108 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《動力學》

本題主要考查在極座標系統下，如何計算質點的速度與加速度。需要掌握極座標下的速度和加速度公式，並對給定的位置函數進行微分。

核心觀念：
極座標下的速度和加速度公式：
速度： $\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_\theta$
加速度： $\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\mathbf{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\mathbf{e}_\theta$

解題過程：
已知質點 A 的極座標位置隨時間的函數為：
$r(t) = 1 + 2t^2$ m
$\theta(t) = 2t$ rad

我們需要計算速度和加速度，因此需要對 $r$ 和 $\theta$ 進行一階和二階微分。

一階微分：
$\dot{r}(t) = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 2t^2) = 4t$
$\dot{\theta}(t) = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2$ rad/s

二階微分：
$\ddot{r}(t) = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d}{dt}(4t) = 4$ m/s$^2$
$\ddot{\theta}(t) = \frac{d^2\theta}{dt^2} = \frac{d}{dt}(2) = 0$ rad/s$^2$

現在我們要求在 $t=1$ 秒時的速度和加速度。將 $t=1$ 代入上述微分結果：
$r(1) = 1 + 2(1)^2 = 3$ m
$\dot{r}(1) = 4(1) = 4$ m/s

核心觀念

本題考查衝量與動量原理：合力在一段時間內的衝量，等於物體動量的變化。圖中 $20\,\mathrm{kg}$ 質量較大，會向下運動；理想繩索與滑輪使兩物體的速率相同。

解題方法

令 $20\,\mathrm{kg}$ 物體向下、$4\,\mathrm{kg}$ 物體向上為正方向，兩物體在 $0.5\,\mathrm{s}$ 內的速率變化相同。分別對兩物體使用衝量與動量原理：

對 $20\,\mathrm{kg}$ 物體：

$$(20g-T)(0.5)=20v$$

對 $4\,\mathrm{kg}$ 物體：

本題考查剛體動力學，特別是關於繞固定軸轉動的物體（此處是梯子以牆角為固定點）的角加速度計算，以及在釋放瞬間的受力分析。

核心觀念：

1. 剛體繞固定軸轉動的動力學方程： $\sum M_O = I_O \alpha$，其中 $\sum M_O$ 是在轉軸 $O$ 上的合力矩， $I_O$ 是物體繞轉軸 $O$ 的轉動慣量，$\alpha$ 是角加速度。
2. 質心加速度： 對於非質心處的點，其加速度可以分解為切向加速度 ($a_t = r\alpha$) 和徑向加速度 ($a_n = r\omega^2$)。在釋放瞬間 ($\omega=0$)，只有切向加速度。
3. 力的合成與分解： 需將各力分解到適當的座標系統（例如，沿著梯子和垂直於梯子的方向，或者水平和垂直方向），以利於應用牛頓第二定律。
4. 轉動慣量： 均勻細長桿繞其一端（質心通過其中心，長度為 $L$）的轉動慣量為 $I_O = \frac{1}{3}mL^2$。

解題過程：
梯子質量 $m = 18$ kg。
梯子長度 $L = 4$ m。
初始位置：梯子與地面夾角 $\theta = 30^\circ$。
釋放瞬間：角速度 $\omega = 0$。

步驟 1：確定作用在梯子上的力
在釋放瞬間，作用在梯子上的力有：

1. 梯子自身的重力 $W = mg$，作用在質心。對於細長桿，質心位於其幾何中心，即離頂端或底端 $L/2$ 處。
2. 地面施加的法向支持力 $N_f$ (垂直於地面)。
3. 牆壁施加的水平推力 $F_w$ (水平指向左，因為梯子會向右滑動)。
4. 地面施加的摩擦力 $f_f$ (水平向左，阻止梯子向右滑動)。
   題目要求忽略摩擦力，所以 $f_f = 0$。
   題目要求忽略牆壁的摩擦力（如果有的話），並且假設牆壁是光滑的，所以牆壁只施加水平力。

