113 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丁組《材料力學》

本題主要考驗對脆性材料破壞的理解，特別是在單軸壓縮與剪應力共同作用下的破壞模式。脆性材料通常在承受拉伸應力時最容易破壞，而在受壓時則相對較強。

題幹描述，Mario 施加的為壓縮力，而邊界的支撐反力可視為剪力。圖 1(b) 顯示了磚塊內部的應力狀態，包含垂直應力 $\sigma_x$（應為壓縮應力，但圖示為拉伸）、剪應力 $\tau_{xy}$，以及垂直應力 $\sigma_y$（圖示為零）。由於題目強調材料為脆性且無法抵抗拉伸應力，因此破壞最可能發生在產生最大拉伸應力的平面上。

在一個二維應力狀態下，若存在剪應力，則通常會伴隨有主應力（最大與最小的垂直應力）與最大剪應力。主應力作用的平面上沒有剪應力。對於脆性材料，破壞常發生於產生最大拉伸主應力的平面，或是在最大剪應力作用下的平面（若材料對剪應力較敏感）。

考量圖 1(b) 所示的應力狀態，若 $\sigma_x$ 為壓縮應力（實際情況應如此，儘管圖示為拉伸），且 $\tau_{xy}$ 存在，則此應力狀態可透過座標旋轉轉換為一組主應力 $\sigma_1, \sigma_2$ 及最大剪應力 $\tau_{max}$。

主應力計算公式為：
$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
最大剪應力為：
$\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
主應力作用的平面與 $\tau_{xy}$ 平面通常相差 45 度。

題目指出 Mario 的外力是壓縮力，且磚塊無法抵抗拉伸應力。圖 1(a) 顯示磚塊沿一特定方向分離，這暗示了破壞平面。圖 1(b) 中的應力狀態，若 $\sigma_x$ 是壓縮應力（例如為負值），而 $\sigma_y = 0$，則 $\sigma_1$（最大主應力）可能為拉伸應力，而 $\sigma_2$（最小主應力）則為壓縮應力。

在單軸壓縮試驗中，若材料有剪應力存在，且材料對拉伸應力很敏感，破壞面會傾向於與受壓軸呈約 45 度的角度。

核心觀念

本題考查橡膠環的剪切變形與剪應力—剪應變關係：

$$\tau=G\gamma$$

其中 $G$ 為橡膠剪切模數。由圖 2，半徑 $r$ 處的橡膠圓周面積為

$$A=2\pi rh$$

因此軸向載重 $P$ 所造成的剪應力為

$$\tau(r)=\frac{P}{2\pi rh}$$

剪應變為

$$\gamma=\frac{\tau}{G} =\frac{P}{2\pi hGr}$$

在小變形、小角度條件下，

$$\gamma\simeq -\frac{dy}{dr}$$

故題目給定

$$\frac{dy}{dr} =-\frac{P}{2\pi hGr}$$

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解題方法

將微分方程積分：

$$dy=-\frac{P}{2\pi hG}\frac{dr}{r}$$ $$y=-\frac{P}{2\pi hG}\ln r+C$$

外側剛性固定環處沒有軸向位移，因此邊界條件為

$$y(r_o)=0$$

代入可得

$$0=-\frac{P}{2\pi hG}\ln r_o+C$$ $$C=\frac{P}{2\pi hG}\ln r_o$$

所以橡膠任意半徑 $r$ 處的位移為

$$y(r)=\frac{P}{2\pi hG} \left(\ln r_o-\ln r\right)$$

整理為

本題考驗材料力學中應力與應變的關係，以及變質材料（變形模數）的應用。題目要求找出施力點，使得材料受軸向載荷 P 作用時，能夠均勻伸長。

核心觀念：
材料均勻伸長意味著整個橫截面上的應變（strain）皆相同。應變 $\epsilon$ 與應力 $\sigma$ 的關係為 $\epsilon = \sigma / E$，其中 $E$ 是材料的彈性模數。
在本題中，彈性模數 $E$ 隨高度 $y$ 變化，因此應力 $\sigma$ 也必須隨高度 $y$ 變化，才能使得應變 $\epsilon$ 保持恆定。
若要使 bar 均勻伸長，則所有垂直於載荷方向的橫截面上的應變必須相同。也就是說，對於任意高度 $y$，其應變 $\epsilon(y)$ 必須是常數。
$\epsilon(y) = \frac{\sigma(y)}{E(y)}$

