109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丁組《機械製造及材料》

這題主要在考驗學生對材料力學基本概念的理解，要求區分幾個性質相似但定義不同的名詞。

(a) Toughness vs Resilience

• Resilience (韌性)：材料吸收彈性變形功而不產生永久變形的能力。它與材料的彈性極限（Proportional Limit）和降伏強度（Yield Strength）有關。當外力移除後，材料能完全恢復原狀。Resilience 的最大值通常在降伏點發生，稱為 Modulus of Resilience，其值為 $\frac{\sigma_y^2}{2E}$，其中 $\sigma_y$ 是降伏強度，$E$ 是楊氏模數。

• Toughness (衝擊韌性)：材料在斷裂前吸收能量的能力，包含彈性變形功和塑性變形功。它與材料的強度（Strength）和延展性（Ductility）都有關。Toughness 的衡量通常是通過應力-應變曲線下的總面積來表示，例如利用衝擊試驗（如 Charpy 或 Izod 試驗）來測量。

區別: Resilience 是指材料在「彈性範圍內」吸收能量的能力，而 Toughness 是指材料在「斷裂前」總共能吸收的能量，包含了彈性及塑性變形階段。因此，Toughness 的值通常遠大於 Resilience。

【答案】

• Resilience: 材料在彈性變形範圍內吸收能量的能力，與彈性極限和楊氏模數相關。
• Toughness: 材料在斷裂前總共吸收能量的能力，包含彈性與塑性變形，與強度及延展性相關。

(b) Coarse pearlite vs fine pearlite

珍珠體 (Pearlite) 是由肥粒鐵 (Ferrite, $\alpha$) 和雪明碳鐵 (Cementite, $\text{Fe}_3\text{C}$) 交錯疊生的共析

此題考驗對固態擴散機制的理解，包含兩種主要機制、速率差異原因及數學描述。

(a) Compare interstitial and vacancy atomic mechanisms for diffusion

固態擴散是指原子在固體材料中移動的過程。主要有兩種基本機制：

• Vacancy Diffusion (空位擴散)：

  • 機制：原子移動到鄰近的空位 (vacancy) 上。一個原子要移動，需要一個相鄰的空位，並且要有足夠的能量克服原子鍵結的阻礙，才能跳到空位所在的位置，這樣就完成一次移動，而原來的原子位置變成一個新的空位。
  • 適用對象：通常是體積較大、與主體原子尺寸相似的原子（例如合金中的溶質原子）或自身的規則格點原子。
  • 特點：擴散速率與空位的濃度及原子的跳躍頻率有關。

• Interstitial Diffusion (間隙擴散)：

  • 機制：體積較小的原子（如碳、氫、氮等）從一個晶格間隙 (interstitial site) 跳到另一個鄰近的間隙。這些原子通常是雜質原子，其尺寸遠小於基底金屬原子，可以嵌入到基底晶格的空隙中。
  • 適用對象：體積較小的雜質原子。
  • 特點：擴散速率與間隙原子的濃度及原子的跳躍頻率有關。

比較：

1. 移動對象：空位擴散是格點原子或較大溶質原子移動，需藉助空位；間隙擴散是體積較小的雜質原子，直接在間隙中移動。
2. 所需條件：空位擴散需要有足夠的空位存在，且原子能克服鍵結跳躍；間隙擴散則需要原子能克服周圍原子的阻礙，跳到另一個間隙。
3. 影響因素：空位擴散的速率受空位濃度（與溫度相關）和原子遷移能影響；間隙擴散的速率受間隙原子濃度和原子遷移能影響。

【答案】

• Vacancy Diffusion: 原子移動到鄰近的空位上，適用於格點原子或尺寸相似的溶質原子。
• Interstitial Diffusion: 體積小的雜質原子在晶格間隙中移動，適用於尺寸小的雜質原子。

(b) Cite two reasons why interstitial diffusion is normally more rapid than vacancy diffusion.

間隙擴散通常比空位擴散更快，主要有以下兩個原因：

1. 較小的原子尺寸與較少的阻礙：
   • 間隙擴散的原子（如 C, H, N）體積非常小，它們在晶格中移動時，所受到的「阻礙」相對較小。

此題考驗對相圖的應用，包含推導槓桿定律及計算共析反應後的相組成。

(a) Considering the Cu-Ni phase diagram (Fig. 1), derive the lever rule (represented by $W_\alpha$, and $W_L$, $C_L$, $C_0$, $C_\alpha$)?

