115 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《熱力學》

本題考驗穩態流動系統的能量守恆以及理想氣體與水蒸氣的性質分析。

核心觀念：

1. 穩態能量守恆： 對於穩態流動系統，輸入的總能量等於輸出的總能量。對於壓縮機，主要能量輸入為功；對於熱交換器，能量傳遞涉及流體的焓變。
2. 理想氣體定律與性質： 空氣視為理想氣體，其焓值僅與溫度有關，可查表或利用公式計算。
3. 水的性質： 水蒸氣的性質需要利用蒸汽表查詢，根據壓力與溫度或品質來確定。

解題步驟：

a. 總功率需求 (Compressor A + Compressor B)

首先，我們需要分別計算兩個壓縮機所需的功率，然後相加。空氣被視為理想氣體，其焓值僅隨溫度變化。

Compressor A:

• 入口狀態 1：$P_1 = 1 \text{ bar}$, $T_1 = 300 \text{ K}$, $\dot{m}_1 = 0.6 \text{ kg/s}$
• 出口狀態 2：$P_2 = 3 \text{ bar}$, $T_2 = 600 \text{ K}$

對於理想氣體，壓縮機的功（輸入）可以由焓變計算：
$\dot{W}_A = \dot{m}_1 (h_2 - h_1)$

由於空氣是理想氣體，我們可以使用恆定比熱公式 $h = c_p T$。空氣的比熱容 $c_p \approx 1.005 \text{ kJ/(kg·K)}$。
$h_1 = c_p T_1 = 1.005 \text{ kJ/(kg·K)} \times 300 \text{ K} = 301.5 \text{ kJ/kg}$
$h_2 = c_p T_2 = 1.005 \text{ kJ/(kg·K)} \times 600 \text{ K} = 603.0 \text{ kJ/kg}$

$\dot{W}_A = 0.6 \text{ kg/s} \times (603.0 - 301.5) \text{ kJ/kg} = 0.6 \text{ kg/s} \times 301.5 \text{ kJ/kg} = 180.9 \text{ kJ/s} = 180.9 \text{ kW}$

Compressor B:

• 入口狀態 3：$P_3 = 3 \text{ bar}$, $T_3 = 600 \text{ K}$ (與 Compressor A 出口狀態 2 相同)
• 出口狀態 4：$P_4 = 9 \text{ bar}$, $T_4 = 800 \text{ K}$
• 空氣的質量流量 $\dot{m}_3$ 在此圖中未直接標示，但通常情況下，若無分流或合流，質量流量應保持不變。假設 $\dot{m}_3 = \dot{m}_1 = 0.6 \text{ kg/s}$。

$h_3 = c_p T_3 = 1.005 \text{ kJ/(kg·K)} \times 600 \text{ K} = 603.0 \text{ kJ/kg}$
$h_4 = c_p T_4 = 1.005 \text{ kJ/(kg·K)} \times 800 \text{ K} = 804.0 \text{ kJ/kg}$

$\dot{W}_B = \dot{m}_3 (h_4 - h_3) = 0.6 \text{ kg/s} \times (804.0 - 603.0) \text{ kJ/kg} = 0.6 \text{ kg/s} \times 201.0 \text{ kJ/kg} = 120.6 \text{ kJ/s} = 120.6 \text{ kW}$

總功率需求：
$\dot{W}_{total} = \dot{W}_A + \dot{W}_B = 180.9 \text{ kW} + 120.6 \text{ kW} = 301.5 \text{ kW}$

*(注意：如果嚴格使用變比熱，需要查表。例如，在 T=300K 時 h ≈ 300.19 kJ/kg，T=600K 時 h ≈ 603.0 kJ/kg，T=800K 時 h ≈ 804.0 kJ/kg。使用恆定比熱 $c_p = 1.005 \text{ kJ/(kg·K)}$ 得到的結果與查表值非常接近，在考試中通常可接受。若使用表格提供的 $h$ 值，則：
$\dot{W}_A = 0.6 \times (603.0 - 301.5) = 180.9 \text{ kW}$