題目給定的資訊：

1. 材料厚度為 $t$，寬度為 $w$。
2. 彈性模數 $E$ 隨垂直位置 $y$ 呈線性變化。$y$ 是從頂部表面量測的垂直位置。
   $E(y) = \frac{E_2 - E_1}{w} y + E_1$
   其中 $E_1$ 是頂部（$y=0$）的彈性模數，$E_2$ 是底部（$y=w$）的彈性模數。
3. 外力為軸向力 $P$。
4. 要求找出施力點的位置 $d$（從頂部表面量測），使得 bar 均勻伸長。

解題步驟：

步驟 1：確定應變為常數
為了使 bar 均勻伸長，任意高度 $y$ 處的應變 $\epsilon(y)$ 必須是常數，即 $\epsilon(y) = \epsilon_0$。

步驟 2：計算任意高度 $y$ 處的應力 $\sigma(y)$
根據虎克定律，$\sigma(y) = E(y) \epsilon(y) = E(y) \epsilon_0$。
將 $E(y)$ 的表達式代入：
$\sigma(y) = \left(\frac{E_2 - E_1}{w} y + E_1\right) \epsilon_0$

步驟 3：計算總軸向力 P
總軸向力 $P$ 是所有應力在寬度 $w$ 和厚度 $t$ 方向上的積分。
考慮一個微小的面積元素 $dA = t \, dy$ 在高度 $y$ 處。該面積上的應力為 $\sigma(y)$。
$P = \int_{0}^{w} \sigma(y) \, dA = \int_{0}^{w} \sigma(y) \, t \, dy$
$P = \int_{0}^{w} \left(\frac{E_2 - E_1}{w} y + E_1\right) \epsilon_0 \, t \, dy$
$P = t \epsilon_0 \int_{0}^{w} \left(\frac{E_2 - E_1}{w} y + E_1\right) dy$
$P = t \epsilon_0 \left[ \frac{E_2 - E_1}{w} \frac{y^2}{2} + E_1 y \right]_{0}^{w}$
$P = t \epsilon_0 \left( \frac{E_2 - E_1}{w} \frac{w^2}{2} + E_1 w \right)$
$P = t \epsilon_0 \left( \frac{(E_2 - E_1)w}{2} + E_1 w \right)$
$P = t \epsilon_0 w \left( \frac{E_2 - E_1}{2} + E_1 \right)$
$P = t \epsilon_0 w \left( \frac{E_2 - E_1 + 2E_1}{2} \right)$
$P = t \epsilon_0 w \left( \frac{E_1 + E_2}{2} \right)$

從這個公式，我們可以得到 $\epsilon_0$：
$\epsilon_0 = \frac{P}{t w \left( \frac{E_1 + E_2}{2} \right)}$
請注意，$t w$ 是橫截面面積 $A_0$，而 $\frac{E_1 + E_2}{2}$ 是平均彈性模數 $E_{avg}$。
所以 $\epsilon_0 = \frac{P}{A_0 E_{avg}}$，這與單一材料情況下的應變公式一致，只是這裡的 $E$ 是平均值。

步驟 4：確定施力點 $d$
為了使 bar 均勻伸長，軸向力 $P$ 必須通過橫截面的「形心」或「合力點」。
這個合力點的位置 $d$ 可以通過對所有微小應力 $\sigma(y)$ 產生的力矩進行平衡來確定。
力矩的平衡要求，作用在高度 $y$ 處的應力 $\sigma(y)$ 乘以其面積 $dA = t \, dy$ 所產生的力，其合力矩等於總力 $P$ 乘以施力點到參考點（例如頂部表面 $y=0$）的距離 $d$。
$P \cdot d = \int_{0}^{w} y \cdot \sigma(y) \, dA$

核心觀念

本題考查：

1. 平面受拘束下的三維應力—應變關係。
2. 廣義虎克定律：
   $\varepsilon_x=\frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\right]$
3. 體積應變與應力關係：

$$\varepsilon_v=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z =\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)$$

