108 年 國立成功大學系統及船舶機電工程研究所甲組《流體力學》

這組題目主要在考察流體力學基本概念的理解，包括兩種描述流體運動的方法、大氣壓力分佈以及測量流體速度的儀器。

(1) Lagrangian 與 Eulerian 方法的區別：

• Lagrangian 方法： 此方法追蹤單一的流體質點（或一群質點）隨時間的運動軌跡。想像你在流體中投入一個浮標，然後觀察這個浮標的運動。數學上，這涉及到追蹤質點的位置 $\mathbf{x}(t)$，其軌跡由 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{v}(\mathbf{x}(t), t)$ 決定。
• Eulerian 方法： 此方法固定一個空間中的參考點（或區域），觀察流經該點的流體性質（如速度、壓力、密度等）隨時間的變化。想像你在河邊觀察水流經過橋墩的現象。數學上，這涉及到描述在固定空間點 $\mathbf{x}$ 的流體性質，如 $\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$。

兩者主要區別在於觀察的「視角」：Lagrangian 是跟著流體走，Eulerian 是站在原地看流體經過。對於某些問題（如質點的壽命、混合），Lagrangian 方法較直觀；對於大多數工程應用（如管道流、外部流場），Eulerian 方法較常用，因為它通常能導出較簡潔的偏微分方程組（Navier-Stokes 方程）。

【答案】Lagrangian 方法追蹤個別流體質點的運動，而 Eulerian 方法固定於空間中的參考點觀察流體性質隨時間的變化。

(2) 大氣壓力分佈：
大氣壓力是指大氣層所受到的重力作用在單位面積上的力。由於重力的作用，大氣密度隨高度增加而減小，因此壓力也隨高度增加而減小。
在忽略風和溫度變化等因素的情況下，大氣壓力隨高度的變化可以近似視為靜力學壓力。對於一個高度為 $z$ 的流體柱，其壓力變化 $\frac{dp}{dz}$ 與密度 $\rho$ 和重力加速度 $g$ 的關係為：
$\frac{dp}{dz} = -\rho g$
由於大氣密度 $\rho$ 隨高度 $z$ 增加而減小（且溫度也通常隨高度增加而降低），壓力隨高度的下降率會逐漸減小。

此題考驗白努利定律在非水平、有截面積變化流動中的應用，以及如何使用壓力計計算壓力差。

核心觀念：

1. 白努利定律 (Bernoulli's Law)： 適用於不可壓縮、無黏性、穩態流動，描述壓力、速度和高度之間的關係。
2. 質量守恆 (Continuity Equation)： 適用於任何穩態流動，描述流體進入和流出某區域的質量率相等。
3. 靜力學壓力 (Hydrostatic Pressure)： 壓力隨高度變化的關係。

解題步驟：

1. 確定流體性質：

   • 空氣壓力 $P_1 = 105$ kPa
   • 空氣溫度 $T_1 = 37^\circ$C $= 37 + 273.15 = 310.15$ K
   • 空氣密度 $\rho_{air}$ 可以從理想氣體定律計算：$P = \rho R T \implies \rho_{air} = \frac{P_1}{R T_1}$
     $\rho_{air} = \frac{105 \text{ kPa}}{0.287 \text{ kPa} \cdot \text{m}^3/\text{kg} \cdot \text{K} \times 310.15 \text{ K}} \approx 1.195$ kg/m³

2. 計算流速：

   • 第一段直管直徑 $D_1 = 6$ cm $= 0.06$ m，半徑 $R_1 = 0.03$ m。
   • 體積流量 $Q = 65$ L/s $= 0.065$ m³/s。
   • 第一段直管截面積 $A_1 = \pi R_1^2 = \pi (0.03 \text{ m})^2 \approx 0.002827$ m²。
   • 第一段直管平均流速 $V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.065 \text{ m}^3/\text{s}}{0.002827 \text{ m}^2} \approx 23.00$ m/s。
   • 第二段縮小管直徑 $D_2 = 4$ cm $= 0.04$ m，半徑 $R_2 = 0.02$ m。
   • 第二段縮小管截面積 $A_2 = \pi R_2^2 = \pi (0.02 \text{ m})^2 \approx 0.001257$ m²。
   • 第二段縮小管平均流速 $V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.065 \text{ m}^3/\text{s}}{0.001257 \text{ m}^2} \approx 51.71$ m/s。