本題考驗穩態流動系統的能量與質量守恆，以及理想氣體或水蒸氣在渦輪機中的絕熱膨脹過程分析，並涉及熵產生與效率的計算。

核心觀念：

1. 穩態質量與能量守恆： 針對單一入口、單一出口的穩態流動系統，質量流量和能量（包括焓、功、熱）的淨流入等於淨流出。
2. 水蒸氣性質： 需要使用蒸汽表（Table A-3, A-4）查詢水蒸氣在不同狀態下的比體積、焓、熵等性質。
3. 絕熱過程： 渦輪機通常視為絕熱設備，即沒有熱量交換。
4. 熵產生： 根據熵守恆原理，對於不可逆過程，系統的熵增加量等於外部產生的熵。
5. 等熵效率： 實際渦輪機的效率與理想的等熵膨脹過程進行比較。

解題步驟：

a. 質量流量 (mass flow rate), $\dot{m}$

• 入口狀態 1：

  • $P_1 = 10 \text{ MPa} = 100 \text{ bar}$
  • $T_1 = 600^\circ\text{C} = 873.15 \text{ K}$
  • 體積流量 $\dot{V}_1 = 0.36 \text{ m}^3/\text{s}$

• 出口狀態 2：

  • $P_2 = 0.1 \text{ bar}$
  • 品質 (quality) $x_2 = 92\% = 0.92$

首先，我們需要找到入口狀態 1 的比體積 $v_1$。查閱過熱水蒸氣表 (Table A-4)，在 $P = 100 \text{ bar}$ 且 $T = 600^\circ\text{C}$ (或 873.15 K) 的條件下，找到 $v_1$。
查表 A-4 (p=100 bar)：
在 $T=600^\circ\text{C}$ (對應的飽和溫度約為 $311.06^\circ\text{C}$)，查到 $v_1 \approx 0.03160 \text{ m}^3/\text{kg}$。

質量流量 $\dot{m}$ 與體積流量 $\dot{V}$ 及比體積 $v$ 的關係為：
$\dot{m} = \frac{\dot{V}_1}{v_1}$
$\dot{m} = \frac{0.36 \text{ m}^3/\text{s}}{0.03160 \text{ m}^3/\text{kg}} \approx 11.392 \text{ kg/s}$

b. 渦輪機發展的功率 (power developed by the turbine), $\dot{W}_T$

渦輪機是絕熱的，且動能與位能效應可忽略。根據穩態能量守恆：
$\dot{m} h_1 + \dot{Q}_{in} + \dot{W}_{in} = \dot{m} h_2 + \dot{Q}_{out} + \dot{W}_{out}$
由於是絕熱 ($\dot{Q}=0$)，且渦輪機作功輸出 ($\dot{W}_{out}$)，無外部功輸入 ($\dot{W}_{in}=0$)：
$\dot{m} h_1 = \dot{m} h_2 + \dot{W}_T$
$\dot{W}_T = \dot{m} (h_1 - h_2)$

現在需要查詢 $h_1$ 和 $h_2$ 的值。

• 入口狀態 1 ($P_1 = 100 \text{ bar}$, $T_1 = 600^\circ\text{C}$):
  查表 A-4，在 $P = 100 \text{ bar}$, $T = 600^\circ\text{C}$ 處，找到 $h_1 \approx 3521.3 \text{ kJ/kg}$。

• 出口狀態 2 ($P_2 = 0.1 \text{ bar}$, $x_2 = 0.92$):
  查閱飽和水蒸氣表 (Table A-3)，在 $P = 0.1 \text{ bar}$ 處：
  $h_f = 191.82 \text{ kJ/kg}$ (液態飽和焓)
  $h_{fg} = 2437.9 \text{ kJ/kg}$ (汽化焓)
  $h_2 = h_f + x_2 h_{fg} = 191.82 \text{ kJ/kg} + 0.92 \times 2437.9 \text{ kJ/kg}$
  $h_2 = 191.82 + 2242.868 = 2434.688 \text{ kJ/kg}$

