114 年 國立中山大學機械與機電工程學系碩士班乙組《材料力學》

此題考驗對應力與力的基本關係，以及如何利用向量分解來求解。

核心觀念：

1. 平均正向應力 $\sigma = \frac{P}{A}$，其中 $P$ 為軸向拉力或壓力，$A$ 為斷面積。
2. 力的向量分解。

解題步驟：
首先，我們需要對作用在環 B 點的 5 kN 力進行分解，使其在 AB 和 BC 兩個桿件上產生軸向力。設 $\theta$ 為桿件 BC 與水平方向的夾角。由圖可知，桿件 AB 是水平的。

1. 力的分解：
   作用在 B 點的 5 kN 力。
   桿件 AB 承受的軸向力 $P_{AB}$。
   桿件 BC 承受的軸向力 $P_{BC}$。

   根據圖示，我們可以將 5 kN 的力分解為兩個分量：
   水平分量：$5 \cos \theta$ kN
   垂直分量：$5 \sin \theta$ kN

   由於桿件 AB 是水平的，它承受的力就是 5 kN 力的水平分量（假設 B 點的約束使得 AB 桿件承受水平拉力或壓力）。
   $P_{AB} = 5 \cos \theta$ kN

   桿件 BC 承受的力是 5 kN 力的垂直分量（假設 B 點的約束使得 BC 桿件承受拉力或壓力，方向沿 BC 桿件）。
   $P_{BC} = 5 \sin \theta$ kN

2. 斷面積計算：
   桿件 AB 的直徑 $d_{AB} = 6$ mm，半徑 $r_{AB} = 3$ mm。
   斷面積 $A_{AB} = \pi r_{AB}^2 = \pi (3 \text{ mm})^2 = 9\pi \text{ mm}^2$。

   桿件 BC 的直徑 $d_{BC} = 8$ mm，半徑 $r_{BC} = 4$ mm。
   斷面積 $A_{BC} = \pi r_{BC}^2 = \pi (4 \text{ mm})^2 = 16\pi \text{ mm}^2$。

3. 平均正向應力計算：
   桿件 AB 的平均正向應力 $\sigma_{AB} = \frac{P_{AB}}{A_{AB}} = \frac{5 \cos \theta \text{ kN}}{9\pi \text{ mm}^2} = \frac{5000 \cos \theta \text{ N}}{9\pi \text{ mm}^2}$。

   桿件 BC 的平均正向應力 $\sigma_{BC} = \frac{P_{BC}}{A_{BC}} = \frac{5 \sin \theta \text{ kN}}{16\pi \text{ mm}^2} = \frac{5000 \sin \theta \text{ N}}{16\pi \text{ mm}^2}$。

核心觀念

本題考查：

• 圓軸扭轉公式
  $\theta=\frac{TL}{GJ}$
• 實心圓軸極慣性矩
  $J=\frac{\pi d^4}{32}$
• 齒輪嚙合的角位移關係
• 兩根軸共同承受外加扭矩時的扭轉相容條件

由圖可讀得：

• 軸徑：$d=25\text{ mm}=0.025\text{ m}$
• 下方軸長：$L_1=1.5\text{ m}$
• 上方軸長：$L_2=0.75\text{ m}$
• 下方齒輪直徑：$D_E=100\text{ mm}$
• 上方齒輪直徑：$D_F=50\text{ mm}$
• 外加扭矩：$T_0=500\text{ N}\cdot\text{m}$
• 剪切模數：$G=75\text{ GPa}$

軸端 $A$、$B$ 固定，軸承 $C$、$D$ 僅支承軸，不限制軸向旋轉。

解題方法

設下方齒輪 $E$ 的旋轉角為 $\theta_E$，上方齒輪 $F$ 的旋轉角為 $\theta_F$。

齒輪嚙合時，接觸點切線位移大小相等、方向相反，因此

$$r_E\theta_E+r_F\theta_F=0$$

所以

$$\theta_F=-\frac{r_E}{r_F}\theta_E =-\frac{D_E}{D_F}\theta_E =-2\theta_E$$

兩根軸的扭轉剛度分別為

$$k_1=\frac{GJ}{L_1},\qquad k_2=\frac{GJ}{L_2}$$

齒輪 $E$ 的等效抗扭剛度為

$$k_{\text{eq}} =k_1+k_2\left(\frac{r_E}{r_F}\right)^2$$

因此

$$T_0 = \left[ \frac{GJ}{L_1} + \frac{GJ}{L_2} \left(\frac{D_E}{D_F}\right)^2 \right]\theta_E$$

