111 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所甲組《流體力學》

此題考驗對 Navier-Stokes 方程式在特定假設下的簡化能力，重點在於理解各種物理項的意義及其在靜水力學與重力作用下的變化。

核心觀念：
Navier-Stokes 方程式描述不可壓縮流體的動量守恆。在靜水力學 (hydrostatics) 條件下，流體是靜止的，因此其運動學相關的項都會消失。重力是主要的力，壓力梯度則抵抗重力。

解題步驟：

1. 分析 Navier-Stokes 方程式的各項：
   $\frac{DV}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla P + \vec{g} + \nu\nabla^2\vec{V}$

   • $\frac{DV}{Dt}$：流體質點的實質加速度 (material acceleration)。
   • $-\frac{1}{\rho}\nabla P$：壓力梯度力 (pressure gradient force)。
   • $\vec{g}$：重力加速度 (gravity)。
   • $\nu\nabla^2\vec{V}$：黏滯力 (viscous force)，其中 $\nu$ 是運動黏滯係數。

2. 應用靜水力學 (Incompressible Hydrostatics) 的假設：
   靜水力學的定義是流體處於靜止狀態，即流體沒有運動。因此，流體質點的速度 $\vec{V} = 0$。

   • 實質加速度 $\frac{DV}{Dt}$：
     實質導數 $\frac{DV}{Dt}$ 可以寫成 $\frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla)\vec{V}$。
     由於流體靜止，$\vec{V} = 0$，所以 $\frac{\partial\vec{V}}{\partial t} = 0$ 且 $(\vec{V} \cdot \nabla)\vec{V} = 0$。
     因此，$\frac{DV}{Dt} = 0$。

   • 黏滯力 $\nu\nabla^2\vec{V}$：
     由於流體靜止，$\vec{V} = 0$，因此其拉普拉斯算子 $\nabla^2\vec{V} = \nabla^2(0) = 0$。

核心觀念

本題考查「系統觀點」與「控制體積觀點」之間的轉換，即 Reynolds Transport Theorem（雷諾傳輸定理，RTT）。

• 系統（system）：由固定的一群流體質點所組成，系統邊界會隨流體運動。
• 控制體積（control volume, CV）：空間中選定的區域，可固定不動，也可隨時間移動或變形。
• $B$：系統所具有的廣延量，例如質量、動量、總能量。
• $b$：單位質量所具有的比廣延量：

$$b=\frac{B}{m}$$

因此，控制體積內的廣延量為

$$B_{CV}=\int_{CV}\rho b\,dV$$

其中 $\rho$ 為密度。

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解題方法：以瞬時控制體積進行守恆轉換

在時間 $t$ 瞬間，使控制體積 $CV$ 與系統所占據的空間重合。經過微小時間 $dt$ 後，系統隨流體移動，而控制體積可視為固定在空間中。

系統性質的變化可分成兩部分：

1. 控制體積內原有流體所造成的性質累積或減少。
2. 流體穿越控制面所造成的淨輸入或輸出。

系統在時間 $t$ 至 $t+dt$ 間的性質變化為

$$dB_{sys} = \left[ \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV}\rho b\,dV \right]dt + \left[ \oint_{CS}\rho b(\vec V\cdot\vec n)\,dA \right]dt$$

兩邊除以 $dt$，得到

$$\frac{DB_{sys}}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV}\rho b\,dV + \oint_{CS}\rho b(\vec V\cdot\vec n)\,dA$$