步驟 2：建立座標系統
我們可以使用一個固定的直角座標系統，x 軸水平向右，y 軸垂直向上。
重力 $W = mg$ 作用在質心，質心位置的水平和垂直座標為：
$x_c = \frac{L}{2}\cos\theta = 2\cos 30^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ m
$y_c = \frac{L}{2}\sin\theta = 2\sin 30^\circ = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ m
重力 $W = 18 \times 9.81$ N (向下)。

步驟 3：應用剛體動力學方程
我們選擇梯子頂端與牆壁接觸點作為轉軸 $O$。這樣，牆壁施加的推力 $F_w$ 就通過了轉軸，其力矩為零。
作用在梯子上的力矩是重力 $W$ 產生的力矩。
重力 $W$ 作用在質心，距離轉軸 $O$ 的水平距離為 $x_c = \sqrt{3}$ m，垂直距離為 $y_c = 1$ m。
重力 $W$ 產生繞 $O$ 點的力矩。若以 $O$ 為原點，重力向量為 $\mathbf{W} = -mg\mathbf{j}$。質心位置向量為 $\mathbf{r}_c = x_c \mathbf{i} - y_c \mathbf{j}$ (注意，質心在 $O$ 的右下方)。
更直接地，力臂是質心到 $O$ 點的垂直距離。重力 $W$ 作用在質心，其力臂是質心到 $O$ 點的水平距離，即 $x_c = \frac{L}{2}\cos\theta$。
力矩 $\sum M_O = W \times (\frac{L}{2}\cos\theta) = mg \times \frac{L}{2}\cos\theta$。
由於重力是向下的，它會使梯子向右旋轉，所以力矩方向是順時針。如果我們定義逆時針為正，則力矩為負。
$\sum M_O = -mg \frac{L}{2}\cos\theta$。

梯子繞其頂端 $O$ 的轉動慣量 $I_O$。由於 $O$ 是細長桿的一端，
$I_O = \frac{1}{3}mL^2$。

應用 $\sum M_O = I_O \alpha$：
$-mg \frac{L}{2}\cos\theta = (\frac{1}{3}mL^2)\alpha$

解出角加速度 $\alpha$：
$\alpha = \frac{-mg \frac{L}{2}\cos\theta}{\frac{1}{3}mL^2} = \frac{-g \frac{1}{2}\cos\theta}{\frac{1}{3}L} = -\frac{3g\cos\theta}{2L}$

代入數值：
$g = 9.81$ m/s$^2$, $L = 4$ m, $\theta = 30^\circ$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\alpha = -\frac{3 \times 9.81 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \times 4} = -\frac{3 \times 9.81 \times \sqrt{3}}{16}$
$\alpha \approx -\frac{3 \times 9.81 \times 1.732}{16} \approx -\frac{50.96}{16} \approx -3.185$ rad/s$^2$

負號表示角加速度是順時針方向。題目要求的是大小，或者說哪個方向。通常我們在意的是運動趨勢。
(a) 角加速度的大小為 $\frac{3g\cos\theta}{2L}$。

步驟 4：計算法向支持力 $N_f$
在釋放瞬間，梯子頂端的角速度 $\omega = 0$。
梯子的質心 $C$ 的加速度 $\mathbf{a}_c$。
質心 $C$ 距離轉軸 $O$ 的距離為 $r_c = L/2 = 2$ m。
質心 $C$ 的位置向量對於 $O$ 是 $\mathbf{r}_c = x_c \mathbf{i} - y_c \mathbf{j}$。
在釋放瞬間 $\omega=0$，質心的加速度 $\mathbf{a}_c$ 只有切向分量，其方向垂直於 $OC$ 向量，並指向運動軌跡的切線方向（即向下偏右）。
$a_{c,t} = r_c \alpha = (L/2)\alpha$
$a_{c,n} = r_c \omega^2 = 0$ (因為 $\omega=0$)