先計算實心圓軸的極慣性矩：

核心觀念

本題考查彎曲正應力公式：

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

其中：

• $M$：內力矩
• $I$：截面對中性軸的面積慣性矩
• $y$：該點至中性軸的距離

由圖可視為對水平中性軸上下對稱的槽形截面，因此最大拉應力與最大壓應力的大小相同。

截面性質

截面由一個腹板與上下兩個翼板組成：

• 腹板：$25\text{ mm}\times100\text{ mm}$
• 每個翼板：$75\text{ mm}\times25\text{ mm}$

因截面上下對稱，中性軸位於截面高度中央：

$$\bar y=\frac{100}{2}=50\text{ mm}$$

腹板對中性軸的慣性矩：

$$I_w=\frac{25(100)^3}{12} =2.083\times10^6\text{ mm}^4$$

每個翼板的慣性矩為：

$$I_f=\frac{75(25)^3}{12} + (75\times25)(37.5)^2$$

其中 $37.5=50-12.5$ mm，為翼板形心至中性軸的距離。因此：

$$I_f=0.195\times10^6+2.637\times10^6 =2.832\times10^6\text{ mm}^4$$

總慣性矩：

核心觀念

本題考查：

1. 熱膨脹應變
   $\varepsilon_T=\alpha\Delta T$

2. 鋼板受到剛性框架限制後的雙軸熱應力。

3. 平面應力下的熱彈性應變關係：
   $\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}+\alpha\Delta T$

   $\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}+\alpha\Delta T$

圖中鋼板尺寸為 $8\ \text{in}\times 6\ \text{in}$，$x$ 方向間隙為 $0.0025\ \text{in}$，$y$ 方向間隙為 $0.0015\ \text{in}$。

解題方法

1. 判斷鋼板是否會接觸剛性框架

自由熱膨脹量為

$$\Delta L_x=\alpha\Delta T(8) =(6.6\times10^{-6})(150)(8) =0.00792\ \text{in}$$ $$\Delta L_y=\alpha\Delta T(6) =(6.6\times10^{-6})(150)(6) =0.00594\ \text{in}$$

由於

$$0.00792>0.0025,\qquad 0.00594>0.0015$$

所以鋼板在兩個方向都會碰到剛性框架，升溫後的總應變分別受間隙限制為

$$\varepsilon_x=\frac{0.0025}{8}=0.0003125$$ $$\varepsilon_y=\frac{0.0015}{6}=0.0002500$$

2. 計算熱應變

$$\varepsilon_T=\alpha\Delta T =(6.6\times10^{-6})(150) =0.000990$$

因此機械應變為

$$\varepsilon_x-\varepsilon_T =0.0003125-0.000990 =-0.0006775$$ $$\varepsilon_y-\varepsilon_T =0.0002500-0.000990 =-0.0007400$$

3. 建立聯立方程式

此題考驗偏心載重下的應力分析，屬於組合應力問題。

核心觀念：
當載重作用於斷面的對稱軸之外時，會產生軸向力與彎矩的組合效應。
應力 $\sigma = \frac{P}{A} \pm \frac{My}{I}$，其中 $P$ 是軸向力，$A$ 是斷面積，$M$ 是彎矩，$y$ 是從中性軸到該點的距離，$I$ 是斷面的慣性矩。

解題步驟：

1. 確定載重和斷面性質：
   載重 $P = 150$ kN。
   載重作用點的偏心距：
   在 x 方向（水平方向），偏心距 $e_x = 100$ mm。
   在 y 方向（垂直方向），偏心距 $e_y = 150$ mm。
   斷面為矩形，寬度 $b = 150$ mm，高度 $h = 100$ mm。

2. 計算斷面積 $A$：
   $A = b \times h = 150 \text{ mm} \times 100 \text{ mm} = 15000 \text{ mm}^2$。