這就是 Reynolds Transport Theorem。

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各項的物理意義

1. 系統性質的時間變化率

$$\frac{DB_{sys}}{Dt}$$

此項表示固定一群流體質點所攜帶的廣延量 $B$，隨時間的實質變化率。

符號 $D/Dt$ 為物質導數，代表「跟著流體一起移動」所觀察到的變化。例如：

• $B=m$ 時，表示系統質量的變化率。
• $B=\vec P=m\vec V$ 時，表示系統動量的變化率。
• $B=E$ 時，表示系統總能量的變化率。

對封閉系統而言，系統由同一群流體質點組成，因此質量滿足

$$\frac{Dm_{sys}}{Dt}=0$$

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2. 控制體積內的累積項

$$\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV}\rho b\,dV$$

此項表示在固定控制體積內，廣延量 $B$ 隨時間的局部累積率。

• 若此項為正，代表控制體積內的 $B$ 正在增加。
• 若此項為負，代表控制體積內的 $B$ 正在減少。
• 若流場為定常流，且控制體積固定，則此項為零。

此項只描述控制體積內部儲存量的變化，不包含流體穿越控制面的效果。

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3. 控制面上的淨流出項

$$\oint_{CS}\rho b(\vec V\cdot\vec n)\,dA$$

此項表示廣延量 $B$ 經由控制面輸出的淨流率。

其中：

• $\vec V$ 為流體速度。
• $\vec n$ 為控制面外法線單位向量。
• $\vec V\cdot\vec n$ 為速度在外法線方向的分量。
• $\rho b$ 為單位體積所攜帶的廣延量。
• $dA$ 為控制面上的微小面積。

若

$$\vec V\cdot\vec n>0$$

表示流體向外流出，該部分對控制體積造成淨流出。

若

$$\vec V\cdot\vec n<0$$

表示流體流入控制體積，因此積分中的該部分為負值。

控制面積分採用「流出為正、流入為負」的符號慣例。

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控制體積為固定區域時的形式

題目所給公式適用於固定控制體積。若控制體積內的流場可視為均勻，則累積項可寫成

核心觀念

活塞前進會排開疫苗，其體積流率等於注射器截面積乘上活塞速度：

$$Q_p=A_sV_p$$

依體積守恆，活塞排開的流量分成針頭出口流量與活塞旁的洩漏流量：

$$Q_p=Q_{\text{out}}+Q_{\text{leak}}$$

解題方法

題目給定洩漏流量為針頭出口流量的 $0.1$ 倍，因此

$$Q_{\text{leak}}=0.1Q_{\text{out}}$$

代入體積守恆式：

$$A_sV_p=Q_{\text{out}}+0.1Q_{\text{out}}=1.1Q_{\text{out}}$$

針頭出口平均速度為 $V_{\text{out}}=Q_{\text{out}}/A_n$，所以

此題要求推導龍捲風內部的壓力分佈，假設風沿著水平圓形流線運動。這是一個典型的應用牛頓第二定律於旋轉座標系或考慮離心力效應的問題。

核心觀念：
在旋轉流或圓形流線流動中，由於離心力的作用，壓力會隨著半徑增大而變化。我們可以利用徑向上的力平衡來推導壓力分佈。

解題步驟：

1. 建立物理模型與假設：

   • 龍捲風被假設為一個旋轉的空氣質量，風沿著水平圓形流線運動。
   • 流場是穩態的 (steady)。
   • 我們考慮一個質量為 $dm$ 的微小空氣團，其半徑為 $r$，速度為 $V(r)$。
   • 重力影響在水平方向上忽略不計，因為流線是水平的。
   • 我們主要關注徑向上的力平衡。

2. 分析作用在微小空氣團上的力：
   對於一個半徑為 $r$ 的微小空氣團，其質量為 $dm = \rho dV = \rho (dA \cdot dr)$，其中 $\rho$ 是空氣密度，$dV$ 是微小體積，$dA$ 是流線的橫截面積。
   作用在該空氣團上的徑向力是壓力梯度力，它提供質點做圓周運動所需的向心力。

   • 徑向壓力梯度力：
     在半徑 $r$ 處的壓力為 $P(r)$，在半徑 $r+dr$ 處的壓力為 $P(r+dr)$。
     作用在微小空氣團上的淨徑向壓力差為：
     $dF_p = P(r) dA - P(r+dr) dA$
     由於 $P(r+dr) \approx P(r) + \frac{dP}{dr} dr$，
     $dF_p = P(r) dA - (P(r) + \frac{dP}{dr} dr) dA = -\frac{dP}{dr} dr dA = -\frac{dP}{dr} dV$
     這個力是朝向圓心（負徑向）的。

   • 離心力 (視為慣性力)：
     在旋轉參考系中，我們需要考慮離心力。對於質量為 $dm$ 的空氣團，其速度為 $V(r)$，做半徑為 $r$ 的圓周運動，其離心慣性力為：
     $dF_c = dm \frac{V(r)^2}{r}$ (朝向外，即正徑向)
     $dF_c = (\rho dV) \frac{V(r)^2}{r} = \rho (dA \cdot dr) \frac{V(r)^2}{r}$

