109 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所丁組《電子學》

核心觀念

使用二極體定壓降模型：導通時二極體壓降為 $V_\gamma=0.7\text{ V}$，截止時視為開路。對每一組電阻，先判定哪些二極體導通，再以節點電流定律求 $V_A$，最後檢查假設是否一致。

圖中 $D_1$ 的電流方向由 $V_A$ 向右；$D_2、D_3$ 的電流方向向下。若 $D_1$ 導通，則 $V_O=V_A-0.7$，且 $I_{D1}=V_O/R_2$；若截止，$R_2$ 將輸出端接地，因此 $V_O=0$、$I_{D1}=0$。

解題方法

令電阻以 $\text{k}\Omega$、電流以 $\text{mA}$ 表示，套用 $I=V/R$ 即可直接得到 mA。

$D_2$ 導通時，其支路電流為

$$I_{D2}=\frac{V_A+5-0.7}{R_3} =\frac{V_A+4.3}{R_3}$$

$D_3$ 導通時，其支路電流為

$$I_{D3}=\frac{V_A+10-0.7}{R_4} =\frac{V_A+9.3}{R_4}$$

兩支路導通的條件分別為 $V_A>-4.3\text{ V}$ 與 $V_A>-9.3\text{ V}$。$D_1$ 導通的條件是 $V_A>0.7\text{ V}$，因為輸出端經 $R_2$ 接地。

(a) $R_3=14\text{ k}\Omega,\ R_4=24\text{ k}\Omega$

令三顆二極體皆導通，節點電流定律為

$$\frac{15-V_A}{6.15} = \frac{V_A-0.7}{2} + \frac{V_A+4.3}{14} + \frac{V_A+9.3}{24}$$

解得 $V_A=2.700\text{ V}$，符合三顆二極體導通的條件。各電流為

$$I_{D1}=\frac{2.700-0.7}{2}=1.000\text{ mA}$$ $$I_{D2}=\frac{2.700+4.3}{14}=0.500\text{ mA}, \qquad I_{D3}=\frac{2.700+9.3}{24}=0.500\text{ mA}$$

(b) $R_3=3.3\text{ k}\Omega,\ R_4=5.2\text{ k}\Omega$

此組電阻下，若令 $D_1$ 截止、$D_2$ 與 $D_3$ 導通，則

核心觀念

本題考查理想二極體箝位／截波電路的導通判斷。理想二極體具有：

$V_\gamma=0,\qquad r_f=0$

因此：

• 二極體順向偏壓時，視為短路；
• 二極體逆向偏壓時，視為開路。

輸入電壓可表示為：

$v_i(t)=6\sin\omega t\ \text{V}$

輸出波形必須依據 Figure 2 中二極體的方向、電阻接法及參考電壓判定。

圖面資訊不足

目前附上的掃描圖是考卷封面，未包含題目所指的 Figure 2 電路圖。因此缺少下列關鍵資訊：

• $D_1$、$D_2$ 的接法與方向；
• 輸出端 $V_O$ 的位置；
• 電阻及直流電源的數值與極性。

僅由「輸入峰值為 $6\text{ V}$」及「二極體為理想二極體」，無法唯一決定 $V_O$ 波形。

核心觀念

附圖目前提供的是考卷封面，未包含題目所稱的 Figure 3。以下依電子學題目最常見的接法作答：假設 PMOS 的源極接於 $V_S=+5\text{ V}$，$V_G$、$V_D$ 皆以接地為參考，且 $V_D$ 的可用範圍為 $0\sim 5\text{ V}$。

