111 年 國立成功大學機械工程學系碩士班甲組《流體力學》

本題考查牛頓流體在平行板間的層流運動，屬於典型的應用問題。需要建立動量方程式並求解速度分佈，進而分析體積流量。

核心觀念：Navier-Stokes 方程式在單向流下的簡化應用，以及積分求取體積流量。

解題步驟：
首先，我們考慮一個位於兩平行板之間的不可壓縮牛頓流體。兩平行板的距離為 $H$。座標系統設定為：$x$ 軸平行於板面， $y$ 軸垂直於板面。$y=0$ 的板是靜止的，而 $y=H$ 的板以穩定的速度 $U$ 在 $x$ 方向移動。除了板的運動外，還存在一個壓力梯度 $dp/dx$。

我們假設流動是穩定的、層流的、不可壓縮的，並且是平面流（即速度僅有 $x$ 方向的分量 $u$，且 $u$ 只與 $y$ 有關，即 $u=u(y)$）。

由於流動是穩定的且是平面流，速度分量 $v$ 和 $w$ 均為零。
Navier-Stokes 方程式在直角座標系下為：
$\rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2})$
$\rho (\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z}) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2})$
$\rho (\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z}) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu (\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2})$

由於 $u=u(y)$ 且流動穩定，所有時間偏導數為零。
由於是平面流，$v=w=0$。
由於速度 $u$ 僅是 $y$ 的函數， $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$。
因此，Navier-Stokes 方程式簡化為：

$x$-方向動量方程式：
$\rho (0 + u \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + 0 \cdot 0) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (0 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 0)$
$\implies 0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{d^2 u}{d y^2}$
$\implies \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx}$

$y$-方向動量方程式：
$\rho (0 + u \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu (0 + 0 + 0)$
$\implies 0 = -\frac{\partial p}{\partial y}$
$\implies \frac{\partial p}{\partial y} = 0$
這表示壓力 $p$ 不隨 $y$ 變化，即壓力是 $x$ 的函數， $p=p(x)$。因此 $\frac{dp}{dx}$ 為常數。

(a) 求解速度分佈 $u(y)$：
我們得到常微分方程式：
$\frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx}$

對上式積分一次：
$\frac{du}{dy} = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} y + C_1$

再次積分：
$u(y) = \frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dx} y^2 + C_1 y + C_2$

本題考查在給定的流量下，考慮管道內壁粗糙度變化對壓力損失的影響。需要利用 Moody 圖（或類似的摩擦因子圖）來求解不同粗糙度下的摩擦因子，進而計算壓力差。

核心觀念：達西-韋斯巴赫方程式 (Darcy-Weisbach equation) 及摩擦因子與雷諾數、相對粗糙度的關係。

解題步驟：
首先，我們需要計算水流的雷諾數 (Reynolds number, Re) 和相對粗糙度 (relative roughness, $e/D$)。

已知條件：
內部直徑 $D = 5$ cm $= 0.05$ m
流量 $Q = 0.05$ m³/s
運動黏滯係數 $\nu = 10^{-6}$ m²/s
流體密度 $\rho$ (水) 需從運動黏滯係數計算，或假設為標準值，一般約為 $1000$ kg/m³。
$\nu = \mu/\rho \implies \mu = \rho \nu = 1000 \text{ kg/m³} \times 10^{-6} \text{ m²/s} = 10^{-3}$ Pa·s。

流速 $V$ 可以從流量和管徑計算：
$V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi D^2 / 4} = \frac{0.05 \text{ m³/s}}{\pi (0.05 \text{ m})^2 / 4} = \frac{0.05}{\pi \times 0.0025 / 4} = \frac{0.05 \times 4}{\pi \times 0.0025} = \frac{0.2}{\pi \times 0.0025} = \frac{0.2}{0.007854} \approx 25.46$ m/s。

計算雷諾數 $Re$：
$Re = \frac{VD}{\nu} = \frac{(25.46 \text{ m/s})(0.05 \text{ m})}{10^{-6} \text{ m²/s}} = \frac{1.273}{10^{-6}} = 1.273 \times 10^6$。
由於 $Re > 4000$，流動是紊流 (turbulent flow)。

