112 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

本題考查垂直平面上的靜水壓力合力，以及合力對鉸鏈的力矩。

由於題目附上的圖片只有考卷封面，未包含 Figure 1，因此外側水面位置無法直接確認。以下依合理假設：外側水面與車門上緣同高，車門全高浸沒；車內水面位於車門中高度。

靜水壓力為

$$p=\rho g h$$

矩形平面上，若上緣位於自由液面，靜水壓力合力為

$$F=\frac{1}{2}\rho g b h^2$$

其中 $b=0.91\ \text{m}$、$h=1.02\ \text{m}$、$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$、$g=9.81\ \text{m/s}^2$。

---

(a) 車門外側的靜水壓力合力

車門外側全高 $1.02\ \text{m}$ 浸在水中，壓力由上緣的零壓力線性增加至下緣最大值，因此壓力分布為三角形。

$$F_{\text{out}} =\frac{1}{2}(1000)(9.81)(0.91)(1.02)^2$$ $$\boxed{F_{\text{out}}=4.64\times10^3\ \text{N}=4.64\ \text{kN}}$$

合力作用位置位於自由液面下

$$\frac{h}{3}=\frac{1.02}{3}=0.34\ \text{m}$$

亦即距車門下緣

$$1.02-0.34=0.68\ \text{m}$$

但鉸鏈為垂直方向，計算對鉸鏈的力矩時，真正的水平力臂是車門寬度的一半：

$$x_{\text{out}}=\frac{0.91}{2}=0.455\ \text{m}$$

因此外側水壓對鉸鏈的力矩為

$$M_{\text{out}}=F_{\text{out}}(0.455)$$ $$\boxed{M_{\text{out}}=2.11\ \text{kN}\cdot\text{m}}$$

---

(b) 施力點距鉸鏈 $0.61\ \text{m}$ 時

施力點的位置不會改變車門外側的靜水壓力合力，因此

$$\boxed{F_{\text{out}}=4.64\ \text{kN}}$$

若題意是求此外側水壓相對於鉸鏈的力矩，則仍應使用靜水壓合力的作用線位置，即車門寬度方向的幾何中心 $0.455\ \text{m}$，而不是 $0.61\ \text{m}$：

核心觀念

固體壁面不可穿透，因此壁面法向速度必須為零。以鏡像法處理：在壁面另一側放置一個與原點源同強度、同號的鏡像源，使壁面上的法向速度互相抵銷。接著用穩定、不可壓且無黏的伯努力方程，求壁面上的壓力分布。

解題方法

令牆面為 $x=0$，流體位於 $x>0$，原點源位於 $(l,0)$。原點源到場點 $(x,y)$ 的距離，以及鏡像源到場點的距離分別為

$$r_1=\sqrt{(x-l)^2+y^2},\qquad r_2=\sqrt{(x+l)^2+y^2}.$$

以兩個同號源的速度勢相加，得到流場的速度勢：

$$\phi(x,y)=\frac{m}{4\pi}\ln r_1+\frac{m}{4\pi}\ln r_2 =\frac{m}{4\pi}\ln\!\left(\sqrt{[(x-l)^2+y^2][(x+l)^2+y^2]}\right).$$

檢查壁面邊界條件。速度的 $x$ 分量為

$$u_x=\frac{\partial\phi}{\partial x} =\frac{m}{4\pi}\left[ \frac{x-l}{(x-l)^2+y^2} +\frac{x+l}{(x+l)^2+y^2} \right].$$

在牆面 $x=0$ 上，

$$u_x(0,y)=\frac{m}{4\pi}\left[ \frac{-l}{l^2+y^2}+\frac{l}{l^2+y^2} \right]=0,$$

符合不可穿透條件。

壁面上的切向速度為

核心觀念

本題考查穩態、充分發展的垂直液膜流。皮帶沿 $y$ 方向向上運動，液膜厚度方向為 $x$，因此速度只有垂直分量，且只隨 $x$ 改變：

$$u=0,\qquad v=v(x)$$

其中題目以 $v$ 表示垂直速度；運動黏度以 $\nu=\mu/\rho$ 表示。取 $y$ 向上為正，重力加速度大小為 $g$，重力在 $y$ 方向的分量為 $-g$。

解題方法

由連續方程，穩態且充分發展表示 $\partial v/\partial y=0$，故

$$\frac{\partial u}{\partial x}=0$$

皮帶與液膜間沒有穿透流，因而 $u=0$。又因 $v=v(x)$，慣性項皆為零。自由液面上的壓力為大氣壓，且沿液膜厚度方向沒有壓力變化，因此 $\partial p/\partial x=0$、$\partial p/\partial y=0$。

代入 $x$ 方向動量方程，可得

$$0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dx^2}$$

代入 $y$ 方向動量方程，並將重力方向寫成 $-g$，得到

$$0=-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\frac{d^2v}{dx^2}-\rho g$$

