111 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《熱力學》

核心觀念

這是絕熱槽體的非定常充填問題。流入的冷媒帶入焓，活塞移動時槽體對外作邊界功；由於槽內壓力維持定值，可將邊界功併入內能，改用端點焓寫能量平衡：

初態是 300 kPa 的飽和液汽混合物，末態在「所有液體都汽化」時為 300 kPa 的飽和蒸氣。

解題方法

圖中槽內 134a 與氮氣壓力皆為 300 kPa；活塞在氮氣作用下維持槽內定壓。供應管中的 134a 狀態為 1 MPa、120°C。初始冷媒質量為 25 kg、乾度為 0.8，閥門則在液體全數汽化時關閉。

表 1 的飽和壓力表以 bar 列值，故 300 kPa 對應 3.0 bar。由表中 2.8 bar 與 3.2 bar 的數據線性內插：

初態混合物的比焓為

核心觀念

本題考查水與水蒸氣在 $T$-$s$ 圖上的相態判讀。飽和液線與飽和蒸氣線圍成汽液兩相區：飽和液線左側為液體，兩線之間為液汽混合物，飽和蒸氣線右側為過熱蒸氣。

解題方法

依題目敘述判斷各狀態：

• 狀態 1 是注入的液態水，位於飽和液線左側；若表中指定其為飽和液，則落在飽和液線上。
• 狀態 2 是進入裝置的過熱蒸汽，位於飽和蒸氣線右側。
• 狀態 3 是出口的飽和蒸汽，落在飽和蒸氣線上。

示意如下：

核心觀念

本題考查開放系統（控制容積，Control Volume）在穩態（Steady State）下的質量守恆、能量守恆（熱力學第一定律）以及熵平衡方程式（熱力學第二定律）。

1. 穩態質量守恆方程式： $$\sum \dot{m}_{\text{in}} = \sum \dot{m}_{\text{out}}$$
2. 穩態能量守恆方程式（忽略動能、位能與熱交換）： $$\dot{Q}_{\text{cv}} - \dot{W}_{\text{cv}} + \sum \dot{m}_{\text{in}} h_{\text{in}} = \sum \dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}}$$ 因絕熱且無軸功輸出，式子簡化為： $$\sum \dot{m}_{\text{in}} h_{\text{in}} = \sum \dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}}$$
3. 穩態熵平衡方程式（Rate of Entropy Generation）： $$\frac{dS_{\text{cv}}}{dt} = \sum \frac{\dot{Q}_j}{T_j} + \sum \dot{m}_{\text{in}} s_{\text{in}} - \sum \dot{m}_{\text{out}} s_{\text{out}} + \dot{\sigma}_{\text{cv}} = 0$$ 對於絕熱系統（$\dot{Q}_j = 0$），熵生成率（$\dot{\sigma}_{\text{cv}}$ 或 $\dot{S}_{\text{gen}}$）為： $$\dot{\sigma}_{\text{cv}} = \sum \dot{m}_{\text{out}} s_{\text{out}} - \sum \dot{m}_{\text{in}} s_{\text{in}} \ge 0$$

解題方法

步驟一：系統識別與狀態參數整理

減溫器（Desuperheater）具有兩個入口流道與一個出口流道：

• 狀態 1（液態注入水，Liquid water）：
  • $\dot{m}_1 = 0.3\text{ kg/s}$
  • $h_1 = 168.3\text{ kJ/kg}$
  • $s_1 = 0.5658\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$
• 狀態 2（過熱蒸汽，Superheated steam）：
  • 質量流率 $\dot{m}_2$ 待求
  • $h_2 = 3069.5\text{ kJ/kg}$
  • $s_2 = 6.8452\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$
• 狀態 3（飽和蒸汽出口，Saturated vapor steam）：
  • $h_3 = 2693.6\text{ kJ/kg}$
  • $s_3 = 7.2233\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

