112 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班丁組《動力學》

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第 1 題

As shown in Figure 1. A truck carries a gas cylinder. Suddenly the gas cylinder leaks, so it bounces
up. The truck and the cylinder have an initial horizontal speed of 40 km/h, and the take-off speed
of the gas cylinder is 20 m/s vertically upward. When the truck stops immediately after the gas
cylinder bounces up. When the cylinder travels to the highest point, a bird suddenly strikes the cylinder
horizontally, making its horizontal speed of the cylinder drop by 3 m/s. The horizontal
travelling distance of the gas cylinder when it drops from the roof. Also, determine the total
travelling time of the cylinder. Assuming the truck's height is ignored, the gas cylinder bounces up
from the road surface. (g = 9.8 m/s²) (20%)

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核心觀念

本題考察：

  • 平拋與鉛直上拋的獨立運動
  • 水平與鉛直方向分別分析
  • 瞬間碰撞造成的水平速度改變
  • 最高點鉛直速度為零

卡車停止不會影響氣缸的運動；氣缸離開卡車後，忽略空氣阻力，僅受重力作用。

解題方法

取水平方向向右為正，鉛直向上為正。

初始水平速度為

vx=40(10003600)=11.111 m/sv_x=40\left(\frac{1000}{3600}\right) =11.111\ \text{m/s}

初始鉛直速度為

vy0=20 m/sv_{y0}=20\ \text{m/s}

1. 上升至最高點所需時間

最高點時鉛直速度為零，因此

vy=vy0−gt1=0v_y=v_{y0}-gt_1=0 t1=209.8=2.0408 st_1=\frac{20}{9.8} =2.0408\ \text{s}

上升高度為

h=vy022g=2022(9.8)=20.408 mh=\frac{v_{y0}^2}{2g} =\frac{20^2}{2(9.8)} =20.408\ \text{m}

2. 鳥撞擊後的水平速度

鳥在最高點使氣缸水平速度降低 3 m/s3\ \text{m/s}，因此撞擊後

vx′=11.111−3=8.111 m/sv_x'=11.111-3 =8.111\ \text{m/s}

鳥的撞擊為瞬間事件，僅改變水平速度，不改變氣缸當下的鉛直速度。最高點的鉛直速度仍為零。

3. 下降至地面的時間

由最高點落回原地面，初始鉛直速度為零：

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第 2 題

As shown in Figure 2. A 32-kg sphere A of radius 100 mm moves with a velocity of magnitude vo = 2
m/s. There is another 2.5-kg sphere B of radius 60 mm, hanging from an inextensible cord and initially
at rest. If sphere A strikes sphere B, which makes sphere B swing to a maximum height h = 0.5 m,
determine the coefficient of restitution between the two spheres. Neglect air resistance between
the two spheres. (g = 9.8 m/s²) (20%)

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核心觀念

本題結合：

  1. 擺動過程的機械能守恆：由球 B 上升高度求碰撞後瞬間速度。
  2. 碰撞衝量與動量關係：以碰撞法線方向的衝量分析兩球速度變化。
  3. 恢復係數定義：
e=分離速度接近速度e=\frac{\text{分離速度}}{\text{接近速度}}

由圖可知，球 A、B 均與水平面相切，因此兩球球心的垂直距離為

100−60=40 mm100-60=40\text{ mm}

兩球接觸時球心距離為

100+60=160 mm100+60=160\text{ mm}

解題方法

1. 求球 B 碰撞後的速度

球 B 碰撞後由最低點擺升至最高點，高度增加 h=0.5 mh=0.5\text{ m}。忽略空氣阻力，碰撞後至最高點的機械能守恆：

12mBvB2=mBgh\frac12 m_B v_B^2=m_Bgh

因此

vB=2gh=2(9.8)(0.5)=3.130 m/sv_B=\sqrt{2gh} =\sqrt{2(9.8)(0.5)} =3.130\text{ m/s}

球 B 在最低點的速度為水平方向。

2. 求碰撞法線方向的幾何關係

設碰撞法線與水平線夾角為 α\alpha，則

sin⁡α=40160=0.25\sin\alpha=\frac{40}{160}=0.25

因此

cos⁡α=1−0.252=0.96825\cos\alpha=\sqrt{1-0.25^2} =0.96825

碰撞衝量 JJ 沿兩球球心連線方向。由於吊線只提供垂直方向的衝量，球 B 的水平方向動量為：

Jcos⁡α=mBvBJ\cos\alpha=m_Bv_B

所以

J=mBvBcos⁡α=(2.5)(3.130)0.96825=8.082 N⋅sJ=\frac{m_Bv_B}{\cos\alpha} =\frac{(2.5)(3.130)}{0.96825} =8.082\text{ N·s}
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第 3 題

