108 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

火箭燃料噴出時，火箭與噴流交換動量，因此要用變質量系統的動量平衡。取鉛直向上為正方向；圖中火箭速度為 $V$，噴流相對火箭向下的速度大小為 $V_e$，所以噴流的絕對速度為 $V-V_e$。

解題方法

噴流密度為 $\rho$、出口截面積為 $A_e$，且相對出口速度大小為 $V_e$，故每秒噴出的質量為

$$\dot m_{\mathrm{out}}=\rho A_e V_e$$

火箭質量隨時間減少，因此

$$\frac{dm}{dt}=-\dot m_{\mathrm{out}}=-\rho A_e V_e$$

本題考查因次分析（Dimensional Analysis）以及流體在管路中的壓力損失概念。

(a) 因次分析求壓力損失的無因次函數形式

壓力損失 $\Delta P$ 可能與以下變數有關：

• 流體密度 $\rho$ (因次 $[M L^{-3}]$)
• 流體黏度 $\mu$ (因次 $[M L^{-1} T^{-1}]$)
• 平均流速 $V$ (因次 $[L T^{-1}]$)
• 管路直徑 $D$ (因次 $[L]$)
• 管路長度 $L$ (因次 $[L]$)

我們希望找到 $\Delta P = f(\rho, \mu, V, D, L)$ 的無因次函數形式。
首先列出各變數的因次：

• $\Delta P$: $[M L^{-1} T^{-2}]$ (壓力 = 力/面積 = (質量*加速度)/面積 = $[M L T^{-2}]/[L^2] = [M L^{-1} T^{-2}]$)
• $\rho$: $[M L^{-3}]$
• $\mu$: $[M L^{-1} T^{-1}]$
• $V$: $[L T^{-1}]$
• $D$: $[L]$
• $L$: $[L]$

我們有 6 個變數，基本因次有 3 個 (M, L, T)。根據 Buckingham Pi 定理，預期會有 $6 - 3 = 3$ 個無因次群。

我們選擇 $\rho, V, D$ 作為重複變數，因為它們包含了 M, L, T 三個基本因次：

• $\rho$: $[M L^{-3}]$
• $V$: $[L T^{-1}]$
• $D$: $[L]$

現在我們來組合其他變數與重複變數形成無因次群。

第一個無因次群： 考慮 $\Delta P$。
$\Pi_1 = \Delta P \cdot \rho^a V^b D^c$
因次： $[M L^{-1} T^{-2}] \cdot [M L^{-3}]^a [L T^{-1}]^b [L]^c = M^0 L^0 T^0$
$[M^{1+a} L^{-1-3a+b+c} T^{-2-b}] = [M^0 L^0 T^0]$

由指數比較得到：
$1+a = 0 \implies a = -1$
$-2-b = 0 \implies b = -2$
$-1-3a+b+c = 0 \implies -1 - 3(-1) + (-2) + c = 0 \implies -1 + 3 - 2 + c = 0 \implies c = 0$

所以，$\Pi_1 = \Delta P \cdot \rho^{-1} V^{-2} D^0 = \frac{\Delta P}{\rho V^2}$。
這個無因次群是壓力係數或歐拉數 (Euler number)。

第二個無因次群： 考慮 $\mu$。
$\Pi_2 = \mu \cdot \rho^a V^b D^c$
因次： $[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [M L^{-3}]^a [L T^{-1}]^b [L]^c = M^0 L^0 T^0$
$[M^{1+a} L^{-1-3a+b+c} T^{-1-b}] = [M^0 L^0 T^0]$

由指數比較得到：
$1+a = 0 \implies a = -1$
$-1-b = 0 \implies b = -1$
$-1-3a+b+c = 0 \implies -1 - 3(-1) + (-1) + c = 0 \implies -1 + 3 - 1 + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$

所以，$\Pi_2 = \mu \cdot \rho^{-1} V^{-1} D^{-1} = \frac{\mu}{\rho V D}$。
這個無因次群是黏度數，通常表示為 $1/Re$，其中 $Re = \frac{\rho V D}{\mu}$ 是雷諾數 (Reynolds number)。

第三個無因次群： 考慮 $L$。
$\Pi_3 = L \cdot \rho^a V^b D^c$
因次： $[L] \cdot [M L^{-3}]^a [L T^{-1}]^b [L]^c = M^0 L^0 T^0$
$[M^a L^{1-3a+b+c} T^{-b}] = [M^0 L^0 T^0]$

