108 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《熱力學》

本題主要考驗熱力學第二類定律中的能量轉換限制，特別是熱機效率的可能範圍。一個熱機的運作必須同時滿足熱力學第一定律（能量守恆）和熱力學第二定律（熱量無法百分之百轉換為功）。

首先，我們需要知道熱機運作的基本關係式。根據熱力學第一定律，熱機在一個循環中吸收的淨熱量等於輸出的淨功：
$Q_{net} = W_{cycle}$
其中 $Q_{net} = Q_H - Q_L$。因此，$W_{cycle} = Q_H - Q_L$。

其次，熱機的效率 $\eta$ 定義為對外輸出的功與從高溫熱源吸收的熱量之比：
$\eta = \frac{W_{cycle}}{Q_H}$

對於一個在兩個溫度為 $T_H$ 和 $T_L$ 的熱源之間運作的熱機，其效率不可能超過理想的卡諾熱機效率 $\eta_{Carnot}$：
$\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$

將上述關係式結合，我們可以得到熱機運作的可能範圍。
已知條件：$T_H = 600$ K, $T_L = 300$ K, $Q_H = 200$ kJ。

計算卡諾效率：
$\eta_{Carnot} = 1 - \frac{300 \text{ K}}{600 \text{ K}} = 1 - 0.5 = 0.5$

因此，任何實際熱機的效率 $\eta$ 必須滿足 $0 \le \eta \le 0.5$。

接下來，我們逐一檢驗各小題的數據是否滿足熱力學第一定律和第二定律。

(a) $W_{cycle} = 120$ kJ; $Q_L = 80$ kJ
根據熱力學第一定律：$W_{cycle} = Q_H - Q_L = 200 \text{ kJ} - 80 \text{ kJ} = 120$ kJ。此數據符合熱力學第一定律。
計算效率：$\eta = \frac{W_{cycle}}{Q_H} = \frac{120 \text{ kJ}}{200 \text{ kJ}} = 0.6$。
由於 $\eta = 0.6 > \eta_{Carnot} = 0.5$，此情況違反熱力學第二定律。
【答案】Impossible

(b) $W_{cycle} = 100$ kJ; $Q_L = 100$ kJ
根據熱力學第一定律：$W_{cycle} = Q_H - Q_L = 200 \text{ kJ} - 100 \text{ kJ} = 100$ kJ。此數據符合熱力學第一定律。
計算效率：$\eta = \frac{W_{cycle}}{Q_H} = \frac{100 \text{ kJ}}{200 \text{ kJ}} = 0.5$。

核心觀念

本題考查三個熱力學判斷：

1. 穩態流動裝置的第一定律。
2. 絕熱可逆過程即等熵過程。
3. 理想氣體內能只與溫度有關，以及可逆過程的熱量與熵變關係。

以下取系統對外作功為正；泵與壓縮機屬於接受軸功的裝置，因此實際上是外界對流體輸入功。

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(a) 液態水經不可逆、穩態、絕熱泵浦壓縮

解題方法

穩態流動能量方程為

$$q-w_s=(h_2-h_1)+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(z_2-z_1)$$

