_c, y_c)$。
   則任何一點 $(x, y)$ 處的剪應力 $\tau$ 會在橫截面上產生一個扭矩 $dM_t = r \tau dA$，其中 $r$ 是該點到剪力中心的距離。
   總扭矩應為零。

   另一種方法是考慮由剪力引起的剪應力分布。
   對於圖示的這種半圓弧形狀，我們可以將其近似為由兩個垂直的彎曲部分和一個彎曲的薄壁圓筒組成。

   圖示的疑點:
   圖 2 的截面圖似乎是將一個厚度為 $t$ 的薄板彎曲成一個四分之一圓形狀，其圓心為 $O$。
   外半徑為 $r_o$。
   圖中還出現了 $r$ 和 $e$。$r$ 可能是變動的半徑，而 $e$ 可能是偏心距。
   但問題是要求剪力中心 $O$ 的位置。如果 $O$ 就是圓心，那麼這個圓心就是剪力中心嗎？

   標準薄壁梁剪力中心計算:
   一般而言，對於薄壁開放截面，剪力中心的位置需要通過積分來計算。
   假設有一個剪力 $V$ 沿著某個方向作用。剪應力 $\tau = \frac{VQ}{It}$，其中 $Q$ 是靜力矩。
   由剪應力產生的扭矩 $dM_t = r \tau dA$。

   考慮圖示的截面:
   這個截面可以被看作是由兩個直的薄壁梁（上下邊緣）和一個彎曲的薄壁梁（圓弧部分）組成。
   假設剪力 $V$ 垂直向下作用。

   簡化分析:
   若截面是彎曲的，且有一個圓心 $O$，我們需要確定剪力作用在哪裡才不會產生扭轉。

核心觀念

本題考查：

• 刚架接頭的轉角相容條件：四個角點均維持直角，故接頭轉角為零。
• 忽略軸向變形，因此各構件不產生軸向伸縮所造成的接頭平移。
• 斜率—撓度法中的固定端彎矩。
• 構件為等截面，故 $EI$ 為常數。

圖中為邊長 $L$ 的正方形剛架，每一邊承受均佈載重 $w$。

解題方法

由對稱性，四邊的受力與變形完全相同。對任一邊視為兩端轉角皆為零、兩端沒有相對橫向位移的固定端梁。

考慮其中一邊，均佈載重造成的固定端彎矩為

$$M_{\mathrm{F}}=\frac{wL^2}{12}.$$

亦可由斜率—撓度公式表示。對一根無接頭轉角、無側移的構件：

$$M_{AB} = \frac{2EI}{L}(2\theta_A+\theta_B-3\psi) +M_{AB}^{F},$$ $$M_{BA} = \frac{2EI}{L}(2\theta_B+\theta_A-3\psi) +M_{BA}^{F}.$$

本題中

$$\theta_A=\theta_B=0,\qquad \psi=0,$$

且均佈載重的固定端彎矩大小為

$$\left|M_{AB}^{F}\right| = \left|M_{BA}^{F}\right| = \frac{wL^2}{12}.$$

核心觀念

兩層材料黏結後，截面上的軸向應變必須連續；受熱時，各材料原本想產生不同的自由熱應變 $\alpha_i\Delta T$，黏結約束會使梁同時產生軸向伸縮與彎曲。沒有外加軸力、彎矩，因此整個截面的軸力與彎矩合力均為零。

解題方法

取兩層材料的接合面為 $y=0$，向上為正。材料 1 位於接合面上方，材料 2 位於下方。依平截面假設，兩層的軸向應變可寫成

$$\varepsilon(y)=\varepsilon_0+\kappa y$$

其中 $\varepsilon_0$ 是接合面處的軸向應變，$\kappa$ 是曲率。各層的應力為

$$\sigma_i(y)=E_i\left[\varepsilon_0+\kappa y-\alpha_i\Delta T\right]$$

令 $A_i$ 為第 $i$ 層截面積，$S_i=\int_{A_i}y\,dA$，$J_i=\int_{A_i}y^2\,dA$（後兩者均以接合面為基準）。由軸力與彎矩合力為零：

$$\begin{aligned} \left(\sum_i E_iA_i\right)\varepsilon_0 +\left(\sum_i E_iS_i\right)\kappa &=\Delta T\sum_i E_iA_i\alpha_i,\\ \left(\sum_i E_iS_i\right)\varepsilon_0 +\left(\sum_i E_iJ_i\right)\kappa &=\Delta T\sum_i E_iS_i\alpha_i. \end{aligned}$$

定義

核心觀念

本題考查受軸向壓縮之固定端梁的 Euler 挫屈。當壓縮力 $P$ 增加至某一臨界值時，梁會由原本的直線平衡狀態轉變為彎曲平衡狀態，此時的載重稱為臨界挫屈載重 $P_{cr}$。

