112 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《應用力學（含靜力學與動力學）》

核心觀念

本題使用剛體平衡的三維靜力學：

$$\sum \mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum \mathbf M_A=\mathbf 0$$

球窩接頭 $A$ 可提供三個方向的反力分量 $A_x,A_y,A_z$，但不提供力矩。纜線只承受拉力，且作用力方向沿纜線 $DB$、$DC$。

由圖建立座標：

$$A=(0,0,0),\quad D=(1,0,1)$$ $$B=(0,-1.5,3),\quad C=(0,1.5,3)$$

均布載重為 $600\ \text{N/m}$，作用長度為 $3\ \text{m}$，其合力為

$$W=600(3)=1800\ \text{N}$$

作用於載重段中央，因此

$$G=(4,0,1.5)$$

且

$$\mathbf W=-1800\mathbf k$$

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纜線方向單位向量

對於纜線 $DB$：

$$\overrightarrow{DB}=B-D=(-1,-1.5,2)$$ $$|\overrightarrow{DB}|=\sqrt{1^2+1.5^2+2^2} =\sqrt{7.25}$$

因此

$$\mathbf u_{DB} =\frac{-\mathbf i-1.5\mathbf j+2\mathbf k}{\sqrt{7.25}}$$

對於纜線 $DC$：

$$\overrightarrow{DC}=C-D=(-1,1.5,2)$$ $$\mathbf u_{DC} =\frac{-\mathbf i+1.5\mathbf j+2\mathbf k}{\sqrt{7.25}}$$

纜線張力分別為 $T_{DB}$、$T_{DC}$。

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取 $A$ 點力矩求纜線張力

由

$$\mathbf r_D=(1,0,1)$$

可得

$$\mathbf r_D\times \mathbf u_{DB} =\frac{1.5\mathbf i-3\mathbf j-1.5\mathbf k}{\sqrt{7.25}}$$ $$\mathbf r_D\times \mathbf u_{DC} =\frac{-1.5\mathbf i-3\mathbf j+1.5\mathbf k}{\sqrt{7.25}}$$

均布載重合力對 $A$ 點的力矩為

$$\mathbf r_G\times\mathbf W =(4\mathbf i+1.5\mathbf k)\times(-1800\mathbf k) =7200\mathbf j$$

套用 $\sum\mathbf M_A=\mathbf0$：

核心觀念

本題同時考查：

• 斜面上的靜摩擦力：$f_s\leq \mu_s N$
• 粗糙固定銷上的繩索摩擦，即 Capstan equation：
  $\frac{T_B}{T_A}=e^{\mu_C\theta}$
• 臨界平衡狀態下，靜摩擦力取最大值。
• 依圖，繩索在固定銷 $C$ 上繞過半圓，因此 $\theta=\pi$。

設斜面角度 $\theta_0=30^\circ$，板 $B$ 質量 $m_B=20\ \mathrm{kg}$，方塊 $A$ 質量為 $m_A$。

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摩擦力方向與受力分析

題目要求防止板 $B$ 沿斜面向下滑，因此系統處於「$B$ 恰有向下滑動趨勢」的臨界狀態。

• 地面與板 $B$ 間的摩擦力向斜面上方，係數 $\mu_B=0.3$。
• 方塊 $A$ 受繩張力向斜面上方，具有向上滑動趨勢，因此 $A$ 與 $B$ 間的摩擦力作用在 $A$ 上時向下，係數 $\mu_A=0.2$。
• $B$ 側繩張力較大，因為固定銷摩擦使 $T_B>T_A$。