3. 建立徑向力的平衡方程式：
   如果我們在慣性參考系中分析，那麼徑向壓力梯度力提供向心力。
   向心力 $F_{centripetal} = dm \frac{V(r)^2}{r}$ (朝向圓心)
   徑向淨力 $dF_{net\_radial} = P(r) dA - P(r+dr) dA = -\frac{dP}{dr} dV$ (朝向圓心)
   所以，$-\frac{dP}{dr} dV = dm \frac{V(r)^2}{r}$
   $-\frac{dP}{dr} dV = (\rho dV) \frac{V(r)^2}{r}$
   $-\frac{dP}{dr} = \rho \frac{V(r)^2}{r}$
   $\frac{dP}{dr} = -\rho \frac{V(r)^2}{r}$

   或者，在旋轉座標系中，我們考慮靜力平衡（相對於旋轉參考系）。
   徑向壓力差 + 離心力 = 0
   $-\frac{dP}{dr} dV + dm \frac{V(r)^2}{r} = 0$
   $-\frac{dP}{dr} dV + (\rho dV) \frac{V(r)^2}{r} = 0$
   $-\frac{dP}{dr} + \rho \frac{V(r)^2}{r} = 0$
   $\frac{dP}{dr} = \rho \frac{V(r)^2}{r}$
   這個方程式表示壓力隨半徑 $r$ 增加而增加，以平衡向外的離心力。

4. 考慮龍捲風的兩種模型：自由渦旋 (Free Vortex) 和強制渦旋 (Forced Vortex)
   圖 2 顯示了「Forced vortex」和「Free vortex」的概念。

   • 強制渦旋 (Forced Vortex)： 在這種模型中，角速度 $\omega$ 是常數，即 $V(r) = \omega r$。這類似於固體旋轉。
   • 自由渦旋 (Free Vortex)： 在這種模型中，角動量 $rV(r)$ 是常數，即 $V(r) = \frac{C}{r}$，其中 $C$ 是常數。這在理想情況下（無黏滯）的渦旋中經常出現。

   龍捲風的結構通常被描述為內部的「眼睛」區域（低壓、靜止或緩慢移動），外圍是高速旋轉的空氣。在靠近眼睛的區域，可能更接近自由渦旋；在離眼睛較遠的區域，可能行為有所不同。圖 2 中的「Forced vortex」圖示似乎是描述了角速度恆定，而「Free vortex」圖示描述了速度隨半徑倒數變化。

   題目要求「Determine the pressure distribution within the tornado as a function of r」，但沒有明確指定是哪種渦旋模型。通常，龍捲風的整體模型更接近自由渦旋，尤其是在遠離核心的區域。然而，靠近核心的區域，可能由於黏滯性或其他因素，行為會偏離純粹的自由渦旋。

   情況一：假設為自由渦旋 (Free Vortex)
   $V(r) = \frac{C}{r}$
   代入壓力梯度方程式：
   $\frac{dP}{dr} = \rho \frac{V(r)^2}{r} = \rho \frac{(C/r)^2}{r} = \rho \frac{C^2}{r^3}$
   積分上式以求得壓力 $P(r)$：
   $P(r) - P_{ref} = \int_{r_{ref}}^{r} \rho \frac{C^2}{r'^3} dr'$
   $P(r) - P_{ref} = \rho C^2 \left[ -\frac{1}{2r'^2} \right]_{r_{ref}}^{r}$
   $P(r) - P_{ref} = \rho C^2 \left( -\frac{1}{2r^2} + \frac{1}{2r_{ref}^2} \right)$
   $P(r) = P_{ref} + \frac{\rho C^2}{2r_{ref}^2} - \frac{\rho C^2}{2r^2}$
   令 $P_{ref}$ 為參考半徑 $r_{ref}$ 處的壓力。我們可以將常數項合併。
   令 $P_{ref}$ 為遠處（例如，當 $r \to \infty$ 時）的壓力 $P_\infty$。如果我們假設 $r_{ref}$ 趨近無窮大，則 $\frac{1}{2r_{ref}^2} \to 0$。
   $P(r) = P_\infty - \frac{\rho C^2}{2r^2}$
   這個結果表明，在自由渦旋模型中，壓力隨半徑的平方反比增加。在中心區域（$r \to 0$），壓力趨近於負無窮大，這在物理上是不現實的，說明純粹的自由渦旋模型無法描述龍捲風的中心「眼睛」區域。

