109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班戊組《動力學》

核心觀念

本題考查平面剛體的相對速度與相對加速度：

$$\vec v_C=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{C/A}$$ $$\vec a_C=\vec a_A+\vec\alpha\times\vec r_{C/A} +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r_{C/A})$$

其中 $C$ 為桿的中點，因此

$$AC=\frac{L}{2}=2\text{ m}$$

取 $\hat{\mathbf i}$ 向右、$\hat{\mathbf j}$ 向上。依圖中角度定義，桿由 $A$ 指向 $C$ 的位置向量為

$$\vec r_{C/A} =2\sin\theta\,\hat{\mathbf i} -2\cos\theta\,\hat{\mathbf j}$$

---

解題方法

（a）求中點 $C$ 的速度

對位置向量微分：

$$\vec v_{C/A} =\frac{d\vec r_{C/A}}{dt} =2\dot\theta\cos\theta\,\hat{\mathbf i} +2\dot\theta\sin\theta\,\hat{\mathbf j}$$

因此

$$\vec v_C =\vec v_A+\vec v_{C/A}$$

代入

$$v_A=5\text{ m/s},\qquad \theta=33^\circ,\qquad \dot\theta=0.4\text{ rad/s}$$

得

$$\vec v_C = \left(5+2(0.4)\cos33^\circ\right)\hat{\mathbf i} + \left(2(0.4)\sin33^\circ\right)\hat{\mathbf j}$$

所以

$$\boxed{ \vec v_C =5.671\,\hat{\mathbf i} +0.436\,\hat{\mathbf j}\ \text{m/s} }$$

若求速度大小：

$$|\vec v_C| =\sqrt{(5.671)^2+(0.436)^2}$$ $$\boxed{|\vec v_C|=5.69\text{ m/s}}$$

方向為

$$\phi=\tan^{-1}\left(\frac{0.436}{5.671}\right) \approx4.4^\circ$$

即速度方向為向右上方約 $4.4^\circ$。

---

（b）求 $\dot\theta$、$\ddot\theta$ 與 $\vec a_C$

依原卷圖中文字，條件為當 $\theta=0^\circ$ 時：

$$\vec a_A=27\,\hat{\mathbf i}\text{ m/s}^2, \qquad \vec a_C=\vec 0$$

本題為二維運動學問題，考驗相對運動、極座標與直角座標轉換。

核心觀念：

• 向量關係： 桿件 $AB$ 的位置、速度與加速度可由 $r$, $\theta$ 及它們的時間導數表示。
• 極座標與直角座標轉換： 桿件末端 $B$ 的運動在直角座標系下描述，而其位置由極座標 $(r, \theta)$ 定義。
• 相對速度： $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}$。

---

已知條件：

• 桿件長度 $d$ (題目中用 $d$，圖中桿件長度標示為 $r$)。此處應理解為桿件的長度是變數 $r$。
• 桿件末端 $B$ 的速度為常數 $v_B = 2$ m/s，方向鉛直向下。
• 在指定瞬間，$\theta = 37^\circ$。
• 桿件的「基準點」 $A$ 是固定在原點。

目標：
計算當 $\theta = 37^\circ$ 時，$r$ 和 $\theta$ 的變化率，即 $\dot{r}$ 和 $\dot{\theta}$。

解題步驟：

1. 建立座標系：
   我們使用一個固定在原點 $A$ 的直角座標系，$\hat{i}$ 指向右方，$\hat{j}$ 指向上方。
   桿件 $AB$ 的長度為 $r$。

2. 表達點 B 的位置向量：
   使用極座標 $(r, \theta)$，點 $B$ 相對於原點 $A$ 的位置向量為：
   $\vec{r}_B = r (\cos\theta \hat{i} + \sin\theta \hat{j})$

3. 表達點 B 的速度向量：
   對位置向量求時間導數，得到速度向量。
   $\vec{v}_B = \frac{d}{dt} \vec{r}_B = \frac{d}{dt} [r (\cos\theta \hat{i} + \sin\theta \hat{j})]$
   使用乘法法則：
   $\vec{v}_B = \dot{r} (\cos\theta \hat{i} + \sin\theta \hat{j}) + r (-\sin\theta \dot{\theta} \hat{i} + \cos\theta \dot{\theta} \hat{j})$
   $\vec{v}_B = (\dot{r} \cos\theta - r \dot{\theta} \sin\theta) \hat{i} + (\dot{r} \sin\theta + r \dot{\theta} \cos\theta) \hat{j}$