PMOS 的重要關係式為

$$V_{SG}=V_S-V_G$$ $$V_{OV}=V_{SG}-|V_{tp}|$$

導通條件：

$$V_{SG}>|V_{tp}|$$

三極區條件：

$$0\leq V_{SD}<V_{OV}$$

飽和區條件：

$$V_{SD}\geq V_{OV}$$

其中

$$V_{SD}=V_S-V_D$$

且

$$k_p=K_p'\frac WL =60\mu\text{A/V}^2\times 10 =600\mu\text{A/V}^2$$

---

解題方法

（a）求晶體管導通的 $V_G$ 範圍

PMOS 導通須滿足

$$V_{SG}>|V_{tp}|$$

代入 $V_S=5\text{ V}$ 與 $|V_{tp}|=1\text{ V}$：

$$5-V_G>1$$

因此

$$V_G<4\text{ V}$$

若 $V_G$ 限定在 $0\sim5\text{ V}$，則

$$\boxed{0\leq V_G<4\text{ V}}$$

---

（b）求三極區的 $V_D$ 範圍

三極區條件為

$$V_{SD}<V_{OV}$$

而

$$V_{OV}=V_{SG}-|V_{tp}| =(5-V_G)-1 =4-V_G$$

因此

$$5-V_D<4-V_G$$

整理得

$$V_D>V_G+1$$

再考慮 $V_D\leq V_S=5\text{ V}$，三極區範圍為

$$\boxed{V_G+1<V_D\leq5\text{ V}}$$

其中必須同時滿足 $V_G<4\text{ V}$。

---

（c）求飽和區的 $V_D$ 範圍

飽和區條件為

$$V_{SD}\geq V_{OV}$$

代入：

$$5-V_D\geq4-V_G$$

整理得

$$V_D\leq V_G+1$$

在 $0\sim5\text{ V}$ 的電壓範圍內，

$$\boxed{0\leq V_D\leq V_G+1}$$

其中仍須滿足導通條件 $V_G<4\text{ V}$。

三極區與飽和區的分界點為

$$V_D=V_G+1$$

---

（d）在 $\lambda=0$ 且 $I_D=75\mu\text{A}$ 下求 $V_{OV}$、$V_G$ 與 $V_D$ 範圍

忽略通道長度調變時，PMOS 飽和區電流大小為

$$I_D=\frac12 k_pV_{OV}^2$$

因此

$$75\mu\text{A} =\frac12(600\mu\text{A/V}^2)V_{OV}^2$$

解得

$$V_{OV}^2 =\frac{2(75)}{600} =0.25$$

所以

$$\boxed{V_{OV}=0.5\text{ V}}$$

又

$$V_{OV}=V_{SG}-|V_{tp}|$$

因此

$$V_{SG}=V_{OV}+|V_{tp}| =0.5+1 =1.5\text{ V}$$

由 $V_{SG}=V_S-V_G$：

$$5-V_G=1.5$$

故

$$\boxed{V_G=3.5\text{ V}}$$

飽和區條件為

$$V_D\leq V_G+1$$

代入 $V_G=3.5\text{ V}$：

$$V_D\leq4.5\text{ V}$$

若 $V_D$ 限定在 $0\sim5\text{ V}$，則

核心觀念

本題應使用理想運算放大器（op-amp）的負回授特性：

$$v_+=v_-,\qquad i_+=i_-=0$$

再配合 Kirchhoff 電流定律（KCL）求出電壓增益

$$A_v=\frac{v_o}{v_i}.$$

題目資訊不足

目前附上的原頁掃描圖是「流體力學」試題，內容包含液壓力與勢能流問題，圖中沒有電子學的 Figure 4，也看不到運算放大器、電阻值或輸入輸出端配置。因此無法由現有圖面唯一決定 $A_v$。

若 Figure 4 是最常見的理想反相放大器，輸入電阻為 $R_{\mathrm{in}}$、回授電阻為 $R_f$，則反相端電壓為虛地：

$$v_-=v_+=0.$$

由反相端 KCL：

核心觀念

本題考查分壓偏壓共射極放大器的直流工作點，以及兩級放大器的中頻小訊號分析。直流分析時，耦合電容與旁路電容視為開路；小訊號分析時，電容視為短路，$V_{CC}$ 視為交流地。

題目未給電晶體的 $V_{BE}$ 與熱電壓，以下採用常見假設 $V_{BE}=0.7\text{ V}$、$V_T=25\text{ mV}$，並忽略 Early 效應，令 $r_o\to\infty$。

解題方法

(a) 直流集極電流與集極電壓

先將 $R_1、R_2$ 化為戴維寧等效：

$$V_{TH}=V_{CC}\frac{R_2}{R_1+R_2} =15\frac{47}{100+47} =4.796\text{ V}$$ $$R_{TH}=R_1\parallel R_2 =100\parallel47 =31.97\text{ k}\Omega$$

基極電流須計入分壓器負載：

$$I_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}}{R_{TH}+(\beta+1)R_E} =\frac{4.796-0.7}{31.97\text{ k}\Omega+101(3.9\text{ k}\Omega)} =9.62\ \mu\text{A}$$

因此每級電晶體的直流集極電流為

$$I_C=\beta I_B=100(9.62\ \mu\text{A}) =0.962\text{ mA}$$

集極電壓為

$$V_C=V_{CC}-I_C R_C =15-(0.962\text{ mA})(6.8\text{ k}\Omega) =8.46\text{ V}$$

兩級偏壓相同，因此 $Q_1、Q_2$ 的 $I_C$ 與 $V_C$ 相同。

(b) 全電路小訊號等效與元件值

採用 hybrid-$\pi$ 模型。旁路電容使兩個射極皆為交流接地；耦合電容視為短路，故 $Q_1$ 集極直接連到 $Q_2$ 基極。電源 $V_{CC}$ 在交流等效電路中接地。

每顆電晶體的小訊號參數為

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.962\text{ mA}}{25\text{ mV}} =38.5\text{ mS}$$ $$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{38.5\text{ mS}} =2.60\text{ k}\Omega$$

等效電路的連接方式與元件值如下：

• 輸入端由 $v_{sig}$ 串聯 $R_{sig}=5\text{ k}\Omega$，接至 $Q_1$ 基極。
• 每級基極各有 $R_1\parallel R_2=31.97\text{ k}\Omega$ 接交流地，並有 $r_\pi=2.60\text{ k}\Omega$ 接交流地。
• 每級射極交流接地；每級集極有 $R_C=6.8\text{ k}\Omega$ 接交流地。
• 每級集極至射極的受控電流源為 $g_m v_\pi$，其中 $g_m=38.5\text{ mS}$。
• $Q_1$ 集極與 $Q_2$ 基極相連；$Q_2$ 集極經輸出耦合電容接至 $R_L=2\text{ k}\Omega$，輸出取自 $R_L$ 上端。

(c) 求 $R_{in1}$ 與 $v_{b1}/v_{sig}$