採用 Euler–Bernoulli 梁理論時，基本關係為

$$M(x)=-EI\frac{d^2 y}{dx^2}$$

其中 $y(x)$ 為梁的側向撓度。軸向壓縮力造成的幾何剛度效應使控制方程式成為

$$EI\frac{d^4y}{dx^4}+P\frac{d^2y}{dx^2}=0$$

固定端梁的兩端皆不得產生位移與轉角，因此有效長度為

$$L_e=\frac{L}{2}$$

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解題方法

取梁軸線方向為 $x$，範圍為 $0\leq x\leq L$，側向撓度為 $y(x)$。

（a）梁方程式與邊界條件

對受壓梁進行側向變形分析，彎矩與撓度關係為

$$M=-EIy''$$

壓縮力 $P$ 作用於變形後的梁軸線，產生附加彎矩。線性化後可得挫屈微分方程式

$$EIy''''+Py''=0$$

或寫成

$$y''''+\frac{P}{EI}y''=0$$

固定端的邊界條件為：

左端 $x=0$：

$$y(0)=0,\qquad y'(0)=0$$

右端 $x=L$：

$$y(L)=0,\qquad y'(L)=0$$

因此完整問題為

$$EIy''''+Py''=0$$

搭配

$$y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0$$

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（b）求臨界載重 $P_{cr}$

令

$$k^2=\frac{P}{EI}$$

則控制方程式為

$$y''''+k^2y''=0$$

其通解可寫成

$$y=C_1+C_2x+C_3\cos kx+C_4\sin kx$$

利用左端固定條件 $y(0)=0$ 與 $y'(0)=0$，可將解整理為

$$y=A(1-\cos kx)+B(\sin kx-kx)$$

再令

$$q=kL$$

右端固定條件 $y(L)=0$ 與 $y'(L)=0$ 給出

$$A(1-\cos q)+B(\sin q-q)=0$$ $$A\sin q+B(\cos q-1)=0$$

要有非零的 $A,B$，係數行列式必須為零：

$$\begin{vmatrix} 1-\cos q & \sin q-q\\ \sin q & \cos q-1 \end{vmatrix}=0$$

整理得

$$q\sin q=2(1-\cos q)$$

利用半角公式，可寫成

核心觀念

本題考查三維應力狀態下，依據各向同性材料的廣義胡克定律求主應變。

已知：

$$\sigma_x=60\ \text{MPa},\qquad \sigma_y=-20\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=35\ \text{MPa}$$

且：

$$\sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$$

材料參數為：

$$G=70\ \text{GPa},\qquad \nu=0.30$$

先由剪切模數與蒲松比求楊氏模數：

$$E=2G(1+\nu)$$ $$E=2(70)(1.30)=182\ \text{GPa}=182000\ \text{MPa}$$

三維廣義胡克定律為：

$$\varepsilon_x=\frac{1}{E} \left[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\right]$$ $$\varepsilon_y=\frac{1}{E} \left[\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z)\right]$$ $$\varepsilon_z=\frac{1}{E} \left[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\right]$$

剪應變採工程剪應變表示時：

$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}$$

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解題方法

由於 $z$ 方向沒有剪應力，$xy$ 平面為二維剪應力狀態，但仍須考慮 $x$、$y$ 正應力造成的泊松效應，因此先求三個直角方向的正應變，再求 $xy$ 平面內的主應變。

1. 求直角座標方向的正應變

$$\varepsilon_x =\frac{1}{182000} \left[60-0.30(-20+0)\right]$$ $$\varepsilon_x =\frac{66}{182000} =3.626\times10^{-4}$$

因此：

$$\boxed{\varepsilon_x=3.626\times10^{-4}}$$

同理，

$$\varepsilon_y =\frac{1}{182000} \left[-20-0.30(60+0)\right]$$ $$\varepsilon_y =\frac{-38}{182000} =-2.088\times10^{-4}$$

因此：

$$\boxed{\varepsilon_y=-2.088\times10^{-4}}$$

$z$ 方向雖然沒有正應力，但會受到 $x$、$y$ 方向應力的泊松效應：

$$\varepsilon_z =\frac{1}{182000} \left[0-0.30(60-20)\right]$$ $$\varepsilon_z =\frac{-12}{182000} =-6.593\times10^{-5}$$

因此：

$$\boxed{\varepsilon_z=-6.593\times10^{-5}}$$

2. 求剪應變

$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G} =\frac{35}{70000} =5.000\times10^{-4}$$

因此：

$$\boxed{\gamma_{xy}=5.000\times10^{-4}}$$

3. 求 $xy$ 平面內的主應變

平面應變的主應變公式為：