112 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丁組《機械製造及材料》

本題主要在於釐清幾個重要的材料科學與熱處理名詞的定義與區別。

(a) TTT vs CCT diagrams
TTT (Time-Temperature-Transformation) 圖，又稱為等溫轉變圖 (Isothermal Transformation Diagram)，描述了在高溫奧氏體 (austenite) 狀態下，當鋼材進行等溫冷卻至某一溫度時，從奧氏體轉變成其他相（如波來鐵、麻田散鐵、雪明母鐵等）所需的時間。圖的橫軸是時間 (對數)，縱軸是溫度。
CCT (Continuous-Cooling-Transformation) 圖，又稱為連續冷卻轉變圖 (Continuous Cooling Transformation Diagram)，描述了鋼材在連續冷卻條件下，從奧氏體轉變成其他相的過程。圖的橫軸是冷卻時間或冷卻速率，縱軸是溫度。CCT 圖比 TTT 圖更貼近實際的熱處理過程，因為大多數的鋼材熱處理都不是等溫進行。

主要區別：

• 冷卻方式: TTT 圖是針對「等溫」冷卻，CCT 圖是針對「連續」冷卻。
• 圖形: TTT 圖中的曲線代表等溫轉變所需的時間，CCT 圖中的曲線代表不同冷卻速率下的轉變起始和結束點。
• 應用: TTT 圖用於理解鋼材在等溫淬火等製程中的相變行為。CCT 圖用於預測不同冷卻速率（如空冷、油冷）對鋼材顯微組織的影響。

(b) Fatigue life vs fatigue limit
疲勞壽命 (Fatigue life)，通常以 $N_f$ 表示，是指材料在承受重複載荷作用下，從開始出現裂紋到最終斷裂所需的總載荷循環次數。疲勞壽命是衡量材料抵抗重複載荷能力的指標之一，數值越大表示材料能承受的循環次數越多。
疲勞極限 (Fatigue limit)，又稱為應力極限 (Endurance limit)，是指在某種載荷條件下，材料能夠承受無限次重複載荷而不發生疲勞破壞的最大應力值。並非所有材料都有疲勞極限，例如某些非鐵合金（如鋁合金）可能只有疲勞強度 (fatigue strength)，即在特定循環次數下不發生疲勞破壞的最大應力。

本題涵蓋了材料的變形行為、晶體學計算以及金屬強化機制，是典型的材料力學與材料科學綜合題。

(a) 彈性、遲滯彈性、黏彈性與塑性變形行為的區別：

• 彈性變形 (Elastic Deformation)：當外力移除後，材料會完全恢復其原始形狀。變形與應力之間呈線性或非線性關係，但應力與應變的關係是可逆的。例如，橡膠在小應變下的行為。
• 遲滯彈性 (Anelastic Deformation)：這是一種時間依賴性的彈性行為。在外力作用下，材料會產生應變，當外力移除後，材料會逐漸恢復其原始形狀，但恢復過程需要時間。在應力-應變曲線中，載荷和卸載的路徑不同，形成一個滯後迴路。這種行為通常與原子遷移（如間隙原子或取代原子的重新排列）或晶體缺陷的運動有關。
• 黏彈性 (Viscoelastic Deformation)：這是彈性與黏性（阻尼）行為的結合。黏彈性材料的應變不僅取決於當前應力，還取決於應力作用的時間。在載荷下，材料會發生彈性變形和時間依賴性的黏性流動。當外力移除後，材料會部分彈性恢復，但黏性部分不會完全恢復。黏彈性行為在聚合物材料中很常見。
• 塑性變形 (Plastic Deformation)：當應力超過材料的屈服強度後，即使移除外力，材料也無法完全恢復其原始形狀，會產生永久性的變形。塑性變形主要由晶體材料中的位錯滑移和晶界滑移引起，在非晶體材料中則由黏性流動引起。

主要區別總結：

行為	可逆性	時間依賴性	主要機制
彈性	完全	無	原子鍵的伸長/彎曲
遲滯彈性	逐漸恢復	是	原子位移、缺陷運動
黏彈性	部分恢復	是	彈性與黏性流動的組合，聚合物鏈運動
塑性	無	否（主要）	位錯滑移、晶界滑移、黏性流動（聚合物）

(b) 計算 BCC 單晶在 [100] 方向施加拉伸應力下的分解剪應力。
此題需要運用晶體學中的米勒指數 (Miller Indices) 和分解剪應力 (Resolved Shear Stress, $\tau_{RS}$) 的計算公式。
分解剪應力 $\tau_{RS}$ 定義為：
$\tau_{RS} = \sigma \cos\phi \cos\lambda$
其中：

• $\sigma$ 是施加的拉伸應力。
• $\phi$ 是外加應力方向與滑移面法線方向之間的夾角。
• $\lambda$ 是外加應力方向與滑移方向之間的夾角。