步驟二：質量守恆

對於雙入口、單出口的穩態系統：

步驟三：能量守恆求過熱蒸汽流率 $\dot{m}_2$

題目給定絕熱（$\dot{Q}_{\text{cv}} = 0$）、無軸功（$\dot{W}_{\text{cv}} = 0$），並忽略動能與位能變化：

核心觀念

本題考查**可壓縮等熵流動（Compressible Isentropic Flow）中的滯止狀態（Stagnation State）與臨界狀態（Critical State，音速狀態，$\text{Ma} = 1$）**之熱力學性質關係。

涉及之關鍵定義與公式包括：

1. 滯止溫度（Stagnation Temperature）與靜態溫度之關係：
   由穩定流動能量方程式（SFEE），流體滯止過程不計熱傳與功且忽略位能時，滯止焓 $h_0 = h + \dfrac{V^2}{2}$。對於定比熱理想氣體：
   $T_0 = T + \frac{V^2}{2c_p}$
2. 馬赫數（Mach Number, $\text{Ma}$）與理想氣體音速（Speed of Sound, $c$）：
   $\text{Ma} = \frac{V}{c}, \quad c = \sqrt{kRT}$
3. 理想氣體定壓比熱與比熱比 $k$、氣體常數 $R$ 之關係：
   $c_p = \frac{kR}{k-1}$
4. 理想氣體之等熵過程關係式（Isentropic Relations）：
   等熵（可逆絕熱）過程中，$p$ 與 $T$ 滿足：
   $\frac{p}{p_0} = \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{k}{k-1}}$

解題方法

第一部分：推導臨界溫度比 $\dfrac{T^*}{T_0}$

1. 將動能項以馬赫數 $\text{Ma}$ 與音速 $c$ 改寫：
   因為 $V = \text{Ma} \cdot c$，且 $c^2 = kRT$，故：
   $V^2 = \text{Ma}^2 c^2 = \text{Ma}^2 (kRT)$

2. 將 $V^2$ 及題目提示的 $c_p = \dfrac{kR}{k-1}$ 代入滯止溫度方程式：
   $T_0 = T + \frac{\text{Ma}^2 (kRT)}{2\left(\dfrac{kR}{k-1}\right)}$

3. 提出溫度 $T$ 並化簡右式：
   $T_0 = T \left[ 1 + \frac{k-1}{2kR} \cdot kR \cdot \text{Ma}^2 \right] = T \left( 1 + \frac{k-1}{2}\text{Ma}^2 \right)$
   整理可得任意馬赫數下的溫度比：
   $\frac{T}{T_0} = \frac{1}{1 + \dfrac{k-1}{2}\text{Ma}^2}$

4. 依題意，臨界狀態（星號標記 $*$）即馬赫數為 $1$ 之狀態（$\text{Ma} = 1$），代入 $\text{Ma} = 1$：

核心觀念

1. 滯止狀態（Stagnation State）：
   流體在噴嘴入口處的速度可忽略（$V_1 \approx 0$），故入口壓力與溫度即為滯止壓力（$P_0$）與滯止溫度（$T_0$）：
   $P_0 = 1.0\text{ MPa} = 1000\text{ kPa}, \quad T_0 = 360\text{ K}$

2. 收斂噴嘴（Converging Nozzle）的臨界壓力比（Critical Pressure Ratio）：
   在理想氣體等熵流動中，當出口處馬赫數達到 $Ma = 1$（音速）時，喉部（對收斂噴嘴而言即為出口）的狀態稱為臨界狀態（Critical State，以星號 $*$ 表示）。由第 (1) 小題之等熵關係式推導可得臨界壓力比：
   $\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{k+1}\right)^{\frac{k}{k-1}}$

3. 阻塞流（Choked Flow）判別準則：

   • 當背壓 $P_b \ge P^*$：流動未阻塞（Not choked），出口壓力等於背壓（$P_e = P_b$），出口馬赫數 $Ma_e \le 1$。
   • 當背壓 $P_b < P^*$：流動發生阻塞（Choked），出口處達到音速（$Ma_e = 1$），且出口壓力鎖定在臨界壓力（$P_e = P^*$），無法再隨背壓下降而降低，質量流率達到最大值。

