109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《熱力學》

本題考驗封閉系統的熱力學第一與第二定律應用，以及熵產生概念。

核心觀念：

1. 系統分析： 質量的封閉系統，初態與末態已知，需計算功、熱傳與熵變化。
2. 可逆與不可逆： 系統內部的過程可能包含不可逆性，而與外部熱源的熱傳過程也可能產生熵。
3. 熵產生： 總熵產生等於系統熵變化加上周遭熵變化。

解題步驟：

1. 確定系統初態與末態：

• 系統：2 kg 的水
• 初態 (State 1)：
  • 質量 $m = 2$ kg
  • 溫度 $T_1 = 50^\circ$C
  • 壓力 $P_1 = 200$ kPa
• 末態 (State 2)：
  • 質量 $m = 2$ kg
  • 溫度 $T_2 = 200^\circ$C
  • 壓力 $P_2$ (需由水蒸氣性質表查得或計算，因是活塞/汽缸，且無額外阻力，壓力會隨溫度變化而變化，此處題目未直接給定末態壓力，但由後續分析可知，它是一個固定壓力過程，因為活塞是「mass-and atmosphere-loaded」，意味著壓力由大氣壓力與活塞重力決定，是固定的。然而，題目敘述「until it reaches 200°C」暗示溫度是自變數。若假設為定壓過程，則 $P_2 = P_1 = 200$ kPa。我們將此假設用於後續計算，並在最後驗證。)

2. 查表獲取熱力學性質：
我們需要水在 $50^\circ$C, $200$ kPa 和 $200^\circ$C, $200$ kPa 的性質。

• 查閱水蒸氣性質表 (Saturated Water Table, Page 2)：

  • 在 $T = 50^\circ$C 時，飽和壓力 $P_{sat} = 12.350$ kPa。由於 $P_1 = 200$ kPa $> P_{sat}$，故 $50^\circ$C, $200$ kPa 的水是過熱蒸汽 (Superheated Vapor)。
  • 查閱 Superheated Vapor Water Table：
    • 在 $P = 200$ kPa, $T = 200^\circ$C 時，查表得：
      • 比容 $v_2 = 1.08034$ m³/kg
      • 內能 $u_2 = 2654.39$ kJ/kg
      • 焓 $h_2 = 2870.46$ kJ/kg
      • 熵 $s_2 = 7.5066$ kJ/kg-K

• 在 $T = 50^\circ$C, $P = 200$ kPa 的初態性質：

  • 在 $T = 50^\circ$C 時，飽和壓力 $P_{sat} = 12.350$ kPa。由於 $P_1 = 200$ kPa $> P_{sat}$，故 $50^\circ$C, $200$ kPa 的水是過熱蒸汽。
  • 查閱 Superheated Vapor Water Table。然而，表中沒有直接給出 $T=50^\circ$C, $P=200$ kPa 的數據。
  • 重要假設： 題目描述「mass-and atmosphere-loaded piston/cylinder」通常意味著缸內壓力是恆定的，由大氣壓力加上活塞的重量決定。若此假設成立，則 $P_1 = P_2 = 200$ kPa。
  • 我們需要查找 $T=50^\circ$C, $P=200$ kPa 的性質。由於表中只有 $T=200^\circ$C 的數據，我們需推斷或尋找其他表格。
  • 替代方案： 題目給了 $50^\circ$C, $200$ kPa 的初態。若查表發現 $200$ kPa 在 $50^\circ$C 時是過熱蒸汽，且 $200^\circ$C 時也是過熱蒸汽，則可以假設過程是定壓過程 ($P_1 = P_2 = 200$ kPa)。
  • 重新查表： 根據 Page 2 的 Saturated Water Table，在 $T=50^\circ$C 時，$P_{sat} = 12.350$ kPa。在 $P=200$ kPa 時，我們需要查 Superheated table。
  • 假設題目給予的初態是正確的，且我們需要利用表中數據。
  • Page 2 的 Saturated Water Table 在 $T=50^\circ$C 時，給了 $v_f, v_g, u_f, u_g, h_f, h_g, s_f, s_g$。
  • Page 2 的 Superheated Vapor Water Table 在 $T=200^\circ$C 時，給了 $P=200$ kPa 的數據。
  • 情況： 我們有 $T_1 = 50^\circ$C, $P_1 = 200$ kPa。在 $50^\circ$C 時，飽和壓力是 $12.350$ kPa。因此，$200$ kPa 是過熱蒸汽。
  • 我們需要 $T_1 = 50^\circ$C, $P_1 = 200$ kPa 的性質。Superheated table 中沒有 $T=50^\circ$C 的數據。
  • 關鍵點： 題目說「mass-and atmosphere-loaded piston/cylinder」，這強烈暗示定壓過程。因此，我們假設 $P_1 = P_2 = 200$ kPa。
  • 那麼，我們需要 $T_1 = 50^\circ$C, $P_1 = 200$ kPa 的性質。
  • 若直接查表找不到，我們需要線性內插或使用其他方法。
  • 然而，我們有 Saturated Water Table。 在 $P=200$ kPa 時，我們查 Saturated Water Table (Page 2)。
    • $P=200$ kPa 時，$T_{sat} = 120.21^\circ$C (此數據不在表中，但可由標準蒸汽表查得)。
    • 因此，$50^\circ$C, $200$ kPa 是過冷液體 (compressed liquid)，不是過熱蒸汽。
    • 修正： 題目給的 $50^\circ$C, $200$ kPa 是水，不是蒸汽。
    • 查閱 Saturated Water Table (Page 2) 在 $T=50^\circ$C 時：
      • $v_f = 0.001012$ m³/kg (在 $T=50^\circ$C, $P_{sat}=12.350$ kPa)。
      • $u_f = 209.30$ kJ/kg