方塊 $A$ 的法向力為

$$N_A=m_Ag\cos30^\circ$$

板 $B$ 對地面的法向力為

$$N_B=(m_B+m_A)g\cos30^\circ$$

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方塊 $A$ 的平衡

沿斜面方向列平衡式：

$$T_A-m_Ag\sin30^\circ-\mu_A N_A=0$$

代入 $N_A$：

$$T_A =m_Ag\left(\sin30^\circ+\mu_A\cos30^\circ\right)$$

因此

$$T_A =m_Ag(0.5+0.2\times0.8660)$$ $$T_A=0.6732m_Ag$$

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板 $B$ 的平衡

板 $B$ 沿斜面方向的平衡式為

此題為動力學中的功與能問題，主要考驗對動能定理的應用。題目給予了初始靜止狀態，以及作用在物體上的力，並要求計算物體滑行一段距離後達到的速度，或由速度反推滑行距離。

【核心觀念】

1. 動能定理 (Work-Energy Theorem): 物體動能的變化量等於所有作用在物體上之淨功。數學表達式為：
   $W_{net} = \Delta T = T_f - T_i$
   其中，$W_{net}$ 為淨功，$T_i$ 為初始動能，$T_f$ 為最終動能。
2. 動能: $T = \frac{1}{2}mv^2$。
3. 功的計算: 力對物體做的功 $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$，其中 $F$ 是力的大小，$d$ 是位移的大小，$\theta$ 是力與位移之間的夾角。
4. 動摩擦力: 當物體運動時，動摩擦力 $f_k = \mu_k N$，方向與運動方向相反。

【解題步驟】

1. 確定物體質量與初始狀態:
   物體質量 $m = 100 \, \text{kg}$。
   初始速度 $v_i = 0 \, \text{m/s}$ (因為「originally at rest」)。
   初始動能 $T_i = \frac{1}{2}mv_i^2 = 0$。

2. 確定最終狀態:
   最終速度 $v_f = 8 \, \text{m/s}$。
   最終動能 $T_f = \frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2}(100 \, \text{kg})(8 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2}(100)(64) = 50 \times 64 = 3200 \, \text{J}$。

3. 分析作用在物體上的力，並計算淨功:
   物體在水平面上運動，受力分析如下：

   • 重力 $W$: $W = mg = 100 \, \text{kg} \times g \, \text{N}$ (向下)。
   • 支持力 $N$: 與重力大小相等、方向相反，作用在物體與地面接觸面上 (向上)。
   • 外力 1 (500 N): 與水平方向成 $45^\circ$ 角，向右上方。
   • 外力 2 (400 N): 與水平方向成 $30^\circ$ 角，向右下方。
   • 動摩擦力 $f_k$: 與運動方向相反 (向左)。

   由於物體在水平面上運動，垂直方向受力平衡：
   $N + 500 \sin(45^\circ) = W + 400 \sin(30^\circ)$
   $N + 500 \frac{\sqrt{2}}{2} = 100g + 400 \times \frac{1}{2}$
   $N + 250\sqrt{2} = 100g + 200$
   $N = 100g + 200 - 250\sqrt{2}$。
   取 $g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$。
   $N \approx 100(9.81) + 200 - 250(1.414) = 981 + 200 - 353.5 = 827.5 \, \text{N}$。

   動摩擦力 $f_k = \mu_k N = 0.2 \times N$。
   $f_k \approx 0.2 \times 827.5 = 165.5 \, \text{N}$。
   此動摩擦力 $f_k$ 的方向與位移方向相反，所以它做的功為負值。

   接下來計算水平方向的力對物體做的淨功。
   假設滑行的距離為 $d$。

   • 力 500 N 做的功: $W_1 = (500 \cos 45^\circ) \times d = 500 \frac{\sqrt{2}}{2} d = 250\sqrt{2} d$。
   • 力 400 N 做的功: $W_2 = (400 \cos 30^\circ) \times d = 400 \frac{\sqrt{3}}{2} d = 200\sqrt{3} d$。
   • 動摩擦力 $f_k$ 做的功: $W_f = -f_k \times d = -(0.2 N) d = -(0.2 (100g + 200 - 250\sqrt{2})) d$。
   • 重力 W 和支持力 N 做的功: $W_W = 0$, $W_N = 0$，因為它們垂直於位移方向。

