114 年 國立成功大學機械工程學系碩士班乙組《動力學》

核心觀念

本題考查平面剛體運動的速度分析：

$$\vec v_C=\vec v_B+\vec\omega\times\vec r_{C/B}$$

其中：

• $B$ 點隨垂直控制桿向下運動，$\vec v_B=-2\mathbf j\ \text{m/s}$。
• 桿 $AC$ 為剛體，$AB=BC=100\ \text{mm}$。
• $C$ 點只能沿著與水平夾角 $15^\circ$ 的斜面運動。
• 桿 $AC$ 與水平夾角為 $30^\circ$，且向右下方傾斜。

解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，令逆時針角速度為正。

由圖得

$$\vec r_{C/B} =0.1(\cos30^\circ\,\mathbf i-\sin30^\circ\,\mathbf j)$$

因此

$$\vec r_{C/B} =(0.08660\,\mathbf i-0.05000\,\mathbf j)\ \text{m}$$

設桿 $AC$ 的角速度為 $\omega$，則

$$\vec\omega\times\vec r_{C/B} =\omega\mathbf k\times (0.08660\mathbf i-0.05000\mathbf j)$$ $$=\omega(0.05000\mathbf i+0.08660\mathbf j)$$

而

$$\vec v_B=-2\mathbf j\ \text{m/s}$$

故

$$\vec v_C =0.05000\omega\,\mathbf i+ (-2+0.08660\omega)\,\mathbf j$$

核心觀念

本題使用平面剛體的相對速度公式：

$$\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}$$

其中：

• 曲柄 $OB$ 長 $500\ \text{mm}$，水平且以順時針角速度 $2\ \text{rad/s}$ 轉動。
• 點 $B$ 的速度垂直向下。
• 滑輪 $A$ 只能沿著傾角 $20^\circ$ 的槽運動。
• $C$ 位於桿 $AB$ 的中點，因此
  $\vec v_C=\frac{\vec v_A+\vec v_B}{2}$

幾何關係

由圖中 $O$ 與 $A$ 在同一鉛直線上，且 $OB=500\ \text{mm}$、$AB=1000\ \text{mm}$，故桿 $AB$ 的水平投影為 $500\ \text{mm}$：

$$\cos\theta=\frac{500}{1000}=0.5$$

因此：

$$\theta=60^\circ$$

桿 $AB$ 由 $A$ 指向 $B$ 的位置向量為：

$$\vec r_{B/A} =1000(\cos60^\circ\,\mathbf i+\sin60^\circ\,\mathbf j)$$

點 $B$ 的速度

由於 $OB$ 水平，且曲柄為順時針轉動：

$$v_B=\omega_{OB}OB =2(0.5)=1.0\ \text{m/s}$$

方向向下，因此：

$$\vec v_B=-1\,\mathbf j\ \text{m/s}$$

點 $A$ 的速度

令 $u$ 為點 $A$ 沿槽的代數速度，槽方向為向右上方 $20^\circ$：

$$\vec v_A=u(\cos20^\circ\,\mathbf i+\sin20^\circ\,\mathbf j)$$

令桿 $AB$ 的角速度為 $\alpha$，則：

$$\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A} = \alpha\mathbf k\times \left[ 1000(\cos60^\circ\,\mathbf i+\sin60^\circ\,\mathbf j) \right]$$ $$= \alpha(-866.0\,\mathbf i+500\,\mathbf j)$$

代入相對速度式：

$$-1\,\mathbf j = u(\cos20^\circ\,\mathbf i+\sin20^\circ\,\mathbf j) +\alpha(-866.0\,\mathbf i+500\,\mathbf j)$$