3. 建立白努利方程：
   考慮截面 1 (較寬的管道，點 1) 和截面 2 (較窄的管道，點 2)。由於管道是傾斜的，我們需要考慮高度差。圖中顯示，點 1 和點 2 之間的高度差為 $z_1 - z_2 = 0.20$ m。我們假設點 2 相對於點 1 較高，即 $z_2 = z_1 + 0.20$ m。
   白努利方程為：
   $\frac{P_1}{\rho_{air} g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho_{air} g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2$
   重新整理以求解壓力差 $P_1 - P_2$：
   $P_1 - P_2 = \rho_{air} g (z_2 - z_1) + \frac{1}{2}\rho_{air} (V_2^2 - V_1^2)$
   代入數值：
   $z_2 - z_1 = 0.20$ m
   $V_1 \approx 23.00$ m/s
   $V_2 \approx 51.71$ m/s
   $\rho_{air} \approx 1.195$ kg/m³
   $g \approx 9.81$ m/s²

   $P_1 - P_2 = (1.195 \text{ kg/m}^3)(9.81 \text{ m/s}^2)(0.20 \text{ m}) + \frac{1}{2}(1.195 \text{ kg/m}^3)((51.71 \text{ m/s})^2 - (23.00 \text{ m/s})^2)$
   $P_1 - P_2 \approx 2.344 \text{ Pa} + \frac{1}{2}(1.195 \text{ kg/m}^3)(2673.9 - 529.0) \text{ m}^2/\text{s}^2$
   $P_1 - P_2 \approx 2.344 \text{ Pa} + \frac{1}{2}(1.195)(2144.9) \text{ Pa}$
   $P_1 - P_2 \approx 2.344 \text{ Pa} + 1280.3 \text{ Pa} \approx 1282.6 \text{ Pa}$
   將壓力差換算為 kPa：
   $P_1 - P_2 \approx 1.2826$ kPa

4. 計算水銀差壓計的液體高度差：
   壓力計測量的是兩個點之間的壓力差。圖中所示的壓力計，其兩臂分別連接到管道的點 1 和點 2。由於空氣流動，點 1 的壓力 $P_1$ 和點 2 的壓力 $P_2$ 不同。設壓力計左臂（連接點 1）的液面高度為 $h_a$，右臂（連接點 2）的液面高度為 $h_b$。
   我們知道 $P_1 - P_2 \approx 1.2826$ kPa。
   壓力計的原理是，壓力差會導致壓力計內測量流體（水）的液面產生高度差。設水銀差壓計的左臂（對應點 1）和右臂（對應點 2）的壓力分別為 $P_1$ 和 $P_2$。
   設左臂（靠近點 1）的水面高度為 $h_1'$，右臂（靠近點 2）的水面高度為 $h_2'$。
   由於點 2 比點 1 高 $0.20$ m，且水 manometer 測量的是 $P_1$ 與 $P_2$ 的壓力差。

此題考驗離心式風機（blower）的葉輪設計與功率計算，屬於渦輪機械的應用。

核心觀念：

1. 角動量定理 (Angular Momentum Theorem)： 適用於旋轉機械，描述力矩與角動量變化率的關係。對於穩態流，總外力矩等於淨角動量流出率。
2. 相對速度與絕對速度 (Relative and Absolute Velocities)： 在旋轉的葉輪中，流體的速度可以分解為相對於葉輪的相對速度和相對於固定參考系的絕對速度。
3. 功率計算 (Power Calculation)： 機械功率等於力矩乘以角速度。

解題步驟：

1. 確定流體和葉輪參數：

   • 空氣密度 $\rho = 1.25$ kg/m³
   • 體積流量 $Q = 0.7$ m³/s
   • 轉速 $N = 700$ rpm。角速度 $\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 700}{60} \approx 73.30$ rad/s。

   進口 (Inlet, 標記 1)：

   • 半徑 $r_1 = 20$ cm $= 0.20$ m
   • 葉輪寬度 $b_1 = 7.5$ cm $= 0.075$ m
   • 假設空氣徑向進入，表示相對速度 $v_{r1}$ 是徑向的，切向相對速度 $v_{u1,rel} = 0$。
   • 絕對速度 $v_1$ 與相對速度 $v_{1,rel}$ 的關係為 $v_1 = \omega \times r_1 + v_{1,rel}$。
   • 由於是徑向進入，絕對速度 $v_1$ 可以視為徑向速度，即 $v_{u1} = 0$。