取 $x$ 軸為槽寬方向、$y$ 軸為槽深方向、$z$ 軸為垂直方向，並以拉應力為正。

槽寬為 $0.999a$，橡膠原寬度為 $a$，因此槽寬方向的壓縮應變為

$$\varepsilon_x=\frac{0.999a-a}{a}=-0.001$$

由於槽壁光滑，$y$ 方向沒有摩擦拘束，因此

$$\sigma_y=0$$

頂面承受均勻壓力，故

$$\sigma_z=-p=-\frac{P}{a^2}$$

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解題方法與推導

在 $x$ 方向套用廣義虎克定律：

$$-0.001 = \frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu(0-\frac{P}{a^2})\right]$$

因此

$$-0.001 = \frac{1}{E}\left(\sigma_x+\nu\frac{P}{a^2}\right)$$

解得槽壁所造成的 $x$ 方向應力：

$$\sigma_x=-0.001E-\nu\frac{P}{a^2}$$

所以橡膠內部的三個主應力為

$$\sigma_x=-0.001E-\nu\frac{P}{a^2}, \qquad \sigma_y=0, \qquad \sigma_z=-\frac{P}{a^2}$$

核心觀念

本題考查柱的撓曲微分方程、鉸支承邊界條件，以及以特徵值求柱的挫屈臨界載重。

由圖 5 可知，柱長為 $L$，兩端皆為鉸接型態；端點可限制側向位移，但不傳遞彎矩。因此：

• 側向位移：$v=0$
• 彎矩：$M=-EI\dfrac{d^2v}{dx^2}=0$

其中 $EI$ 為常數。

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(a) 四個邊界條件

令底端為 $x=0$，頂端為 $x=L$，則四個邊界條件為

$$v(0)=0$$ $$\left.\frac{d^2v}{dx^2}\right|_{x=0}=0$$ $$v(L)=0$$ $$\left.\frac{d^2v}{dx^2}\right|_{x=L}=0$$

前兩式表示底端無側向位移且彎矩為零；後兩式表示頂端無側向位移且彎矩為零。

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(b) 橫向撓度與臨界載重

控制方程式為

$$EI\frac{d^4v}{dx^4}+P\frac{d^2v}{dx^2}=0$$

令

$$k^2=\frac{P}{EI}$$

則方程式可寫成

$$\frac{d^4v}{dx^4}+k^2\frac{d^2v}{dx^2}=0$$

其一般解為

$$v(x)=A+Bx+C\cos kx+D\sin kx$$

二階導數為

$$\frac{d^2v}{dx^2} =-k^2\left(C\cos kx+D\sin kx\right)$$

套用 $x=0$ 的邊界條件：

$$v(0)=A+C=0$$ $$v''(0)=-k^2C=0$$

因此

$$C=0,\qquad A=0$$

故撓度函數簡化為

$$v(x)=Bx+D\sin kx$$

再套用 $x=L$ 的邊界條件：

本題考驗結構力學中力法（Force Method）的應用，特別是利用卡氏第二定理（Castigliano's Second Theorem）來求解結構的支撐反力。題目要求計算一個簡單框架在承受載荷 P 作用下的支撐反力 A 和 B，且嚴格要求使用卡氏第二定理。

核心觀念：
卡氏第二定理指出：在彈性結構中，任一支反力（或外力）的位移，等於該支反力（或外力）對應於總應變能（Strain Energy）的偏導數。
$\delta_i = \frac{\partial U}{\partial F_i}$
其中 $\delta_i$ 是力 $F_i$ 方向上的位移，U 是結構的總應變能。

對於一個框架結構，應變能主要來自於彎曲（Bending）、軸力（Axial Force）和剪力（Shear Force）。在許多框架問題中，軸力和剪力的應變能相對於彎曲應變能可以忽略不計，除非有特殊說明或結構非常細長。

題目分析：
圖 6 顯示了一個由兩根垂直桿件和一根水平桿件組成的框架。框架在頂部中間承受一個向下的集中載荷 P。A 和 B 是框架底部的支撐點。根據圖示，A 和 B 都是固定支撐（Fixed Support），因為它們沒有標示為鉸支或其他形式，且通常固定支撐能抵抗力矩。