   這就是點 $B$ 的速度向量，它由徑向速度 ($\dot{r}$) 和切向速度 ($r\dot{\theta}$) 組成。

4. 表達已知速度：
   點 $B$ 的速度是鉛直向下，大小為 $v_B = 2$ m/s。
   所以，$\vec{v}_B = -2 \hat{j}$ m/s。

5. 建立速度方程：
   將步驟 3 和步驟 4 的表達式相等：
   $(\dot{r} \cos\theta - r \dot{\theta} \sin\theta) \hat{i} + (\dot{r} \sin\theta + r \dot{\theta} \cos\theta) \hat{j} = -2 \hat{j}$

6. 分離 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分量：
   得到兩個方程：
   (1) $\dot{r} \cos\theta - r \dot{\theta} \sin\theta = 0$ ( $\hat{i}$ 分量)
   (2) $\dot{r} \sin\theta + r \dot{\theta} \cos\theta = -2$ ( $\hat{j}$ 分量)

7. 代入已知數值：
   在指定瞬間，$\theta = 37^\circ$。
   $\cos 37^\circ \approx 0.800$
   $\sin 37^\circ \approx 0.600$
   題目中 $d=1.5$ m，圖中桿件長度標示為 $r$。我們需要知道這個 $r$ 的值。

核心觀念

本題考察平面剛體轉動的：

• 功—能原理
• 彈簧位能與重力位能
• 固定軸轉動慣量
• 平衡位置附近的小振動與自然頻率

由圖得桿長

$$L=OA=0.3\ \text{m}$$

桿質量 $m=10\ \text{kg}$，繞端點 $O$ 的轉動慣量為

$$I_O=\frac{1}{3}mL^2 =\frac{1}{3}(10)(0.3)^2 =0.30\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

取 $\theta>0$ 表示端點 $A$ 位於水平線上方。由於彈簧原長為 $0.1\ \text{m}$，當 $\theta=0$ 時彈簧不變形。

---

(a) 端點 $A$ 通過 $\theta=0$ 時的速度

初始時彈簧壓縮量為

$$x_i=0.01\ \text{m}$$

因此初始彈簧位能為

$$V_{s,i}=\frac{1}{2}kx_i^2 =\frac{1}{2}(5000)(0.01)^2 =0.25\ \text{J}$$

初始位置由幾何關係得

$$L\sin\theta_i=0.01$$

故

$$\sin\theta_i=\frac{0.01}{0.3}=\frac{1}{30}$$

桿質心上升高度為

$$\Delta y_G=\frac{L}{2}\sin\theta_i =\frac{0.3}{2}\left(\frac{1}{30}\right) =0.005\ \text{m}$$

因此初始重力位能相對於 $\theta=0$ 為

$$V_{g,i}=mg\Delta y_G =(10)(9.81)(0.005) =0.4905\ \text{J}$$

端點 $A$ 通過 $\theta=0$ 時，彈簧不變形，且重力位能取為零。由能量守恆：

$$\frac{1}{2}I_O\omega_0^2 =V_{s,i}+V_{g,i}$$ $$\frac{1}{2}(0.30)\omega_0^2 =0.25+0.4905$$ $$\omega_0=2.222\ \text{rad/s}$$

端點 $A$ 的速度為

$$v_A=L\omega_0 =(0.3)(2.222) =0.667\ \text{m/s}$$

此時端點向下運動。

---

(b) 振動過程中的最大速度

最大速度發生在系統的平衡位置。系統位能可寫成

$$V(\theta) =mg\frac{L}{2}\sin\theta +\frac{1}{2}kL^2\sin^2\theta$$

平衡位置滿足

$$\frac{dV}{d\theta}=0$$

因此

$$mg\frac{L}{2}\cos\theta +kL^2\sin\theta\cos\theta=0$$

在接近水平位置的平衡點，$\cos\theta\neq 0$，故

$$\sin\theta_e=-\frac{mg}{2kL}$$

代入數值：

$$\sin\theta_e =-\frac{(10)(9.81)}{2(5000)(0.3)} =-0.0327$$

核心觀念

本題分為「碰撞前」與「碰撞瞬間」兩階段：

1. 碰撞前：以機械能守恆求錘子的角速度。
2. 碰撞瞬間：以碰撞衝量、角動量守恆及恢復係數求碰撞後速度。
3. 碰撞後：方塊只受動摩擦力，以功—能定理求停止距離。

