109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《流體力學》

本題考驗毛細現象的原理與應用，包含上升高度的計算以及蒸氣壓對最大上升高度的影響。

第一部分：計算毛細管上升高度

毛細現象是液體在細管內側，由於液體與管壁間的黏附力（或稱附著力）大於液體內聚力，而引起液面高出或低於管外液面的現象。在本文中，水會因為附著力而沿著管壁上升。

上升的高度 $h$ 可由力平衡來計算。在管內上升的水柱所受的重力，必須與管壁上表面張力所提供的向上拉力平衡。

液體上升的水柱重量為 $W = \rho g V = \rho g (\frac{\pi D^2}{4} h)$，其中 $\rho$ 是水的密度，g 是重力加速度，D 是管徑。
然而，題目給的表面張力 $\gamma = 0.07$ kg/sec²，這是一個力的單位，通常表示為牛頓 (N) 或達因 (dyne)。在國際單位制 (SI) 中，力的單位是牛頓 (N)，而 kg/sec² 並非標準的力的單位。假設題目意指的是表面張力係數 $\sigma$，單位為 N/m 或 dyne/cm。若題目給的 0.07 kg/sec² 是指表面張力 $\sigma$，且其單位應為 N/m，則需將其轉換。

一個常見的表面張力單位是 N/m。1 N = 1 kg·m/s²。所以 0.07 kg/sec² 聽起來像是某種力的表示法，但不是標準的表面張力單位。
若假設題目給的 0.07 kg/sec² 是表面張力係數 $\sigma$ 的數值，且其單位應為 N/m，則需要知道水的密度 $\rho$ 和重力加速度 $g$。
水的密度 $\rho \approx 1000$ kg/m³。
重力加速度 $g \approx 9.81$ m/s²。

管壁上由表面張力提供的向上拉力，作用在圓周上，其總力為 $F_s = \sigma \pi D \cos\theta$，其中 $\sigma$ 是表面張力係數，D 是管徑，$\theta$ 是接觸角。

然而，題目給的表面張力單位是 kg/sec²。這是一個非常奇怪的單位，它看起來像是質量乘以加速度但缺少了長度單位。如果我們假設 0.07 kg/sec² 實際上代表的是一個「力」，而不是表面張力係數，那麼題目可能是在暗示一個與質量相關的力。
但根據毛細現象的原理，我們需要的是表面張力係數 $\sigma$（單位 N/m 或 dyne/cm）。
如果我們將 0.07 kg/sec² 解讀為 $F/L$ 的形式，例如 $0.07 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}^2 / \text{m} = 0.07 \, \text{N/m}$，這才是一個標準的表面張力係數單位。
我們採用這個假設，即表面張力係數 $\sigma = 0.07$ N/m。

管內徑 $D = 1$ mm $= 1 \times 10^{-3}$ m。
接觸角 $\theta = 10^\circ$。
水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³。
重力加速度 $g = 9.81$ m/s²。

力平衡方程式：
管內液體上升的水柱重力 = 管壁上總表面張力
$W = F_s$
$\rho g (\frac{\pi D^2}{4} h) = \sigma \pi D \cos\theta$

解出 $h$:
$h = \frac{4 \sigma \cos\theta}{\rho g D}$

代入數值：
$h = \frac{4 \times (0.07 \, \text{N/m}) \times \cos(10^\circ)}{(1000 \, \text{kg/m}^3) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (1 \times 10^{-3} \, \text{m})}$
$h = \frac{4 \times 0.07 \times 0.9848}{1000 \times 9.81 \times 10^{-3}}$
$h = \frac{0.2757}{9.81} \approx 0.0281$ m

所以，毛細管上升的高度約為 0.0281 公尺，或 2.81 公分。

第二部分：考慮蒸氣壓與最大毛細管高度

當液體在毛細管中上升到一定高度時，管頂的液面上方的空間會充滿液體的蒸氣。如果管頂的壓力低於液體的蒸氣壓，液體就會開始汽化。題目給定的蒸氣壓為 $P_v = 0.017$ bar。

1 bar $= 10^5$ Pa。
$P_v = 0.017 \times 10^5 \, \text{Pa} = 1700 \, \text{Pa}$。

在毛細管上升的高度 $h_{max}$ 時，管頂的壓力 $P_{top}$ 會等於液體的蒸氣壓 $P_v$。
管頂的壓力 $P_{top}$ 是由外部大氣壓力（或桶中液面的壓力）減去管內液體柱的靜壓力來計算：
$P_{top} = P_{bucket} - \rho g h_{max}$