題幹要求使用 Cu-Ni 相圖（圖一）來推導槓桿定律。Cu-Ni 相圖是一個典型的二元均勻固溶體相圖，在液相線 (Liquidus line) 和固相線 (Solidus line) 之間存在液相與固相的兩相區 ($\alpha + L$)。

假設我們在圖一中選擇一個溫度 $T$ 位於 $\alpha + L$ 兩相區內。此時，系統的總成分為 $C_0$ (或圖中的 $C_0$)。在溫度 $T$ 下，與此組成 $C_0$ 平衡的液相組成為 $C_L$ (或圖中的 $C_L$)，而固相 ($\alpha$) 的組成則為 $C_\alpha$ (或圖中的 $C_\alpha$)。

槓桿定律的目的是用來計算在給定的溫度和總組成下，各相所佔的質量分數 (weight fraction)。

我們可以在兩相區內畫一條水平線，稱為 Tie Line (恆溫線)，此線與固相線和液相線分別交於 $C_\alpha$ 和 $C_L$ 點。整條 Tie Line 的長度代表了總的組成範圍，而 Tie Line 上某一點到另一端的距離則代表了相對應相的「相對量」。

設 $W_\alpha$ 為固相 $\alpha$ 的質量分數，$W_L$ 為液相 $L$ 的質量分數。
總質量守恆： $W_\alpha + W_L = 1$

我們以總成分 $C_0$ 為基準，計算兩相的質量分數：

1. 計算液相 $L$ 的質量分數 $W_L$：
   液相 $L$ 的組成是 $C_L$，而固相 $\alpha$ 的組成是 $C_\alpha$。
   總組成 $C_0$ 必須等於兩相組成的加權平均。
   考慮以固相 $\alpha$ 的組成 $C_\alpha$ 為基準點，則 $C_0$ 與 $C_\alpha$ 的差值 $(C_0 - C_\alpha)$ 必須由液相 $L$ 所貢獻，而液相的質量分數為 $W_L$。
   同時，Tie Line 的總長度為 $(C_L - C_\alpha)$。
   因此，液相的質量分數 $W_L$ 可以由 Tie Line 上 $C_0$ 到 $C_\alpha$ 這段距離佔 Tie Line 總長度的比例來計算。
   $W_L = \frac{C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha}$

2. 計算固相 $\alpha$ 的質量分數 $W_\alpha$：
   同樣地，以液相 $L$ 的組成 $C_L$ 為基準點，則 $C_0$ 與 $C_L$ 的差值 $(C_L - C_0)$ 必須由固相 $\alpha$ 所貢獻，而固相的質量分數為 $W_\alpha$。
   因此，固相 $\alpha$ 的質量分數 $W_\alpha$ 可以由 Tie Line 上 $C_0$ 到 $C_L$ 這段距離佔 Tie Line 總長度的比例來計算。
   $W_\alpha = \frac{C_L - C_0}{C_L - C_\alpha}$

驗證：$W_\alpha + W_L = \frac{C_L - C_0}{C_L - C_\alpha} + \frac{C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha} = \frac{C_L - C_0 + C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha} = \frac{C_L - C_\alpha}{C_L - C_\alpha} = 1$。

這就是槓桿定律的推導。在題幹的要求下，我們使用 $W_\alpha$, $W_L$, $C_L$, $C_0$, $C_\alpha$ 作為符號。

【答案】
槓桿定律推導：
在二元相圖的兩相區，設總組成為 $C_0$，液相組成為 $C_L$，固相組成為 $C_\alpha$。
液相質量分數 $W_L = \frac{C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha}$
固相質量分數 $W_\alpha = \frac{C_L - C_0}{C_L - C_\alpha}$

(b) See Fig. 2, for a 99.6 wt% Fe-0.40 wt% C steel at a temperature just below the eutectoid, determine the amount of cementite, pearlite and proeutectoid ferrite (a) (in grams) that forms in 100 g of steel.

題目給定 100 g 的鋼材，其組成為 99.6 wt% Fe 和 0.40 wt% C。溫度在共析點 (eutectoid) 以下。
我們需要參考 Fe-C 相圖 (圖二)。

首先，確定共析點的組成和溫度。從圖二可知：

• 共析溫度 (Eutectoid temperature): $727^\circ\text{C}$
• 共析組成 (Eutectoid composition): $0.76$ wt% C

題目給定的鋼材組成是 $0.40$ wt% C。這個組成比共析組成 $0.76$ wt% C 要低，因此在共析溫度以上，它屬於 $\alpha$ (ferrite) + $\gamma$ (austenite) 兩相區。當冷卻到共析溫度以下時，大部分的沃斯田鐵 ($\gamma$) 會轉變成肥粒鐵 ($\alpha$) 和雪明碳鐵 ($\text{Fe}_3\text{C}$) 的混合物，稱為珍珠體 (pearlite)。而原本就存在的肥粒鐵 ($\alpha$) 則稱為先共析肥粒鐵 (proeutectoid ferrite)。

由於溫度「just below the eutectoid」，表示我們在這個區域，所形成的相是：

1. 先共析肥粒鐵 (Proeutectoid ferrite, $\alpha$)：這是從共析溫度以上的 $\gamma$ 相中析出的純肥粒鐵。
2. 珍珠體 (Pearlite)：這是由共析反應 ($\gamma \rightarrow \alpha + \text{Fe}_3\text{C}$) 形成的，其組成固定為共析組成 ($0.76$ wt% C)。珍珠體本身是肥粒鐵和雪明碳鐵的緻密層狀混合物。
3. 雪明碳鐵 (Cementite, $\text{Fe}_3\text{C}$)：在題目要求中，雖然珍珠體本身包含雪明碳鐵，但題目要求分別列出 cementite, pearlite, and proeutectoid ferrite。這意味著我們要計算的是：
   • 總共的先共析肥粒鐵。
   • 總共的珍珠體。
   • 在這些珍珠體中，所包含的雪明碳鐵的總量。

