114 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所甲組《流體力學》

本題考驗的是流體力學中的連續性方程式以及動量守恆概念，應用於自由噴射流。

解題思路：
由於水柱在噴出後僅受重力作用（忽略空氣阻力），且假設截面維持圓形且無能量損失，我們可以利用連續性方程式和動量方程式來分析。

1. 連續性方程式 (Continuity Equation)：
   由於液體不可壓縮，流率 (Volumetric flow rate, $Q$) 在任何截面都應保持恆定。
   $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$
   其中 $A$ 為截面積，$V$ 為速度。
   設噴嘴出口處為截面 1，距出口 $h=3$ 公尺處為截面 2。
   噴嘴直徑 $D_1 = 20$ mm $= 0.02$ m，半徑 $r_1 = 0.01$ m。
   噴嘴出口速度 $V_1 = 10$ m/s。
   截面積 $A_1 = \pi r_1^2 = \pi (0.01 \text{ m})^2$。

2. 動量守恆與速度計算：
   在截面 2，水柱的速度 $V_2$ 會因為重力而減小。我們可以使用運動學公式計算。
   假設噴嘴出口為初始位置，初速度為 $V_1 = 10$ m/s，加速度為 $g = -9.81$ m/s² (向上為正)。
   經過高度 $h = 3$ m 後的速度 $V_2$ 可由以下公式計算：
   $V_2^2 = V_1^2 + 2gh$

本題考驗的是計算管路中流體流動所需的泵功率，需要應用白努利方程式、能量損失計算（達西-魏斯巴赫公式），以及流動阻力係數的判斷。

解題思路：
泵功率的計算需要考慮流體克服壓力損失所做的功。我們需要先計算流動的雷諾數 (Reynolds number) 來判斷流態，進而求得摩擦係數，再計算總壓力損失，最後計算功率。

1. 轉換單位與計算流速：
   流量 $Q = 50$ 噸/小時。由於密度是 kg/m³，我們將流量轉換為 m³/s。
   1 噸 = 1000 kg。
   $Q = 50 \times 1000 \text{ kg/h} = 50000 \text{ kg/h}$
   由於 $Q = \rho \times \text{體積流量}$，我們需要體積流量 $\dot{V}$。
   $Q = 50 \text{ 噸/小時} = 50 \times 1000 \text{ kg/h}$。
   體積流量 $\dot{V} = \frac{\text{質量流量}}{\text{密度}} = \frac{50 \times 1000 \text{ kg/h}}{915 \text{ kg/m}^3}$
   $\dot{V} = \frac{50000}{915} \text{ m}^3/\text{h} \approx 54.645 \text{ m}^3/\text{h}$
   將其轉換為 m³/s：
   $\dot{V} = 54.645 \text{ m}^3/\text{h} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} \approx 0.01518 \text{ m}^3/\text{s}$

   管徑 $D = 100$ mm $= 0.1$ m。
   管截面積 $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.1 \text{ m})^2 = \frac{\pi}{4} \times 0.01 \text{ m}^2 \approx 0.007854 \text{ m}^2$。
   平均流速 $V = \frac{\dot{V}}{A} = \frac{0.01518 \text{ m}^3/\text{s}}{0.007854 \text{ m}^2} \approx 1.933 \text{ m/s}$。

2. 計算雷諾數 (Reynolds Number)：
   $Re = \frac{\rho V D}{\mu}$
   $Re = \frac{(915 \text{ kg/m}^3) \times (1.933 \text{ m/s}) \times (0.1 \text{ m})}{0.00186 \text{ kg/(m·s)}}$
   $Re = \frac{176.9 \text{ kg/(m·s)}}{0.00186 \text{ kg/(m·s)}} \approx 95107.5$

   由於 $Re > 4000$，此為紊流 (Turbulent Flow)。

3. 計算達西摩擦係數 (Darcy Friction Factor, $f$)：
   對於紊流，若管壁光滑，可以使用布拉修斯公式 (Blasius formula) 或其他人提出的公式。由於題目未指明管壁粗糙度，且提到「全展流」，通常是指穩定的紊流狀態，我們可以假設管壁是光滑的，或者使用 Moody chart。
   若假設管壁光滑，可用以下近似公式：
   $f \approx 0.316 Re^{-1/4}$ (適用於 $3000 < Re < 10^5$)
   $f \approx 0.316 \times (95107.5)^{-1/4}$
   $f \approx 0.316 \times (17.55)^{-1}$
   $f \approx 0.01799$

核心觀念

聲波在靜止空氣中的傳播速度為當地音速：

$$a=\sqrt{\gamma R T}$$

其中：

• $a$：音速，單位為 $\mathrm{m/s}$
• $\gamma=1.4$：空氣比熱比
• $R=287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$：乾空氣氣體常數
• $T$：絕對溫度，單位為 $\mathrm{K}$