   情況二：假設為強制渦旋 (Forced Vortex)
   $V(r) = \omega r$
   代入壓力梯度方程式：
   $\frac{dP}{dr} = \rho \frac{V(r)^2}{r} = \rho \frac{(\omega r)^2}{r} = \rho \frac{\omega^2 r^2}{r} = \rho \omega^2 r$
   積分上式以求得壓力 $P(r)$：
   $P(r) - P_{ref} = \int_{r_{ref}}^{r} \rho \omega^2 r' dr'$
   $P(r) - P_{ref} = \rho \omega^2 \left[ \frac{r'^2}{2} \right]_{r_{ref}}^{r}$
   $P(r) - P_{ref} = \rho \omega^2 \left( \frac{r^2}{2} - \frac{r_{ref}^2}{2} \right)$
   $P(r) = P_{ref} - \frac{\rho \omega^2 r_{ref}^2}{2} + \frac{\rho \omega^2 r^2}{2}$
   令 $P_{ref}$ 為半徑 $r_{ref}$ 處的壓力。
   $P(r) = P_{ref} + \frac{\rho \omega^2}{2} (r^2 - r_{ref}^2)$
   這個結果表明，在強制渦旋模型中，壓力隨半徑的平方成比例增加。這在物理上是合理的，因為壓力梯度可以平衡向外的離心力。

此題考驗對動量定理 (Momentum Theorem) 和推進效率 (Propulsive Efficiency) 的應用。需要計算螺旋槳產生的推力，以及在理想情況下的效率。

核心觀念：

1. 推力 (Thrust)： 螺旋槳透過加速流體來產生推力。根據動量定理，作用在流體上的動量變化率等於作用在流體上的淨力。反作用力就是螺旋槳對船隻產生的推力。
2. 理想效率 (Ideal Efficiency)： 在理想情況下，螺旋槳效率的定義是螺旋槳對流體做的有用功與螺旋槳消耗的總功率之比。這裡的「有用功」是指使船隻前進的推力所做的功。

解題步驟：

1. 定義參數：

   • 螺旋槳半徑 $R = 60 \text{ mm} = 0.06 \text{ m}$
   • 螺旋槳橫截面積 $A = \pi R^2 = \pi (0.06 \text{ m})^2 = 0.0036\pi \text{ m}^2$
   • 船隻速度 $V_{boat} = 2 \text{ m/s}$
   • 流體（水）的體積流量 $Q = 0.04 \text{ m}^3/\text{s}$
   • 假設水的密度 $\rho \approx 1000 \text{ kg/m}^3$ (標準值)

2. 計算流體的質量流量 ($\dot{m}$)：
   體積流量 $Q$ 和密度 $\rho$ 可以計算出質量流量：
   $\dot{m} = \rho Q = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 0.04 \text{ m}^3/\text{s} = 40 \text{ kg/s}$

3. 確定流體速度的變化：
   螺旋槳將水從靜止（相對於螺旋槳工作前的流體）加速到一個更高的速度，這個速度是相對於螺旋槳的。
   設進入螺旋槳區域的水的速度為 $V_1$ (相對於螺旋槳)，離開螺旋槳區域的水的速度為 $V_2$ (相對於螺旋槳)。
   由於我們是從船隻的參考系來分析，船隻以 $V_{boat}$ 前進。
   流體在進入螺旋槳前，相對於螺旋槳的速度是 $V_1 = V_{boat}$ (如果螺旋槳是靜止的，流體就以 $V_{boat}$ 流向它)。
   螺旋槳的作用是將流體加速，使其離開螺旋槳時的速度（相對於螺旋槳）為 $V_2$。
   因此，流體離開螺旋槳時，相對於螺旋槳的速度是 $V_2$。
   在船隻參考系中，離開螺旋槳的水的速度為 $V_{out\_water} = V_2 - V_{boat}$。

   然而，更直接的方法是考慮動量守恆。
   我們假設進流速度 $V_1$ 是流體相對於螺旋槳的速度。
   如果我們考慮一個固定的螺旋槳，它吸入速度為 $V_{boat}$ 的水，並將其以速度 $V_{out}$ 排出。
   那麼，進流速度 $V_1 = V_{boat}$。
   出口速度 $V_2$ 是螺旋槳對水產生的速度。
   一個常見的簡化模型是，認為螺旋槳的作用是將進入螺旋槳盤面的流體（速度為 $V_1$）加速到一個平均出口速度 $V_2$。
   那麼，速度的增加量是 $\Delta V = V_2 - V_1$。