As shown in Figure 3. The 20-kg rod AB is pin-connected at A and subjected to a couple of M = 50 N·m. If the rod is released from rest at the instant shown at 20°, determine the rod's angular velocity at the instant when the support C. at the geometry. (g = 9.8 m/s²) (20%)

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核心觀念

本題使用剛體繞固定點 AA 轉動的功－能原理：

T1+U1→2=T2T_1+U_{1\to2}=T_2

其中：

  • 桿 ABAB 為均質細桿，質量 m=20 kgm=20\ \text{kg}、長度 L=1 mL=1\ \text{m}。
  • 轉動慣量：
IA=13mL2I_A=\frac{1}{3}mL^2
  • 外力矩 MM 所作的功為 MΔθM\Delta\theta。
  • 重力位能變化由質心高度改變決定。
  • 彈簧初始在 20∘20^\circ 時未伸長，且 CC 為滾輪支承，因此彈簧始終保持水平。

圖中角度 θ\theta 為桿與鉛直線的夾角，因此桿由 20∘20^\circ 轉至 60∘60^\circ。

解題方法

取逆時針為正，桿由 20∘20^\circ 轉至 60∘60^\circ，故

Δθ=60∘−20∘=40∘=0.6981 rad\Delta\theta=60^\circ-20^\circ=40^\circ =0.6981\ \text{rad}

1. 桿的動能

初始由靜止釋放，因此

T1=0T_1=0

末狀態桿繞 AA 的動能為

T2=12IAω2T_2=\frac12 I_A\omega^2

而

IA=13(20)(1)2=6.667 kg⋅m2I_A=\frac13(20)(1)^2 =6.667\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

所以

T2=12(6.667)ω2T_2=\frac12(6.667)\omega^2

2. 重力位能變化

質心距離 AA 為 L/2L/2。由於 θ\theta 是與鉛直線的夾角，質心高度為

yG=L2cos⁡θy_G=\frac{L}{2}\cos\theta

因此由 20∘20^\circ 到 60∘60^\circ：

ΔyG=L2(cos⁡60∘−cos⁡20∘)\Delta y_G =\frac{L}{2}\left(\cos60^\circ-\cos20^\circ\right) ΔyG=12(0.5−0.9397)=−0.21985 m\Delta y_G =\frac12(0.5-0.9397) =-0.21985\ \text{m}

質心下降，因此重力對桿作正功：

Wg=−mgΔyGW_g=-mg\Delta y_G
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第 4 題

As shown in Figure 4. The disk has a mass of 50 kg and is originally spinning at the end of the strut
with an angular velocity w = 600 rpm. Suppose it is then placed against the wall, where the coefficient
of kinetic friction is με = 0.5. The angle & between the strut and horizontal plane is 45°. Determine
the time required for the motion to stop. Also, what is the force in strut BC during this time? (g
= 9.8 m/s²) (20%)

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核心觀念

本題考查：

  • 固定軸轉動的轉動慣量：
    IB=12mR2I_B=\frac{1}{2}mR^2
  • 摩擦力造成的轉矩：
    ∑MB=IBα\sum M_B=I_B\alpha
  • 圓盤平衡時的水平、鉛直力平衡。
  • 動摩擦力：
    Ff=μkNF_f=\mu_k N

由圖示，圓盤為順時針旋轉，因此右側牆面的摩擦力向上。

解題方法

圓盤半徑為

R=200 mm=0.2 mR=200\text{ mm}=0.2\text{ m}

質量 m=50 kgm=50\text{ kg}，重力為

W=mg=50(9.8)=490 NW=mg=50(9.8)=490\text{ N}

支桿 BCBC 為二力構件，設其壓縮力為 PP。支桿對圓盤的作用力沿 BCBC 方向，且

θ=45∘\theta=45^\circ

對圓盤進行水平與鉛直方向的力平衡：

水平方向

牆面正向力為 NN，因此

Pcos⁡45∘=NP\cos45^\circ=N

鉛直方向

牆面摩擦力向上，大小為 μkN\mu_kN，故

Psin⁡45∘+μkN=mgP\sin45^\circ+\mu_kN=mg

代入 N=Pcos⁡45∘N=P\cos45^\circ：

Psin⁡45∘+μkPcos⁡45∘=490P\sin45^\circ+\mu_kP\cos45^\circ=490

P(sin⁡45∘+0.5cos⁡45∘)=490P\left(\sin45^\circ+0.5\cos45^\circ\right)=490

P=4900.7071+0.5(0.7071)P=\frac{490}{0.7071+0.5(0.7071)}

P=462.3 NP=462.3\text{ N}

因此

N=Pcos⁡45∘=326.9 NN=P\cos45^\circ=326.9\text{ N}

動摩擦力為

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