已知：

• 拉伸應力 $\sigma = 4.0 \text{ MPa}$
• 施加應力方向為 [100]
• 計算分解剪應力在 [111] 滑移方向，在 (110) 滑移面上的值。

首先，需要確定 BCC 結構的滑移系。BCC 結構最常見的滑移面是 {110}，滑移方向是 <111>。

1. 計算 $\phi$ (外加應力方向 [100] 與滑移面法線方向 (110) 之間的夾角)：
   法線向量 $\vec{n}$ = (1, 1, 0)
   外加應力方向向量 $\vec{s}$ = (1, 0, 0)
   夾角 $\phi$ 的餘弦值由向量點積公式計算：
   $\cos\phi = \frac{\vec{n} \cdot \vec{s}}{|\vec{n}| |\vec{s}|} = \frac{(1)(1) + (1)(0) + (0)(0)}{\sqrt{1^2+1^2+0^2} \sqrt{1^2+0^2+0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

2. 計算 $\lambda$ (外加應力方向 [100] 與滑移方向 [111] 之間的夾角)：

核心觀念

本題考查二元合金相圖的判讀、槓桿定則，以及凝固過程中顯微組織形成的原因。

主要公式為：

$$W_{\alpha}=\frac{C_{\beta}-C_0}{C_{\beta}-C_{\alpha}}$$ $$W_{\beta}=\frac{C_0-C_{\alpha}}{C_{\beta}-C_{\alpha}}$$

其中 $C_0$ 為合金總成分，$C_{\alpha}$、$C_{\beta}$ 為兩相邊界成分，$W_{\alpha}$、$W_{\beta}$ 為兩相質量分率。

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(a) Sn-Pb 合金在 $200^\circ\mathrm{C}$ 的相組成

合金成分為：

$$C_0=25\ \mathrm{wt\%Sn}$$

在 Sn-Pb 相圖上，$200^\circ\mathrm{C}$ 高於共晶溫度約 $183^\circ\mathrm{C}$。對於 $25\ \mathrm{wt\%Sn}$ 的合金，位置落在鉛側的 $\alpha+L$ 兩相區，其中：

• $\alpha$ 相：富含 Pb 的固溶體
• $L$ 相：液相

由 $200^\circ\mathrm{C}$ 的水平等溫線讀取相界成分，約為：

$$C_{\alpha}\approx16\ \mathrm{wt\%Sn}$$ $$C_L\approx52\ \mathrm{wt\%Sn}$$

因此：

• $\alpha$ 相約為 $16\ \mathrm{wt\%Sn}-84\ \mathrm{wt\%Pb}$
• 液相約為 $52\ \mathrm{wt\%Sn}-48\ \mathrm{wt\%Pb}$

若進一步求相的質量分率：

$$W_{\alpha} =\frac{C_L-C_0}{C_L-C_{\alpha}} =\frac{52-25}{52-16} =\frac{27}{36} =0.75$$ $$W_L =\frac{C_0-C_{\alpha}}{C_L-C_{\alpha}} =\frac{25-16}{52-16} =\frac{9}{36} =0.25$$

所以合金約含 $75\%$ 的 $\alpha$ 相與 $25\%$ 的液相。

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(b) 求 $\alpha$、$\beta$ 相的相界成分

題目所附的 Table 1 未出現在目前提供的掃描圖中，因此無法代入表中的實際數值。計算方法如下。

設兩種合金的總成分及相分率分別為：

• 合金 1：總成分 $C_1$，$\alpha$ 相分率 $W_{\alpha1}$，$\beta$ 相分率 $W_{\beta1}$
• 合金 2：總成分 $C_2$，$\alpha$ 相分率 $W_{\alpha2}$，$\beta$ 相分率 $W_{\beta2}$

因為兩相的相界成分在同一溫度下固定，對每一種合金皆有：

Machinability 是一個綜合性的名詞，用來描述材料在切削加工過程中的表現。它並非單一的物理量，而是由多種因素綜合決定的。

Machinability 的定義:
Machinability 衡量的是材料被切削加工的難易程度。良好的 machinability 表示材料易於切削，加工成本較低，可獲得較高的生產效率和較好的加工表面品質。反之，差的 machinability 表示材料難以切削，加工過程可能伴隨工具磨損快、切屑不易斷裂、加工表面粗糙、加工精度難以保證等問題。

在工程上的意義:
Machinability 在工程設計和製造過程中具有重要的意義，主要體現在以下幾個方面：

1. 生產效率與成本: 良好的 machinability 意味著可以採用較高的切削速度和進給量，縮短加工時間，從而提高生產效率並降低製造成本。反之，加工難度大則需要更慢的切削速度，更頻繁地更換刀具，甚至需要特殊的加工設備，都會增加成本。
2. 刀具壽命: 材料的 machinability 直接影響刀具的磨損速度。易切削的材料對刀具的磨損較小，刀具壽命長；難切削的材料會加速刀具磨損，需要更頻繁地更換刀具，增加了維護成本和停機時間。
3. 加工表面品質: 材料的 machinability 決定了加工後的表面粗糙度、表面完整性以及尺寸精度。