泵浦通常可忽略動能與位能變化，且過程絕熱，所以 $q=0$。由於泵浦需要輸入軸功，令輸入功為 $w_{\mathrm{in}}=-w_s>0$，則

$$h_2-h_1 \approx w_{\mathrm{in}}>0$$

液態水可近似視為不可壓縮物質，且在一般泵浦壓力範圍內，其焓增加主要表現為溫度上升。近似寫成

$$dh \approx c_p\,dT+v\,dP$$

壓縮時 $dP>0$，又泵浦輸入功使流體焓增加，因此出口溫度會上升。

不可逆性代表泵內存在摩擦、渦流等耗散效應，輸入的機械能有一部分轉化為流體內部能，使溫升更加明顯。熵平衡也可表示為

$$s_2-s_1=s_{\mathrm{gen}}>0$$

其中 $s_{\mathrm{gen}}$ 為熵生成量。

判斷

溫度增加。

常見陷阱

「絕熱」只表示沒有熱量透過邊界傳入或傳出，並不表示溫度必定不變。泵浦仍可藉由軸功輸入能量，使液體的焓與溫度上升。

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(b) 理想氣體經可逆、穩態、絕熱壓縮

解題方法

可逆絕熱過程的熵生成量為零，因此是等熵過程：

$$ds=0$$

對定比熱理想氣體，等熵關係為

$$PV^\gamma=\text{constant}$$

也可寫成

$$TV^{\gamma-1}=\text{constant}$$

壓縮時體積減小，即 $V_2<V_1$。因此

$$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}>1$$

或利用壓力形式：

本題主要考驗對不同壓縮過程（多變過程、等溫過程、絕熱過程）下功的計算與比較，以及對熱力學圖的繪製能力。

已知條件：
進口狀態：$T_1 = 290$ K, $P_1 = 1$ bar
出口壓力：$P_2 = 5$ bar
工質：理想氣體（空氣）
定壓比熱：$C_p = 1.004$ kJ/kg-K
定容比熱：$C_v = 0.717$ kJ/kg-K
氣體常數：$R = 0.287$ kJ/kg-K
驗證：$C_p - C_v = 1.004 - 0.717 = 0.287 = R$ （符合理想氣體關係）
比熱比：$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{1.004}{0.717} \approx 1.400$

忽略動能與位能變化，穩態流程的功計算式為：
$w_{in} = h_1 - h_2 + q$ （對於絕熱過程 $q=0$，則 $w_{in} = h_1 - h_2$）
或對於理想氣體 $w_{in} = c_p (T_1 - T_2)$ （僅適用於絕熱過程，因為 $h_1-h_2 = c_p(T_1-T_2)$）
對於一般穩態流程，功的計算更常用的是積分形式：$w_{in} = \int_{1}^{2} v dP$。

(a) Minimum compressor work analysis

我們需要計算三種不同過程下的壓縮功，並比較大小。
壓縮機的功是外界對系統做的功，其大小與過程線在 P-v 圖上的位置有關。在 P-v 圖上，功的量值等於曲線下的面積。對於壓縮過程（從低壓到高壓），曲線越靠近 P 軸（即 $v$ 越小），則功越小。

(i) Polytropic process: $P v^n = \text{constant}$, with $n=1.3$
對於多變過程，功的計算公式為：
$w_{in} = \int_{1}^{2} v dP$
或使用公式 $w_{in} = \frac{n R (T_2 - T_1)}{1-n} = \frac{n}{n-1} (P_1 v_1 - P_2 v_2) = \frac{n}{n-1} R (T_1 - T_2)$。
首先計算 $T_2$。對於多變過程，$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{P_2}{P_1})^{\frac{n-1}{n}}$。
$\frac{n-1}{n} = \frac{1.3-1}{1.3} = \frac{0.3}{1.3} = \frac{3}{13} \approx 0.2308$
$\frac{T_2}{T_1} = (5)^{\frac{3}{13}} \approx (5)^{0.2308} \approx 1.445$
$T_2 = T_1 \times 1.445 = 290 \text{ K} \times 1.445 \approx 419.05$ K。

計算功：
$w_{in, poly} = \frac{n R (T_2 - T_1)}{1-n} = \frac{1.3 \times 0.287 \text{ kJ/kg-K} \times (419.05 - 290) \text{ K}}{1-1.3}$
$w_{in, poly} = \frac{1.3 \times 0.287 \times 129.05}{-0.3} \approx \frac{48.26}{-0.3} \approx -160.87$ kJ/kg。
由於我們計算的是 $w_{in}$（外界對系統做的功），所以值是負的，表示外界對系統做功。如果我們計算系統對外做的功 $w_{out}$，則 $w_{out} = -w_{in}$。
通常壓縮功我們取其絕對值，表示功的大小。所以，$|w_{in, poly}| \approx 160.87$ kJ/kg。