所以

核心觀念

以撞擊區為控制體，沿斜板方向套用線性動量方程。流體無黏性，斜板不對流體施加切向剪力，因此控制體沿斜板方向的外力為零；斜板的法向力只影響法向動量。

由於各股自由射流遠離撞擊點時皆為大氣壓，且忽略重力與損失，依伯努力方程，各股射流的速率皆為入射速率 $V$。

解題方法

令入射流量為 $Q_i$，沿斜板向前的流量為 $Q_f$，向後的流量為 $Q_b$。由質量守恆：

$$Q_i=Q_f+Q_b$$

取斜板向前為正方向。入射射流與斜板夾角為 $\theta$，其切向速度分量為 $V\cos\theta$；向前射流的切向速度為 $V$，向後射流則為 $-V$。

沿斜板方向的動量方程為：

核心觀念

本題以平板層流邊界層估算船身的摩擦阻力。雷諾數為

$$Re_L=\frac{UL}{\nu}$$

平板上層流的平均摩擦係數為

$$\overline{C_f}=\frac{1.328}{\sqrt{Re_L}}$$

摩擦阻力則由平均剪應力乘上潤濕面積求得：

$$D=\overline{C_f}\left(\frac{1}{2}\rho U^2\right)A$$

此處依題意將船身與水的接觸面視為一側平板，面積 $A=Lb$。

解題方法

已知 $L=10\ \mathrm{m}$、$b=1\ \mathrm{m}$、$\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$、$\nu=10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$。代入平板摩擦係數公式：

$$D=\frac{1.328}{\sqrt{UL/\nu}}\left(\frac{1}{2}\rho U^2\right)Lb =0.664\,\rho b\sqrt{\nu L}\,U^{3/2}$$

因此阻力對速度的關係為

$$D=0.664(1000)(1)\sqrt{(10^{-6})(10)}\,U^{3/2} =2.10\,U^{3/2}\ \mathrm{N}$$

這題考驗對粗糙平板上紊流邊界層的理解，特別是利用給定的速度剖面來推導邊界層厚度。核心觀念在於如何將邊界層的積分動量方程式與給定的速度分佈結合，並利用動量厚度與邊界層厚度的比例關係來求解。

解題過程

本題要求我們找出邊界層厚度 $\delta$ 作為 $x$ 的函數。我們已知紊流邊界層的速度分佈近似為：
$u^* = K \left(\frac{y}{\epsilon}\right)^{1/7}$
其中 $u^* = \bar{u} / u_\tau$ 是無因次平均速度，$\bar{u}$ 是平均速度，$u_\tau = (\tau_w / \rho)^{1/2}$ 是摩擦速度，$\tau_w$ 是壁面剪應力，$\rho$ 是流體密度，$y$ 是離壁面的距離，$\epsilon$ 是粗糙度大小，而 $K$ 是一個常數。

我們需要利用邊界層的積分動量方程式來求解。對於平板上的紊流邊界層，積分動量方程式可以寫成：
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{\tau_w}{\rho U^2}$
其中 $\theta$ 是動量厚度，定義為：
$\theta = \int_0^\delta \frac{\bar{u}}{U} \left(1 - \frac{\bar{u}}{U}\right) dy$
$U$ 是自由流速度。

首先，我們需要將給定的速度分佈轉換成無因次形式，以便計算動量厚度。
由 $u^* = \bar{u} / u_\tau$，我們有 $\bar{u} = u_\tau u^* = u_\tau K \left(\frac{y}{\epsilon}\right)^{1/7}$。
自由流速度 $U$ 相對於邊界層內的速度而言是常數。

接下來，我們計算動量厚度 $\theta$。
$\frac{\bar{u}}{U} = \frac{u_\tau}{U} K \left(\frac{y}{\epsilon}\right)^{1/7}$
我們知道 $\tau_w = \rho u_\tau^2$，所以 $\frac{\tau_w}{\rho U^2} = \left(\frac{u_\tau}{U}\right)^2$。
令 $\frac{u_\tau}{U} = C_f^{1/2}$，其中 $C_f$ 是摩擦係數。
則 $\frac{\bar{u}}{U} = C_f^{1/2} K \left(\frac{y}{\epsilon}\right)^{1/7}$。

我們需要將 $\frac{\bar{u}}{U}$ 表示成 $y/\delta$ 的函數，以便積分。
從給定的速度分佈 $u^* = K (y/\epsilon)^{1/7}$，我們可以將其改寫為：
$\frac{\bar{u}}{u_\tau} = K \left(\frac{y}{\epsilon}\right)^{1/7}$
我們知道 $\frac{\tau_w}{\rho} = u_\tau^2$。對於粗糙平板上的紊流邊界層，壁面剪應力 $\tau_w$ 通常與自由流速度 $U$ 和邊界層厚度 $\delta$ 有關。然而，題目給定的速度分佈是基於粗糙度 $\epsilon$ 的，這暗示了我們應該利用這個分佈來推導。