本題考察兩種常見的精密鑄造工藝：失蠟法 (Lost-wax process) 和消失模法 (Lost-foam process)，要求說明其原理、相似點及差異點。

1. 失蠟法 (Lost-wax Process)

• 原理:

  1. 製作蠟模: 首先根據零件的形狀，用蠟或類似材料製作出模型（蠟模）。
  2. 組裝澆注系統: 將多個蠟模組裝到一個澆口杯上，形成一個「蠟樹」。
  3. 浸塗耐火材料: 將蠟樹浸入由耐火材料（如氧化鋁、氧化矽等）和粘結劑組成的漿液中，然後在砂或粉末狀的耐火材料中滾動，重複幾次以形成一層堅固的、均勻的耐火材料外殼（型殼）。
  4. 脫蠟: 將乾燥的型殼加熱，使蠟模熔化並從型殼的澆口孔中流出，從而得到一個空腔。
  5. 焙燒型殼: 將脫蠟後的型殼在高溫下焙燒，以去除殘留的蠟，並提高型殼的強度。
  6. 澆注: 將熔化的金屬液體倒入預熱的型殼中。
  7. 冷卻與脫模: 金屬冷卻凝固後，將型殼破碎，取出鑄件。

• 特點: 適用於製造複雜形狀、尺寸精確、表面光潔度高的精密鑄件，尤其適合鑄造難熔金屬和合金。

2. 消失模法 (Lost-foam Process) / 併模鑄造 (Evaporative Pattern Casting)

• 原理:

  1. 製作泡沫模具: 使用聚苯乙烯 (EPS) 或類似的發泡材料，通過模壓等方法製作出與零件形狀完全相同的泡沫模型。
  2. 組裝澆注系統: 將泡沫模型與泡沫澆口杯、澆道等連接起來，形成一個完整的泡沫模型組件。
  3. 包覆耐火塗料: 將泡沫模型組件浸入或噴塗一層特殊的耐火塗料（塗層），該塗料能承受金屬液的衝擊和高溫，並允許氣體通過。
  4. 烘乾塗層: 將塗有塗料的泡沫模型組件烘乾，使其形成一層堅固的塗層。
  5. 放置於砂箱: 將烘乾的泡沫模型組件放置在一個裝有乾砂的箱子裡，並用真空泵對砂箱抽真空。
  6. 澆注: 將熔化的金屬液體從澆口杯倒入，當金屬液接觸到泡沫模型時，泡沫模型會瞬間汽化（蒸發），同時金屬液填充模型留下的空腔。砂箱的真空壓力將金屬液壓緊在塗層上，使其緊密貼合，並支撐塗層，防止變形。
  7. 冷卻與脫模: 金屬冷卻凝固後，停止抽真空，將鑄件從砂中取出。

• 特點: 工藝相對簡單，適合於大批量生產。可以鑄造複雜形狀的零件，但對塗層的要求較高，且尺寸精度受泡沫模型製造精度和塗層影響。

3. 相似點 (Similarities)

• 模型消失: 兩種工藝的核心都是利用一個「一次性」的模型，在澆注前通過某種方式使其消失（熔化或汽化），留下鑄件所需的空腔。
• 精密鑄造: 兩種工藝都能生產出複雜、精密的鑄件，具有較好的尺寸精度和表面光潔度。

本題考察開放模鍛 (open-die forging) 的鍛造力計算，需要應用塑性力學中的相關概念，特別是考慮摩擦力的影響。

問題分析:

• 材料：6061 鋁合金 (室溫鍛造)。
• 初始尺寸：直徑 $D_0 = 120 \text{ mm}$，高度 $H_0 = 80 \text{ mm}$。
• 變形：高度減少 50%，即最終高度 $H_f = 0.5 H_0 = 40 \text{ mm}$。
• 鍛造方式：開放模鍛，平模 (flat dies)。
• 摩擦係數：$\mu = 0.3$。
• 要求：計算在行程結束時的鍛造力 $F$。

基本概念:
開放模鍛中，通過平模對工件施加壓力，使其在高度方向上被壓縮，同時直徑方向上擴展。由於平模與工件之間存在摩擦力，這會增加所需的鍛造力。

計算步驟:

1. 確定最終尺寸:
   由於是開放模鍛，體積守恆。
   初始體積 $V_0 = \frac{\pi D_0^2}{4} H_0 = \frac{\pi (120 \text{ mm})^2}{4} (80 \text{ mm}) = 904778.68 \text{ mm}^3$。
   最終高度 $H_f = 40 \text{ mm}$。
   設最終直徑為 $D_f$。
   最終體積 $V_f = \frac{\pi D_f^2}{4} H_f = V_0$。
   $\frac{\pi D_f^2}{4} (40 \text{ mm}) = 904778.68 \text{ mm}^3$
   $D_f^2 = \frac{4 \times 904778.68}{\pi \times 40} \approx 28778.8 \text{ mm}^2$
   $D_f = \sqrt{28778.8} \approx 169.64 \text{ mm}$。

2. 確定材料的流動應力 (Flow Stress):
   對於 6061 鋁合金在室溫下的鍛造，需要知道其流動應力。流動應力 $\sigma_f$ 通常由應變硬化方程表示：$\sigma_f = K \epsilon^n$，其中 $K$ 是強度係數，$n$ 是應變硬化指數。如果沒有給定 $K$ 和 $n$ 的值，通常會假設材料是理想塑性材料（$n=0$）或查閱資料。
   在此類問題中，若未提供具體的流動應力數據，通常會假設一個平均值或在計算中使用一個簡化的公式。
   假設我們需要一個平均流動應力 $\bar{\sigma}_f$。
   平均應變 $\bar{\epsilon} = \ln\left(\frac{H_0}{H_f}\right) = \ln\left(\frac{80}{40}\right) = \ln(2) \approx 0.693$。
   如果我們查閱 6061-T6 鋁合金在室溫下的數據，其屈服強度約為 276 MPa，抗拉強度約為 313 MPa，應變硬化指數 $n$ 約為 0.15，強度係數 $K$ 約為 450 MPa。
   那麼，在應變 0.693 下的流動應力為 $\sigma_f = K \epsilon^n = 450 \times (0.693)^{0.15} \approx 450 \times 1.064 \approx 478.8 \text{ MPa}$。
   我們將使用這個值作為材料的平均流動應力 $\bar{\sigma}_f \approx 478.8 \text{ MPa}$。

3. 計算摩擦力與鍛造力:
   對於開放模鍛，考慮摩擦力後的平均壓應力（或鍛造壓力）$P$ 可以用以下公式估計：
   $P = \bar{\sigma}_f \left(1 + \frac{\mu D}{3H}\right)$
   其中：

   • $\bar{\sigma}_f$ 是平均流動應力。
   • $\mu$ 是摩擦係數。
   • $D$ 是工件的平均直徑。
   • $H$ 是工件的當前高度。

   在行程結束時，我們需要使用行程結束時的尺寸。
   $D = D_f = 169.64 \text{ mm}$
   $H = H_f = 40 \text{ mm}$
   $\mu = 0.3$
   $\bar{\sigma}_f = 478.8 \text{ MPa}$

   計算平均壓應力 $P$:
   $P = \bar{\sigma}_f \left(1 + \frac{\mu D_f}{3H_f}\right) = 478.8 \text{ MPa} \left(1 + \frac{0.3 \times 169.64 \text{ mm}}{3 \times 40 \text{ mm}}\right)$
   $P = 478.8 \text{ MPa} \left(1 + \frac{50.892}{120}\right) = 478.8 \text{ MPa} (1 + 0.4241)$

核心觀念

正交切削的總切削能量率為切削力在切削速度方向所作的功：

$$P_{\text{total}}=F_cV$$

剪切面上的能量消耗率為剪切力與剪切速度所作的功：

$$P_s=F_sV_s$$

因此，剪切面耗能百分比為

$$\eta_s=\frac{P_s}{P_{\text{total}}}\times 100\% =\frac{F_sV_s}{F_cV}\times 100\%$$

其中：

• $F_c$：切削力
• $F_r$：推力，即圖中的法向切削方向力
• $F_s$：剪切面上的剪切力
• $V_s$：剪切速度
• $\phi$：剪切角
• $\alpha$：刀具前角

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解題方法

1. 求切屑厚度比

切屑厚度比 $r$ 為

$$r=\frac{t_0}{t_c} =\frac{0.1}{0.2}=0.5$$

2. 求剪切角 $\phi$

正交切削的剪切角關係式為

$$\tan\phi= \frac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha}$$

代入 $r=0.5$、$\alpha=10^\circ$：

$$\tan\phi = \frac{0.5\cos10^\circ} {1-0.5\sin10^\circ} = \frac{0.4924}{0.9132} =0.5393$$

因此

$$\phi\approx 28.34^\circ$$

3. 求剪切力 $F_s$

由正交切削力的力分解關係：

$$F_s=F_c\cos\phi-F_r\sin\phi$$

代入 $F_c=500\ \text{N}$、$F_r=200\ \text{N}$：

$$F_s = 500\cos28.34^\circ - 200\sin28.34^\circ$$