3. 計算彎矩 $M$：
   偏心載重會在斷面的中心產生一個等效的軸向力 $P$ 和兩個彎矩。
   彎矩 $M_x = P \times e_y = 150 \text{ kN} \times 150 \text{ mm} = (150 \times 10^3 \text{ N}) \times (0.150 \text{ m}) = 22500$ N·m。
   此彎矩 $M_x$ 作用在斷面的 y-z 平面上，導致斷面繞 x 軸彎曲。
   彎矩 $M_y = P \times e_x = 150 \text{ kN} \times 100 \text{ mm} = (150 \times 10^3 \text{ N}) \times (0.100 \text{ m}) = 15000$ N·m。
   此彎矩 $M_y$ 作用在斷面的 x-z 平面上，導致斷面繞 y 軸彎曲。

4. 計算斷面的慣性矩 $I$：
   對於矩形斷面，繞其對稱軸的慣性矩為 $I = \frac{bh^3}{12}$。
   繞 y 軸的慣性矩（彎曲 $M_y$ 引起，y 是彎曲變形方向）：
   $I_y = \frac{b h^3}{12} = \frac{150 \text{ mm} \times (100 \text{ mm})^3}{12} = \frac{150 \times 10^6}{12} = 12.5 \times 10^6 \text{ mm}^4$。
   繞 x 軸的慣性矩（彎曲 $M_x$ 引起，x 是彎曲變形方向）：
   $I_x = \frac{h b^3}{12} = \frac{100 \text{ mm} \times (150 \text{ mm})^3}{12} = \frac{100 \times 3375 \times 10^3}{12} = 28.125 \times 10^6 \text{ mm}^4$。

5. 確定 A 和 B 點的位置：
   根據圖示，A 點和 B 點位於斷面的邊緣。
   假設斷面的中心為原點 (0,0)。
   斷面寬度為 150 mm，高度為 100 mm。
   A 點的座標：
   x 方向（寬度）：偏心距 $e_x = 100$ mm。A 點在偏心距的另一側。
   從圖上看，A 點位於斷面的左側邊緣，偏心距 $e_x = 100$ mm 在右側。
   斷面寬度 150 mm，所以斷面的邊緣是 $x = \pm 75$ mm。
   A 點的 x 座標 $x_A = -75$ mm。
   y 方向（高度）：偏心距 $e_y = 150$ mm。A 點位於斷面的頂部邊緣。
   斷面高度 100 mm，所以斷面的邊緣是 $y = \pm 50$ mm。
   A 點的 y 座標 $y_A = 50$ mm。

   B 點的座標：
   B 點位於斷面的右側邊緣。
   B 點的 x 座標 $x_B = 75$ mm。
   B 點位於斷面的底部邊緣。
   B 點的 y 座標 $y_B = -50$ mm。

   注意： 這裡的座標系是基於斷面的中心。
   偏心距 $e_x = 100$ mm 是沿水平方向（圖中的 x 軸方向）。
   偏心距 $e_y = 150$ mm 是沿垂直方向（圖中的 y 軸方向）。
   載重作用點的座標 $(e_x, e_y) = (100, 150)$。
   斷面的邊緣是 $x = \pm 150/2 = \pm 75$ mm，$y = \pm 100/2 = \pm 50$ mm。

   A 點位於左上角，所以 $x_A = -75$ mm，$y_A = 50$ mm。
   B 點位於右下角，所以 $x_B = 75$ mm，$y_B = -50$ mm。

6. 計算 A 點的應力 $\sigma_A$：
   $\sigma_A = \frac{P}{A} + \frac{M_y x_A}{I_y} + \frac{M_x y_A}{I_x}$
   $P = 150 \text{ kN} = 150 \times 10^3$ N。
   $A = 15000 \text{ mm}^2$。

核心觀念

本題考查斜向平板的支承反力，以及截面上的：

• 軸力造成的平均正應力
• 橫向剪力造成的剪應力
• 矩形截面的剪應力分布

截面 $a-a$ 位於鉸支承 $B$ 處，因此該截面的彎矩為零，不需計算彎曲正應力。

由圖得：

• 平板 $BC=1.5\,\text{m}$
• 平板與水平夾角為 $30^\circ$
• $G$ 點至 $B$ 的水平距離為 $600\,\text{mm}=0.6\,\text{m}$
• 截面尺寸：$b=600\,\text{mm}$、$h=50\,\text{mm}$
• $A$ 點距離上緣 $12.5\,\text{mm}$