核心觀念

本題分為兩個過程：

1. 活塞尚未碰到止擋前：活塞可自由移動，外加載重固定，因此壓力維持在 $1.2\ \text{MPa}$，屬於定壓冷卻。
2. 活塞碰到止擋後：容器體積固定，屬於定容冷卻。

所需基本關係為：

• 飽和狀態：由飽和水表查 $T_{\mathrm{sat}}$、$v_f$、$h_f$。

• 定壓封閉系統：

  $Q_{1\to2}=m(h_2-h_1)$

• 定容封閉系統：

  $Q_{2\to3}=m(u_3-u_2)$

• 飽和混合物比容：

  $v=v_f+x(v_g-v_f)$

因此：

$$x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}$$

採用熱量傳入系統為正，故本題冷卻時 $Q<0$。

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狀態 1：初始過熱蒸氣

初始壓力為：

$$P_1=1.2\ \text{MPa}$$

由飽和水表，於 $1.2\ \text{MPa}$：

$$T_{\mathrm{sat}}\approx188.2^\circ\text{C}$$

題目說蒸氣比飽和溫度過熱 $112^\circ\text{C}$，所以

$$T_1=T_{\mathrm{sat}}+112$$ $$T_1=188.2+112 \approx300.2^\circ\text{C}$$

由 $1.2\ \text{MPa}$、$300.2^\circ\text{C}$ 過熱蒸氣表查得：

$$h_1\approx3049\ \text{kJ/kg}$$

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(a) 初始溫度

$$\boxed{T_1\approx300.2^\circ\text{C}}$$

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狀態 2：活塞第一次碰到止擋

活塞移動期間，外部載重固定，所以：

$$P_2=P_1=1.2\ \text{MPa}$$

題目指出活塞碰到止擋時，汽缸內為飽和液體，因此狀態 2 是：

$$P_2=1.2\ \text{MPa},\qquad x_2=0$$

由 $1.2\ \text{MPa}$ 飽和水表：

$$v_2=v_f\approx0.001138\ \text{m}^3/\text{kg}$$

另外需要的熱力性質約為：

$$h_2=h_f\approx798.6\ \text{kJ/kg}$$

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(b) 活塞碰到止擋時的比容

$$\boxed{v_2\approx1.138\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{kg}}$$

此時汽缸總體積為：

$$V_2=mv_2$$ $$V_2=(0.5)(0.001138) \approx5.69\times10^{-4}\ \text{m}^3$$

碰到止擋後，容器體積保持不變，因此：

$$v_3=v_2$$

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狀態 3：定容冷卻至 $100^\circ\text{C}$

狀態 3 的溫度為：

$$T_3=100^\circ\text{C}$$

且：

$$v_3=v_2=0.001138\ \text{m}^3/\text{kg}$$

在 $100^\circ\text{C}$ 飽和水表中：

$$P_{\mathrm{sat}}=101.325\ \text{kPa}$$ $$v_f=0.001043\ \text{m}^3/\text{kg}$$ $$v_g\approx1.694\ \text{m}^3/\text{kg}$$