依圖取 $AB=0.2\ \text{m}$，圓柱質心 $C$ 位於 $B$，圓柱直徑為 $100\ \text{mm}$，故 $r=0.05\ \text{m}$。

---

一、碰撞前錘子的角速度

錘子由 $\theta=60^\circ$ 釋放，至 $\theta=0^\circ$ 時，位能減少量為

$$\Delta V = m_r g\left(\frac{AB}{2}\right)(1-\cos60^\circ) + m_Cg(AB)(1-\cos60^\circ)$$

代入 $m_r=5\ \text{kg}$、$m_C=8\ \text{kg}$：

$$\Delta V = 5(9.81)(0.1)(0.5) + 8(9.81)(0.2)(0.5) =8.3385\ \text{J}$$

錘子繞固定點 $A$ 的轉動慣量為

$$I_A = \frac{1}{3}m_r(AB)^2 + \frac12m_Cr^2 + m_C(AB)^2$$ $$I_A = \frac13(5)(0.2)^2 +\frac12(8)(0.05)^2 +8(0.2)^2 =0.3967\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

由機械能守恆：

$$\frac12 I_A\omega_1^2=\Delta V$$

因此

$$\omega_1 = \sqrt{\frac{2(8.3385)}{0.3967}} = 6.48\ \text{rad/s}$$

碰撞前，錘頭接觸點的速度為

$$u=AB\omega_1 =(0.2)(6.48) =1.30\ \text{m/s}$$

方向向右。

---

二、碰撞後的速度

設方塊 $D$ 碰撞後速度為 $v_D$，錘子碰撞後角速度為 $\omega_2$。取向右為正，逆時針為正。

碰撞衝量 $J$ 對方塊有

$$J=m_Dv_D$$

核心觀念

本題使用：

1. 幾何約束求 $\phi$ 與 $\theta$ 的關係。
2. 無滑動滾動條件：
   $v_B=R\omega_B$
3. 機械能守恆：
   $T_1+V_1=T_2+V_2$

其中兩根桿長度均為 $L=100\text{ mm}=0.1\text{ m}$，輪半徑為 $R=30\text{ mm}=0.03\text{ m}$。

---

一、幾何約束

由圖中幾何關係，$B$ 輪心在水平面上，因此其高度不變：

$$L\cos\phi-L\cos(\theta-\phi)=\text{常數}$$

初始時 $\theta_1=60^\circ$、$\phi_1=45^\circ$，故

$$\cos\phi_2-\cos(90^\circ-\phi_2) =\cos45^\circ-\cos15^\circ$$

解得

$$\phi_2=55.55^\circ$$

因此

$$\theta_2-\phi_2=34.45^\circ$$

---

二、速度關係

對高度約束微分：

$$\sin(\theta-\phi)(\dot\theta-\dot\phi) -\sin\phi\,\dot\phi=0$$

在最終位置：

$$\dot\phi = \frac{\sin34.45^\circ} {\sin34.45^\circ+\sin55.55^\circ}\dot\theta =0.4065\dot\theta$$

輪心 $B$ 的水平速度為

$$v_B =L\left[ \cos\phi\,\dot\phi+ \cos(\theta-\phi)(\dot\theta-\dot\phi) \right]$$

代入最終位置：

$$v_B=0.0719\dot\theta$$

桿 $OA$ 的角速度為 $\dot\phi$，桿 $AB$ 的角速度為

$$\omega_{AB}=\dot\theta-\dot\phi=0.5935\dot\theta$$

---

三、最終動能

兩根桿質量皆為 $15\text{ kg}$，輪子質量為 $10\text{ kg}$，輪子的質量慣性矩為

$$I_B=mk_G^2 =10(0.075)^2 =0.05625\text{ kg}\cdot\text{m}^2$$