在桶中的液面壓力 $P_{bucket}$ 通常是外部大氣壓力 $P_{atm}$。
$P_{atm} = 1.01325 \times 10^5 \, \text{Pa}$ (標準大氣壓)。
如果題目沒有特別說明桶中液面的壓力，我們通常假設為大氣壓力。

當液體開始汽化時，管頂壓力 $P_{top}$ 達到蒸氣壓 $P_v$。
$P_v = P_{atm} - \rho g h_{max}$

解出最大毛細管高度 $h_{max}$:
$\rho g h_{max} = P_{atm} - P_v$
$h_{max} = \frac{P_{atm} - P_v}{\rho g}$

代入數值：
$h_{max} = \frac{(1.01325 \times 10^5 \, \text{Pa}) - (1700 \, \text{Pa})}{(1000 \, \text{kg/m}^3) \times (9.81 \, \text{m/s}^2)}$
$h_{max} = \frac{101325 - 1700}{9810} = \frac{99625}{9810} \approx 10.155$ m

這個計算結果 $h_{max} \approx 10.155$ m 是指在蒸氣壓限制下，液體能夠上升的最大高度。
但是，第一部分的計算結果顯示，對於 1 mm 的管徑，毛細管上升高度只有約 0.0281 m。這表示在 1 mm 的管徑下，水柱的重力不足以將液面推到足以產生 0.017 bar 蒸氣壓的低壓區域。

題目問的是「what is the maximum capillary height that can be reached」。這個高度 $h_{max}$ 是受限於蒸氣壓的。
同時，題目也問「and what size of capillary is needed?」。這表示我們需要找到一個管徑 D，使得在蒸氣壓限制下，毛細管上升的高度 $h$ 能夠達到 $h_{max}$。

我們需要找到一個管徑 $D_{needed}$，使得：
$h = \frac{4 \sigma \cos\theta}{\rho g D_{needed}} = h_{max}$

解出 $D_{needed}$:
$D_{needed} = \frac{4 \sigma \cos\theta}{\rho g h_{max}}$

代入數值：
$\sigma = 0.07$ N/m
$\cos\theta = \cos(10^\circ) \approx 0.9848$
$\rho = 1000$ kg/m³
$g = 9.81$ m/s²
$h_{max} \approx 10.155$ m

$D_{needed} = \frac{4 \times (0.07 \, \text{N/m}) \times 0.9848}{(1000 \, \text{kg/m}^3) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (10.155 \, \text{m})}$
$D_{needed} = \frac{0.2757}{99625} \approx 2.768 \times 10^{-6}$ m

這個結果 $D_{needed}$ 非常小，約 2.77 微米。這意味著，如果我們想要讓水因為毛細現象上升到 10.155 公尺的高度（這高度遠超過一般毛細管現象能達到的高度），並且在上升

核心觀念

本題考查：

• 穩態、充分發展、平面 Poiseuille 流；
• 不可壓縮流體的連續方程與動量方程；
• 由壓力梯度求剪應力分布；
• 非牛頓流體的本構關係；
• 速度剖面與平均速度的定義。

通道上下壁面位於 $y=\pm h/2$，中心線為 $y=0$。由於流動充分發展，因此

$$u=u(y),\qquad v=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial x}=0.$$