解題方法

1. 代入比熱比計算臨界壓力比：
   對於雙原子氣體空氣（$k = 1.4$），利用第 (1) 小題之結果：
   $\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{1.4+1}\right)^{\frac{1.4}{1.4-1}} = \left(\frac{2}{2.4}\right)^{3.5} = \left(\frac{5}{6}\right)^{3.5} \approx 0.5283$

題目背景回顧與補充

本題為成大機械甲組 111 年熱力學第 3 題之第 (3) 小題。原題組完整條件如下：

• 工作流體：空氣（理想氣體），$k = 1.4$，$R = 0.287\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)} = 287\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$。
• 滯止條件（Stagnation properties / 入口水槽條件）：$P_0 = 1\text{ MPa} = 1000\text{ kPa}$，$T_0 = 300\text{ K}$。
• 背壓（背壓環境壓力）：$P_b = 0.7\text{ MPa} = 700\text{ kPa}$。
• 噴嘴型式：第 (2) 小題設定之漸縮噴嘴（Converging nozzle），出口截面積 $A_e = 0.001\text{ m}^2$。

核心觀念

1. 臨界壓力比（Critical Pressure Ratio）與阻塞流動（Choked Flow）：
   對於理想氣體等熵流動，音速（臨界）截面的壓力比公式為：

   $$\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{k+1}\right)^{\frac{k}{k-1}}$$

   若背壓 $P_b$ 低於臨界壓力 $P^*$，漸縮噴嘴會在喉部（即出口）發生阻塞（Choked），出口馬赫數為 $M_e = 1$，出口壓力維持為 $P_e = P^*$。
   若背壓 $P_b$ 高於臨界壓力 $P^*$，噴嘴未阻塞（Unchoked），出口流動為次音速（Subsonic），出口壓力等於背壓（$P_e = P_b$）。

2. 等熵流動狀態關係式（Isentropic Flow Relations）：

   • 馬赫數與靜壓、滯止壓力關係： $$\frac{P_0}{P} = \left(1 + \frac{k-1}{2}M^2\right)^{\frac{k}{k-1}}$$
   • 馬赫數與靜溫、滯止溫度關係： $$\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{k-1}{2}M^2$$

3. 質量流率（Mass Flow Rate）：

   $$\dot{m} = \rho_e A_e V_e = \frac{P_e}{R T_e} A_e \left(M_e \sqrt{k R T_e}\right)$$

解題方法

第一步：判斷噴嘴出口是否發生阻塞（Choking Check）

空氣的比熱比 $k = 1.4$，代入臨界壓力比公式：

計算噴嘴的臨界壓力 $P^*$：

題目給定的背壓為 $P_b = 0.7\text{ MPa} = 700\text{ kPa}$。
比較可得：

因此流動未阻塞（Not choked），出口處為次音速流動，且出口壓力等於背壓：

第二步：計算出口馬赫數 $M_e$

利用等熵壓力比與馬赫數的關係式：

核心觀念

本題評量**理想蒸汽壓縮冷凍循環（Ideal Vapor-Compression Refrigeration Cycle）**的基本架構、各元件在狀態圖上的熱力歷程，以及系統方塊圖（Cycle Block Diagram）與溫-熵圖（$T$-$s$ 圖）的對應關係。

理想蒸汽壓縮冷凍循環由四個主要穩態流動元件及對應歷程組成：

1. 歷程 $1 \to 2$（壓縮機 Compressor）：等熵壓縮（Isentropic compression），$s_1 = s_2$。飽和蒸氣被壓縮至高壓的過熱蒸氣狀態。
2. 歷程 $2 \to 3$（冷凝器 Condenser）：定壓放熱（Isobaric heat rejection），$P_2 = P_3 = P_{\text{cond}}$。過熱蒸氣先降溫去過熱，再於定溫定壓下凝結為飽和液體。
3. 歷程 $3 \to 4$（膨脹閥／節流閥 Expansion Valve / Throttling Valve）：等焓節流降壓（Isenthalpic throttling），$h_3 = h_4$。飽和液體絕熱節流為低溫低壓的雙相濕蒸氣混合物，此歷程不可逆，熵值增加（$s_4 > s_3$）。
4. 歷程 $4 \to 1$（蒸發器 Evaporator）：定壓吸熱（Isobaric heat addition），$P_4 = P_1 = P_{\text{evap}}$。濕蒸氣定溫定壓完全蒸發為飽和蒸氣，吸收冷凍負荷。