所以，質心加速度 $\mathbf{a}_c$ 的大小為

核心觀念

套環 $A$ 可沿光滑斜桿運動，因此斜桿方向的加速度就是套環相對於斜桿的加速度。由於斜桿光滑，接觸法向力在斜桿方向沒有分量。

滑輪與繩索視為理想狀態，因此繩張力為

$$T=200\ \text{N}.$$

由圖可知斜桿與水平夾角為 $45^\circ$，繩段與鉛直線夾角為 $20^\circ$。

解題方法

取斜桿向右下方為正方向，套環質量為 $m=8\ \text{kg}$。

沿斜桿方向分析各力：

• 重力沿斜桿方向的分量：

$$W_s=mg\sin45^\circ$$

• 張力沿斜桿方向的分量。張力方向為右上方，而斜桿正方向為右下方，兩者夾角為

$$20^\circ+?$$

以水平分量直接投影，張力在斜桿方向的分量為

$$T_s=-T\sin25^\circ$$

其中負號表示張力分量與斜桿正方向相反。

依牛頓第二定律：

本題考查剛體繞固定軸轉動的動力學問題，同時涉及摩擦力矩的計算。題目給出一個圓盤（disk）受到力偶矩的作用，要求計算其角加速度。

核心觀念：

1. 繞固定軸轉動的動力學方程： $\sum M_O = I_O \alpha$，其中 $\sum M_O$ 是作用在物體上的淨力矩， $I_O$ 是物體繞轉軸 $O$ 的轉動慣量，$\alpha$ 是角加速度。
2. 轉動慣量： 對於一個質量為 $m$、半徑為 $R$ 的均勻圓盤，繞其中心軸的轉動慣量為 $I_O = \frac{1}{2}mR^2$。
3. 摩擦力矩： 題目給出動摩擦係數 $\mu_s = 0.1$ (注意，題目寫的是 $\mu_s$，通常靜摩擦係數用 $\mu_s$，動摩擦係數用 $\mu_k$。這裡假設是動摩擦係數，因為圓盤在轉動)。摩擦力矩的計算需要知道作用在圓盤上的法向支持力。

解題過程：
已知：

• 圓盤質量 $m_d = 10$ kg。
• 圓盤半徑 $R = 0.4$ m (從圖示看，0.4 m 是半徑)。
• 連桿（bar）質量 $m_b = 5$ kg。
• 連桿長度 $L = 1.2$ m。
• 動摩擦係數 $\mu_s = 0.1$。
• 施加給圓盤的力偶矩 $M_{applied} = 8$ N-m (逆時針)。
• 初始狀態：從靜止釋放。

步驟 1：確定圓盤的轉動慣量 $I_d$
圓盤的轉動慣量繞其中心軸為：
$I_d = \frac{1}{2}m_d R^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8$ kg·m$^2$。

步驟 2：確定作用在圓盤上的淨力矩 $\sum M_O$
淨力矩包括：

1. 施加的力偶矩 $M_{applied} = 8$ N-m (逆時針)。
2. 摩擦力矩 $M_f$。

步驟 3：計算摩擦力矩 $M_f$
摩擦力矩的計算需要知道作用在圓盤上的法向支持力 $N$。
圖示顯示，圓盤受到一個連桿的支撐。
連桿的質量 $m_b = 5$ kg，長度 $L = 1.2$ m。
連桿以其頂端（與牆壁連接處）為固定點，繞該點轉動。
連桿與水平方向的夾角為 $30^\circ$。

首先，我們需要分析連桿的運動，以確定圓盤所受到的法向支持力 $N$。
連桿的重力 $W_b = m_b g = 5 \times 9.81$ N，作用在連桿的質心（長度 $L/2 = 0.6$ m 處）。
連桿的頂端是轉軸 $O$。
作用在連桿上的力有：

• 頂端的支撐力（水平和垂直分量）。
• 連桿自身的重力 $W_b$。
• 連桿底端（與圓盤接觸處）施加給圓盤的法向支持力 $N$。這個力是垂直於連桿的。

從圖上看，連桿的底端是與圓盤接觸的。
連桿與水平夾角 $30^\circ$。
連桿底端對圓盤施加的法向支持力 $N$ 是垂直於連桿的。
這個力 $N$ 的方向是指向圓盤左上方的。
所以，這個力 $N$ 作用在圓盤上。