我們採用槓桿定律來計算在共析溫度 $727^\circ\text{C}$ 下，鋼材 ($0.40$ wt% C) 中各種相的組成。
在共析溫度 $727^\circ\text{C}$，相圖顯示的兩相區是 $\alpha + \text{Fe}_3\text{C}$。

• 固相線的極限組成（純 Fe）約為 $0$ wt% C。
• 共析組成 (珍珠體組成) 約為 $0.76$ wt% C。
• 雪明碳鐵 (Cementite, $\text{Fe}_3\text{C}$) 的組成約為 $6.70$ wt% C。

我們的鋼材總組成是 $C_0 = 0.40$ wt% C。
在這個溫度下，我們有兩相：純肥粒鐵 (組成 $C_\alpha \approx 0$ wt% C) 和雪明碳鐵 (組成 $C_{\text{Fe}_3\text{C}} = 6.70$ wt% C)。

此題要求解釋五種不同的製造程序，每種約佔 3% 的分數，需要簡潔扼要地說明其核心原理和流程。

(a) Powder Metallurgy Process (粉末冶金製程)

原理: 粉末冶金是一種製造金屬或陶瓷零件的方法，其基本步驟是將金屬或合金粉末在高壓下壓製成所需的形狀（壓製成形，compaction），然後在保護氣氛的爐中進行高溫燒結（sintering），使粉末顆粒之間產生冶金鍵結，進而形成緻密、具有機械強度的固體零件。

流程:

1. 粉末製備 (Powder Production): 透過霧化、研磨、化學沉澱等方法製備金屬粉末。
2. 混合 (Mixing): 將不同金屬粉末、潤滑劑或添加劑混合均勻。
3. 壓製 (Compaction): 將混合好的粉末填充到模具中，施加高壓，使其初步成形。
4. 燒結 (Sintering): 在高溫（低於熔點）和保護氣氛下進行加熱，使粉末顆粒藉由原子擴散互相結合，零件獲得強度。
5. 後處理 (Post-processing): 可選的步驟，如二次壓製（isostatic pressing）、熱處理、機械加工、表面處理等，以改善尺寸精度、機械性質或外觀。

優點: 可製造高熔點金屬零件、複雜形狀零件、多孔性材料（如濾材）、以及難以用傳統方法製造的合金（如粉末塗佈）。

【答案】
粉末冶金製程是將金屬或陶瓷粉末在高壓下壓製成形，再透過高溫燒結使其顆粒結合，形成最終零件的製造方法。

(b) Selective Laser Sintering (選擇性雷射燒結)

原理: 選擇性雷射燒結 (SLS) 是一種增材製造 (Additive Manufacturing) 或 3D 列印技術。它利用高功率雷射束選擇性地熔化和燒結粉末床中的材料（通常是聚合物、金屬或陶瓷粉末），一層一層地逐點熔化，將粉末黏結在一起，從而建構出三維物體。

流程:

1. 鋪粉 (Powder Spreading): 將一層薄的粉末材料均勻地鋪在工作平台上。
2. 掃描 (Laser Scanning): 雷射束根據設計的截面圖案，精確地掃描粉末層，選擇性地熔化或燒結粉末顆粒。
3. 層疊 (Layering): 完成一層的掃描後，工作平台下降一層的高度，再鋪上一層新的粉末，重複掃描過程。
4. 完成 (Completion): 重複上述步驟，直至整個三維物體建構完成。未被燒結的粉末則作為支撐結構，在列印後被移除。

優點: 可製造複雜幾何形狀，無需額外支撐結構（因為未燒結粉末可提供支撐），適用於多種材料。

【答案】
選擇性雷射燒結 (SLS) 是一種 3D 列印技術，利用雷射束選擇性地熔化或燒結粉末材料，一層一層地逐點建構出三維物件。

(c) Metal Extrusion (金屬擠製)

原理: 金屬擠製是一種塑性加工方法，將金屬材料（通常是加熱到塑性狀態的棒材或胚料）置於密閉的容器 (die cavity) 中，然後通過一個帶有特定形狀的模具孔 (die orifice)，施加極大的壓力，使金屬材料沿模具孔的形狀被擠出，形成具有連續橫截面的長條形零件。

種類:

• 正向擠製 (Forward/Direct Extrusion): 壓頭與金屬移動方向相同。
• 反向擠製 (Backward/Indirect Extrusion): 壓頭與金屬移動方向相反。

此題考驗對應力-應變關係的理解，特別是工程應力/應變與真實應力/應變的區別，以及在頸縮條件下的應力-應變行為。

(a) What is the difference between true strain and engineering strain?