解題步驟：

步驟 1：確定結構的自由度與冗餘支撐
此框架是一個靜不定結構。我們可以判斷其靜不定次數。
支撐點 A 和 B 是固定端，每個固定端提供三個反力（水平力、垂直力、力矩）。
所以，A 提供 $R_{Ax}, R_{Ay}, M_A$；B 提供 $R_{Bx}, R_{By}, M_B$。
總共有 6 個支反力。
外部載荷只有一個向下力 P。
在水平方向上，由於左右對稱且無水平載荷，可以預期 $R_{Ax} = R_{Bx} = 0$。
在垂直方向上，由於對稱性，可以預期 $R_{Ay} = R_{By} = P/2$。
然而，我們不能直接假設這些，必須透過計算證明。
結構的靜不定次數為：支反力數量 - 平衡方程式數量。
平衡方程式：$\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$ (共 3 個)。
靜不定次數 = 6 - 3 = 3。
這意味著有 3 個冗餘支反力。我們可以選擇 3 個支反力作為冗餘力，並將它們移除，將結構簡化為靜定結構。

步驟 2：選擇冗餘支反力並建立靜定參考結構
由於題目要求使用卡氏第二定理，我們需要讓我們想求解的支反力（例如 $R_{Ay}$ 和 $R_{By}$）成為我們在靜定結構上的「虛擬位移」的計算對象。
卡氏定理是求「力」對應的「位移」。所以，如果我們要用卡氏定理求 $R_{Ay}$，就需要計算 $R_{Ay}$ 方向上的位移。

一種常見的方法是選擇 A 和 B 的部分反力作為冗餘力。
假設我們選擇 $R_{Ay}$, $M_A$, $R_{By}$ 作為冗餘力。
移除這些力後，結構變成靜定。
在靜定結構上，我們施加與冗餘力方向相同的「虛擬力」（或稱「單位力」）來計算應變能。

然而，卡氏第二定理更直接的應用是：如果我們要求解支反力 $F_i$，我們需要計算該支反力作用點處，該支反力方向上的「真實位移」。
這意味著，我們需要知道結構在真實載荷 P 作用下的真實位移。

另一種卡氏定理的應用方式：
我們知道，在多餘力 $X_1, X_2, ...$ 作用下的結構，其總應變能 $U$ 是這些力與位移的函數。
卡氏定理可以寫成：
$\delta_i = \frac{\partial U}{\partial X_i}$
其中 $\delta_i$ 是 $X_i$ 方向上的位移。

對於靜不定結構，我們可以選擇一組冗餘力 $X_1, X_2, X_3$。
在真實載荷 P 作用下，計算結構的總應變能 $U(X_1, X_2, X_3)$。
然後，利用相容性條件（例如，在移除冗餘力的地方，位移必須為零），我們可以建立方程組來求解 $X_1, X_2, X_3$。

例如，對於固定支撐，位移和轉角都為零。
如果我們選擇 $R_{Ay}, M_A, R_{By}$ 作為冗餘力。
那麼，在 A 點，真實的位移 $v_A = 0$ 且真實的轉角 $\theta_A = 0$。
在 B 點，真實的位移 $v_B = 0$ 且真實的轉角 $\theta_B = 0$。

我們需要計算應變能 $U$ 作為 $R_{Ay}, M_A, R_{By}$ 的函數。
然後，利用：
$\frac{\partial U}{\partial R_{Ay}} = 0$ (因為 A 點垂直位移為 0)
$\frac{\partial U}{\partial M_A} = 0$ (因為 A 點轉角為 0)
$\frac{\partial U}{\partial R_{By}} = 0$ (因為 B 點垂直位移為 0)

這種方法稱為「力法」（Force Method），卡氏定理是其中的一個工具。

步驟 3：建立應力與應變能的表達式
我們需要分析框架各部分的內力。由於是對稱結構，我們可以只分析一半，然後推廣。
假設我們分析左半部分，從 A 到框架頂部中心。

考慮結構的對稱性：
結構和載荷都是對稱的。
這意味著：

1. 在對稱軸（通過 P 點和框架頂部中心點的垂直線）上，水平位移為零，水平剪力為零。
2. A 點和 B 點的水平反力 $R_{Ax} = R_{Bx} = 0$。
3. 垂直反力 $R_{Ay} = R_{By} = P/2$。
4. 力矩反力 $M_A = M_B$。

如果我們假設 $R_{Ay} = R_{By} = P/2$ 和 $M_A = M_B$，那麼我們只需要再確定一個冗餘力（例如 $M_A$）。
但是，題目要求計算 A 和 B 的所有支撐反力。