   淨功 $W_{net} = W_1 + W_2 + W_f$。
   $W_{net} = 250\sqrt{2} d + 200\sqrt{3} d - (0.2 (100g + 200 - 250\sqrt{2})) d$。

4. 應用動能定理:
   $W_{net} = T_f - T_i$
   $250\sqrt{2} d + 200\sqrt{3} d - (0.2 (100g + 200 - 250\sqrt{2})) d = 3200 - 0$。

核心觀念

本題考查平面剛體連桿的速度與加速度分析：

• 相對速度公式
  $\vec v_C=\vec v_B+\vec\omega_{BC}\times\vec r_{C/B}$
• 相對加速度公式

$$\vec a_C=\vec a_B+\vec\alpha_{BC}\times\vec r_{C/B} -\omega_{BC}^{\,2}\vec r_{C/B}$$

• 因為 $D$ 為固定鉸點，所以可用 $D$ 點建立桿 $CD$ 的運動關係。
• 圖示中 $BC=CD=300\ \text{mm}$，且兩桿與水平線夾角皆為 $60^\circ$。

取右方為 $x$ 正方向、上方為 $y$ 正方向，逆時針為正。

解題方法

桿 $AB$ 向左運動，速度為

$$\vec v_B=(-10,0)\ \text{m/s}$$

由於桿 $AB$ 減速，$B$ 點加速度向右：

$$\vec a_B=(16,0)\ \text{m/s}^2$$

位置向量為

$$\vec r_{C/B} =0.3(\cos60^\circ\,\mathbf i-\sin60^\circ\,\mathbf j) =(0.15,-0.2598)$$ $$\vec r_{C/D} =0.3(-\cos60^\circ\,\mathbf i-\sin60^\circ\,\mathbf j) =(-0.15,-0.2598)$$

速度分析

由桿 $CD$：

$$\vec v_C =\omega_{CD}\mathbf k\times\vec r_{C/D} =\omega_{CD}(0.2598,-0.15)$$

由桿 $BC$：

$$\vec v_C =\vec v_B+\omega_{BC}\mathbf k\times\vec r_{C/B}$$ $$\vec v_C =(-10,0)+\omega_{BC}(0.2598,0.15)$$

比較 $x$、$y$ 分量：

$$-0.15\omega_{CD}=0.15\omega_{BC}$$

因此

$$\omega_{BC}=-\omega_{CD}$$

再比較 $x$ 分量：

$$0.2598\omega_{CD} =-10+0.2598\omega_{BC}$$

代入 $\omega_{BC}=-\omega_{CD}$：

$$0.5196\omega_{CD}=-10$$ $$\boxed{\omega_{CD}=-19.25\ \text{rad/s}}$$

核心觀念

本題考查平面剛體的功與能原理：

$$T_1+U_{1\to2}=T_2$$

桿由靜止開始，因此初始動能為零。運動過程中考慮：

• 外力 $P$ 對水平滑塊所作的功；
• 重力對桿所作的功；
• 桿的平移動能與轉動動能。

桿長 $L=0.6\ \text{m}$，質量 $m=15\ \text{kg}$。

幾何關係與位移

令水平滑塊的位置為 $B$。由圖中兩滑道皆為無摩擦，左側滑道與水平夾角為 $45^\circ$。

桿右端的水平位置為

$$x_B=L(\cos\theta-\sin\theta)$$

初始時 $\theta=0^\circ$：

$$x_{B1}=L$$

當 $\theta=45^\circ$ 時：

$$x_{B2}=L\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\right)=0$$

因此右側滑塊向左移動

$$s_B=x_{B1}-x_{B2}=0.6\ \text{m}$$

外力 $P=200\ \text{N}$ 向左，故其作功為

$$W_P=Ps_B=200(0.6)=120\ \text{J}$$

桿質心高度由 $0$ 上升至

$$\Delta y_G=\frac{L}{2}\sin45^\circ$$

所以重力作功為