現在計算渦輪機功率：
$\dot{W}_T = 11.392 \text{ kg/s} \times (3521.3 - 2434.688) \text{ kJ/kg}$
$\dot{W}_T = 11.392 \times 1086.612 \text{ kJ/s} = 12371.4 \text{ kJ/s} = 12371.4 \text{ kW}$
將其轉換為 MW：
$\dot{W}_T = 12.3714 \text{ MW}$

c. 熵產生率 (rate at which entropy is produced), $\dot{S}_{gen}$

根據穩態系統的熵平衡方程：
$\sum \dot{m}_i s_i - \sum \dot{m}_e s_e + \dot{S}_{gen} = \frac{d S_{system}}{dt}$
對於穩態過程，$\frac{d S_{system}}{dt} = 0$。
$\dot{S}_{gen} = \sum \dot{m}_e s_e - \sum \dot{m}_i s_i$
$\dot{S}_{gen} = \dot{m} s_2 - \dot{m} s_1$

我們需要查詢 $s_1$ 和 $s_2$ 的值。

• 入口狀態 1 ($P_1 = 100 \text{ bar}$, $T_1 = 600^\circ\text{C}$):
  查表 A-4，在 $P = 100 \text{ bar}$, $T = 600^\circ\text{C}$ 處，找到 $s_1 \approx 6.5282 \text{ kJ/(kg·K)}$。

• 出口狀態 2 ($P_2 = 0.1 \text{ bar}$, $x_2 = 0.92$):
  查閱飽和水蒸氣表 (Table A-3)，在 $P = 0.1 \text{ bar}$ 處：
  $s_f = 0.6493 \text{ kJ/(kg·K)}$ (液態飽和熵)
  $s_{fg} = 7.4594 \text{ kJ/(kg·K)}$ (汽化熵)
  $s_2 = s_f + x_2 s_{fg} = 0.6493 \text{ kJ/(kg·K)} + 0.92 \times 7.4594 \text{ kJ/(kg·K)}$
  $s_2 = 0.6493 + 6.862648 = 7.511948 \text{ kJ/(kg·K)}$

現在計算熵產生率：
$\dot{S}_{gen} = \dot{m} (s_2 - s_1) = 11.392 \text{ kg/s} \times (7.511948 - 6.5282) \text{ kJ/(kg·K)}$
$\dot{S}_{gen} = 11.392 \times 0.983748 \text{ kJ/(K·s)} = 11.205 \text{ kJ/(K·s)} = 11.205 \text{ kW/K}$

d. 等熵渦輪機效率 (isentropic turbine efficiency), $\eta_T$

等熵效率定義為實際渦輪機的輸出功與相同入口條件下理想等熵膨脹過程的輸出功之比：
$\eta_T = \frac{\dot{W}_{T, actual}}{\dot{W}_{T, isentropic}} = \frac{\dot{m} (h_1 - h_2)}{(h_1 - h_{2s})}$
其中 $h_{2s}$ 是在入口狀態 1 下，經過等熵膨脹到達出口壓力 $P_2$ 時的焓值。

核心觀念

本題考查理想 Otto 循環在「比熱隨溫度變化」時的分析方法。四個基本狀態為：

1. $1\to2$：等熵壓縮
2. $2\to3$：定容加熱
3. $3\to4$：等熵膨脹
4. $4\to1$：定容放熱

已知：

$$r=\frac{v_1}{v_2}=\frac{v_4}{v_3}=10$$ $$T_1=300\ \text{K},\qquad T_3=1200\ \text{K}$$