應力 (Stress) 和應變 (Strain) 是描述材料在受力時行為的兩個重要參數。在材料力學中，我們常區分「工程」量和「真實」量。

• Engineering Strain (工程應變):
  定義為變形量與原始尺寸的比值。
  $\epsilon_e = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0}$
  其中，$L_0$ 是初始長度，$L$ 是當前長度，$\Delta L = L - L_0$ 是長度變化量。
  工程應變是基於材料的「初始」尺寸來計算的，即使在變形過程中尺寸發生了變化，分母 $L_0$ 仍然是初始長度。

• True Strain (真實應變):
  定義為每一小段變形增量與該變形階段「當時」尺寸的比值，是應變的累積分量。
  $d\epsilon_t = \frac{dL}{L}$
  將其積分起來，得到真實應變：
  $\epsilon_t = \int_{L_0}^{L} \frac{dL}{L} = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right) = \ln(1 + \epsilon_e)$
  真實應變是基於材料「實時」的尺寸來計算的。

區別:

1. 計算基礎: 工程應變基於「初始」尺寸，真實應變基於「瞬時」尺寸。
2. 數學關係: 真實應變與工程應變的關係為 $\epsilon_t = \ln(1 + \epsilon_e)$。
3. 數值大小: 對於小的應變，兩者數值接近。但對於較大的應變（尤其是在塑性變形階段），真實應變的值會顯著大於工程應變。例如，當 $L = 2L_0$ 時，$\epsilon_e = 1$ (100% 應變)，而 $\epsilon_t = \ln(2) \approx 0.693$ (69.3% 應變)。反之，如果 $\epsilon_t = 1$，則 $L = L_0 e^1 \approx 2.718 L_0$，此時 $\epsilon_e = e - 1 \approx 1.718$。
4. 適用範圍: 工程應變在彈性範圍內使用較為方便。真實應變在描述材料的塑性變形行為時更為準確，因為它考慮了材料尺寸的連續變化，並且在某些本構關係中（如 $\sigma = K\epsilon^n$）是首選。

【答案】
工程應變基於初始尺寸計算，而真實應變基於瞬時尺寸計算，兩者關係為 $\epsilon_t = \ln(1 + \epsilon_e)$。真實應變在描述塑性變形時更為準確。

(b) The relationship between true stress and true strain is $\sigma = K\epsilon^n$, where $\sigma$ is true stress, $\epsilon$ is true strain, $K$ and $n$ are constants. For low carbon steel, $K$ is 530 MPa and $n$ is 0.26. What is the engineering ultimate tensile stress?

題目給定真實應力-應變關係為 $\sigma = K\epsilon^n$，其中 $\sigma$ 是真實應力，$\epsilon$ 是真實應變。
對於低碳鋼， $K = 530 \text{ MPa}$， $n = 0.26$。
我們需要計算工程極限抗拉強度 (Engineering Ultimate Tensile Strength, UES)。

首先，我們要理解真實應力 $\sigma$ 和工程應力 $\sigma_e$ 的關係。
真實應力 $\sigma = \frac{F}{A}$，其中 $F$ 是當前的拉力，$A$ 是當前的截面積。
工程應力 $\sigma_e = \frac{F}{A_0}$，其中 $A_0$ 是初始截面積。
真實應變 $\epsilon = \ln(\frac{L}{L_0})$，工程應變 $\epsilon_e = \frac{L-L_0}{L_0}$。

我們知道 $A = A_0(1+\epsilon_e)^{-1}$ （對於體積恆定）或 $A = A_0 e^{-\epsilon}$。
因此，$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{A_0 e^{-\epsilon}} = \frac{F}{A_0} e^{\epsilon} = \sigma_e e^{\epsilon}$。
所以，工程應力 $\sigma_e = \sigma e^{-\epsilon}$。

極限抗拉強度 (UTS) 是指材料在拉伸試驗中，所能承受的最大應力。在真實應力-應變曲線中，最大真實應力發生在 $\frac{d\sigma}{d\epsilon} = 0$ 時（這在塑性變形區 $\sigma = K\epsilon^n$ 中是不可能的，因為 $n > 0$，所以 $\sigma$ 隨 $\epsilon$ 增加）。
然而，真實應力-應變曲線 $\sigma = K\epsilon^n$ 是一個單調遞增的曲線，它代表了材料在持續變形下的強度。
實際的拉伸試驗中，我們觀察到的是工程應力-應變曲線，而工程應力會先增加到一個極大值 (UES)，然後下降，直到斷裂。這個下降是由於頸縮 (necking) 的發生。

頸縮的發生標誌著材料開始局部拉伸變形，此時真實應力-應變曲線的斜率 $d\sigma/d\epsilon$ 仍然大於零，但工程應力 $\sigma_e = \sigma e^{-\epsilon}$ 開始下降。
工程應力達到極大值 (UES) 的條件是 $\frac{d\sigma_e}{d\epsilon_e} = 0$。
我們需要將 $\sigma_e$ 表達為 $\epsilon_e$ 的函數，或者將 $\sigma_e$ 表達為 $\epsilon$ 的函數，然後求導。
$\sigma_e = \sigma e^{-\epsilon} = K\epsilon^n e^{-\epsilon}$。
現在我們需要對 $\epsilon$ 求導，因為 $\epsilon_e$ 與 $\epsilon$ 的關係是 $\epsilon_e = e^\epsilon - 1$，$\frac{d\epsilon_e}{d\epsilon} = e^\epsilon > 0$。
所以，$\frac{d\sigma_e}{d\epsilon} = \frac{d}{d\epsilon}(K\epsilon^n e^{-\epsilon}) = K [n\epsilon^{n-1}e^{-\epsilon} + \epsilon^n(-e^{-\epsilon})]$
$\frac{d\sigma_e}{d\epsilon} = K e^{-\epsilon} [n\epsilon^{n-1} - \epsilon^n]$
令 $\frac{d\sigma_e}{d\epsilon} = 0$ 來找到極值點。
$K e^{-\epsilon} [n\epsilon^{n-1} - \epsilon^n] = 0$

此題考驗對切削加工中能量消耗的理解，特別是比能的定義及切削與磨削之間比能差異的原因。

(a) What is the specific energy in machining?