令外加壓力梯度為

$$G=-\frac{dp}{dx}>0.$$

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解題方法

1. 求剪應力分布

在穩態、無體積力的 $x$ 方向動量方程中，

$$0=-\frac{dp}{dx}+\frac{d\sigma_{xy}}{dy}.$$

因此

$$\frac{d\sigma_{xy}}{dy}=\frac{dp}{dx}=-G.$$

由中心線對稱性，中心線處剪應力為零：

$$\sigma_{xy}(0)=0.$$

故

$$\sigma_{xy}=-Gy.$$

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2. 套用非牛頓本構關係

因為 $v=0$ 且 $\partial u/\partial x=0$，圖中的剪切速率項化為

$$\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{du}{dy}.$$

上半部：$y>0$

題目給定

$$\sigma_{xy}=-c\left(\frac{du}{dy}\right)^2.$$

與 $\sigma_{xy}=-Gy$ 聯立：

$$-c\left(\frac{du}{dy}\right)^2=-Gy,$$

所以

$$\left(\frac{du}{dy}\right)^2=\frac{Gy}{c}.$$

上半部速度由壁面往中心線增加，因此 $du/dy<0$，故

$$\frac{du}{dy}=-\sqrt{\frac{Gy}{c}}.$$

利用上壁面無滑移條件 $u(h/2)=0$：

$$u(y)=\int_y^{h/2}\sqrt{\frac{Gs}{c}}\,ds.$$

積分得

核心觀念

本題利用圓管內流動的 Moody chart，聯立下列兩個關係：

$$f=\frac{D(-dp/dx)}{\frac{1}{2}\rho V^2}$$ $$Re=\frac{\rho DV}{\mu}$$

其中壓力梯度為

$$-\frac{dp}{dx}=\frac{\Delta p}{L}$$

題目所給 $\mu=2.76\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$ 實際上是運動黏度，且與題目提供的 Reynolds 數公式一致，因此以下依題設直接代入。

解題方法

已知

$$\rho=1.2\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \nu=2.76\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$$ $$D=0.5\ \mathrm{m},\qquad L=50\ \mathrm{m},\qquad \Delta p=1\ \mathrm{Pa}$$

壓力梯度為

$$-\frac{dp}{dx}=\frac{\Delta p}{L} =\frac{1}{50} =0.02\ \mathrm{Pa/m}$$

因此摩擦因子可表示為

$$f= \frac{0.5(0.02)} {\frac{1}{2}(1.2)V^2} = \frac{0.01667}{V^2}$$

Reynolds 數為

$$Re=\frac{DV}{\nu} =\frac{0.5V}{2.76\times10^{-6}} =1.812\times10^5V$$

核心觀念

本題考查圓形平板下壓時的軸對稱擠壓流（squeeze flow），主要使用：

• 不可壓縮流體的連續方程式
• 徑向 Euler 方程式
• 壓力對平板作用力的面積積分

設間隙高度為 $h(t)$，平板以速度 $U_0$ 垂直向下移動，因此

$$\frac{dh}{dt}=-U_0$$

取徑向向外為正，則流體被擠向外側。

(a) 求徑向速度 $u(r,t)$

由於流場為軸對稱，且假設徑向速度在間隙高度方向為常數，連續方程式為

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(ru\right) +\frac{\partial w}{\partial z}=0$$

底面固定，頂面以 $U_0$ 向下移動，所以垂直速度梯度為

$$\frac{\partial w}{\partial z} =\frac{-U_0-0}{h} =-\frac{U_0}{h}$$

代入連續方程式：

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(ru) =\frac{U_0}{h}$$

因此

$$\frac{\partial}{\partial r}(ru) =\frac{U_0}{h}r$$

由圓心處速度有限，積分常數為零，故

$$ru=\frac{U_0}{2h}r^2$$

得到徑向速度

$$\boxed{u(r,t)=\frac{U_0 r}{2h}}$$

速度方向為徑向向外。

(b) 求壓力分布 $p(r)$

流體為無黏性，因此使用徑向 Euler 方程式：

$$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial r} \right) =-\frac{dp}{dr}$$

由

$$u=\frac{U_0r}{2h}$$

且 $\dot h=-U_0$，可得

$$\frac{\partial u}{\partial t} =-\frac{U_0r}{2h^2}\frac{dh}{dt} =\frac{U_0^2r}{2h^2}$$

以及

$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{U_0}{2h}$$

所以對流加速度為

$$u\frac{\partial u}{\partial r} =\frac{U_0^2r}{4h^2}$$

總加速度為

本題考驗使用因次分析 (Dimensional Analysis) 來推導物理量之間的關係，並應用此關係進行預測。這是流體力學中處理複雜現象的常用方法。

核心觀念：

1. 因次分析 (Buckingham Pi Theorem)： 該定理指出，如果一個物理現象涉及 $n$ 個變數，而這些變數有 $k$ 個基本因次 (如質量 M, 長度 L, 時間 T)，那麼這個現象可以用 $n-k$ 個無因次參數 (Pi terms, $\Pi$) 來描述。
2. 應用： 我們要找出能量 $E$ 如何依賴於衝擊波半徑 $R$、時間 $t$ 和空氣密度 $\rho$。