重新理解題目要求：
"Determine the support reactions at locations A and B". 這意味著要計算 $R_{Ax}, R_{Ay}, M_A$ 和 $R_{Bx}, R_{By}, M_B$。

使用卡氏定理求解力矩反力 $M_A$：
由於對稱性，我們可以假設 A 和 B 的垂直反力為 $P/2$。
我們需要求解 $M_A$（以及 $M_B = M_A$）。
框架的靜不定次數為 3。我們可以選擇 $R_{Ay}, M_A, R_{By}$ 作為冗餘力。
或者，由於對稱性，我們可以選擇 $M_A$ 作為唯一的冗餘力，並利用對稱性簡化問題。

方法一：利用對稱性，引入虛擬鉸支點
由於結構和載荷對稱，我們可以在對稱軸處引入一個虛擬鉸支點。
這樣，左半部分結構（從 A 到對稱軸）就可以獨立分析。
A 點是固定支撐，所以有 $R_{Ay}$, $M_A$。
在對稱軸處，我們引入一個鉸支點，它只能承受垂直反力（因為水平力為零），且力矩為零。
在靜定參考結構上，我們移除 $M_A$。
在 A 點，真實的轉角 $\theta_A = 0$。
在虛擬鉸支點（對稱軸處）的力矩為零。

讓我們採用一種更直接的方法，利用卡氏定理來求解所有反力。
我們需要選擇 3 個冗餘力。
由於對稱性，我們可以簡化：$R_{Ax}=R_{Bx}=0$, $R_{Ay}=R_{By}$, $M_A=M_B$.
我們只需要求解 $R_{Ay}$ 和 $M_A$。
假設 $R_{Ay}$ 和 $M_A$ 是冗餘力。
那麼，在 A 點，真實的垂直位移 $v_A = 0$，真實的轉角 $\theta_A = 0$。
我們需要計算總應變能 $U$ 作為 $R_{Ay}$ 和 $M_A$ 的函數。
然後，$\frac{\partial U}{\partial R_{Ay}} = 0$ 且 $\frac{\partial U}{\partial M_A} = 0$。

分析內力（以左半部分為例，從 A 到對稱軸）：
假設 A 點的支反力為 $R_{Ax}=0, R_{Ay}, M_A$.
框架長度：水平桿長為 L，垂直桿長為 L。
載荷 P 作用在水平桿的中心。

1. 彎曲應變能 (U_b)：
需要計算框架各部分的彎矩 $M(x)$。
由於結構複雜，直接寫出 $M(x)$ 並積分比較困難。

2. 軸力應變能 (U_a)：
需要計算各部分的軸力 $N(x)$。
在水平桿上，由於 P 作用在中間，且 A、B 是固定支撐，水平力為零，所以水平桿沒有軸力。
在垂直桿上，有軸力。

3. 剪力應變能 (U_s)：
通常可以忽略。

考慮對稱性簡化：
由於對稱性，A 點和 B 點的支反力是相同的。
$R_{Ax} = R_{Bx} = 0$
$R_{Ay} = R_{By}$
$M_A = M_B$
外部載荷 P 作用在水平桿中心。
根據垂直力平衡：$R_{Ay} + R_{By} - P = 0 \Rightarrow 2 R_{Ay} = P \Rightarrow R_{Ay} = P/2$。
所以，我們只需要求解 $M_A$。

使用卡氏定理求解 $M_A$：
我們將 A 點的力矩反力 $M_A$ 作為冗餘力。
在 A 點，真實的轉角 $\theta_A = 0$。
我們需要計算總應變能 $U$ 作為 $M_A$ 的函數。
然後，$\frac{\partial U}{\partial M_A} = \theta_A = 0$。

建立靜定參考結構：
移除 A 點的力矩反力 $M_A$，結構變成靜定。
在 A 點施加一個虛擬力矩 $M_{virtual}$（方向與 $M_A$ 相同）。
我們需要計算在真實載荷 P 作用下的總應變能 $U(M_{virtual})$。
然後，$\frac{\partial U}{\partial M_{virtual}} = \theta_A$。
我們令 $\theta_A = 0$ 來求解 $M_{virtual}$（即 $M_A$）。