比能 (Specific Energy) 在機械加工中，是指在切削過程中，單位體積材料被移除所消耗的能量。它是一個衡量切削過程能量效率的指標。

數學定義為：
$u = \frac{U}{V}$
或
$u = \frac{P}{Q}$

其中：

• $u$ 是比能 (Specific Energy)，單位通常是 $\text{J/mm}^3$ 或 $\text{W}\cdot\text{s/mm}^3$ (由於 $1 \text{ J} = 1 \text{ W}\cdot\text{s}$)。
• $U$ 是總切削功 (Total Cutting Energy)，單位是 J。
• $V$ 是被移除材料的體積 (Volume of material removed)，單位是 $\text{mm}^3$。
• $P$ 是切削功率 (Cutting Power)，單位是 W。
• $Q$ 是材料去除率 (Material Removal Rate, MRR)，單位是 $\text{mm}^3/\text{s}$。

比能與切削力、切削速度、進給量和切削深度等參數有關。它反映了材料的切削難易程度，以及加工過程中能量的損耗情況（如摩擦、塑性變形等）。較高的比能表示加工該材料需要消耗更多的能量。

【答案】
比能 (Specific Energy) 是指單位體積材料被移除時所消耗的能量，通常表示為切削功率與材料去除率的比值 ($u = P/Q$)。

(b) For steels, the specific energy is about 2-9 W·s/mm³ in cutting, and it is 14-68 W·s/mm³ in grinding. Why the specific energy in grinding is much higher than that in cutting?

此題考驗對兩種非傳統加工方法的理解與比較，特別是其加工原理、應用及對工件的熱影響。

Laser Machining (雷射加工)

原理: 雷射加工是利用高能量密度的雷射束照射工件表面，通過熱能（熔化、汽化）或光化學反應（對於某些非金屬材料）來移除材料。通常需要輔助氣體（如氧氣、氮氣、惰性氣體）來吹除熔融或汽化的材料，並可能與材料發生化學反應以提高切削效率。

加工過程:

• 熔化與汽化 (Melting and Vaporization): 雷射能量被工件吸收，使其表面溫度迅速升高，材料熔化或直接汽化。
• 輔助氣體 (Assist Gas): 高壓氣體吹掃熔融/汽化的材料，形成切縫。氧化性氣體（如 O2）可與金屬反應放熱，提高效率；惰性氣體（如 N2, Ar）則避免氧化，適用於精密加工或不希望產生化學反應的材料。
• 光化學反應 (Photochemical Reaction): 對於某些聚合物或半導體，雷射能量可以直接引起化學鍵的斷裂，實現冷加工。

優點: 非接觸式加工，無刀具磨損，可加工硬質材料，加工精度高，可實現微細加工，熱影響區 (HAZ) 相對較小（取決於參數）。
缺點: 加工速度可能受材料吸收率影響，可能產生熱變形和熱處理效應，對反射性材料加工較難。

Electrical-Discharged Machining (EDM, 放電加工)

原理: EDM 是一種利用電火花（放電）來侵蝕和移除金屬材料的加工方法。在一個絕緣的介質液（通常是去離子水或礦物油）中，工件（接正極）和工具電極（接負極）之間產生脈衝式放電。每次放電會在工件表面產生一個微小的熔化/汽化區域，並被介質液沖走。

加工過程:

• 放電 (Discharge): 在工件和工具電極之間施加脈衝電壓，當間隙足夠小且介質液擊穿時，產生放電。
• 熔化與汽化 (Melting and Vaporization): 電火花產生的高溫（可達 8000-12000°C）使工件表面材料熔化或汽化。
• 沖蝕 (Flushing): 介質液將熔融/汽化的材料顆粒沖走，並冷卻工件表面。
• 電極損耗 (Electrode Wear): 工具電極也會有一定程度的損耗，需要定期修復或更換。

優點: 可加工極硬材料（如淬火鋼、碳化物），可加工複雜或細小的內腔形狀，無機械應力，加工精度高。
缺點: 加工速度相對較慢，僅限於導電材料，會產生熱影響區 (HAZ) 和白層 (white layer)，電極損耗。

比較與熱損傷:

特性	Laser Machining (雷射加工)	EDM (放電加工)
加工原理	雷射光能 → 熱能/化學能 → 材料熔化/汽化/光解	電能 → 電火花 → 高溫 → 材料熔化/汽化

此題考驗對相圖的應用，包含推導槓桿定律及計算共析反應後的相組成。

(a) Considering the Cu-Ni phase diagram (Fig. 1), derive the lever rule (represented by $W_\alpha$, and $W_L$, $C_L$, $C_0$, $C_\alpha$)?