解題方法

1. 各狀態點狀態界定與元件配置（Cycle Block Diagram）

系統各主要元件與連接管路上的狀態點編號定義如下：

• 狀態點 1：蒸發器出口／壓縮機入口（$T_1 = -10^\circ\text{C}$，乾度 $x_1 = 1.0$，飽和蒸氣）。
• 狀態點 2：壓縮機出口／冷凝器入口（$P_2 = 10\text{ bar}$，等熵壓縮 $s_2 = s_1$，過熱蒸氣）。
• 狀態點 3：冷凝器出口／膨脹閥入口（$P_3 = 10\text{ bar}$，乾度 $x_3 = 0.0$，飽和液體）。
• 狀態點 4：膨脹閥出口／蒸發器入口（$T_4 = -10^\circ\text{C}$，等焓節流 $h_4 = h_3$，濕蒸氣區）。

系統方塊圖（Cycle Block Diagram）：

                  ┌──────────────────────┐
                  │   冷凝器 Condenser   │ <── 放熱 Q_out
                  └──────────────────────┘
                   ▲                    │
                   │ [2]                │ [3]
          高壓過熱蒸氣│                    │ 高壓飽和液體
                   │                    ▼
       ┌───────────────┐            ┌───────────────┐
─ W_in │    壓縮機     │            │    膨脹閥     │
──────>│  Compressor   │            │Expansion Valve│
       └───────────────┘            └───────────────┘
                   ▲                    │
                   │ [1]                │ [4]
          低壓飽和蒸氣│                    │ 低壓濕蒸氣
                   │                    ▼
                  ┌──────────────────────┐
                  │   蒸發器 Evaporator  │ <── 吸熱 Q_in
                  └──────────────────────┘

2. $T$-$s$ 狀態圖繪製要點（Sketch of $T$-$s$ Diagram）

在繪製氨（$\text{NH}_3$）之 $T$-$s$ 圖時，需包含飽和蒸氣線、飽和液體線（即鐘形飽和曲線 Vapor Dome），以及兩條定壓線：

核心觀念

本題評量理想蒸氣壓縮冷凍循環（Ideal Vapor-Compression Refrigeration Cycle）的熱力狀態分析與性能係數（Coefficient of Performance, $\text{COP}$）之計算。

理想蒸氣壓縮冷凍循環由四個穩態流動程序構成：

1. 狀態 $1 \to 2$（壓縮機，等熵壓縮）：飽和蒸氣進入壓縮機，進行可逆絕熱壓縮至冷凝壓力。
   $s_2 = s_1$
   壓縮機單位質量輸入功為：
   $w_c = h_2 - h_1$
2. 狀態 $2 \to 3$（冷凝器，等壓散熱）：高壓過熱蒸氣等壓冷卻並凝結為飽和液體離開冷凝器。
3. 狀態 $3 \to 4$（膨脹閥，等焓節流）：高壓飽和液體經節流閥降壓膨脹至蒸發壓力，過程絕熱且不作功。
   $h_4 = h_3$
4. 狀態 $4 \to 1$（蒸發器，等壓吸熱）：低壓低溫之氣液混合物在蒸發器等壓等溫吸熱，產生存冷效果。
   $q_{\text{in}} = h_1 - h_4$

冷凍機的性能係數定義為「冷凍吸熱量」與「壓縮機淨輸入功」之比值：

解題方法

步驟一：確定各狀態點之熱力性質

以氨（Ammonia, $\text{NH}_3$ / R-717）為工作流體，依題意由熱力性質表（Moran & Shapiro 標準氨性質表 Table 3 / Table A-13～A-15）查取性質：