分析框架各部分的內力（真實載荷 P 作用下）：

1. 水平桿 (長度 L)：
   在 P 點（中心），有向下的力 P。
   A 點和 B 點有垂直反力 $P/2$。
   由於 A 和 B 是固定端，它們也有力矩反力。
   由於對稱性，作用在 A 點的力矩 $M_A$ 和作用在 B 點的力矩 $M_B$ 相同。
   分析左半部分（從 A 到 P 點）：
   在 A 點有 $R_{Ay}=P/2$, $M_A$.
   在 P 點（中心），有向下的力 P。
   在 P 點的右側（到 B 點），有 $R_{By}=P/2$, $M_B=M_A$.
   在 P 點的左側（到 A 點），彎矩為 $M(x) = M_A - R_{Ay} x = M_A - (P/2) x$。
   這個公式只適用於梁。對於框架，需要更仔細的分析。

   利用虛擬力法（卡氏定理的基礎）來求解 $M_A$：
   考慮左半部分框架（從 A 到 P 點）。
   真實載荷 P 作用。
   支反力為 $R_{Ay}=P/2$, $M_A$.
   在 A 點的真實轉角 $\theta_A = 0$.
   我們施加一個虛擬力矩 $M_{virtual}$ 在 A 點。
   現在，A 點的支反力變為 $R_{Ay}=P/2$, $M_A + M_{virtual}$.
   框架各部分的彎矩（真實載荷 P + 虛擬力矩 $M_{virtual}$）：

   • A 點的力矩為 $M_A + M_{virtual}$。
   • 在距離 A 點 $x$ 處的彎矩（在左側垂直桿上）：$M_{left\_vert}(x) = M_A + M_{virtual}$。
   • 在水平桿上（從 A 點左側開始算起，距離 A 點 $L$ 處是 P 點）：
     在 P 點（中心），有向下的力 P。
     在 A 點，有 $M_A + M_{virtual}$ 和 $R_{Ay}=P/2$.
     在 P 點，有向下的力 P。
     由於對稱性，P 點的剪力為 0。
     在水平桿上，從 P 點往左，彎矩 $M_{horz}(x') = M_{P\_left} - R_{Ay} x'$。
     在 P 點的左側，彎矩分佈由 $M_A + M_{virtual}$ 和 P 決定。
     這部分分析比較複雜。

考慮使用卡氏定理的另一種形式：
計算總應變能 $U$。
$U = \sum \frac{1}{2EI} \int M^2 dx + \sum \frac{1}{2EA} \int N^2 dx + \sum \frac{1}{2GA} \int V^2 dx$
由於框架是細長梁，彎曲應變能佔主導。

簡化分析，利用對稱性：
由於對稱性，我們可以只考慮左半部分（從 A 到 P 點）。
A 點是固定端。
在 P 點，載荷 P 作用。
結構是靜不定的，我們需要求解 $M_A$。
假設 $R_{Ay} = P/2$。
我們只需要求解 $M_A$。
在 A 點的真實轉角 $\theta_A = 0$。
我們用卡氏定理：$\frac{\partial U}{\partial M_A} = \theta_A = 0$。

計算應變能 U：
需要計算各部分的彎矩。

1. 左側垂直桿 (長度 L)：
   在 A 點有 $M_A$ 和 $R_{Ay}=P/2$.
   彎矩 $M_1(y) = M_A + R_{Ay} y = M_A + (P/2) y$, $0 \le y \le L$.
   $U_1 = \int_0^L \frac{M_1^2(y)}{2EI} dy = \frac{1}{2EI} \int_0^L (M_A + \frac{P}{2} y)^2 dy$
   $U_1 = \frac{1}{2EI} \int_0^L (M_A^2 + P M_A y + \frac{P^2}{4} y^2) dy$
   $U_1 = \frac{1}{2EI} [M_A^2 y + \frac{P M_A}{2} y^2 + \frac{P^2}{12} y^3]_0^L$
   $U_1 = \frac{1}{2EI} (M_A^2 L + \frac{P M_A L^2}{2} + \frac{P^2 L^3}{12})$

2. 水平桿 (長度 L)：
   在 P 點（中心）有向下力 P。
   在 A 點有 $M_A$ 和 $R_{Ay}=P/2$.
   在 P 點，水平桿的彎矩需要計算。
   由於 P 點是載荷施加點，且水平桿兩端由垂直桿支撐，P 點的剪力為 0。
   在 P 點的彎矩 $M_P$。
   從 A 點往 P 點方向，距離 P 點 $x'$ ( $0 \le x' \le L/2$ )：