   另一種更標準的分析方法是：
   假設螺旋槳盤面處的進流速度（相對於螺旋槳）為 $V_1$，出口速度（相對於螺旋槳）為 $V_2$。
   船速為 $V_{boat}$。
   那麼，進入螺旋槳盤面的流體速度（在地面參考系）是 $V_{boat}$。
   螺旋槳加速後的流體速度（在地面參考系）是 $V_2 - V_{boat}$。
   這裡的 $V_1$ 和 $V_2$ 通常是指相對於螺旋槳的平均速度。
   假設螺旋槳盤面前方的流體速度為 $V_1$ (相對於螺旋槳)。
   螺旋槳盤面後的流體速度為 $V_2$ (相對於螺旋槳)。
   船隻速度為 $V_{boat}$。
   那麼，進入螺旋槳盤面的流體速度（地面參考系）為 $V_{boat}$。
   離開螺旋槳盤面的流體速度（地面參考系）為 $V_2 - V_{boat}$。
   我們需要知道 $V_1$ 和 $V_2$。

   題目給出了流體通過螺旋槳的體積流量 $Q = 0.04 \text{ m}^3/\text{s}$。
   這個流量是通過螺旋槳盤面 $A$ 的。
   $Q = A \times V_{eff}$，其中 $V_{eff}$ 是螺旋槳盤面處的有效速度。
   $V_{eff} = Q/A = (0.04 \text{ m}^3/\text{s}) / (0.0036\pi \text{ m}^2) \approx 3.5368 \text{ m/s}$。
   這個 $V_{eff}$ 可以理解為流體流過螺旋槳盤面的平均速度。

   現在，我們如何將 $V_{eff}$ 與 $V_1$ 和 $V_2$ 聯繫起來？
   在理想螺旋槳理論中，我們通常假設 $V_1$ 是進入螺旋槳盤面的速度，而 $V_2$ 是離開螺旋槳盤面的速度。
   一個重要的簡化是假設 $V_1$ 是進入螺旋槳盤面的速度，而 $V_2$ 是離開螺旋槳盤面的速度。
   並且，我們假設 $V_{eff}$ 就是平均速度，即 $V_{eff} = (V_1 + V_2) / 2$。
   但是，這需要知道 $V_1$ 和 $V_2$ 的關係。

   另一種常見的分析方法是：
   假設螺旋槳盤面處的進流速度（相對於螺旋槳）為 $V_1$。
   螺旋槳盤面後的流體速度（相對於螺旋槳）為 $V_2$。
   船速為 $V_{boat}$。
   那麼，流體通過螺旋槳盤面的平均速度是 $V_{avg} = Q/A$。
   在理想情況下，我們假設 $V_{avg}$ 是 $V_1$ 和 $V_2$ 的平均值： $V_{avg} = (V_1 + V_2) / 2$。
   並且，我們知道 $V_1$ 是進流速度，它應該與船速有關。
   在沒有其他資訊的情況下，通常假設 $V_1$ 就是船速 $V_{boat}$。
   所以，$V_{boat} = (V_{boat} + V_2) / 2$ 嗎？這不對。

   正確的理解是：
   進入螺旋槳盤面的流體速度（相對於螺旋槳）是 $V_1$。
   離開螺旋槳盤面的流體速度（相對於螺旋槳）是 $V_2$。
   船隻速度為 $V_{boat}$。
   流體通過螺旋槳盤面的體積流量 $Q$ 是由螺旋槳吸入並加速的。
   一般情況下，進流速度 $V_1$ 不是直接等於船速 $V_{boat}$。
   但是，在計算推力時，我們通常考慮的是流體相對於螺旋槳的速度變化。

   動量定理應用：
   考慮一個控制體積，包含螺旋槳盤面前後的一段流體。
   作用在流體上的力是螺旋槳施加的推力 $T$ (反作用力)。
   流體進入的速度（相對於螺旋槳）是 $V_1$。
   流體離開的速度（相對於螺旋槳）是 $V_2$。
   質量流量 $\dot{m} = \rho A V_1$ (這個 $V_1$ 是盤面處的平均速度，通常不是船速)。
   更常見的假設是，螺旋槳盤面處的平均速度為 $V_{avg} = Q/A$。
   並且，假設 $V_{avg}$ 是 $V_1$ 和 $V_2$ 的算術平均值： $V_{avg} = (V_1 + V_2) / 2$。
   此時，我們需要知道 $V_1$。