(ii) Isothermal process: $T = \text{constant}$
對於等溫過程，壓縮功的計算公式為：
$w_{in, iso} = \int_{1}^{2} v dP = P_1 v_1 \ln(\frac{P_2}{P_1})$ （對於理想氣體 $Pv = RT$）
$w_{in, iso} = R T_1 \ln(\frac{P_2}{P_1})$
$w_{in, iso} = 0.287 \text{ kJ/kg-K} \times 290 \text{ K} \times \ln(\frac{5 \text{ bar}}{1 \text{ bar}})$
$w_{in, iso} = 83.23 \text{ kJ/kg} \times \ln(5) \approx 83.23 \times 1.6094 \approx 133.92$ kJ/kg。
注意：等溫壓縮的功計算公式是 $w_{in} = -RT \ln(\frac{P_2}{P_1})$。這裡的 $w_{in}$ 是系統對外做的功。如果我們計算外界對系統做的功，則為 $w_{in} = RT \ln(\frac{P_2}{P_1})$。
$w_{in, iso} = 0.287 \text{ kJ/kg-K} \times 290 \text{ K} \times \ln(5) \approx 133.92$ kJ/kg。
【答案】外界對系統做的功為 $133.92$ kJ/kg。

(iii) Adiabatic process: $P v^\gamma = \text{constant}$
對於絕熱過程，壓縮功的計算公式為：
$w_{in, ad} = \frac{\gamma R (T_2 - T_1)}{1-\gamma} = \frac{\gamma}{\gamma-1} (P_1 v_1 - P_2 v_2) = \frac{\gamma}{\gamma-1} R (T_1 - T_2)$。
首先計算 $T_2$。對於絕熱過程，$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{P_2}{P_1})^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$。
$\gamma = 1.400$
$\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1.4-1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$
$\frac{T_2}{T_1} = (5)^{\frac{2}{7}} \approx (5)^{0.2857} \approx 1.516$
$T_2 = T_1 \times 1.516 = 290 \text{ K} \times 1.516 \approx 439.64$ K。

計算功：
$w_{in, ad} = \frac{\gamma R (T_2 - T_1)}{1-\gamma} = \frac{1.4 \times 0.287 \text{ kJ/kg-K} \times (439.64 - 290) \text{ K}}{1-1.4}$
$w_{in, ad} = \frac{1.4 \times 0.287 \times 149.64}{-0.4} \approx \frac{60.31}{-0.4} \approx -150.78$ kJ/kg。
取絕對值，$|w_{in, ad}| \approx 150.78$ kJ/kg。

比較結果：
等溫過程功：$w_{in, iso} \approx 133.92$ kJ/kg
多變過程功 ($n=1.3$)：$|w_{in, poly}| \approx 160.87$ kJ/kg
絕熱過程功：$|w_{in, ad}| \approx 150.78$ kJ/kg

比較可知，等溫壓縮過程所需的功最小。

Why:
壓縮功的大小在 P-v 圖上等於曲線下的面積 $\int v dP$。為了使壓縮功最小，我們希望在給定的壓力變化範圍內，體積 $v$ 盡可能小。
對於理想氣體，$Pv^n = \text{constant}$，所以 $v = (\frac{\text{constant}}{P})^{\frac{1}{n}}$。
等溫過程 ($n=1$)：$v = \frac{RT}{P}$。
絕熱過程 ($n=\gamma \approx 1.4$)：$v = (\frac{\text{constant}}{P})^{\frac{1}{\gamma}}$。
多變過程 ($n=1.3$)：$v = (\frac{\text{constant}}{P})^{\frac{1}{1.3}}$。

比較 $n=1$, $n=1.3$, $n=\gamma \approx 1.4$ 時，對於相同的 $P$ 和 $T$，體積 $v$ 的大小關係為：
當 $P$ 增加時，體積 $v$ 減小。
$n=1$ (等溫) 的 $v$ 最大，因為溫度在壓縮過程中保持不變。

核心觀念

本題考查超臨界朗肯循環、等熵效率與再熱對熱效率的影響。忽略動能、位能變化，各設備的單位質量能量關係為：

$$w_t=h_{\text{入口}}-h_{\text{出口}},\qquad w_p=h_{\text{出口}}-h_{\text{入口}}$$ $$\eta_{\mathrm{th}}=\frac{w_t-w_p}{q_{\mathrm{in}}}$$