由於空氣溫度隨高度改變，音速也隨高度改變，因此不能直接使用單一高度的音速計算，而必須對各高度的傳播時間微分量積分。

題目中的英文 Troposphere 應為「對流層」，而非平流層；本題計算依照題目給定的溫度分布進行。

解題方法

1. 建立溫度分布

題目給定海平面溫度為 $15^\circ\mathrm{C}$，須換算為絕對溫度：

$$T_0=15+273.15=288.15\ \mathrm{K}$$

高度 $h$ 公尺處的溫度為：

$$T(h)=288.15-0.0065h$$

因此在高度 $10000\ \mathrm{m}$ 處：

$$T(10000)=288.15-0.0065(10000)$$ $$T(10000)=223.15\ \mathrm{K}$$

2. 建立當地音速

代入音速公式：

$$a(h)=\sqrt{\gamma R T(h)}$$ $$a(h)=\sqrt{1.4(287)\left(288.15-0.0065h\right)}$$

3. 對傳播時間積分

聲波由 $10000\ \mathrm{m}$ 高處傳至海平面，微小距離 $dh$ 所需時間為：

$$dt=\frac{dh}{a(h)}$$

故總時間為：

$$t=\int_0^{10000}\frac{dh} {\sqrt{\gamma R(288.15-0.0065h)}}$$

令溫度梯度：

$$L=0.0065\ \mathrm{K/m}$$

則：

核心觀念

本題考勢流疊加：圓柱外的流場由「均勻流＋圓柱偶極流＋點渦流」組成。流線函數 $\psi$ 的等值線就是流線；固體圓柱表面也必須是流線。

依原圖，均勻流向左，循環方向為逆時針。令圓柱中心為原點，極角 $\theta$ 自 $+x$ 軸逆時針量起，並以逆時針循環為 $\Gamma>0$。

解題方法與推導

向左均勻流的流線函數為 $-ur\sin\theta$。加入圓柱偶極流，使 $r=a$ 成為不可穿透邊界，再加入逆時針點渦的流線函數，可得

$$\psi(r,\theta) = -u\left(r-\frac{a^2}{r}\right)\sin\theta -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln\left(\frac{r}{a}\right), \qquad r\ge a.$$

此處將對數中的長度以 $a$ 正規化；加上任意常數不會改變流線。代入速度與流線函數的關係

$$V_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}, \qquad V_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r},$$

得到

$$V_r=-u\left(1-\frac{a^2}{r^2}\right)\cos\theta, \qquad V_\theta=u\left(1+\frac{a^2}{r^2}\right)\sin\theta +\frac{\Gamma}{2\pi r}.$$

圓柱表面 $r=a$ 上，$V_r=0$，符合不可穿透條件。表面切向速度為

$$V_\theta(a,\theta)=2u\sin\theta+\frac{\Gamma}{2\pi a}.$$

停滯點須同時滿足 $V_r=0$ 與 $V_\theta=0$。在圓柱表面，後者給出

$$\sin\theta=-\frac{\Gamma}{4\pi au}.$$

因此，以表面停滯點是否存在判斷三種情況：

• **(a) $\Gamma<4\pi au$：**有兩個表面停滯點，位於圓柱下半部，角度滿足 $\sin\theta=-\Gamma/(4\pi au)$。流線在這兩點碰到圓柱。
• **(b) $\Gamma=4\pi au$：**兩個表面停滯點合併於圓柱最低點 $\theta=3\pi/2$，為臨界情況。

核心觀念

本題考查平板邊界層的表面摩擦阻力。依原圖所給公式：

• 層流區：
  $C_{f,L}(x)=\frac{1.456}{Re_x^{1/2}}$
• 紊流區：
  $C_{f,T}(x)=\frac{0.074}{Re_x^{0.2}}$

其中局部雷諾數為

$$Re_x=\frac{\rho U_\infty x}{\mu}$$

微小長度 $dx$ 上的摩擦阻力為

$$dF=C_f(x)\left(\frac{1}{2}\rho U_\infty^2\right)b\,dx$$

過渡點位於 $x=1\ \text{m}$，因此需分別積分 $0\leq x\leq1$ 的層流區，以及 $1\leq x\leq2$ 的紊流區。

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解題方法

已知

$$\rho=1\ \text{kg/m}^3,\qquad \mu=1.5\times10^{-5}\ \text{kg/(m·s)}$$ $$U_\infty=60\ \text{m/s},\qquad b=0.5\ \text{m}$$

先計算動壓：

$$q_\infty=\frac{1}{2}\rho U_\infty^2 =\frac{1}{2}(1)(60)^2 =1800\ \text{Pa}$$

又有

$$Re_x=\frac{(1)(60)x}{1.5\times10^{-5}} =4.0\times10^6x$$

1. 層流區摩擦阻力

$$F_L=q_\infty b\int_0^1 \frac{1.456}{(4.0\times10^6x)^{1/2}}\,dx$$

因為

$$\int_0^1x^{-1/2}\,dx=2$$