   如果題目給出 $Q$ 和 $A$，那麼 $Q/A$ 就是通過螺旋槳的平均速度。
   我們假設這個平均速度 $V_{avg} = Q/A$ 是流體通過螺旋槳盤面的平均速度。
   在理想情況下，我們假設 $V_{avg} = (V_1 + V_2) / 2$，其中 $V_1$ 是進流速度，$V_2$ 是出流速度。
   並且，我們需要知道 $V_1$。

   題目沒有直接給出 $V_1$ 或 $V_2$。但是，船隻的速度是 $V_{boat}=2 \text{ m/s}$。
   通常，對於螺旋槳的分析，我們需要知道兩個速度：

   1. 流體進入螺旋槳盤面的速度（相對於螺旋槳）。
   2. 流體離開螺旋槳盤面的速度（相對於螺旋槳）。

   這裡有一個關鍵的理解：
   題目給出的 $Q = 0.04 \text{ m}^3/\text{s}$ 是流體通過螺旋槳盤面的體積流量。
   螺旋槳盤面的面積 $A = 0.0036\pi \text{ m}^2$。
   因此，流體通過螺旋槳盤面的平均速度為 $V_{avg} = Q/A$。
   $V_{avg} = (0.04 \text{ m}^3/\text{s}) / (0.0036\pi \text{ m}^2) \approx 3.5368 \text{ m/s}$。

   在理想螺旋槳理論中，我們假設：

   • 進入螺旋槳盤面的流體速度（相對於螺旋槳）為 $V_1$。
   • 離開螺旋槳盤面的流體速度（相對於螺旋槳）為 $V_2$。
   • 船隻速度為 $V_{boat}$。
   • 流體通過螺旋槳盤面的平均速度 $V_{avg} = Q/A$。
   • 一個重要的假設是 $V_{avg} = (V_1 + V_2) / 2$。
   • 另一個關於 $V_1$ 的假設： $V_1$ 是流體進入螺旋槳盤面的速度。在沒有其他資訊時，我們通常將 $V_1$ 與船速 $V_{boat}$ 聯繫起來。
     最常見的假設是，進入螺旋槳盤面的流體速度（相對於螺旋槳）是 $V_1 = V_{boat}$。
     但是，題目給的 $Q$ 是總流量，這意味著 $Q = A \times V_{avg}$。
     所以，如果 $V_{avg} = (V_1 + V_2) / 2$，且 $V_1 = V_{boat}$，那麼 $Q/A = (V_{boat} + V_2) / 2$。
     從這裡可以解出 $V_2$。

   讓我們採用這個假設：
   $V_{boat} = 2 \text{ m/s}$
   $V_{avg} = Q/A \approx 3.5368 \text{ m/s}$
   $V_{avg} = (V_{boat} + V_2) / 2$
   $3.5368 = (2 + V_2) / 2$
   $7.0736 = 2 + V_2$
   $V_2 = 7.0736 - 2 = 5.0736 \text{ m/s}$。
   這是流體離開螺旋槳盤面的速度（相對於螺旋槳）。

   現在可以計算推力 $T$ 了。
   動量定理：$T = \dot{m} (V_2 - V_1)$
   其中 $V_1$ 是進入盤面的速度，$V_2$ 是離開盤面的速度。
   這裡的 $V_1$ 和 $V_2$ 是相對於螺旋槳的速度。
   我們假設 $V_1 = V_{boat} = 2 \text{ m/s}$。
   我們計算得到 $V_2 \approx 5.0736 \text{ m/s}$。
   $\dot{m} = 40 \text{ kg/s}$
   $T = 40 \text{ kg/s} \times (5.0736 \text{ m/s} - 2 \text{ m/s})$
   $T = 40 \times 3.0736 \text{ N}$
   $T \approx 122.944 \text{ N}$

   讓我們用精確值計算：
   $A = 0.0036\pi \text{ m}^2$
   $V_{avg} = Q/A = 0.04 / (0.0036\pi) = 10 / (0.9\pi) = 100 / (9\pi) \text{ m/s}$
   $V_{avg} \approx 3.53677... \text{ m/s}$
   $V_{boat} = 2 \text{ m/s}$
   $V_{avg} = (V_{boat} + V_2) / 2$
   $V_2 = 2 V_{avg} - V_{boat} = 2 \times (100 / (9\pi)) - 2 = 200 / (9\pi) - 2 \text{ m/s}$