114 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《應用力學（含靜力學與動力學）》

核心觀念

複合物的質心位置，是各部分質心依質量加權平均：

每一方塊的質量等於密度乘體積。圖中三層方塊共用同一側的對齊基準，因此各方塊質心座標可由尺寸與堆疊高度直接求出。

解題方法

依圖中座標方向與尺寸，三方塊的尺寸及質心座標如下。以圖示共同基準角為座標原點：

密度以 $\mathrm{g/cm^3}$ 表示，尺寸以 mm 表示；換算成質量時，三者都有相同的單位換算因子，因此在質心加權平均中可約去。可直接使用「密度乘體積」作為相對質量：

總相對質量為 $48+8+1=57$。各方向分別計算：

核心觀念

桿靜止，符合平面剛體平衡條件。光滑鉛直牆對桿的反力垂直於牆面，因此 $F_B$ 為水平力；以 $A$ 點取力矩，可消去地面在 $A$ 點的正向力與摩擦力。均勻桿的重心位於中點。

解題方法

桿長 $L=4$，與水平地面夾角為 $30^\circ$，重量為

以 $A$ 點取力矩。牆面反力 $F_B$ 的力臂是桿上端 $B$ 的高度 $L\sin30^\circ$；重力的力臂是重心到 $A$ 點的水平距離 $\frac{L}{2}\cos30^\circ$。力矩平衡得

約去 $L$ 後：

牆面位於桿上端左側，牆對桿的水平反力方向向右。

選項分析

核心觀念

桿靜止，符合剛體平衡。水平方向的地面摩擦力與光滑牆面的反力互相平衡；鉛直方向則由地面的正向力平衡桿的重量。光滑牆面不提供摩擦力，因此不影響鉛直方向的力平衡。

解題方法

桿的重量為

鉛直方向合力為零：

因此地面正向力 $N_A$ 必須平衡重量：

選項分析

核心觀念

桿靜止時，合力與合力矩都必須為零。牆面光滑，因此牆對桿的作用力只有水平方向的反力；地面粗糙，則提供鉛直正向力與水平摩擦力。均勻桿的重心位於桿長中點。

解題方法

設牆面對桿的水平反力為 $F_B$，地面正向力為 $N_A$，靜摩擦力為 $F_A$。桿重為

以地面接觸點 $A$ 取力矩，可消去 $N_A$ 與 $F_A$。牆面反力的力臂為 $L\sin 30^\circ$，重力的力臂為 $\frac{L}{2}\cos 30^\circ$，因此

整理得

核心觀念

這題考發射瞬間的線動量守恆。以「船＋砲彈」為系統，發射時間很短，水阻力在這段時間內造成的衝量可忽略，因此系統的總動量保持不變。

解題方法

取向右為正方向。發射前船與砲彈都靜止，總動量為零。發射後，砲彈以地面為參考系向左運動，故其速度為 $-80\ \mathrm{m/s}$。設船向右速度為 $v$，則

解得

船的速度方向向右。

選項分析

• A. $23.2\ \mathrm{m/s}\ \rightarrow$：錯。 不符合發射前後總動量為零。
• **B. $13.3\ \mathrm{m/s}\ \rightarrow$：錯。

核心觀念

本題分成發射瞬間與發射後滑行兩階段：

1. 發射瞬間時間很短，水阻力的衝量可忽略，船與砲彈組成的系統可用線動量守恆。
2. 發射後，船受水阻力作用而減速。依題意將水阻力視為大小固定的摩擦力，再用牛頓第二定律與等加速度運動公式求停止距離。

解題方法

以向右為正方向。發射前船與砲彈都靜止，因此初動量為零。砲彈以相對地面 $80\ \text{m/s}$ 向左射出，速度為 $-80\ \text{m/s}$。發射後船的速度設為 $v_s$，由動量守恆：

因此船剛發射後以 $16\ \text{m/s}$ 向右行進。

船的水阻力大小為：

船的減速度大小為：

使用停止時末速為零的公式 $v_f^2=v_0^2+2a\Delta x$，沿運動方向取減速度為 $-0.98\ \text{m/s}^2$：

核心觀念

球 $C$ 受水平撞擊後，以水平方向飛出，因此初始鉛直速度為 $0$。忽略空氣阻力時，鉛直方向只受重力作用，可用自由落體公式求落地時間：

解題方法

由圖可知球的高度約為 $4\,\text{m}$。代入 $v_{0y}=0$、$g=9.8\,\text{m/s}^2$：

水平速度不影響鉛直方向的落地時間，因此不必先計算擺錘速度或碰撞後球的水平速度。

選項分析

核心觀念

本題分成碰撞前、碰撞中兩階段：

1. 擺錘由水平位置擺至鉛直位置，利用機械能守恆求圓盤質心的碰撞前速度。
2. 碰撞時依題意忽略物體尺寸效應，以一維碰撞的動量守恆與恢復係數求球 $C$ 的碰撞後速度。