為了求出 $N$，我們需要分析連桿的運動。
但是，題目只要求計算圓盤的角加速度。
如果圓盤的運動是獨立於連桿的，那麼我們只需要知道 $N$。
如果圓盤的運動是由連桿帶動的，那麼需要聯立求解。

仔細觀察圖示：
圖示中，連桿連接到圓盤的邊緣，並且連桿的頂端固定。
圓盤在一個水平面上。
連桿與圓盤接觸點施加一個力 $N$。
這個力 $N$ 是垂直於連桿的。
連桿的頂端是轉軸。
連桿的重力 $W_b$ 作用在連桿質心。

關鍵點： 題目說「The masses of the bar and disk shown in Figure 5 are 5-kg and 10-kg, respectively.」。
這是指連桿質量 5kg，圓盤質量 10kg。
「The coefficient of kinematic friction between the disk and the horizontal surface is $\mu_s = 0.1$」。
這裡的摩擦係數 $\mu_s$ 應該是動摩擦係數 $\mu_k$。
「If an 8 N-m counterclockwise couple is applied to the disk, what is its angular acceleration?」

假設： 圓盤是獨立於連桿運動的，或者連桿的運動不會影響圓盤的角加速度。
如果圓盤是獨立於連桿運動的，那麼我們需要知道圓盤受到的法向支持力 $N$。
圖示中，連桿與圓盤接觸，並且連桿有一個 $30^\circ$ 的傾斜角。
連桿頂端是固定轉軸。
連桿底端對圓盤施加的力 $N$ 是垂直於連桿的。
這個力 $N$ 的方向是指向左上方的。

如果我們假設連桿是靜止的，那麼：
連桿的重力 $W_b = m_b g$ 作用在質心。
連桿繞頂端轉動的力矩。
如果連桿是靜止的，那麼合力矩為零。
頂端的支撐力矩 + 重力力矩 = 0。
重力 $W_b$ 作用在質心，距離轉軸的水平距離為 $\frac{L}{2}\cos 30^\circ$。
力矩 $M_b = -W_b (\frac{L}{2}\cos 30^\circ)$ (順時針)。
如果連桿靜止，那麼頂端的支撐力矩平衡它。

但是，我們需要的是圓盤受到的力 $N$。
如果連桿是靜止的，那麼連桿底端對圓盤施加的力 $N$ 是垂直於連桿的。
這個力 $N$ 在水平方向的分量 $N_x = N \cos 30^\circ$ (指向左)。
這個力 $N$ 在垂直方向的分量 $N_y = N \sin 30^\circ$ (向上)。

圓盤的受力分析：

1. 圓盤重力 $W_d = m_d g = 10 \times 9.81$ N (向下)。
2. 水平面給予的法向支持力 $N_{surface}$ (向上)。
3. 連桿施加的法向支持力 $N$ (垂直於連桿，指向左上方)。
4. 摩擦力 $f_k$ (與運動方向相反)。圓盤逆時針轉動，所以摩擦力是順時針方向的。

圓盤的運動：
圓盤繞其中心轉動。
假設圓盤的運動是獨立的，並且轉動慣量 $I_d = 0.8$ kg·m$^2$。
施加的力偶矩 $M_{applied} = 8$ N-m (逆時針)。

摩擦力計算：
摩擦力矩 $M_f = f_k \times R$ (假設摩擦力在圓盤邊緣產生力矩)。
這裡的摩擦力 $f_k$ 是動摩擦力。
$f_k = \mu_k \times N_{total}$，其中 $N_{total}$ 是圓盤受到的總法向支持力。
$N_{total} = N_{surface} - W_d$ (垂直方向的合力)。

問題是：如何確定 $N$ 和 $N_{surface}$？
如果連桿是靜止的，那麼 $N$ 的大小可以由連桿的力矩平衡來確定。
連桿繞頂端 O 的力矩：
$W_b$ 產生力矩：$-W_b \times (\frac{L}{2}\cos 30^\circ)$ (順時針)。
力 $N$ 作用在連桿底端，方向垂直於連桿，指向左上方。