由於：

$$v_f<v_3<v_g$$

所以狀態 3 位於濕蒸氣區，是飽和液氣混合物。

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(c) 最終壓力與乾度

最終壓力等於 $100^\circ\text{C}$ 的飽和壓力：

$$\boxed{P_3\approx101.3\ \text{kPa}}$$

乾度由比容關係求得：

$$x_3=\frac{v_3-v_f}{v_g-v_f}$$

代入數值：

$$x_3= \frac{0.001138-0.001043} {1.694-0.001043}$$ $$x_3\approx5.6\times10^{-5}$$

因此：

$$\boxed{x_3\approx5.6\times10^{-5}}$$

換算為百分比：

$$x_3\approx0.0056\%$$

這表示最終狀態幾乎全為液體，但仍含有極少量飽和蒸氣。

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(d) 總熱傳

過程 $1\to2$：定壓冷卻

對封閉系統使用第一定律：

$$Q_{1\to2}-W_{1\to2}=m(u_2-u_1)$$

定壓邊界功為：

$$W_{1\to2}=P(V_2-V_1) \approx mp(v_2-v_1)$$

利用 $h=u+pv$，可得定壓過程的簡化式：

$$Q_{1\to2}=m(h_2-h_1)$$

代入：

$$Q_{1\to2} =(0.5)(798.6-3049)$$ $$Q_{1\to2}\approx-1125\ \text{kJ}$$

負號代表熱量由蒸氣傳給周圍環境。

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狀態 2 的內能

由：

$$u=h-pv$$

核心觀念

本題考查：

• 非定常流控制體的能量平衡。
• 絕熱噴嘴的穩定流能量方程。
• 液體可視為不可壓縮流體，且溫度維持 $25^\circ\mathrm{C}$。
• 活塞受固定負載，因此缸內壓力維持 $200\ \mathrm{kPa}$。
• 熵平衡與熵生成量。

水由 $200\ \mathrm{kPa}$ 的汽缸內流向 $100\ \mathrm{kPa}$ 的大氣，壓力能主要轉換為出口動能。

取水在 $25^\circ\mathrm{C}$ 時的比容為

$$v_f \approx 0.001003\ \mathrm{m^3/kg}$$

以下計算採用 $v_f\approx 0.001\ \mathrm{m^3/kg}$。

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解題方法一：出口速度

噴嘴為絕熱穩定流，忽略入口速度、位能變化及噴嘴內摩擦，穩定流能量方程為

$$h_1+\frac{V_1^2}{2} = h_2+\frac{V_2^2}{2}$$

因入口速度可忽略，故

$$\frac{V_2^2}{2}=h_1-h_2$$

對不可壓縮液體，在溫度固定時，

$$dh\approx v\,dP$$

因此

$$h_1-h_2 = v(P_1-P_2)$$

代入

$$P_1=200\ \mathrm{kPa},\qquad P_2=100\ \mathrm{kPa}$$

得

$$h_1-h_2 = (0.001003)(200-100)\times 10^3 \approx 100.3\ \mathrm{J/kg}$$

所以出口速度為

$$V_2 = \sqrt{2(100.3)} \approx 14.2\ \mathrm{m/s}$$

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解題方法二：活塞邊界功

初始質量為 $1\ \mathrm{kg}$，最後流出一半，因此汽缸內剩餘質量為

$$m_2=0.5\ \mathrm{kg}$$

水溫與比容均近似不變，故

$$V_1=m_1v=1(0.001003) =0.001003\ \mathrm{m^3}$$ $$V_2=m_2v=0.5(0.001003) =0.0005015\ \mathrm{m^3}$$

活塞壓力維持 $200\ \mathrm{kPa}$，邊界功為

$$W_b=\int_1^2 P\,dV =P(V_2-V_1)$$

因此

$$W_b = 200\times10^3(0.0005015-0.001003)$$ $$W_b\approx -100.3\ \mathrm{J}$$

負號表示汽缸體積縮小，外界對水做功。

因此：

• 以「系統對外做功」為正：
  $W_b=-100\ \mathrm{J}$
• 以「外界對水做功」為正：
  $W_{\mathrm{on}}=+100\ \mathrm{J}$

核心觀念

本題考查實際氣體在等溫過程中的焓變。所用基本關係為

$$dh=T\,ds+v\,dP$$

由 Gibbs 關係式

$$dg=-s\,dT+v\,dP$$

可得 Maxwell 關係

$$\left(\frac{\partial s}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P$$

因此，焓的微分式可寫成

$$dh = c_P\,dT+ \left[ v-T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P \right]dP$$

等溫過程中 $dT=0$，所以

$$dh= \left[ v-T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P \right]dP$$