由指數比較得到：
$a = 0$
$-b = 0 \implies b = 0$
$1-3a+b+c = 0 \implies 1 - 3(0) + 0 + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$

所以，$\Pi_3 = L \cdot \rho^0 V^0 D^{-1} = \frac{L}{D}$。
這個無因次群是長徑比 (length-to-diameter ratio)。

因此，無因次函數形式為：
$\frac{\Delta P}{\rho V^2} = f\left(\frac{\rho V D}{\mu}, \frac{L}{D}\right)$
或者寫成：
$\Delta P = \rho V^2 \cdot f\left(Re, \frac{L}{D}\right)$

註記： 在實際應用中，壓力損失公式通常寫成 $\Delta P = f_f \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$，其中 $f_f$ 是摩擦係數，它本身是 $Re$ 和相對粗糙度 $\epsilon/D$ 的函數。這裡我們沒有考慮粗糙度，所以 $f_f$ 僅是 $Re$ 和 $L/D$ 的函數。
我們的結果 $\Delta P = \rho V^2 \cdot f\left(Re, \frac{L}{D}\right)$ 與標準形式是一致的，因為 $\frac{\rho V^2}{2}$ 只是 $\rho V^2$ 的一個比例常數，而 $f$ 函數包含了摩擦因子和長徑比的組合。

(b) 假設 $\Delta P$ 與 $L$ 成正比，簡化方程

核心觀念

本題利用：

1. 連續方程：體積流率 $Q$ 保持不變。
2. 伯努力方程：水柱內部近似為無黏性、穩態流動，且自由水柱各處壓力皆為大氣壓 $P_a$。
3. 圓形截面積：
   $A=\pi r^2$

令 $z$ 軸方向向下，出口位置為 $z=0$，出口半徑為 $r_0$。

解題方法

在任意位置 $z$，水柱平均速度為 $V(z)$。由連續方程：

$$Q=A V=\pi r^2 V$$

因此

$$V=\frac{Q}{\pi r^2}$$

出口處速度為

$$V_0=\frac{Q}{\pi r_0^2}$$

由於水柱表面各處皆接觸相同的大氣壓，故 $P_0=P=P_a$。忽略黏性損失，對出口與任意位置 $z$ 套用伯努力方程：

$$\frac{P_0}{\rho}+\frac{V_0^2}{2}+gz_0 = \frac{P}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz$$

取出口為 $z_0=0$，且 $P_0=P$，可得

$$\frac{V_0^2}{2} = \frac{V^2}{2}+gz$$

按照向下為正的座標方向，重力使流速增加，因此速度關係為

$$V^2=V_0^2+2gz$$

代入連續方程：

本題考查流體力學中速度場的微分特徵以及流函數和速度勢的存在條件。

(a) $\nabla \cdot \mathbf{V}$ 和 $\nabla \times \mathbf{V}$ 的物理意義

$\mathbf{V}$ 是流體的速度場，在三維空間中可以表示為 $\mathbf{V} = u\mathbf{i} + v\mathbf{j} + w\mathbf{k}$，其中 $u, v, w$ 分別是沿 $x, y, z$ 方向的速度分量。

1. $\nabla \cdot \mathbf{V}$ (散度，Divergence)：
   $\nabla \cdot \mathbf{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
   散度衡量的是一個無窮小體積元的流體體積的淨變化率，或者說流體從該體積元「散發」出去的淨量。

   • 物理意義：
     • 如果 $\nabla \cdot \mathbf{V} > 0$，表示該點是流體的「源點」（source），即從該點流出的流體量大於流入的流體量，體積在膨脹。
     • 如果 $\nabla \cdot \mathbf{V} < 0$，表示該點是流體的「匯點」（sink），即流入的流體量大於流出的流體量，體積在收縮。
     • 如果 $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$，表示該點是無散度的，即流入和流出的流體量相等，體積保持不變。對於不可壓縮流體，連續性方程要求散度為零，即 $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$。

2. $\nabla \times \mathbf{V}$ (旋度，Curl)：
   $\nabla \times \mathbf{V} = \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathbf{k}$。
   旋度衡量的是一個無窮小體積元的流體質點的旋轉趨勢。它是一個向量，其方向表示旋轉軸，大小表示旋轉的強度。