我們需要將 $\bar{u}$ 表示成 $y$ 的函數，並將其代入動量厚度的積分。
$\theta = \int_0^\delta \frac{\bar{u}}{U} \left(1 - \frac{\bar{u}}{U}\right) dy$
我們需要將 $\bar{u}/U$ 表示成 $y$ 的函數。
從 $\bar{u} = u_\tau K (y/\epsilon)^{1/7}$，我們可以寫成 $\bar{u} = C y^{1/7}$，其中 $C = u_\tau K / \epsilon^{1/7}$。
然而，這個形式的 $\bar{u}$ 在 $y=0$ 時為 0，在 $y=\delta$ 時為 $U$。
如果我們假設 $\bar{u}/U$ 的形式是 $\eta^{1/7}$，其中 $\eta = y/\delta$，則 $\bar{u}/U = A (y/\delta)^{1/7}$。
代入 $y=\delta$ 時 $\bar{u}=U$，我們得到 $A=1$。
所以，$\frac{\bar{u}}{U} = \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}$。

現在我們計算動量厚度 $\theta$：
$\theta = \int_0^\delta \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7} \left(1 - \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}\right) dy$
令 $\eta = y/\delta$，則 $dy = \delta d\eta$。
$\theta = \int_0^1 \eta^{1/7} (1 - \eta^{1/7}) \delta d\eta = \delta \int_0^1 (\eta^{1/7} - \eta^{2/7}) d\eta$
$\theta = \delta \left[\frac{\eta^{8/7}}{8/7} - \frac{\eta^{9/7}}{9/7}\right]_0^1 = \delta \left(\frac{7}{8} - \frac{7}{9}\right) = \delta \left(\frac{63 - 56}{72}\right) = \frac{7}{72} \delta$

題目給定 profile parameter $\alpha = 0.0972$，且 $\alpha$ 是動量厚度與邊界層厚度的比值，即 $\alpha = \theta / \delta$。
我們計算得到的 $\theta/\delta = 7/72 \approx 0.09722$。這與題目給定的 $\alpha$ 值吻合，驗證了我們對速度分佈形式的假設是合理的。

現在我們回到積分動量方程式：
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{\tau_w}{\rho U^2}$
我們知道 $\theta = \alpha \delta = \frac{7}{72} \delta$。
所以，$\frac{d\theta}{dx} = \frac{7}{72} \frac{d\delta}{dx}$。

我們需要將 $\frac{\tau_w}{\rho U^2}$ 表示成與 $x$ 有關的項。
從給定的速度分佈 $u^* = K (y/\epsilon)^{1/7}$，我們知道 $\bar{u} = u_\tau u^* = u_\tau K (y/\epsilon)^{1/7}$。
在壁面附近，速度分佈通常由壁面剪應力決定。
我們有 $\frac{\bar{u}}{U} = \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}$。
這表示 $\bar{u} = U \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}$。
比較兩種形式的 $\bar{u}$：
$u_\tau K \left(\frac{y}{\epsilon}\right)^{1/7} = U \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}$
$u_\tau K \frac{y^{1/7}}{\epsilon^{1/7}} = U \frac{y^{1/7}}{\delta^{1/7}}$
$u_\tau K \delta^{1/7} = U \epsilon^{1/7}$
$\frac{u_\tau}{U} = \left(\frac{\epsilon}{\delta}\right)^{1/7} \frac{1}{K}$

我們知道 $\frac{\tau_w}{\rho U^2} = \left(\frac{u_\tau}{U}\right)^2$。
所以，$\frac{\tau_w}{\rho U^2} = \left(\frac{\epsilon}{\delta}\right)^{2/7} \frac{1}{K^2}$。

將此代入積分動量方程式：
$\frac{7}{72} \frac{d\delta}{dx} = \frac{1}{K^2} \left(\frac{\epsilon}{\delta}\right)^{2/7}$
$\frac{d\delta}{dx} = \frac{72}{7 K^2} \epsilon^{2/7} \delta^{-2/7}$
這是一個可分離變數的微分方程式。
$\delta^{2/7} d\delta = \frac{72}{7 K^2} \epsilon^{2/7} dx$
積分兩邊：
$\int \delta^{2/7} d\delta = \int \frac{72}{7 K^2} \epsilon^{2/7} dx$
$\frac{\delta^{2/7+1}}{2/7+1} = \frac{72}{7 K^2} \epsilon^{2/7} x + C_1$
$\frac{\delta^{9/7}}{9/7} = \frac{72}{7 K^2} \epsilon^{2/7} x + C_1$
$\frac{7}{9} \delta^{9/7} = \frac{72}{7 K^2} \epsilon^{2/7} x + C_1$