   出口 (Outlet, 標記 2)：

   • 半徑 $r_2 = 40$ cm $= 0.40$ m
   • 葉輪寬度 $b_2 = 4.5$ cm $= 0.045$ m
   • 出口處絕對速度 $v_2$ 與徑向夾角 $\alpha_2 = 50^\circ$。

2. 計算截面積和平均徑向速度：

   • 進口截面積 $A_1 = 2\pi r_1 b_1 = 2\pi (0.20 \text{ m})(0.075 \text{ m}) \approx 0.09425$ m²。

   • 出口截面積 $A_2 = 2\pi r_2 b_2 = 2\pi (0.40 \text{ m})(0.045 \text{ m}) \approx 0.11310$ m²。

   • 平均徑向速度 $v_{r1}$ (在進口處，因為是徑向進入，所以 $v_{r1}$ 也是絕對徑向速度) $= \frac{Q}{A_1} = \frac{0.7 \text{ m}^3/\text{s}}{0.09425 \text{ m}^2} \approx 7.427$ m/s。

   • 平均徑向速度 $v_{r2}$ (在出口處，因為出口角已知，所以 $v_{r2}$ 是絕對徑向速度)
     已知出口絕對速度 $v_2$ 與徑向夾角 $\alpha_2 = 50^\circ$。
     $v_{r2} = v_2 \cos(\alpha_2)$。
     同時，根據連續性方程，$Q = A_2 v_{r2}$。
     $v_{r2} = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.7 \text{ m}^3/\text{s}}{0.11310 \text{ m}^2} \approx 6.189$ m/s。

3. 計算進出口的絕對速度分量：

   • 進口 (1)：
     $v_{r1} = 7.427$ m/s (徑向)

核心觀念

圓管內充分發展層流的速度分布為

$$u(r)=4\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$$

其中 $r$ 為距離管中心的徑向位置，$R=2\ \text{cm}=0.02\ \text{m}$。

所需公式為：

• 最大速度：管中心 $r=0$ 處的速度。
• 平均速度：

$$\bar{u}=\frac{1}{A}\int_A u\,dA$$

圓管微小面積環帶為

$$dA=2\pi r\,dr$$

• 體積流率：

$$Q=\bar{u}A=\bar{u}\pi R^2$$

解題方法

1. 最大速度

最大速度位於管中心 $r=0$：

$$u_{\max}=u(0) =4\left(1-\frac{0^2}{R^2}\right) =4\ \text{m/s}$$

2. 平均速度

圓管截面積為

$$A=\pi R^2$$

因此

$$\bar{u} =\frac{1}{\pi R^2}\int_0^R u(r)\,2\pi r\,dr$$

代入速度分布：

$$\bar{u} =\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R 4\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)2\pi r\,dr$$

整理得

$$\bar{u} =\frac{8}{R^2} \int_0^R \left(r-\frac{r^3}{R^2}\right)dr$$

積分後：

核心觀念

二維不可壓縮流的流線函數 $\psi$ 與速度分量關係為

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

其中 $u$ 為 $x$ 方向速度，$v$ 為 $y$ 方向速度。

二維流動的 $z$ 方向渦度為

$$\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$$

若 $\omega_z=0$，則流動為無旋流（irrotational flow），可定義速度勢函數 $\phi$，且滿足

$$u=\frac{\partial \phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \phi}{\partial y}$$

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解題方法

題 given 流線函數為

$$\psi=y^2-x^2$$

先由流線函數求速度分量：

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y^2-x^2) =2y$$ $$v=-\frac{\partial \psi}{\partial x} =-\frac{\partial}{\partial x}(y^2-x^2) =2x$$

因此速度場為

$$\mathbf{V}=2y\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}$$

判斷流動是否有旋

計算渦度：

$$\omega_z =\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}$$

代入 $u=2y$、$v=2x$：

$$\omega_z =\frac{\partial (2x)}{\partial x} -\frac{\partial (2y)}{\partial y} =2-2=0$$

因此流動為無旋流。

求速度勢函數