• 狀態 1（蒸發器出口／壓縮機入口）：
  蒸發溫度 $T_1 = -10^\circ\text{C}$，狀態為飽和蒸氣（$x_1 = 1$）。
  查飽和氨溫度表（$-10^\circ\text{C}$）：
  $P_1 = P_{\text{sat}}(-10^\circ\text{C}) = 2.908\text{ bar}$
  $h_1 = h_g(-10^\circ\text{C}) = 1433.0\text{ kJ/kg}$
  $s_1 = s_g(-10^\circ\text{C}) = 5.4770\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

• 狀態 2（壓縮機出口／冷凝器入口）：
  冷凝壓力 $P_2 = 10\text{ bar}$，壓縮過程為等熵過程：
  $s_2 = s_1 = 5.4770\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$
  在 $P_2 = 10\text{ bar}$ 下，氨的飽和溫度為 $T_{\text{sat}} \approx 24.9^\circ\text{C}$，飽和蒸氣熵值 $s_g = 5.0298\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$。
  因 $s_2 > s_g$，狀態 2 落在過熱蒸氣區。

  查 $P = 10\text{ bar}$ 之過熱蒸氣表進行線性內插：

  • 當 $T = 100^\circ\text{C}$ 時：$h = 1660.6\text{ kJ/kg}$，$s = 5.4623\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$
  • 當 $T = 120^\circ\text{C}$ 時：$h = 1716.4\text{ kJ/kg}$，$s = 5.6105\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

核心觀念

本題考查**理想蒸氣壓縮冷凍循環（Ideal Vapor-Compression Refrigeration Cycle）之狀態分析與冷凍能力（Refrigeration Capacity）**之計算。

1. 循環各狀態點特徵：

   • 狀態 1（壓縮機入口）：飽和蒸氣（Saturated vapor），$T_1 = -10^\circ\text{C}$，比焓 $h_1 = h_g|_{T_1}$。
   • 狀態 2（冷凝器入口）：過熱蒸氣，等熵壓縮過程（$s_2 = s_1$），壓力為冷凝壓力 $P_2 = 10\text{ bar}$。
   • 狀態 3（膨脹閥入口／冷凝器出口）：飽和液體（Saturated liquid），$P_3 = 10\text{ bar}$，比焓 $h_3 = h_f|_{P_3}$。
   • 狀態 4（蒸發器入口／膨脹閥出口）：節流過程（Throttling process），等焓膨脹 $h_4 = h_3$。

2. 冷凍能力（Refrigeration Capacity, $\dot{Q}_{\text{in}}$）定義：
   蒸發器吸收之熱傳率即為循環之冷凍能力：
   $\dot{Q}_{\text{in}} = \dot{m}(h_1 - h_4) = \dot{m}(h_1 - h_3)$
   單位常以 $\text{kW}$ 或冷凍噸（$\text{tons of refrigeration, TR}$，其中 $1\text{ TR} = 3.51685\text{ kW} = 211\text{ kJ/min}$）表示。

解題方法

步驟一：由物性表查取相關狀態點之比焓

（依熱力學常用氨水性質表，如 Moran & Shapiro《Fundamentals of Engineering Thermodynamics》附錄 Table A-13 至 A-15 / 試卷所附 Table 3）：

1. 狀態 1（蒸發器出口／壓縮機入口）：

   • 工作流體為飽和蒸氣，溫度 $T_1 = -10^\circ\text{C}$：
     $h_1 = h_g(-10^\circ\text{C}) = 1433.0\text{ kJ/kg}$

2. 狀態 3（冷凝器出口／節流閥入口）：

   • 工作流體為飽和液體，壓力 $P_3 = 10\text{ bar}$：
     $h_3 = h_f(10\text{ bar}) = 310.8\text{ kJ/kg}$

3. 狀態 4（節流閥出口／蒸發器入口）：

   • 經絕熱節流過程，焓值守恆：
     $h_4 = h_3 = 310.8\text{ kJ/kg}$