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解題方法

1. 求人的重量

$$W=mg=60(9.81)=588.6\,\text{N}$$

2. 求支承反力

$C$ 點為光滑接觸，因此反力 $C_x$ 為水平方向。

取 $B$ 點力矩：

$$\sum M_B=0$$

$C$ 點的高度為

$$y_C=1.5\sin30^\circ=0.75\,\text{m}$$

因此

$$C_x(0.75)-588.6(0.6)=0$$ $$C_x=470.9\,\text{N}$$

方向為向左。

由水平與垂直方向平衡：

$$B_x=470.9\,\text{N}$$ $$B_y=588.6\,\text{N}$$

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3. 將截面內力分解為軸力與剪力

取 $x$ 軸沿平板由 $B$ 指向 $C$，取 $n$ 軸垂直於平板。

截面右側外力的合力為

$$\mathbf R=(-470.9\,\mathbf i-588.6\,\mathbf j)\,\text{N}$$

軸向分量：

$$N=(-470.9)\cos30^\circ+(-588.6)\sin30^\circ$$ $$N=-701.8\,\text{N}$$

負號表示截面承受壓縮軸力。

剪力分量：

$$V=(-470.9)(-\sin30^\circ)+(-588.6)\cos30^\circ$$ $$V=-58.9\,\text{N}$$

剪力大小為

$$|V|=58.9\,\text{N}$$

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正應力

矩形截面面積：

$$A_c=bh=(600)(50)=30\,000\,\text{mm}^2$$

因為截面 $a-a$ 位於鉸支承處，$M_B=0$，所以只有軸力造成正應力：

核心觀念

本題考查矩形梁在「軸力、彎矩與剪力」共同作用下，截面上特定位置的應力狀態，以及由平面應力求主應力。

所用公式為：

$$\sigma_x=\frac{N}{A}-\frac{My}{I}$$ $$\tau_{xy}=\frac{VQ}{Ib}$$

矩形截面中性軸處的最大剪應力為：

$$\tau_{\max}=\frac{3V}{2A}$$

平面應力的主應力：

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

本題沒有橫向正應力，因此：

$$\sigma_y=0$$

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1. 求梁的內力

由圖可知，梁長為 $4\ \text{m}$，中央受向下集中力 $25\ \text{kN}$，右端另受水平向左力 $10\ \text{kN}$。

由垂直力平衡及對稱性：

$$R_A=R_C=\frac{25}{2}=12.5\ \text{kN}$$

水平力由左側支承承受，因此截面內軸力為壓力：

$$N=-10\ \text{kN}$$

考慮 $25\ \text{kN}$ 載重左側、且緊鄰載重處的截面：

$$V=12.5\ \text{kN}$$ $$M=(12.5)(2)=25\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

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2. 截面性質

由圖中矩形截面：

$$b=100\ \text{mm},\qquad h=200\ \text{mm}$$

截面積：

$$A=bh=(100)(200)=20{,}000\ \text{mm}^2$$

通過水平中性軸的慣性矩：

$$I=\frac{bh^3}{12} = \frac{(100)(200)^3}{12} = 66.667\times10^6\ \text{mm}^4$$

將單位統一為 $\text{N}$、$\text{mm}$：

$$N=-10{,}000\ \text{N}$$ $$M=25\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$$ $$V=12{,}500\ \text{N}$$

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3. 點 A 的主應力

點 $A$ 位於截面最上緣，因此：

$$y_A=100\ \text{mm}$$

軸力造成的平均正應力：

$$\frac{N}{A} = \frac{-10{,}000}{20{,}000} = -0.5\ \text{MPa}$$

彎曲正應力：

$$\frac{My_A}{I} = \frac{(25\times10^6)(100)} {66.667\times10^6} = 37.5\ \text{MPa}$$

梁受正彎矩時，上緣為壓應力，因此：

$$\sigma_{x,A}=-0.5-37.5=-38.0\ \text{MPa}$$

點 $A$ 位於矩形截面最外緣，剪應力為零：

$$\tau_{xy,A}=0$$

因此點 $A$ 的主應力即為：

$$\boxed{\sigma_{1,A}=0\ \text{MPa}}$$ $$\boxed{\sigma_{2,A}=-38.0\ \text{MPa}}$$

也就是說，點 $A$ 為單軸壓應力狀態：