(a) 使用因次分析求解 E 的依賴性

1. 確定相關變數及其因次：

   • 能量 $E$ (Joule)。單位是 $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$。因次：$[M L^2 T^{-2}]$。
   • 衝擊波半徑 $R$ (m)。因次：$[L]$。
   • 時間 $t$ (sec)。因次：$[T]$。
   • 空氣密度 $\rho$ (kg/m³)。因次：$[M L^{-3}]$。

   共有 $n=4$ 個變數。
   基本因次有 $k=3$ (M, L, T)。
   因此，我們預期有 $n-k = 4-3 = 1$ 個無因次參數 $\Pi$。

2. 建立關係式：
   假設能量 $E$ 與 $R, t, \rho$ 的關係為：
   $E = C \cdot R^a \cdot t^b \cdot \rho^c$
   其中 $C$ 是一個無因次常數，a, b, c 是待定的指數。

3. 列出因次平衡方程式：
   將各變數的因次代入：
   $[M L^2 T^{-2}] = [L]^a \cdot [T]^b \cdot [M L^{-3}]^c$
   $[M^1 L^2 T^{-2}] = [L^a] \cdot [T^b] \cdot [M^c L^{-3c}]$
   $[M^1 L^2 T^{-2}] = [M^c] \cdot [L^{a-3c}] \cdot [T^b]$

   比較兩邊的指數：
   M: $1 = c$
   L: $2 = a - 3c$
   T: $-2 = b$

4. 求解指數：
   由 M 的平衡，得到 $c = 1$。
   由 T 的平衡，得到 $b = -2$。
   由 L 的平衡，將 $c=1$ 代入：$2 = a - 3(1) \implies 2 = a - 3 \implies a = 5$。

5. 寫出關係式：
   將求得的指數代回關係式：
   $E = C \cdot R^5 \cdot t^{-2} \cdot \rho^1$
   $E = C \frac{R^5 \rho}{t^2}$

   這個結果表明，能量 $E$ 與 $R^5$ 成正比，與 $t^2$ 成反比，與 $\rho$ 成正比。
   這個結果是 G.I. Taylor 的著名發現，他發現爆炸能量 $E$ 與 $R^5/t^2$ 成正比。

(b) 預測 $t=0.016$ 秒時的衝擊波半徑

核心觀念

本題考查球體外流的阻力係數與雷諾數關係：

$$Re=\frac{UD}{\nu}$$

球體阻力為

$$F_D=C_D\left(\frac{1}{2}\rho U^2\right)\left(\frac{\pi D^2}{4}\right)$$

其中 $C_D$ 受表面粗糙度 $\varepsilon/D$ 與雷諾數 $Re$ 影響。圖中各曲線的突然降落，代表球體表面邊界層由層流轉為紊流，引發阻力危機（drag crisis）。

（a）阻力突然下降的原因與高爾夫球凹痕的作用

球體前方的流體受到壓力作用而減速，形成邊界層。當邊界層為層流時，流體動量較低，容易在球體後方因逆壓力梯度而分離。

此時：

• 流線較早分離；
• 球後方形成較大的尾流區；
• 前後壓力差較大；
• 形狀阻力（壓力阻力）很大。

當雷諾數提高，或球面粗糙度使邊界層提早轉為紊流時，紊流邊界層具有較強的動量交換能力，靠近球面處的流體能量較高，因此能抵抗逆壓力梯度，使流動延後分離。

結果為：

• 分離點向球體後方移動；
• 尾流區縮小；
• 前後壓力差降低；
• 壓力阻力大幅下降。

因此，雖然粗糙表面會增加摩擦阻力，但它能大幅降低主要的壓力阻力，總阻力反而顯著下降。

高爾夫球表面的凹痕就是用來製造適當的等效粗糙度，使邊界層提早轉為紊流，延後流動分離，降低球體阻力，讓球飛得更遠。

（b）阻力比計算

已知

$$D=0.14\ \text{ft},\qquad \nu=1.57\times10^{-4}\ \text{ft}^2/\text{s}$$

球速為

$$U=200\ \text{ft/s}$$

因此雷諾數為

$$Re=\frac{UD}{\nu} =\frac{(200)(0.14)}{1.57\times10^{-4}} \approx1.78\times10^5$$

由圖在 $Re\approx1.78\times10^5$ 處讀值：