   • 物理意義：
     • 如果 $\nabla \times \mathbf{V} \neq \mathbf{0}$，表示該點的流體質點正在旋轉，流動是渦旋的（rotational）。
     • 如果 $\nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{0}$，表示該點的流體質點沒有淨旋轉，流動是無旋的（irrotational）。無旋流動意味著流體質點本身不旋轉，但流體整體可能在移動或變形。

(b) 流函數 ($\psi$) 和速度勢 ($\phi$) 的存在條件

流函數和速度勢是描述流動的兩種數學工具，它們的存在條件與流動的性質有關。

1. 速度勢 ($\phi$) 的存在條件：
   速度勢 $\phi$ 的定義是 $\mathbf{V} = \nabla \phi$。
   這意味著速度場 $\mathbf{V}$ 的每個分量都可以表示為某個標量函數 $\phi$ 的梯度。
   • 存在條件： 速度勢 $\phi$ 存在當且僅當流場是無旋的 (irrotational)。
     這是因為旋度的性質：任何梯度的旋度都是零向量，即 $\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}$。

核心觀念

本題利用遠尾流的動量守恆定理。由於測量截面位於物體下游很遠處，尾流內外壓力相同，因此物體阻力等於尾流造成的軸向動量虧損：

$$D=\rho\int_{-b/2}^{b/2}u(U-u)\,dy$$

其中 $D$ 為垂直紙面方向每單位長度的阻力。

題目給定尾流速度分布：

$$u=U-A\cos\left(\frac{\pi y}{b}\right)$$

為簡化記號，令

$$c=\cos\left(\frac{\pi y}{b}\right)$$

則

$$U-u=Ac$$

因此

$$u(U-u)=(U-Ac)(Ac) =UAc-A^2c^2$$

解題方法與推導

代入動量虧損公式：

$$D=\rho\int_{-b/2}^{b/2} \left[ UA\cos\left(\frac{\pi y}{b}\right) -A^2\cos^2\left(\frac{\pi y}{b}\right) \right]dy$$

分別計算兩個積分。

第一項：

$$\int_{-b/2}^{b/2} \cos\left(\frac{\pi y}{b}\right)dy = \frac{b}{\pi} \left[ \sin\left(\frac{\pi y}{b}\right) \right]_{-b/2}^{b/2} = \frac{2b}{\pi}$$

第二項：

$$\int_{-b/2}^{b/2} \cos^2\left(\frac{\pi y}{b}\right)dy =\frac{b}{2}$$

故

核心觀念

本題考查風洞內流量、管徑變化、沿程損失、彎管等效長度，以及風扇效率。

主要公式為：

1. 連續方程式

$$Q=Au$$

2. 達西–魏斯巴赫沿程損失

$$\Delta p_f=f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2}$$

其中 $V$ 必須使用 6 m 管內的平均流速。

3. 風扇功率

$$P_{\text{air}}=Q\Delta p_{\text{total}}$$

考慮風扇效率 $\eta=0.8$：

$$P_{\text{fan}}=\frac{P_{\text{air}}}{\eta}$$

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解題方法

1. 計算工作段流量

工作段直徑為 $3\ \text{m}$，流速為 $80\ \text{m/s}$，因此

$$A_w=\frac{\pi(3)^2}{4}= \frac{9\pi}{4}\ \text{m}^2$$ $$Q=A_wu =\frac{9\pi}{4}(80) =180\pi \approx 565.5\ \text{m}^3/\text{s}$$

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2. 計算 6 m 管內流速

6 m 管的截面積為

$$A_p=\frac{\pi(6)^2}{4}=9\pi\ \text{m}^2$$

由連續方程式：

$$V_p=\frac{Q}{A_p} =\frac{180\pi}{9\pi} =20\ \text{m/s}$$

也可直接由面積比判斷：

$$V_p=80\left(\frac{3}{6}\right)^2=20\ \text{m/s}$$

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3. 計算彎管的等效長度

每個 90° 彎管相當於 $20D$ 的 6 m 管長，四個彎管之總等效長度為

$$L_{\text{bend}}=4(20)(6)=480\ \text{m}$$

直管長度為 $138\ \text{m}$，所以總等效管長為

$$L_{\text{eq}}=138+480=618\ \text{m}$$

因此

$$\frac{L_{\text{eq}}}{D} =\frac{618}{6}=103$$

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4. 計算 6 m 管與彎管的摩擦損失

空氣密度為題目所給的

$$\rho=1.2\ \text{kg/m}^3$$

動壓為

$$\frac{\rho V_p^2}{2} =\frac{1.2(20)^2}{2} =240\ \text{Pa}$$