題幹要求使用 Cu-Ni 相圖（圖一）來推導槓桿定律。Cu-Ni 相圖是一個典型的二元均勻固溶體相圖，在液相線 (Liquidus line) 和固相線 (Solidus line) 之間存在液相與固相的兩相區 ($\alpha + L$)。

假設我們在圖一中選擇一個溫度 $T$ 位於 $\alpha + L$ 兩相區內。此時，系統的總成分為 $C_0$ (或圖中的 $C_0$)。在溫度 $T$ 下，與此組成 $C_0$ 平衡的液相組成為 $C_L$ (或圖中的 $C_L$)，而固相 ($\alpha$) 的組成則為 $C_\alpha$ (或圖中的 $C_\alpha$)。

槓桿定律的目的是用來計算在給定的溫度和總組成下，各相所佔的質量分數 (weight fraction)。

我們可以在兩相區內畫一條水平線，稱為 Tie Line (恆溫線)，此線與固相線和液相線分別交於 $C_\alpha$ 和 $C_L$ 點。整條 Tie Line 的長度代表了總的組成範圍，而 Tie Line 上某一點到另一端的距離則代表了相對應相的「相對量」。

設 $W_\alpha$ 為固相 $\alpha$ 的質量分數，$W_L$ 為液相 $L$ 的質量分數。
總質量守恆： $W_\alpha + W_L = 1$

我們以總成分 $C_0$ 為基準，計算兩相的質量分數：

1. 計算液相 $L$ 的質量分數 $W_L$：
   液相 $L$ 的組成是 $C_L$，而固相 $\alpha$ 的組成是 $C_\alpha$。
   總組成 $C_0$ 必須等於兩相組成的加權平均。
   考慮以固相 $\alpha$ 的組成 $C_\alpha$ 為基準點，則 $C_0$ 與 $C_\alpha$ 的差值 $(C_0 - C_\alpha)$ 必須由液相 $L$ 所貢獻，而液相的質量分數為 $W_L$。
   同時，Tie Line 的總長度為 $(C_L - C_\alpha)$。
   因此，液相的質量分數 $W_L$ 可以由 Tie Line 上 $C_0$ 到 $C_\alpha$ 這段距離佔 Tie Line 總長度的比例來計算。
   $W_L = \frac{C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha}$

2. 計算固相 $\alpha$ 的質量分數 $W_\alpha$：
   同樣地，以液相 $L$ 的組成 $C_L$ 為基準點，則 $C_0$ 與 $C_L$ 的差值 $(C_L - C_0)$ 必須由固相 $\alpha$ 所貢獻，而固相的質量分數為 $W_\alpha$。
   因此，固相 $\alpha$ 的質量分數 $W_\alpha$ 可以由 Tie Line 上 $C_0$ 到 $C_L$ 這段距離佔 Tie Line 總長度的比例來計算。
   $W_\alpha = \frac{C_L - C_0}{C_L - C_\alpha}$

驗證：$W_\alpha + W_L = \frac{C_L - C_0}{C_L - C_\alpha} + \frac{C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha} = \frac{C_L - C_0 + C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha} = \frac{C_L - C_\alpha}{C_L - C_\alpha} = 1$。

這就是槓桿定律的推導。在題幹的要求下，我們使用 $W_\alpha$, $W_L$, $C_L$, $C_0$, $C_\alpha$ 作為符號。

【答案】
槓桿定律推導：
在二元相圖的兩相區，設總組成為 $C_0$，液相組成為 $C_L$，固相組成為 $C_\alpha$。
液相質量分數 $W_L = \frac{C_0 - C_\alpha}{C_L - C_\alpha}$
固相質量分數 $W_\alpha = \frac{C_L - C_0}{C_L - C_\alpha}$

(b) See Fig. 2, for a 99.6 wt% Fe-0.40 wt% C steel at a temperature just below the eutectoid, determine the amount of cementite, pearlite and proeutectoid ferrite (a) (in grams) that forms in 100 g of steel.

題目給定 100 g 的鋼材，其組成為 99.6 wt% Fe 和 0.40 wt% C。溫度在共析點 (eutectoid) 以下。
我們需要參考 Fe-C 相圖 (圖二)。

首先，確定共析點的組成和溫度。從圖二可知：

• 共析溫度 (Eutectoid temperature): $727^\circ\text{C}$
• 共析組成 (Eutectoid composition): $0.76$ wt% C

題目給定的鋼材組成是 $0.40$ wt% C。這個組成比共析組成 $0.76$ wt% C 要低，因此在共析溫度以上，它屬於 $\alpha$ (ferrite) + $\gamma$ (austenite) 兩相區。當冷卻到共析溫度以下時，大部分的沃斯田鐵 ($\gamma$) 會轉變成肥粒鐵 ($\alpha$) 和雪明碳鐵 ($\text{Fe}_3\text{C}$) 的混合物，稱為珍珠體 (pearlite)。

此題考驗對應力-應變關係的理解，特別是工程應力/應變與真實應力/應變的區別，以及在頸縮條件下的應力-應變行為。

(a) What is the difference between true strain and engineering strain?