理想渦輪與理想泵皆為絕熱、可逆，因此入口與出口的熵相同；鍋爐與冷凝器則視為定壓熱交換設備。渦輪等熵效率定義為：

$$\eta_t= \frac{\text{實際渦輪功}}{\text{等熵渦輪功}} = \frac{h_{\text{入口}}-h_{\text{實際出口}}} {h_{\text{入口}}-h_{\text{等熵出口}}}$$

解題方法

原圖的流向為 $4\to1\to2\to3\to4$：4 為渦輪入口、1 為渦輪出口、2 為冷凝器出口、3 為泵出口。原卷第三頁提供完整物性表；高壓側為 $130\ \mathrm{bar}=13\ \mathrm{MPa}$，低壓側為 $6.5\ \mathrm{MPa}$，狀態 2 為飽和液體。

（a）理想循環的 $T$–$s$ 圖

先依等熵條件查表，確定各狀態：

狀態	壓力 $p$（MPa）	溫度 $T$（°C）	焓 $h$（kJ/kg）	熵 $s$（kJ/(kg·K)）
2：冷凝器出口	6.5	25.442	276.72	1.2547
3：理想泵出口	13	37.993	285.57	1.2547
4：渦輪入口	13	200	621.59	2.1684
$1s$：理想渦輪出口	6.5	133.35	570.37	2.1684

其中，狀態 3 由 $p_3=13\ \mathrm{MPa}$、$s_3=s_2$ 查表；狀態 $1s$ 由 $p_{1s}=6.5\ \mathrm{MPa}$、$s_{1s}=s_4$ 查表。

下圖為理想循環示意，非等比例；$c$ 為臨界點，$g$ 為 $6.5\ \mathrm{MPa}$ 的飽和蒸氣點。

 T
 ↑
200    │                                      ●4
       │                               ╱       │
       │                         ╱             ↓
133.35 │                   ╱                   ●1s
       │             ╱                          ╲
       │         ╱                               ╲
37.993 │     ●3                                   ╲
       │     ↑                                     ╲
31     │     │          ●c                          ╲
       │     │        ╱    ╲                         ╲
25.442 │     ●2←──────────────●g←─────────────────────╯
       │    ╱                  ╲
       │   ╱                    ╲
       └──────────────────────────────────────────────→ s

各過程應畫成：

• **$2\to3$：等熵加壓。**兩點必須位於同一條垂直線上，箭頭由 2 向上連到 3： $$s_2=s_3=1.2547,\qquad T_2=25.442^\circ\mathrm C\to T_3=37.993^\circ\mathrm C$$
• **$3\to4$：$13\ \mathrm{MPa}$ 定壓加熱。**曲線向右上方延伸，溫度與熵均增加。
• **$4\to1s$：等熵膨脹。**由 4 垂直向下至 $1s$，兩點均位於 $s=2.1684$。
• **$1s\to2$：$6.5\ \mathrm{MPa}$ 定壓放熱。**先向左下方降溫至飽和蒸氣點 $g$，再於 $25.442^\circ\mathrm C$ 水平向左凝結至飽和液體點 2。由表得 $s_g=1.6436$。

**超臨界狀態必須同時滿足 $T>T_c$ 與 $p>p_c$。**狀態 3、4 及整段 $3\to4$ 皆滿足此條件，應標示為超臨界區。尤其狀態 3 的溫度 $37.993^\circ\mathrm C$ 已高於臨界溫度 $31^\circ\mathrm C$，必須畫在臨界點的溫度高度之上；狀態 $1s$ 雖高於臨界溫度，但壓力低於臨界壓力，屬於過熱蒸氣。

（b）原循環的理想熱效率

理想渦輪功：

$$w_t=h_4-h_{1s} =621.59-570.37 =51.22\ \mathrm{kJ/kg}$$

理想泵功直接採用表中等熵出口的焓：

$$w_p=h_3-h_2 =285.57-276.72 =8.85\ \mathrm{kJ/kg}$$

鍋爐吸熱量：