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解題方法與推導

題目給定狀態方程

$$P=\frac{RT}{v-\alpha}-\frac{a}{v^2}$$

其中 $a$ 與 $\alpha$ 為常數。

沿著固定溫度 $T$ 的路徑，將壓力視為 $v$ 的函數，則

$$dP=\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_Tdv$$

由隱函數微分，

$$\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P = -\frac{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v} {\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T}$$

代入等溫焓變公式：

$$dh= \left[ v+ T\frac{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v} {\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T} \right] \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_Tdv$$

整理得

$$dh= \left[ v\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T + T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \right]dv$$

先計算兩個偏導數：

$$\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T = -\frac{RT}{(v-\alpha)^2} +\frac{2a}{v^3}$$

以及

核心觀念

本題考查空氣標準 Otto 循環。其四個過程為：

1. $1\to2$：等熵壓縮
2. $2\to3$：定容加熱
3. $3\to4$：等熵膨脹
4. $4\to1$：定容放熱

採用理想氣體、定比熱模型：

$$k=\frac{c_p}{c_v}=1.4,\qquad R=0.287\ {\rm kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_v=0.717\ {\rm kJ/(kg\cdot K)}$$

壓縮比為

$$r=\frac{v_1}{v_2}=10$$

初始狀態：

$$T_1=25+273.15=298.15\ {\rm K}$$ $$p_1=0.1\ {\rm MPa}=100\ {\rm kPa}$$

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解題方法

等熵過程使用：

$$\frac{T_2}{T_1}=r^{k-1}$$ $$\frac{p_2}{p_1}=r^k$$

定容過程使用：

$$\frac{p}{T}=\text{常數}$$

定容加熱量為：

$$q_{\rm in}=c_v(T_3-T_2)$$

循環淨功與熱效率分別為：

$$w_{\rm net}=q_{\rm in}-q_{\rm out}$$ $$\eta_{\rm th}=\frac{w_{\rm net}}{q_{\rm in}}$$

平均有效壓力定義為：

$${\rm MEP}=\frac{w_{\rm net}}{v_1-v_2}$$

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(1) $P-v$ 與 $T-s$ 圖

$P-v$ 圖

P
│             3
│             │
│             │  定容加熱
│       2     │
│        ╲    │
│         ╲   │
│          ╲  │
│           ╲ 4
│             │
│             │  定容放熱
│             1
└──────────────── v
        v2      v1

其中：

• $1\to2$：等熵壓縮，體積減少、壓力升高
• $2\to3$：定容加熱，$v_2$ 不變
• $3\to4$：等熵膨脹，體積增加、壓力降低
• $4\to1$：定容放熱，$v_1$ 不變

$T-s$ 圖

T
│             3
│             │
│             │  定容加熱
│       2     │
│       │     │
│       │     │
│       1     │     4
│             │     │
└──────────────────── s

等熵過程 $1\to2$ 與 $3\to4$ 在 $T-s$ 圖上為垂直線；定容加熱與放熱則伴隨熵增加與減少。

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(2) 各狀態的壓力與溫度

狀態 1：壓縮開始

題目已知：

$$\boxed{T_1=298.15\ {\rm K}}$$ $$\boxed{p_1=0.100\ {\rm MPa}}$$

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狀態 2：等熵壓縮終點

由等熵關係：

$$T_2=T_1r^{k-1}$$ $$T_2=298.15(10)^{0.4}$$ $$\boxed{T_2=748.9\ {\rm K}}$$

壓力為：

$$p_2=p_1r^k$$ $$p_2=0.1(10)^{1.4}$$ $$\boxed{p_2=2.512\ {\rm MPa}}$$

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狀態 3：定容加熱終點

已知每公斤空氣的加熱量：

$$q_{\rm in}=2000\ {\rm kJ/kg}$$

定容加熱滿足：

$$q_{\rm in}=c_v(T_3-T_2)$$

因此：

$$T_3=T_2+\frac{q_{\rm in}}{c_v}$$ $$T_3=748.9+\frac{2000}{0.717}$$ $$\boxed{T_3=3538.3\ {\rm K}}$$

因為 $2\to3$ 為定容過程：

$$\frac{p_3}{T_3}=\frac{p_2}{T_2}$$

所以：

$$p_3=p_2\frac{T_3}{T_2}$$ $$p_3=2.512\left(\frac{3538.3}{748.9}\right)$$ $$\boxed{p_3=11.87\ {\rm MPa}}$$

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狀態 4：等熵膨脹終點

$3\to4$ 為等熵膨脹，且 $v_4=v_1$、$v_3=v_2$，因此膨脹比同樣為 $r=10$：

$$T_4=\frac{T_3}{r^{k-1}}$$