由於比熱隨溫度變化，不能直接使用定比熱公式

$$\frac{T_2}{T_1}=r^{k-1}$$

而須使用理想氣體的熵變公式與內能積分：

$$ds=\frac{c_v(T)}{T}\,dT+R\frac{dv}{v}$$ $$du=c_v(T)\,dT$$

以下採用標準變比熱空氣表計算，空氣氣體常數取

$$R=0.287\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

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解題方法

先利用 $1\to2$ 的等熵條件求出 $T_2$，再利用 $3\to4$ 的等熵條件求出 $T_4$。接著由定容過程的內能變化計算熱量。

對等熵過程：

$$ds=0$$

因此

$$\int_{T_a}^{T_b}\frac{c_v(T)}{T}\,dT = R\ln\left(\frac{v_a}{v_b}\right)$$

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(a) 加熱過程傳給空氣的熱量

1. 求壓縮終點溫度 $T_2$

對 $1\to2$ 等熵壓縮：

$$\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_v(T)}{T}\,dT = R\ln\left(\frac{v_1}{v_2}\right) = R\ln r$$

代入數值：

$$R\ln r = (0.287)\ln(10) = 0.661\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

查標準變比熱空氣表，解得：

$$\boxed{T_2\approx 731\ \text{K}}$$

2. 計算定容加熱量

$2\to3$ 為定容加熱，因此邊界功為零：

$$w_{2-3}=0$$

由熱力學第一定律：

$$q_{in}=u_3-u_2$$

而

$$u_3-u_2=\int_{T_2}^{T_3}c_v(T)\,dT$$

查變比熱空氣表並積分：

$$q_{in} = \int_{731}^{1200}c_v(T)\,dT \approx 387\ \text{kJ/kg}$$

因此，加熱過程傳給空氣的熱量為

$$\boxed{q_{in}\approx 3.87\times10^2\ \text{kJ/kg}}$$

題目未提供空氣質量，因此答案以單位質量表示。若空氣質量為 $m$，則總熱量為

$$Q_{in}=m q_{in} \approx 387m\ \text{kJ}$$

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(b) Otto 循環熱效率

1. 求膨脹終點溫度 $T_4$

對 $3\to4$ 等熵膨脹：

$$\int_{T_4}^{T_3}\frac{c_v(T)}{T}\,dT = R\ln\left(\frac{v_4}{v_3}\right) = R\ln r$$

因此：

本題考驗對製冷系統，特別是二級串級製冷系統的理解，以及其與單級系統的比較，並要求寫出其性能係數 (COP) 的表達式。

核心觀念：

1. 製冷循環 (T-s 圖)： 製冷循環的 T-s 圖展示了製冷劑在各個過程中的溫度與熵的變化。
2. 串級製冷系統： 由兩個或多個獨立的製冷循環組成，每個循環在不同的溫度範圍工作，並通過中間的熱交換器（冷凝器/蒸發器）相互連接。
3. 單級製冷系統： 僅有一個製冷循環，工作在單一的蒸發溫度和冷凝溫度。
4. 性能係數 (COP)： 定義為製冷劑從低溫熱源吸收的熱量與淨壓縮功之比。
5. 中間溫度： 串級系統通過選擇中間溫度來優化整體性能。

解題步驟：

a. 說明陰影區域 M 和 N 所代表的優勢

T-s 圖中的陰影區域通常代表一個製冷循環中製冷劑吸收或放出的熱量，或者在某些情況下代表與理想（例如等熵）過程的偏差。在這個圖中，M 和 N 區域很可能與中間溫度下的製冷效果有關。

• 傳統單級製冷系統： 假設在低溫 T_L 和高溫 T_H 工作。整個製冷範圍（從 T_L 到 T_H）由一個製冷劑和一個壓縮機完成。如果 T_L 非常低，則需要很低的蒸發壓力，導致製冷劑比體積非常大，壓縮功很高，COP 較低。如果 T_H 非常高，則冷凝壓力很高，可能導致過熱或過冷問題，也影響效率。

• 二級串級製冷系統： 該系統將製冷範圍分成兩個或多個部分，每個部分由一個獨立的製冷循環（或級）處理。

  • 低溫級（例如，蒸發溫度 T_L，中間冷凝溫度 T_M）： 使用一種製冷劑，在較低的溫度範圍工作。
  • 高溫級（例如，中間蒸發溫度 T_M，冷凝溫度 T_H）： 使用另一種製冷劑（或相同製冷劑，但工作在不同壓力範圍），在較高的溫度範圍工作。
  • 中間熱交換器： 低溫級的冷凝器是高溫級的蒸發器，反之亦然。