圓盤直徑為 $0.8\text{ m}$，半徑 $R=0.4\text{ m}$。圖示的 $2\text{ m}$ 是圓盤邊緣至樞軸 $O$ 的距離，因此樞軸至圓盤質心的距離為

解題方法

設圓盤質量 $m_D=10\text{ kg}$，球 $C$ 的質量 $m_C=20\text{ kg}$。

圓盤由水平擺至鉛直，質心下降高度 $L$。圓盤對自身質心的轉動慣量為

圓盤繞樞軸的轉動慣量為

由機械能守恆，質心下降的重力位能轉為圓盤的轉動動能：

因此

核心觀念

本題分成兩段處理：先用能量守恆求擺錘撞擊前的速度，再用碰撞恢復係數與轉動慣量求球 $C$ 撞擊後的水平速度，最後把球視為水平拋射，計算落地距離。

圖中 $2\,\text{m}$ 是圓盤右緣到樞軸 $O$ 的距離；圓盤半徑為 $0.4\,\text{m}$，所以圓盤質心到樞軸的距離為

解題方法

圓盤由水平位置擺到鉛直位置，質心下降 $L$。以樞軸為轉軸，圓盤對樞軸的轉動慣量為

由能量守恆：

圓盤質心撞擊前的水平速度為 $u=L\omega$。也可將擺錘的轉動等效質量寫成 $I_O/L^2$，因此

碰撞時，球 $C$ 原本靜止。沿水平方向使用動量關係及恢復係數 $e=0.9$，圓盤對球的等效質量為

因此球撞擊後的水平速度為

核心觀念

本題考查動力學與普通物理中的**保守力（Conservative Force）與非保守力（Non-conservative Force）**之定義與物理特性。

1. 保守力之定義與特性：

   • 力所做的功與物體移動的「路徑無關」（Path-independent），僅由起點與終點的位置決定。
   • 沿任一封閉路徑（Closed loop）繞行一圈所做的淨功為零： $$\oint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$$
   • 存在純量位能函數（Potential Energy Function）$V(\mathbf{r})$，使得力場可表示為位能的負梯度： $$\mathbf{F} = -\nabla V$$
   • 在只有保守力作功的系統中，力學能（動能與位能之和）守恆。

2. 非保守力之定義與特性：

   • 力所做的功與路徑有關（Path-dependent）。
   • 沿封閉路徑移動一圈，所做的淨功通常不為零（例如摩擦力或阻力始終對運動方向做負功，將機械能轉換為熱能等不可逆形式）。
   • 無法定義相應的純量位能函數。

解題方法

判定力是否為非保守力，最直接的判據為：

1. 是否耗散機械能：凡屬於耗散力（Dissipative force，如摩擦力、黏滯阻力、空氣阻力），其方向恆與瞬時運動方向相反，做負功耗散動能，屬於典型的非保守力。
2. 是否能寫出對應的位能函數：常見的萬有引力、重力、虎克定律彈力、靜電力皆能明確寫出對應的位能函數，屬於保守力。

題目詢問何者為「非保守力（non-conservative force）」，直接檢驗各選項之性質即可。

選項分析

• A. Earth's gravitational force（地球重力）：錯誤（為保守力）。
  近地表均勻重力場可表示為 $\mathbf{F}_g = -mg \hat{\mathbf{k}}$，對應的重力位能為 $V = mgy$；若考慮全球萬有引力，則 $\mathbf{F}_g = -\frac{G M m}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$，對應重力位能 $V = -\frac{G M m}{r}$。兩者皆滿足路徑無關性，為典型保守力。

• B. Spring force（彈簧彈力）：錯誤（為保守力）。
  理想彈簧依循虎克定律（Hooke's Law），彈力為 $\mathbf{F}_s = -k x \hat{\mathbf{i}}$，對應的彈性位能為 $V = \frac{1}{2} k x^2$。做功僅取決於彈簧的形變量初始與最終狀態，為典型保守力。