應力 (Stress) 和應變 (Strain) 是描述材料在受力時行為的兩個重要參數。在材料力學中，我們常區分「工程」量和「真實」量。

• Engineering Strain (工程應變):
  定義為變形量與原始尺寸的比值。
  $\epsilon_e = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0}$
  其中，$L_0$ 是初始長度，$L$ 是當前長度，$\Delta L = L - L_0$ 是長度變化量。
  工程應變是基於材料的「初始」尺寸來計算的，即使在變形過程中尺寸發生了變化，分母 $L_0$ 仍然是初始長度。

• True Strain (真實應變):
  定義為每一小段變形增量與該變形階段「當時」尺寸的比值，是應變的累積分量。
  $d\epsilon_t = \frac{dL}{L}$
  將其積分起來，得到真實應變：
  $\epsilon_t = \int_{L_0}^{L} \frac{dL}{L} = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right) = \ln(1 + \epsilon_e)$
  真實應變是基於材料「實時」的尺寸來計算的。

區別:

1. 計算基礎: 工程應變基於「初始」尺寸，真實應變基於「瞬時」尺寸。
2. 數學關係: 真實應變與工程應變的關係為 $\epsilon_t = \ln(1 + \epsilon_e)$。
3. 數值大小: 對於小的應變，兩者數值接近。但對於較大的應變（尤其是在塑性變形階段），真實應變的值會顯著大於工程應變。例如，當 $L = 2L_0$ 時，$\epsilon_e = 1$ (100% 應變)，而 $\epsilon_t = \ln(2) \approx 0.693$ (69.3% 應變)。反之，如果 $\epsilon_t = 1$，則 $L = L_0 e^1 \approx 2.718 L_0$，此時 $\epsilon_e = e - 1 \approx 1.718$。
4. 適用範圍: 工程應變在彈性範圍內使用較為方便。真實應變在描述材料的塑性變形行為時更為準確，因為它考慮了材料尺寸的連續變化，並且在某些本構關係中（如 $\sigma = K\epsilon^n$）是首選。

【答案】
工程應變基於初始尺寸計算，而真實應變基於瞬時尺寸計算，兩者關係為 $\epsilon_t = \ln(1 + \epsilon_e)$。真實應變在描述塑性變形時更為準確。

(b) The relationship between true stress and true strain is $\sigma = K\epsilon^n$, where $\sigma$ is true stress, $\epsilon$ is true strain, $K$ and $n$ are constants. For low carbon steel, $K$ is 530 MPa and $n$ is 0.26. What is the engineering ultimate tensile stress?

題目給定真實應力-應變關係為 $\sigma = K\epsilon^n$，其中 $\sigma$ 是真實應力，$\epsilon$ 是真實應變。
對於低碳鋼， $K = 530 \text{ MPa}$， $n = 0.26$。
我們需要計算工程極限抗拉強度 (Engineering Ultimate Tensile Strength, UES)。

首先，我們要理解真實應力 $\sigma$ 和工程應力 $\sigma_e$ 的關係。
真實應力 $\sigma = \frac{F}{A}$，其中 $F$ 是當前的拉力，$A$ 是當前的截面積。
工程應力 $\sigma_e = \frac{F}{A_0}$，其中 $A_0$ 是初始截面積。
真實應變 $\epsilon = \ln(\frac{L}{L_0})$，工程應變 $\epsilon_e = \frac{L-L_0}{L_0}$。

我們知道 $A = A_0(1+\epsilon_e)^{-1}$ （對於體積恆定）或 $A = A_0 e^{-\epsilon}$。
因此，$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{A_0 e^{-\epsilon}} = \frac{F}{A_0} e^{\epsilon} = \sigma_e e^{\epsilon}$。
所以，工程應力 $\sigma_e = \sigma e^{-\epsilon}$。

極限抗拉強度 (UTS) 是指材料在拉伸試驗中，所能承受的最大應力。在真實應力-應變曲線中，最大真實應力發生在 $\frac{d\sigma}{d\epsilon} = 0$ 時（這在塑性變形區 $\sigma = K\epsilon^n$ 中是不可能的，因為 $n > 0$，所以 $\sigma$ 隨 $\epsilon$ 增加）。
然而，真實應力-應變曲線 $\sigma = K\epsilon^n$ 是一個單調遞增的曲線，它代表了材料在持續變形下的強度。
實際的拉伸試驗中，我們觀察到的是工程應力-應變曲線，而工程應力會先增加到一個極大值 (UES)，然後下降，直到斷裂。這個下降是由於頸縮 (necking) 的發生。

頸縮的發生標誌著材料開始局部拉伸變形，此時真實應力-應變曲線的斜率 $d\sigma/d\epsilon$ 仍然大於零，但工程應力 $\sigma_e = \sigma e^{-\epsilon}$ 開始下降。
工程應力達到極大值 (UES) 的條件是 $\frac{d\sigma_e}{d\epsilon_e} = 0$。
我們需要將 $\sigma_e$ 表達為 $\epsilon_e$ 的函數，或者將 $\sigma_e$ 表達為 $\epsilon$ 的函數，然後求導。
$\sigma_e = \sigma e^{-\epsilon} = K\epsilon^n e^{-\epsilon}$。
現在我們需要對 $\epsilon$ 求導，因為 $\epsilon_e$ 與 $\epsilon$ 的關係是 $\epsilon_e = e^\epsilon - 1$，$\frac{d\epsilon_e}{d\epsilon} = e^\epsilon > 0$。
所以，$\frac{d\sigma_e}{d\epsilon} = \frac{d}{d\epsilon}(K\epsilon^n e^{-\epsilon}) = K [n\epsilon^{n-1}e^{-\epsilon} + \epsilon^n(-e^{-\epsilon})]$
$\frac{d\sigma_e}{d\epsilon} = K e^{-\epsilon} [n\epsilon^{n-1} - \epsilon^n]$
令 $\frac{d\sigma_e}{d\epsilon} = 0$ 來找到極值點。
$K e^{-\epsilon} [n\epsilon^{n-1} - \epsilon^n] = 0$