  優勢解釋：

  • 區域 M： 根據圖示，M 區域似乎代表了低溫級在中間溫度 T_M 下的製冷劑放熱（冷凝）或吸收熱量（蒸發）的一部分。如果 M 代表高溫級的蒸發效果，那麼它表示在中間溫度 T_M 下，高溫級製冷劑從低溫級獲得的熱量。
  • 區域 N： 類似地，N 區域也代表了製冷劑的某種熱量交換。如果 N 代表低溫級的製冷效果（蒸發），那麼它表示在最低溫度 T_L 下，低溫級製冷劑從被製冷的物體（或空間）吸收的熱量。

  總體優勢：

  1. 更高的 COP： 通過將製冷範圍分成兩個或更多級，每級可以在更窄的溫度範圍內工作，使用更適合該溫度範圍的製冷劑。這可以使每級循環的效率更高，從而整體 COP 得到提升。特別是當需要極低的溫度時，單級系統的 COP 會急劇下降，而串級系統可以有效避免這種情況。
  2. 減少過熱/過冷： 在單級系統中，如果蒸發溫度非常低或冷凝溫度非常高，可能導致製冷劑過度過熱或過冷，影響效率和系統穩定性。串級系統可以在每個級別上更好地匹配溫度，減少這些問題。
  3. 使用不同製冷劑： 串級系統允許為每個溫度範圍選擇最合適的製冷劑。例如，在非常低的溫度下，可以使用低壓製冷劑（如氨或某些氟氯烴），而在較高溫度下可以使用高壓製冷劑。

  具體到圖中的 M 和 N：

  • N 區域： 代表低溫級製冷劑在最低溫度 T_L 下吸收熱量（製冷效果）。
  • M 區域： 代表高溫級製冷劑在中間溫度 T_M 下吸收熱量（製冷效果）。
  • 優勢： 通過將製冷量分成兩個階段（N 代表低溫製冷，M 代表中間溫度的製冷），系統可以更有效地工作。如果將這兩個製冷效果加起來，並與單級系統在相同最低溫度 T_L 下的總製冷效果進行比較，串級系統（通過優化中間溫度 T_M）通常能以更少的總功耗實現更高的製冷量或相同的製冷量。

b. COP 的表達式

• 低溫級 (Low-Temperature Stage)：

  • 吸收熱量：$\dot{Q}_{L, evap} = \dot{m}_L (h_{L, evap} - h_{L, cond})$ (這裡的焓值是低溫級製冷劑的)
  • 放出熱量（到中間熱交換器）：$\dot{Q}_{L, cond} = \dot{m}_L (h_{L, cond} - h_{L, evap})$ (注意：這裡的 $h_{L, cond}$ 是指低溫級製冷劑在高溫級冷凝器（也是中間熱交換器）中放出的焓值，通常是從液態經過冷凝和可能過冷後的焓值；$h_{L, evap}$ 是指低溫級製冷劑在蒸發器中吸收熱量後的焓值，通常是過熱蒸汽的焓值)
  • 壓縮功：$\dot{W}_{L, comp} = \dot{m}_L (h_{L, comp\_out} - h_{L, comp\_in})$

• 高溫級 (High-Temperature Stage)：

  • 吸收熱量（從低溫級）：$\dot{Q}_{H, evap} = \dot{m}_H (h_{H, evap\_out} - h_{H, evap\_in})$ (這是高溫級製冷劑在中間熱交換器中從低溫級製冷劑吸收的熱量)
  • 放出熱量（到環境）：$\dot{Q}_{H, cond} = \dot{m}_H (h_{H, cond\_out} - h_{H, cond\_in})$ (這是高溫級製冷劑在高溫冷凝器中向環境放出的熱量)
  • 壓縮功：$\dot{W}_{H, comp} = \dot{m}_H (h_{H, comp\_out} - h_{H, comp\_in})$

  根據中間熱交換器的能量平衡：
  低溫級放出的熱量 $\approx$ 高溫級吸收的熱量。