分解為 $x$、$y$ 方向：

核心觀念

本題考查：

• 功與動能定理，或機械能守恆。
• 光滑固定曲線約束下，支持力不做功。
• 圓弧運動的弧長微分：
  $ds=R\,d\theta$

由圖可知，碰珠從 $A$ 運動至圓弧上任意位置時，垂直下降高度為

$h=R\sin\theta$

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解題方法

由於碰珠由靜止開始，且滑動過程無摩擦，重力位能完全轉換為動能：

$mg(R\sin\theta)=\frac{1}{2}mv^2$

約去質量 $m$，得到速度：

$\boxed{v(\theta)=\sqrt{2gR\sin\theta}}$

可見速度與碰珠質量無關。

(a) 任意位置的速度

$\boxed{v=\sqrt{2gR\sin\theta}}$

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(b) 到達 $B$ 點的速度

由圖中 $B$ 點對應 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$，因此

$$v_B=\sqrt{2gR\sin\frac{\pi}{2}} =\sqrt{2gR}$$

代入

$R=250\text{ mm}=0.250\text{ m},\qquad g=9.81\text{ m/s}^2$

$$v_B=\sqrt{2(9.81)(0.250)} =2.21\text{ m/s}$$

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到達 $B$ 點所需時間

微小時間為

$dt=\frac{ds}{v}$

而圓弧長微分為

核心觀念

本題分為兩個階段：

1. **碰撞瞬間：**包裹撞上支架 $B$ 且無反彈，碰撞時間極短，因此對 $B$ 點取角動量，碰撞前後角動量守恆。
2. **碰撞後自由轉動：**包裹繞 $B$ 轉動，利用機械能守恆。要能越過最高重心位置，才能繼續轉至左側輸送帶 $C$。

由圖可知，包裹以左下角接觸支架 $B$，並繞該角點轉動。

碰撞後的初始角速度

包裹碰撞前作水平平移，質心 $G$ 位於接觸點 $B$ 的右上方，垂直距離為 $b/2$。

對 $B$ 點取角動量：

$$m v_1\left(\frac{b}{2}\right)=I_B\omega_0$$

均勻正方形板對質心的轉動慣量為

$$I_G=\frac{1}{6}mb^2$$

而質心至角點 $B$ 的距離平方為

$$BG^2=\left(\frac b2\right)^2+\left(\frac b2\right)^2=\frac{b^2}{2}$$

因此由平行軸定理：

$$I_B=I_G+mBG^2 =\frac16mb^2+\frac12mb^2 =\frac23mb^2$$

故

$$\omega_0 =\frac{m v_1(b/2)}{(2/3)mb^2} =\frac{3v_1}{4b}$$

碰撞後的轉動動能為

$$T_0=\frac12I_B\omega_0^2$$ $$T_0 =\frac12\left(\frac23mb^2\right) \left(\frac{3v_1}{4b}\right)^2 =\frac{3}{16}mv_1^2$$

自由轉動所需的最小能量

包裹由初始位置逆時針轉動角度 $\theta$。其質心高度相對於 $B$ 為

$$y_G=\frac b2(\sin\theta+\cos\theta)$$

核心觀念

本題是平板繞固定點 $O$ 的小角度轉動振動，使用：

• 平板對 $O$ 點的質量轉動慣量
• 彈簧等效轉動剛度
• 阻尼器等效轉動阻尼
• 單自由度轉動系統的自然頻率與阻尼判別

由圖可讀得平板尺寸為水平長度 $L=0.6\ \text{m}$、垂直高度 $H=0.3\ \text{m}$，質量 $m=0.25\ \text{kg}$。雖然題目文字寫 square plate，但實際圖形標示為 $0.6\ \text{m}\times0.3\ \text{m}$，以下依原圖尺寸計算。

解題方法

令平板繞 $O$ 點產生小角位移 $\theta$。

1. 對 $O$ 點的質量轉動慣量

矩形平板繞角點 $O$ 的轉動慣量為

$$I_O=\frac{m}{3}(L^2+H^2)$$

代入數值：

$$I_O=\frac{0.25}{3}\left(0.6^2+0.3^2\right) =0.0375\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

2. 彈簧的等效轉動剛度

點 $A$ 到轉軸 $O$ 的水平距離為 $L$。小角度轉動時，$A$ 點的垂直位移近似為

$$\delta_A=L\theta$$

彈簧力為 $F_s=k\delta_A=kL\theta$，因此對 $O$ 點的回復力矩為

$$M_s=F_sL=kL^2\theta$$

故等效轉動剛度為

$$k_\theta=kL^2 =500(0.6)^2 =180\ \text{N}\cdot\text{m/rad}$$

3. 阻尼器的等效轉動阻尼

同理，點 $B$ 的垂直速度為

$$v_B=L\dot{\theta}$$

阻尼力為

$$F_c=cv_B=cL\dot{\theta}$$

對 $O$ 點的阻尼力矩為

$$M_c=F_cL=cL^2\dot{\theta}$$

故等效轉動阻尼為

$$c_\theta=cL^2 =15(0.6)^2 =5.4\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s/rad}$$

4. 運動方程式與自然頻率

小振動運動方程式為