此題考驗對切削加工中能量消耗的理解，特別是比能的定義及切削與磨削之間比能差異的原因。

(a) What is the specific energy in machining?

比能 (Specific Energy) 在機械加工中，是指在切削過程中，單位體積材料被移除所消耗的能量。它是一個衡量切削過程能量效率的指標。

數學定義為：
$u = \frac{U}{V}$
或
$u = \frac{P}{Q}$

其中：

• $u$ 是比能 (Specific Energy)，單位通常是 $\text{J/mm}^3$ 或 $\text{W}\cdot\text{s/mm}^3$ (由於 $1 \text{ J} = 1 \text{ W}\cdot\text{s}$)。
• $U$ 是總切削功 (Total Cutting Energy)，單位是 J。
• $V$ 是被移除材料的體積 (Volume of material removed)，單位是 $\text{mm}^3$。
• $P$ 是切削功率 (Cutting Power)，單位是 W。
• $Q$ 是材料去除率 (Material Removal Rate, MRR)，單位是 $\text{mm}^3/\text{s}$。

比能與切削力、切削速度、進給量和切削深度等參數有關。它反映了材料的切削難易程度，以及加工過程中能量的損耗情況（如摩擦、塑性變形等）。較高的比能表示加工該材料需要消耗更多的能量。

【答案】
比能 (Specific Energy) 是指單位體積材料被移除時所消耗的能量，通常表示為切削功率與材料去除率的比值 ($u = P/Q$)。

(b) For steels, the specific energy is about 2-9 W·s/mm³ in cutting, and it is 14-68 W·s/mm³ in grinding. Why the specific energy in grinding is much higher than that in cutting?

此題考驗對兩種非傳統加工方法的理解與比較，特別是其加工原理、應用及對工件的熱影響。

Laser Machining (雷射加工)

原理: 雷射加工是利用高能量密度的雷射束照射工件表面，通過熱能（熔化、汽化）或光化學反應（對於某些非金屬材料）來移除材料。通常需要輔助氣體（如氧氣、氮氣、惰性氣體）來吹除熔融或汽化的材料，並可能與材料發生化學反應以提高切削效率。

加工過程:

• 熔化與汽化 (Melting and Vaporization): 雷射能量被工件吸收，使其表面溫度迅速升高，材料熔化或直接汽化。
• 輔助氣體 (Assist Gas): 高壓氣體吹掃熔融/汽化的材料，形成切縫。氧化性氣體（如 O2）可與金屬反應放熱，提高效率；惰性氣體（如 N2, Ar）則避免氧化，適用於精密加工或不希望產生化學反應的材料。
• 光化學反應 (Photochemical Reaction): 對於某些聚合物或半導體，雷射能量可以直接引起化學鍵的斷裂，實現冷加工。

優點: 非接觸式加工，無刀具磨損，可加工硬質材料，加工精度高，可實現微細加工，熱影響區 (HAZ) 相對較小（取決於參數）。
缺點: 加工速度可能受材料吸收率影響，可能產生熱變形和熱處理效應，對反射性材料加工較難。

Electrical-Discharged Machining (EDM, 放電加工)

原理: EDM 是一種利用電火花（放電）來侵蝕和移除金屬材料的加工方法。在一個絕緣的介質液（通常是去離子水或礦物油）中，工件（接正極）和工具電極（接負極）之間產生脈衝式放電。每次放電會在工件表面產生一個微小的熔化/汽化區域，並被介質液沖走。

加工過程:

• 放電 (Discharge): 在工件和工具電極之間施加脈衝電壓，當間隙足夠小且介質液擊穿時，產生放電。
• 熔化與汽化 (Melting and Vaporization): 電火花產生的高溫（可達 8000-12000°C）使工件表面材料熔化或汽化。
• 沖蝕 (Flushing): 介質液將熔融/汽化的材料顆粒沖走，並冷卻工件表面。
• 電極損耗 (Electrode Wear): 工具電極也會有一定程度的損耗，需要定期修復或更換。

優點: 可加工極硬材料（如淬火鋼、碳化物），可加工複雜或細小的內腔形狀，無機械應力，加工精度高。
缺點: 加工速度相對較慢，僅限於導電材料，會產生熱影響區 (HAZ) 和白層 (white layer)，電極損耗。

比較與熱損傷:

特性	Laser Machining (雷射加工)	EDM (放電加工)
加工原理	雷射光能 → 熱能/化學能 → 材料熔化/汽化/光解	電能 → 電火花 → 高溫 → 材料熔化/汽化