接下來，我們需要根據不同的粗糙度來確定摩擦因子 $f$。

情況 1：管道是新的。
粗糙度 $e_{new} = 0.05$ mm $= 0.05 \times 10^{-3}$ m $= 5 \times 10^{-5}$ m。
相對粗糙度 $e_{new}/D = \frac{5 \times 10^{-5} \text{ m}}{0.05 \text{ m}} = \frac{5 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-2}} = 1 \times 10^{-3}$。

在 Moody 圖中，找到 $Re \approx 1.27 \times 10^6$ 和 $e/D = 1 \times 10^{-3}$ 的交點。
從圖上看，對於 $Re = 1.27 \times 10^6$ (介於 $10^6$ 和 $2 \times 10^6$ 之間)，相對粗糙度 $e/D = 0.001$ 的曲線。
在這條曲線上，摩擦因子 $f_{new}$ 大約在 $0.018$ 左右（稍微低於 $0.02$）。

核心觀念

本題考查徑向渦輪的：

• 連續方程
• 歐拉渦輪方程（Euler turbine equation）
• Buckingham $\Pi$ 定理
• 動力相似下的尺度律

圖中噴嘴角 $\alpha_1$ 取為絕對速度 $V_1$ 與切線方向的夾角。

---

(a) 單位質量能量傳遞

設轉子入口、出口半徑分別為 $r_1、r_2$，且流道寬度相同。由連續方程：

$$\rho (2\pi r_1 b)V_{r1} = \rho (2\pi r_2 b)V_{r2}$$

因此

$$V_{r1} = V_{r2}\frac{r_2}{r_1}$$

已知

$$\frac{r_1}{r_2} = \frac{D_1}{D_2} = 1.8$$

且 $V_{r2}=12\ \text{m/s}$，所以

$$V_{r1} = 12\left(\frac{1}{1.8}\right) = 6.667\ \text{m/s}$$

由入口速度三角形：

$$V_{r1}=V_1\sin\alpha_1$$

而切向分量為

$$V_{\theta 1}=V_1\cos\alpha_1 =V_{r1}\cot\alpha_1$$

代入 $\alpha_1=60^\circ$：

$$V_{\theta 1} = 6.667\cot60^\circ = 3.849\ \text{m/s}$$

轉子尖端速度為

$$U_1=6\ \text{m/s}$$

由半徑比可得出口轉速：

$$U_2 = \omega r_2 = U_1\frac{r_2}{r_1} = \frac{6}{1.8} = 3.333\ \text{m/s}$$

出口絕對速度為純徑向，因此

$$V_{\theta 2}=0$$

歐拉渦輪方程中，流體傳給轉子的單位質量能量為

$$\frac{\dot W}{\dot m} = U_1V_{\theta1}-U_2V_{\theta2}$$

故

$$\frac{\dot W}{\dot m} = (6)(3.849)-(3.333)(0) = 23.1\ \text{J/kg}$$

若以流體本身的能量變化表示，則流體能量減少

$$\Delta e_{\text{fluid}}=-23.1\ \text{J/kg}$$

空氣密度在「單位質量能量」計算中會約去，因此不影響結果。

---

(b) 無因次參數

已知

$$\frac{W}{m}=f(D,\omega,Q)$$

核心觀念

本題結合：

1. 球體受氣流阻力懸浮，故氣流阻力等於球重。
2. 阻力公式
   $F_D=\frac{1}{2}\rho V^2 C_D A_f$
3. 連續方程與伯努力方程，求壓力計位置的壓力。

其中球體迎風面積為：

$A_f=\frac{\pi d^2}{4}$

解題方法

1. 由球體平衡求噴流速度

球體懸浮時，垂直方向受力平衡：

$F_D=W=0.6\ \text{N}$

球徑 $d=0.05\ \text{m}$，故迎風面積：

$$A_f=\frac{\pi(0.05)^2}{4} =1.9635\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

代入阻力公式：

$$0.6=\frac{1}{2}(1.23)V_e^2(0.5) \left(1.9635\times10^{-3}\right)$$

因此噴嘴出口速度：

$V_e^2=994.8\ \text{m}^2/\text{s}^2$

$V_e=31.54\ \text{m/s}$

2. 由連續方程求壓力計處速度

噴嘴出口面積為 $A_e=0.03\ \text{m}^2$，壓力計位置面積為 $A_g=0.05\ \text{m}^2$。

流量為：